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• Maria Zea Amesquita

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CONTROL DE PROCESOS PRACTICA 004 EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO N01: Si una característica de calidad debe estar entre 30 +- 2 y se sabe que su media y desviación estándar están dadas por µ=29.3 y σ= 0.5, calcule e interprete a detalle los siguientes índices Cp,Cpk, K,Cr y Cpm. DATOS µ= 29.3 σ=0.5 N=30±2 ESUP=30+2=32 ESUP − EINF 𝐶𝑝 = 6σ

EINF=30-2=28

32−28

𝐶𝑝 =

6(0.5)

= 1.33

Es un proceso adecuado pues el índice Cp es 1.33 por lo tanto es capaz de cumplir con las especificaciones Cr = Cr =

6σ 𝐸𝑆𝑈𝑃 − 𝐸𝐼𝑁𝐹 6 (0.5)

= 0.75(100)=75%

32−28

El proceso cubre un 75% de la banda de especificaciones 𝐶𝑃𝑆 =

𝐸𝑆𝑈𝑃 − µ 3σ

𝐶𝑃𝑆 =

32 − 29.3 2.7 = = 1.8 3(0.5) 1.5

𝐶𝑃𝑆 =

µ − 𝐸𝐼𝑁𝐹 3σ

𝐶𝑃𝑆 =

29.3 − 28 1.3 = = 0.86 3(0.5) 1.5

Cpk= mínimo 𝐶𝑃𝑆 = 𝐶𝑃𝑆 =

𝐸𝑆𝑈𝑃−µ 3σ

, 𝐶𝑃𝑆 =

µ−𝐸𝐼𝑁𝐹 3σ

29.3 − 28 1.3 = = 0.86 3(0.5) 1.5

Como el proceso Cpk es menor a 1 el proceso por lo tanto cumple con una de las especificaciones. 𝐾=1 2

𝐾=

µ−N (ESUP−EINF)

*100

29.3 − 30 −0.7 = = −0.35 (100) = 35% 1 2 (32 − 28) 2

Cuando el valor es negativo significa que la media del proceso es menor que valor nominal. Cpm=

𝐸𝑆𝑈𝑃−𝐸𝐼𝑁𝐹 6τ

𝜏 = √𝜎 2+ + (µ − 𝑁)2 Cpm=

32−28 6(0.8602)

=

4 5.1612

𝜏 = √(0.5)2+ + (29.3 − 30)2 = 0.8602 = 0.775

Como el Cpm es menor que uno, significa que el proceso no cumple con especificaciones, ya sea problemas de centrado o por exceso de variabilidad

EJERCICIO N02: Los siguientes datos representan las mediaciones de viscosidad de los últimos tres meses de un producto lácteo. El objetivo es tener una viscosidad de 80+- 10cps Producto lácteo 84 81 77 80 80 82 78 83 81 78 83 84 85 84 82 84 82 80 83 84 82 78 83 81 86 85 79 86 83 82 84 82 83 82 84 86 81 82 81 82 87 84 83 82 81 84 84 81 78 83 83 80 86 83 82 86 87 81 78 81 82 84 83 79 80 82 86 82 80 83 82 76 79 81 82 84 85 87 88 90 a) Calcule la media y desviación estándar, y tomando a estos como parámetros poblacionales estime los índices Cp. Cpk y K, e interprételos con detalle. b) Con base en la tabla proporcionada (Tabla PPM) estime el porcentaje fuera de especificaciones SOLUCION a) Calcule la media y desviación estándar, y tomando a estos como parámetros poblacionales estime los índices Cp. Cpk y K, e interprételos con detalle. Datos N=80+-10 σ=2.6072 µ=82.45 ES=90 , EI=70 Es − EI 𝐶𝑝 = 6σ 𝐶𝑝 =

90−70 6(2.6072)

=1.278

Parcialmente adecuado, requiere de un control estricto. 𝐶𝑃𝑆 =

ES − µ 3σ

𝐶𝑃𝑆 =

90 − 82.45 = 0.965 3(2.6072)

𝐶𝑃𝐼 =

µ − EI 3σ

𝐶𝑃𝐼 =

82.45−70 3(2.6072)

= 1.591

Cpk= mínimo 𝐶𝑃𝑆 =

ES−µ 3σ

, 𝐶𝑃𝐼 =

µ−EI 3σ

Cpk=0.965 Si es menor a 1; el proceso no cumple con por lo menos una especificación, por lo que es inadecuado. 𝐾= 𝐾=

µ−𝑁 1/2(ES − EI) 82.45−80 1/2(90−70)

= 0.245(100)=24.5%

Es un proceso descentrado

𝐶𝑝𝑚 =

𝐸𝑆−𝐸𝐼

𝜏 = √𝜎 2 + (µ − 𝑁)2

6τ

𝜏 = √(2.6072)2 + (82.45 − 80)2 = 3.577

𝐶𝑝𝑚 =

90−70 6(3.577)

= 0.931

Cuando Cpm es menor que uno significa que el proceso no cumple con las especificaciones, ya sea por problemas de centrado o por exceso de variabilidad. b) Con base en la tabla estime el porcentaje fuera de especificaciones 𝐶𝑃𝐼 = 1.5 =0.0003%

𝐶𝑃𝑆 = 0.965= 0.3467%

EJERCICIO N03: Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se fijó 3.0 como el estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe directamente de los establos lecheros. Si los datos históricos se saben que µ= 4.1 y σ= 0.38: a) Calcule el Cpi e interprételo. b) Con base en la tabla PPM, estime el porcentaje fuera de especificaciones. c) ¿La calidad es satisfactoria? Datos σ=0.38 µ=4.1 EI=3.0 a) Calcule el Cpi e interprételo µ − EI 𝐶𝑃𝐼 = 3σ 𝐶𝑃𝐼 =

4.1−3.0 3(0.38)

=0.964

No es adecuado, debe ser 1.25 o mayor b) Con base a la tabla PPM, estime el porcentaje fuera de las especificaciones Como el índice Cpi es 0.964 su porcentaje fuera de las especificaciones es de 0.3467% c)

¿La calidad es satisfactoria?

