• Categories
• Transformada de Fourier
• MP3
• Integral
• Circunvolución
• Funciones y asignaciones

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Informe Final del Proyecto de Investigación “TRANSFORMADA DE FOURIER Y LOS MP3”

Docente: Lic. RAÚL PEDRO CASTRO VIDAL

(Resolución Rectoral Nº 1109-05-R) Cronograma de ejecución: 01 de octubre del 2005 al 30 de setiembre del 2006.

Bellavista Agosto del 2012

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012 Págs.

I ÍNDICE

2

II RESUMEN

5

III INTRODUCCIÓN

6

IV PARTE TEÓRICA O MARCO TEÓRICO

11

4.1 CONCEPTOS PREVIOS 4.1.1

SONIDO

4.1.2 SONIDO DIGITAL

13

DIGITALIZACIÓN DE LA SEÑAL DE AUDIO

4.1.3 4.1.4

15

TASA DE MUESTREO DE NYSQUIST

4.2

EVOLUCIÓN DE LOS FORMATOS DE MÚSICA

17

4.3

HISTORIA DEL FORMATO MP3

22

4.3.1

UTILIDAD DEL FORMATO PM3

4.3.2

ESTRUCTURA DE UN FICHERO MP3

4.3.3

TRANSFORMADA DE FOURIER EN MP3

24

25

4.4 SERIES DE FOURIER Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SEÑALES CONTINUAS 4.4.1

DEFINICIÓN FORMAL

4.4.2TEOREMA DE EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y PROPIEDADES 4.4.3

