228145293 Practica Ecuaciones Diferenciales
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA E. P. INGENIERÍA ELECTRÓNICA Practica N
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- Breiner Acosta Peña
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- Ecuaciones diferenciales
- Sistema de ecuaciones lineales
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
E. P. INGENIERÍA ELECTRÓNICA
Practica Nº 01 de Ecuaciones Diferenciales ASIGNATURA:
Ecuaciones Diferenciales
GRUPO/TURNO: 01L / 11:00 – 1:00 PM PROFESOR:
Castro Vidal Raúl
INTEGRANTES:
CODIGO
CONDORI ALA HENRY LOYO MAYANDIA KEVIN MERMA QUISPE WALTER EDUARDO ROJAS CARBAJAL YURI MICHAEL PUMAYUCRA MAS MARCO ANTONIO AGUILAR CHAVEZ EVER FERNANDO HECTOR FLORES MEJIA CLEMENTE
2014
1213220705 1213220545 1213220465 1313240013 1213210084 1213220429 1023220343
Problema 1 Queremos inyectar un medicamento en un órgano humano. Supongamos que el volumen de circulación sanguínea del órgano es 150 cm3 y que inyectan 1 cm3/min. de agua destilada con 0.3 mgr/cm3 de concentración de medicamentos. La sangre entra al órgano a la misma razón que sale. Si en el instante inicial no hay presencia de medicamento. ¿En qué momento la concentración del medicamento en el órgano será de 0.05 mgr/ cm3?
𝑐𝑚3 𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑒 𝑠
( )
V=150 𝑐𝑚
𝑚𝑔𝑟 𝑐𝑚3
𝐶𝑒 𝑠
𝑐𝑚3 𝑚𝑖𝑛
𝑉𝑠 𝑠 𝐶𝑠 𝑠
𝑥(𝑡)
𝑚𝑔𝑟 𝑐𝑚3
( )
Solución de la E.D.L.O: La ecuación diferencial homogéneo asociado es: ( )
( )
La solución es: ⁄
( )
Entonces la convertimos la constante en una función de t: ( ) ( )
⁄
( ) ( )
( ) ⁄
⁄
( )
( )
Ahora reemplazando (1) y (2) en la ecuación diferencial original: ( )
⁄
( )
Proseguimos a reemplazar (3) en (1): ( )
⁄
Y por el valor inicial de ( ) ( )
⁄
: ( )
Para el problema no piden hallar en que tiempo cuando la concentración es de
:
Como nuestra ecuación diferencial es una función de la cantidad de soluto respecto al tiempo convertimos la concentración en cantidad de soluto:
3
( ) De (5) en (4):
Por lo tanto el tiempo convertido al sistema sexagesimal:
PROBLEMA 2
Valores iniciales: ( ) ( )
Ecuación diferencial de una reacción química: (
)(
)
Reemplazando nuestros valores: (
)(
)
Integrando: ∫
(
)
∫
( ) De los datos iniciales: ( )
Reemplazando en (1): ( ) De los datos secundarios: ( )
Remplazando en (2): ( ) Para el problema nos pide:
a) La cantidad de C después de 2 horas. b) La cantidad máxima de C que puede formarse. c) Graficar a)
Reemplazando en (3):
b)
Reemplazando en (3):
Problema 3
A un circuito R-C-L se le aplica una tensión de 110V, Si R=50 , C=0.001F y L=1H. Calcular la intensidad de la corriente resultante, si inicialmente la intensidad de corriente y la carga del condensador eran nulas. Circuito RCL
∫
Ecuación característica de la EDOLH de segundo grado: ( ) Reemplazando L=1 y C=0.001 ( ) √ Entonces: ( √
( )
Reemplazando
( )
( √
)
)
se obtiene ( √
( )
)
Reemplazando en la ecuación original: (
( √
))
( √
)
∫ ∫
( √ ( √
) )
(
( √ (
( √
)) ))
( √
) ( )
(
( √
( √
(
( √
)
( ))
√
( √
( √ ( )
(
( √
√
( √
√ √ Entonces: ( )
( √
√
Problema 4