No puesto que esta debe

ser igual a 1.25 o mayor

Ejercicio N4: Un producto usado para el soporte de un brazo mecánico de un prototipo industrial se coloca dentro de un diámetro de 12.50mm, con una tolerancia de 0.05mm. Si el proceso se centra a 12.50mm (µ) y la dispersión de 0.02mm (δ) a) ¿Qué porcentaje del producto deberá eliminarse y qué porcentaje deberá reelaborarse? b) ¿Cómo cambiar el centro del proceso para evitar el desecho? c) ¿Cuál es el porcentaje de reelaboración? SOLUCION a) ¿Qué porcentaje del producto deberá eliminarse y qué porcentaje deberá reelaborarse?

USL    0.05  12.50  0.05  12.55 LSL    0.05  12.50  0.05  12.45 Z

Xj  





12.45  12.50 0.02

Z  2.50 De tablas, el valor Z corresponden a 0.0062, entonces el porcentaje de desecho y reelaboración es del 0.62% b) ¿Cómo cambiar el centro del proceso para evitar el desecho?

Si la cantidad de desecho es cero, el valor más cercano en tablas es 0.00017, y el Z correspondiente es -3.59, por lo tanto:

Z

Xj  





12.45   0.02   12.52

 3.59 

El nuevo promedio para el diámetro del producto es de 12.52 c) ¿Cuál es el porcentaje de reelaboración?

Z

Xj  



12.55  12.52 0.02 Z  1.50 Z

El valor de Z en tablas es 0.9332. por lo que el porcentaje de reelaboración es: 1 – 0.9332 = 0.0668 = 6.68% d) ¿Cómo se puede centrar el proceso para que el desperdicio, solo sea de 0,25%?

Z

Xj  





12.45   0.02   12.056

 2.81 

Ejercicio N5: Se inicia un nuevo proceso, y la suma de las desviaciones estándar muestrales para 25 subgrupos de tamaño 4, es 750. Si las especificaciones son 700 +- 80 a) ¿Cuál es el índice de capacidad del proceso? ¿Qué acción recomienda usted? Cp=0.82, se debe cambiar las especificaciones o reducir la variabilidad b) ¿Cuál es el valor de Cpk, cuando el promedio del proceso toma los valores de 700, 740, 780 y 820? Explique por qué en cada caso Cpk=0,82

Cpk=0,41

Cpk=0

Cpk= -0,41

EJERCICIOS PROPUESTOS PROBLEMA 1 Para determinar la capacidad de un proceso se han tomado 15 muestras de tamaño 5, con los siguientes resultados:

Donde X es la media muestral y R el valor del rango correspondiente a cada una de las 15 muestras. Se pide: a) Construir los gráficos de control para la media y el rango b) Estimar la capacidad del proceso PROBLEMA 2 Se han construido unos gráficos de control de medias y rangos muestrales para cierta característica de calidad, examinando 35 muestras de tamaño n=5 y obteniendo los siguientes resultados: La suma de los promedios es 7805, la suma de los rangos es 1200 a) Obtenga los elementos principales de cada uno de los gráficos de control. b) Suponiendo que el proceso se encuentra bajo control estime la media y la desviación típica del proceso. c) Suponga que la característica de calidad tiene una distribución normal con especificaciones de 220±40. ¿Cumple el proceso con estas especificaciones? Estime el porcentaje de productos defectuosos.

PROBLEMA 3 Para determinar la capacidad de un proceso se toman 25 muestras de tamaño 6 y se calculan la media y la desviación típica en cada una de ellas, obteniendo los siguientes resultados:

a) Construya los gráficos de control para la media y para la desviación típica y señale si el proceso se encuentra bajo control estadístico. b) Determine la capacidad del proceso. PROBLEMA 4 Se toman 25 muestras de tamaño 5 de un proceso, a intervalos de hora, y se obtienen los siguientes datos: La suma de los promedios es 362,75, la suma de los rangos es 8,60

a) Calcule los límites de control para el gráfico de control de medias y el gráfico de control de rangos. b) Suponga que el proceso se encuentra bajo control estadístico y que las especificaciones son 14,5±0,5. ¿Qué conclusiones puede obtener sobre la habilidad del proceso para operar dentro de esos límites? Estime el porcentaje de partes defectuosas producidas por el proceso. c) Calcule e interprete los índices de capacidad del proceso.

PROBLEMA 5 Una empresa fabrica rodamientos para automóviles sobre cuyo diámetro se especifica un valor de 20±4 mm. Una muestra de 29 rodamientos tomados en intervalos de 15 minutos proporcionó los siguientes diámetros en milímetros:

Se pide: a) Construir el gráfico de control del diámetro de los rodamientos. b) Calcular el índice de capacidad del proceso de producción de los rodamientos. c) Determinar si el proceso está centrado d) Calcular el índice de capacidad si las especificaciones hubieran sido 20±8 mm. e) Calcular los índices de capacidad de largo plazo