26

TRANSFORMADA DE COSENO

32

4.4.4 TRANSFORMADA DE SENO

33

4.4.5

INTERPRETACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

34

4.4.6

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

36

4.4.7

CONVOLUCIÓN

39

4.4.8 INTERPRETACIÓN DE LA CONVOLUCIÓN 4.4.9 TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN DE DOS FUNCIONES

42

4.4.10

PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN

44

4.4.11

TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN EN EL TIEMPO

45

4.4.12

TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN EN LA FRECUENCIA

4.4.13

PROPIEDADES DE LA CONVOLACIÓN Y MODULACIÓN

2

48

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

Págs. 4.4.14

CONVOLUCIÓN NO PERIÓDICA

49

4.4.15

MODULACIÓN

50

V MATERIALES Y MÉTODOS

52

VI RESULTADOS

53

6.1. TRANSFORMADA DE SEÑALES DISCRETAS Y ALGORITMO FFT 6.1.1

ALGORITMO FFT PARA MP3

54

6.1.2

DIFERENCIAS CON OTROS FORMATOS

55

6.1.3

CONVERSIÓN ANALÓGICO DIGITAL

56

6.1.4

MUESTREO DE LA SEÑAL ANALÓGICA

6.1.5

CONDICIÓN DE NYSQUIST

6.1.6

MULTIRESOLUCIÓN Y FIRTROS

6.1.7

PROPIEDAD DE LA FUNCIÓN SCALING

58

6.1.8

CUANTIFICACIÓN DE LA SEÑAL ANALÓGICA

6.1.9

CODIFICACIÓN DE LA SEÑAL EN CÓDIGO BINARIO

6.1.10 COMPRESIÓN DE VOZ 6.1.11

6.2

60

61 63

COMPRESIÓN DE AUDIO GENÉRICO

6.1.12 DETALLES TÉCNICOS

64

6.1.13 BANCO DE FILTROS

65

EL MODELO PSICOACÚSTICO

66

6.2.1

CODIFICACIÓN Y CUANTIFICACIÓN

67

6.2.2

CICLO INTERNO

6.2.3

CICLO EXTERNO

6.2.4

EMPAQUETADO FORMATEADOR DE BITSTREAM

6.2.5

ESTRUCTURA DE FICHERO MP3

6.2.6

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA Y FICHERO

68

69

MP3 6.2.7 6.2.8

CODEC DE AUDIO Y TIPO DE CODEC

CODEC DE AUDIO CON PÉRDIDAS 6.2.9

CODEC DE AUDIO SIN PÉRDIDAS

3

70

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012 Págs. 71

6.3

ESPECTROS SONOROS 6.3.1 TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER Y COMPRESIÓN DE AUDIO

74

6.3.2 EJEMPLO DE COMPRESIÓN DE VOZ POR MEDIO TRANSFORMADA DE FOURIER EN MATLAB

76

VII. DISCUSIÓN 7.1. CONCLUSIONES 7.2. RECOMENDACIONES

77

VIII REFERENCIAS APÉNDICE

79

ANEXO

88

4.3.1 INTERPRETACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Si se supone que ( ) es periódica con periodo expresar como la serie de Fourier compleja ∞

𝑓(𝑡) = ∑ 𝑐𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝜔0 𝑡 , 𝜔0 = 𝑛=−∞

, entonces

( ) se puede

2𝜋 𝑇

Donde

1

𝑡/2

𝑐𝑛 = ∫−𝑡/2 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑛𝑤0𝑡 𝑑𝑡 𝑇

Sustituyendo 𝑐𝑛 en serie de Fourier compleja y hacemos un cambio de variable ‘t’ por ‘x’ en 𝑐𝑛 : ∞ 1 𝑇 ⁄2 𝑓(𝑡) = ∑ [ ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑛𝑤0𝑥 𝑑𝑥 ] 𝑒 𝑗𝑛𝑤0𝑡 𝑇 −𝑇⁄2 −∞

1

𝑤0

𝑇

2𝜋

Puesto que, =

, reemplazando quedaría:

4

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

∞

1 𝑇 ⁄2 𝑓(𝑡) = ∑ [ ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑛𝑤0𝑥 𝑑𝑥] 𝑤0 𝑒 𝑗𝑛𝑤0 𝑡 2𝜋 −𝑇⁄2 −∞

Ahora haciendo que 𝑇 → ∞ , entonces 𝑤0 → 0 . Sea 𝑤0 = ∆𝑤, entonces la frecuencia de cualquier armónico 𝑛𝑤0 debe corresponder a la variable general de frecuencia que describe el espectro continuo. En otras palabras, 𝑛 → ∞ a medida que 𝑤0 = ∆𝑤 → 0, tal que el producto es finito; esto es: 𝑛𝑤0 = 𝑛∆𝑤 → 𝑤

De este modo la ecuación se convierte en: ∞

1 𝑇 ⁄2 𝑓(𝑡) = ∑ [ ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑛∆𝑤𝑥 𝑑𝑥] 𝑒 𝑗𝑛∆𝑤𝑡 ∆𝑤 2𝜋 −𝑇⁄2 −∞

Cunado ∆𝑤 → 0 se convierte en dw 1 ∞ ∞ 𝑓(𝑡) = ∫ [∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 ]𝑒 𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑤 2𝜋 −∞ −∞ Esto a su vez seria: 1 ∞ 𝑓(𝑡) = ∫ 𝐹(𝑤)𝑒 𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑤 2𝜋 −∞

Fundamentalmente hemos encontrado que un función f(t) , en lugar de expresarse como un sumatoria , se expresa como una integral. 1

|𝐹(𝑤)|𝑑𝑤 representa la magnitud infinitesimal de un Esta ecuación muestra que 2𝜋 armónico a la frecuencia angular 𝑤 . 5 Estos armónicos tienen frecuencia fundamental cero (𝑤0 → 𝑑𝑤) y están separados por infinitésimos.

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

Aunque|𝐹(𝑤)|𝑑𝑤 es infinitesimal, 𝐹(𝑤)es finito; por esta razón la gráfica 𝐹(𝑤) vs 𝑤 se le denomina espectro continuo y a |𝐹(𝑤)|se le denomina generalmente, espectro de magnitud de f(t).