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: (
a) b) (
)
)
(
3
)
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: (
a)
)
Resolución: A la ecuación diferencial dada expresamos así:
Multiplicamos por y2 3
Multiplicando por 3 3
Sea z=y3 entonces:
Remplazando en la ecuación original: (
)
( √ ( )))
( √
) ( ))
√
)
))
( )))
))
Es la ecuación diferencial en z, y la solución general es: ∫
3
*
(
(
3
∫
[∫
)
)
(
]
)
(
)+
)3
(
Remplazando “z”: √*
(
)
b) (
)
(
(
)
3
(
(
)3
)
Resolver: (
) Y
(
3
)
Como la ecuación no es exacta: ( )
(
)
(
3
)
El factor integrante es: ∫
( )
(
( )
)
Multiplicar por la ecuación diferencial u(x) para que sea exacta: (
)
(
(
) (
) y
Existe f(x,y) tal que (
)
(
) (
(
∫(
)
)
( ) ( )
)
( ) ( )
3
)
)+
( ) La integral de cero es una constante entonces: ( ) Remplazamos g(y) en la ecuación f(x,y) (
)
Resultado:
Problema 5 Resuelva el PVI: ,
√
(√
)
( )
Solución:
Despejando la ecuación
√
(√
)
Donde: ( )
( )
( ) ( )
Encontramos factor integrando. ∫
( )
∫
Encontramos familia de soluciones: ∫
Econtrando la solución particular
( )
∫ ( )
∫
∫ ( )
∫
( )
( )
Reemplazando
( )
Por tanto la solución general del sistema lineal es
( )
Sustituyendo por los valores iniciales y(1)= 1, tenemos:
Vemos que la solución general del sistema es
( )
Calculamos el límite para calcular y2
( ) ( )
| |
( )
Por suposición igualando los resultados Por lo consiguiente ( )
( )
| |
El pvi tiene por solución: PVI:
* {
Problema 6 Para el circuito de la Figura (a), determine v(t) para t>0. Para el circuito de la Figura (b), determine i(t) para t>0.
+ | |
}
| |
Problema 6.a 16.-
Equivalente de Thevenin:
-
Cuando
∫
∫
|
|
|
|
(
Valor inicial
y valor final es
)
, entonces (
Problema 6.b
Por equivalente de Thevenin:
(
)
)
Por LCK:
Entonces: Carga Final en t=0 es
3
V
Por lo tanto, cuando t=0, Después de t=0:
Por LCK:
Por equivalente de Thevenin:
Por LCK:
y
V
(
)
∫
∫
Reemplazando ∫
: ∫ |
|
3
cuando t=0, entonces k=20 , C=1F: ( )
3
Problema 7 Supongamos que decides matar al profesor de análisis de circuitos .Una vez perpetrado el hecho, se encuentra el cuerpo en el despacho del mismo que está a una temperatura de 20 0C a las 6 de la tarde. La temperatura corporal de cadáver era de 35 0C en dicho momento. Una hora más tarde la temperatura era de 33 0C. ¿A qué hora se produjo el horripilante y brutal suceso?
Ley de enfriamiento de Newton: (
)
( )
La temperatura de una persona viva es
Y sea h el lapso entre cuando murió y cuando lo encontraron t1=h T1=35oC
(
)
( )
( ) ( ) (
)
De (2) (
)
( )
Se trata de una ecuación diferencial de Variables Separables ( ) Integramos la ecuación (4) por tramos a)
(to=0 , t1=h) - (To=37 , T1=35) 3
∫
∫
( )
3
Resolviendo: 3
∫
∫
3
(
)
(
)
(
)
Despejando ( b)
)
( )
(t1=h , t2=h+30) - (T1=35 , T2=33)
33
∫ 3
(
)
Resolviendo:
∫
( )
3
∫ 33
(
∫
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
Despejando
(
)
( )
Comparando (6) y (8) (
)
[
(
(
)
(
)
)
]
Ha pasado 52.47 minutos desde que murió 52.47 = 0horas 52 minutos 47 segundos 6.00pm – 0horas 52 min 47 seg = 5h 7 min 13 seg de la tarde (hora de muerte)