4.3.2 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER

Propiedad de linealidad de la transformada de Fourier Si 𝐹1 (𝑤) = ℱ[𝑓1 (𝑡)] y 𝐹2 (𝑤) = ℱ[𝑓2 (𝑡)], y 𝑎1 y 𝑎2 son dos constantes arbitrarias, entonces: ℱ[𝑎1 𝑓1 (𝑡) + 𝑎2 𝑓2 (𝑡)] = 𝑎1 𝐹1 (𝑤) + 𝑎2 𝐹2 (𝑤) DEMOSTRACIÓN ∞

ℱ[𝑎1 𝑓1 (𝑡) + 𝑎2 𝑓2 (𝑡)] = ∫ [𝑎1 𝑓1 (𝑡) + 𝑎2 𝑓2 (𝑡)] 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞ ∞

∞

= 𝑎1 ∫ 𝑓1 (𝑡)𝑒 −∞

−𝑗𝑤𝑡

𝑑𝑡 + 𝑎2 ∫ 𝑓2 (𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞

= 𝑎1 𝐹1 (𝑤) + 𝑎2 𝐹2 (𝑤)

Propiedad del escalonamiento de la transformada de Fourier Si 𝑎 es una constante real y 𝐹(𝑤) = ℱ[𝑓(𝑡)], entonces 1 𝑤 ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = 𝐹( ) |𝑎| 𝑎 La función 𝑓(𝑎𝑡) representa la función 6 𝑓(𝑡) contraída en la función del tiempo 𝑤 por un factor a. Análogamente la función 𝐹 ( ) representa la función 𝑎 𝐹(𝑎) expandida en la escala de frecuencia por el mismo factor . La propiedad

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

del escalonamiento, por consiguiente, afirma que la contracción del dominio del tiempo es equivalente a la expansión en el dominio de la frecuencia y vice-versa

DEMOSTRACIÓN Para 𝑎 > 0

∞

ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑎𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞

Si hacemos 𝑎𝑡 = 𝑥, entonces: 1 ∞ ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗(𝑤⁄𝑎)𝑥 𝑑𝑥 𝑎 −∞ Volviendo a hacer un cambio de variable 1 ∞ ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −.𝑗(𝑤⁄𝑎)𝑡 𝑑𝑡 𝑎 −∞ 1 𝑤 = 𝐹( ) |𝑎| 𝑎 Para 𝑎 < 0 ∞

ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑎𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞

Si hacemos 𝑎𝑡 = 𝑥, entonces: 1 ∞ ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗(𝑤⁄𝑎)𝑥 𝑑𝑥 𝑎 −∞ 1 ∞ = − ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −.𝑗(𝑤⁄𝑎)𝑡 𝑑𝑡 𝑎 −∞ 1 𝑤 = 𝐹( ) |𝑎| 𝑎 Por tanto: 1 𝑤 ℱ[𝑓(𝑎𝑡)] = 𝐹( ) |𝑎| 𝑎

Propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de Fourier. Si ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤), entonces: ℱ[𝑓(𝑡 − 𝑡0 )] = 𝐹(𝑤)𝑒 −𝑗𝑤𝑡0 DEMOSTRACIÓN

7

Por definición de transformada:

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

∞

ℱ[𝑓(𝑡 − 𝑡0 )] = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝑡0 )𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞

Hacemos 𝑡 − 𝑡0 = 𝑥, 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥; nos quedaría, ∞

ℱ[𝑓(𝑡 − 𝑡0 )] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑤(𝑡0+𝑥) 𝑑𝑥 −∞ ∞

=𝑒

−𝑗𝑤𝑡0

∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑤𝑥 𝑑𝑥 −∞

= 𝑒 −𝑗𝑤𝑡0 𝐹(𝑤) Propiedad de desplazamiento en la frecuencia de la transformada de Fourier. Si 𝑤𝑜 es una constante real y ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤), entonces ℱ[𝑓(𝑡)𝑒 𝑗𝑤𝑜𝑡 ] = 𝐹(𝑤 − 𝑤𝑜 ) DEMOSTRACIÓN

Por definición de transformada: ∞

ℱ[𝑓(𝑡)𝑒

𝑗𝑤𝑜 𝑡

] = ∫ [𝑓(𝑡)𝑒 𝑗𝑤𝑜 𝑡 ]𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞ ∞

= ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗(𝑤−𝑤𝑜)𝑡 𝑑𝑡 −∞

= 𝐹(𝑤 − 𝑤𝑜 ) Propiedad de simetría de la transformada de Fourier. Si ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤), entonces: ℱ[𝐹(𝑡)] = 2𝜋𝑓(−𝑤) DEMOSTRACIÓN

Por definición:

∞

2𝜋𝑓(𝑡) = ∫ 𝐹(𝑤)𝑒 𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑤 8 −∞

Cambiamos 𝑡 por −𝑡 en la expresión anterior ∞

2𝜋𝑓(−𝑡) = ∫ 𝐹(𝑤)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑤 −∞

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

Ahora, intercambiando 𝑡 y 𝑤, se obtiene ∞

2𝜋𝑓(−𝑤) = ∫ 𝐹(𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 = ℱ[𝐹(𝑡)] −∞

Ahora se buscara la relación entre la transformada de Fourier en una función f( t), y la transformada de Fourier de su derivada f´( t). Si ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) y 𝑓(𝑡) → 0 cuando 𝑡 → ±∞, entonces ℱ[𝑓′(𝑡)] = 𝑗𝑤𝐹(𝑤) = 𝑗𝑤ℱ[𝑓(𝑡)] DEMOSTRACIÓN Por definición: ∞

ℱ[𝑓

′ (𝑡)]

= ∫ 𝑓 ′ (𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞

Integrando por partes, tenemos:

∞ ∞ = 𝑓(𝑡)𝑒 + jw ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 | −∞ −∞ Puesto que 𝑓(𝑡) → 0 cuando 𝑡 → ±∞, se tiene que −𝑗𝑤𝑡

∞

ℱ[𝑓

′ (𝑡)]

= 𝑗𝑤 ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 = 𝑗𝑤𝐹(𝑤) = 𝑗𝑤ℱ[𝑓(𝑡)] −∞

Lo que generalizando, obtendremos: ℱ[𝑓 (𝑛) (𝑡)] = (𝑗𝑤)𝑛 𝐹(𝑤) = (𝑗𝑤)𝑛 ℱ[𝑓(𝑡)], 𝑛 = 1,2, … En el problema anterior se demuestra que la diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación de la transformada de Fourier por , dado que ( ) → 0 cuando → ± ∞ . Otras propiedades: *Si ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤), entonces ℱ[−𝑗𝑡𝑓(𝑡)] = DEMOSTRACIÓN Por definición:

𝑑𝐹(𝑤) 𝑑𝑤

∞

𝐹(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞

Derivando:

𝑑𝐹(𝑤) 𝑑 ∞ = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑤 −∞ Cambiamos el orden de la diferenciación y de la integración: 9 ∞ ∞ 𝑑𝐹(𝑤) 𝜕 −𝑗𝑤𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) (𝑒 )𝑑𝑡 = ∫ [−𝑗𝑡𝑓(𝑡)]𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝜕𝑤 −∞ −∞ = ℱ[−𝑗𝑡𝑓(𝑡)]

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

Generalizando obtendremos: 𝑑 (𝑛) ℱ[(−𝑗𝑛) 𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) 𝑑𝑤 𝑛 𝑛

*Si ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤), 𝑤 ≠ 0, y ∞

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(0) = 0 −∞

Entonces: 𝑡

ℱ [∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥] = −∞

1 1 𝐹(𝑤) = ℱ[𝑓(𝑡)] 𝑗𝑤 𝑗𝑤

DEMOSTRACIÓN Consideramos: 𝑡

𝜙(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

Entonces, 𝜙 ′ (𝑡) = 𝑓(𝑡). De donde, si ℱ[𝜙(𝑡)] = 𝜑(𝑤), se tiene ℱ[𝜙 ′ (𝑡)] = ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝑗𝑤𝜑(𝑤) Con tal que 1 1 𝜑(𝑤) = ℱ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) 𝑗𝑤 𝑗𝑤

10

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

( ) ( ) Sean las funciones Entonces la convoluciónde funciones dadas está definida mediante: ∗

) ( − )

=

Sin embargo como todo en las matemáticas, la mejor y más confiable manera de aprender nuevos conceptos es mediante la interpretación de modelos; donde se puede explayar el mismo hasta obtener una manera general y totalizada del análisis del problema. Es por este motivo que empezaremos este capítulo mediante la Interpretación de la Convolución. 4.3.3 INTERPRETACIÓN DE LA CONVOLUCIÓN La forma utilizada en este apartado, será analizada mediante la respuesta a un tipo de entrada en especial, para los siguientes sistemas: Sea

( )=

∗

)( )

Entonces para un sistema g(t) donde aplicaremos un tipo de entrada P (t),como se parecía en la Fig.Nº 16, la cual la representaremos de la siguiente manera:

FIG. 16Función Impulso Unitario y el Delta de Dirac.

11

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

Podemos apreciar que para este tipo de entrada (P(t)) existe un tipo de respuesta (Q(t)); como se aprecia en la Fig. Nº 17, en este caso asumamos que sea de la siguiente manera:

FIG. 17 Respuesta a la entrada P(t).

Una de las propiedades importantes de la función impulso es la traslación o corrimiento, como se puede apreciar en la Fig. Nº 18.

FIG.18 Propiedad de corrimiento.

12

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal El proceso de corrimiento, se aprecia en la Fig.Nº 19.

FIG.19 Proceso de corrimiento

Existirá la respuesta para los impulsos sucesivos (Fig. Nº 20)

FIG.20 Respuesta a los impulsos sucesivos De las dos últimas gráficas (FIG.18 y FIG.19) podemos deducir: ∗

−

( )=

13

) (

)

2012

2012

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

∗

( −

( )=

) (

)

Cuando llevamos al límite T0 lim

→

=

∗

( ) = lim

( −

→

( ) ( − ) ∴

) (

→ =

∗

( − ) ( )

)=

:

) ( −

=

)

) ( − )

=

4.3.4 TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN DE DOS FUNCIONES

La Transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es igual al producto de las transformadas de cada una de estas, de manera independiente, es decir: ℱ { ∗ } = }ℱ { } DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN Tenemos por definición de la Transformada de Fourier. ( )=

)

( )=

,

)

Entonces: ( ) ( )=

( ) ( )

)

Si hacemos el cambio de variable: u + v = x ; en la integral doble, la cual deseamos transformar de variables (u, v) a las variables (u, x). Por cálculo diferencial conocemos:

14

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

= Entonces hallando el Jacobiano, el cual está dado por:

=

1 0

=

0 =1 1

De donde: ) ( − )

( ) ( )= =

) ( −

[

) ( −

=ℱ

)

]

)

Como: ∗

=

Entonces:

) ( −

)

∗

}

( ) ( )= ∴

( ) ( )= ℱ{

∗

}

Y como cumple la transformada de Fourier, realizamos el proceso inverso y también será válida para la Transformada Inversa de Fourier. O sea:

ℱ

ℱ{

∗

∗

}

ℱ{

}= ( ) ( ) =ℱ

15

{ (

) ( )}

2012

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal ∗

1

=

( ) ( )

4.3.5 PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN

La convolución es CONMUTATIVA. ∗

∗

=

Demostración: Sea: t - x=y de donde dx = -dy. Además: → − ∞ →∞ → ∞; →−∞

∗

=

) ( − )

=−

( ) ( − ∗

( −

= )(

∗

∴

) ( − )

)= −

( )

=

)

∗

=

La convolución es ASOCIATIVA. [

∗

]∗ ℎ =

∗

[

∗

ℎ]

La convolución es DISTRIBUTIVA. ∗

+ℎ )=

∗

+

La siguientes convoluciones nos resulta: ( )∗ ( ) = 16

) ( )(−

( )

∗ ℎ

)

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

( −

( )∗ ( −

)= ( −

)∗ (

)=

−

) −

(

−

)

4.3.6 TEOREMA DE CONVOLUCIÓN EN EL TIEMPO

Sea: ℱ { ( )} = ℱ

=

) (

∗

Demostración:

ℱ { ( )} =

( )

ℱ

( )

ℱ

( )

( ) }ℱ { ( )} = ( )

∗

=

:

−

ℱ{ (

]

−

( )[

=

: ( )

) ( − )

[

∗

( ),

)

−

)} =

]

)

Por Propiedad: ℱ { ( − )} = ( ) Sustituyendo en (*) ℱ

( )

∗

=

( ) ( )

ℱ ∴ ℱ

( )

∗

( )

=

()

( ) ( )

= ∗

( )

=

( ) ( )

4.3.7 TEOREMA DE CONVOLUCIÓN EN LA FRECUENCIA.

17

2012

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal Sea: ℱ

{ (

)} =

( )

ℱ

18

{ ( )} =

( ),

2012

2012

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal ( ) ∗ ( )} =

ℱ

:

( ) ( )

Demostración: ℱ

) ∗ ( )} = ℱ

{ (

−

( ) − =

)

= + =

ℱ

{ (

) ∗ ( )} =

1

) (

[

− )

]

Haciendo el cambio de variable: ℱ

{ (

1

) ∗ ( )} =

1 =

=

1

[

) ( )

[

( ) ( )

( )

]

( )

(59)

Pero: ( )=

1

− −−→ 2

( )

( )=

()

Reemplazando en (59) =

1

( )[2

( )

= Pero: 19

( )]

− − − − (60)

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

Reemplazando en (60)

Con una función periódica de período T, y se hace T tienda a infinito, entonces la función resultante deja de ser periódica. Ilustremos este proceso de límite mediante un tren de pulsos rectangulares. Se considera el tren de pulsos rectangulares siguiente.

,

.

d

d

47

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

Para

2012

, se tiene la función

Es evidente que delos gráficos anteriores

no es una función periódica, las

señales sonoras en general no son periódicas. 4.3.8 PROPIEDADES DE CONVOLUCIÓN Y MODULACIÓN DEFINICION Dos de las propiedades más importantes de las representaciones de Fourier son la convolución y la modulación. Una forma importante de modulación se refiere a la multiplicación de dos señales; una de ellas cambia o ¨modula ¨la amplitud de la otra. Se va a demostrar que la convolución en el dominio del tiempo se transforma en convolución en el dominio de la frecuencia. Por tanto podemos analizar el comportamiento de entrada-salida de un sistema lineal en el dominio de la frecuencia

utilizando la multiplicación de transformada en lugar de señales

convolucionando en el tiempo .Lo anterior puede simplificar de manera importante el análisis de sistemas y ofrecer bastante conocimiento acerca del

48

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal comportamiento del sistema[13].

49

2012

2012

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

Tanto la propiedad de convolución como la de modulación son una consecuencia son una consecuencia de las sinoides que son funciones características del sistema LTI (LTI: Lineal Time Invariant)[15].

4.3.9 Convolución no periódica Considere la convolución de dos señales no periódicas en tiempo continuo h(t) y x(t) y (t) = h (t)*x (t) y (t) = ∫

) x(t − )

h(

Se expresa ahora x(t

(61) ) en términos de la transformada de Fourier como se

indica ∫

x(t - ) =

(

)

(62)

Ahora se sustituye esta expresión en la integral de convolución para obtener y(t) = ∫ y (t) =

h( ∫

) ∫

∫ h(

(

)

)

)

(

)

(64)

Reconocemos la integral interna sobre h(

(63)

como la transformada de Fourier de

) o H(jw) en consecuencia y(t ) puede reinscribirse como

y(t ) =

∫

(

) (

)

)

(65)

De modo que y(t) es la inversa de Transformada de Fourier(FT) de

(

) (

).

Concluimos que la convolución de señales en el tiempo corresponde a la multiplicación de transformadas en el dominio de la frecuencia como se describe por medio de, la misma que se describe en la Fig.Nº 21. FT

y (t) = h (t)*x (t)

Y(jw)=

(

49

) (

)

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

Figura 21 Convolución en el dominio del tiempo y dominio de la frecuencia

4.3.10 Modulación Si x(t) y z(t) son señales no periódicas, entonces deseamos expresar la transformada de Fourier del producto y(t) = x(t) z(t) en términos de la transformada de Fourier de x(t) y z(t) Sea x(t) y z(t) en términos de sus FT X(t) =

∫

Z(t) =

∫

)

(66)

)

(67)

El termino del producto y(t) puede consecuentemente escribirse en la forma ∫

Y(t) =

∫

(

) (

)

Efectuando ahora el cambio de variable en n sustituyendo n= w-v para obtener Y(t) =

∫

∫

(

) ( (w − v))

(68)

50

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

En la integral interior sobre v se presenta la convolución de Z(jw) y X(jw), en tanto que la integral exterior sobre w es de la forma de representación de Fourier para y(t). Por consiguiente identificamos esta convolución escalada por

como

Y(jw) según indica FT

y(t) = x(t)z(t)

Y(jw) =

X(jw)*Z(jw)

Donde X(jw)*Z(jw) = ∫

) ( (

− ))

(69)

La multiplicación en el dominio del tiempo conduce a la convolución en el dominio de la frecuencia Aplicación Una aplicación importante de la propiedad de modulación es comprender los efectos de truncar una señal en su representación en el dominio de la frecuencia. El proceso de truncar una señal se conoce también como ventaneo ya que corresponde a ver la señal atreves de una ventana. La parte de la señal que es visible a través de la ventana se trunca. Esta operación de ventaneo se representa matemáticamente multiplicando la señal, digamos X(t) por una función ventana W(t) que es cero fuera del intervalo de interés. Al denotar la señal con ventaneo mediante Y(t), tenemos. Y(t) = X(t)W(t) La más simple es la ventana rectangular, que se define como: 1 si t 0,T  h(t)   0 en otro caso

51

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

V. MATERIALES Y MÉTODOS Se siguió el esquema establecido en la Metodología de la Investigación y como el presente trabajo corresponde a investigación básica, la misma que se fundamenta con un método deductivo e inductivo. Se presenta la fundamentación teórica necesaria y aplicaciones que se pueden hacer mostrando con un ejemplo concreto, se muestra la que la Transformada de Fourier es un herramienta poderosa para tratamiento de señales, el audio es una señal en general no periódica mediante la digitalización del audio se aplica la Transformada Discreta de Fourier y el algoritmo que permite comprimir el audio para formato MP3 está dado por el algoritmo FFT[7].[11]. Los resultados obtenidos en esta investigación se comparan con otros estudios hechos por investigadores dedicados a comprensión de audio y formatos de comprensión. Para la realización de la investigación se ha hecho uso de las bibliografías que se muestra en el ítem VIII de referencias. Asimismo, para la implementación de la aplicación informática, se contó con un equipo INTELCore i5, 3.4GHZ Seis Núcleos, Disco Duro Sata 500 GB, Memoria RAM 4 GB 4000 DDR III, Windows SEVEN 7, equipado con Microsoft® Visual Studio.

52

Transformada de Fourier y los MP3 Lic. Raúl P. Castro Vidal

2012

VI. RESULTADOS Para dar resultados de la Investigación se da a partir de la Transformada de señales discretas y Algoritmo FFT.En las secciones 4.3 y 4.4se ha desarrollado la teoría de la Transformada de Fourier para funciones o señales continuas. Si las funciones continuas son reemplazados en todas las fórmulas dadas por funciones discretas o señales discretas se tiene la Teoría de Transformada de Fourier de funciones o señales discretas, basado en ese enfoque se dará el resultado de la investigación en la sección 6.1 6.1 TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS Y

ALGORIMO PARA MP3 En la sección 4.4 se ha desarrollado la Teoría de Transformada de Fourier para funciones continuas y que cumplen la condición de convergencia absoluta, la Transformada de señales discretas es en realidad una particularidad donde la función continua se reemplaza por una función discreta. El algoritmo para hallar la Transformada de Fourier de funciones discretas está dada por el algoritmo FFT, los detalle de este algoritmo están en el anexo del presente trabajo, el estudio del orden de la complejidad de este algoritmo se ajusta a algoritmos rápidos, por eso es una herramienta muy poderosa en tratamiento de señales, se puede obtener mayor información y detalles en [12]. Se muestra en la Fig.Nº21 el esquema FFT.

53