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• Joffre Arismendi Solis Tucto

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Ejercicios 1.−si f ( t ) =( t ; t ; t 2 ) , g ( t )=( cost ; t ; t ) ,φ ( t )=e−t , halle a¿

d (g (t)) dt

Solución: d d ( g ( t ) )= ( cost , sent , t) dt dt d ( g ( t ) )=(−sent , cost , 1) dt 4.- en cada uno de los siguientes ejercicios, i) halle las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales ala c descrita por la función vectorial, calculando los valores de t para los cuales dy/dt=0 ii) obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes verticales a la curva c, calculando los valores de t para los cuales dx/dt=0. d ¿ f ( t ) =( 4 sent ; 7 cost ) Solución: f ' ( t )=(4 cost ;−7 sent ) i¿ ecuacion de la recta tagente horizontal de c (

dy =0) dt

f ( t )= ( x , y ) dy d (7 cost) = =0=¿−7 sent=0=¿ t=0 dt dt Punto de tangencia f (0)= (0,7) Vector tangente f’ (0)= (4,0) La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva por f es: ' ¿ : ( x , y )=f ( 0 ) +s f ( 0 ) ; s ∈ R

LTH : ( x , y )=(0,7)+ s ( 4,0 ) ; s ∈ R

c(

ii) ecuación de la recta tangente vertical de

dx =0) dt

dx d ( 4 sent ) = =0 dt dt

4 cost=0−→t=

π 2

Punto de tangencia

Vector tangente

f

'

f

( π2 )=( 4,0)

( π2 )= ( 0,−7)

Ecuación vectorial de la recta tangente a la curva por f es: ITV : ( X ,Y )=f

( π2 )+ S ( π2 ) ; SϵR

ITV : ( X ,Y )=( 4,0 )+ S (0,−7); SϵR

⃗a . ⃗b

2.- calcule

t e2 t (¿ ; tcosh 2t ; 2 t e−2 t ) dt , si

1

⃗ ∫¿ a⃗ =( 2 ;−4 ; 1 ) y b= 0

Solución: Si, ⃗a =( 2;−4 ; 1 ) 2t

te (¿ ; tcosh 2t ; 2 t e−2 t )d t 1

⃗ ∫¿ b= 0

Desarrollando la integral

2t

te (¿ ; tcosh 2t ; 2 t e−2 t )d t 1

⃗ ∫¿ b= 0

2 t e−2 t d t

1

1

∫t e

2t

0

1

dt ; ∫ tcosh 2 tdt ; ∫ ¿ 0

0

⃗ b=¿

u=t →du=dt

u=t →du=dt

u=t →du=dt dv=e2 t dt → v =

2t

e 2

1 dv=cosh 2 t → v= senh(2 t ) 2

dv=2 e−2 t → v=e−2 t

1

1

1

(

te e t 1 −2 t −2 t −∫ dt ; senh ( 2t )−∫ senh ( 2t ) dt ;−t e +∫ e dt 2 2 2 2 0 0 0

[

cosh ( 2t ) 1 t e2 t e 2 t 1 t e−2 t 1 − ) ; senh ( 2t )− ;(−t e−2 t − )∨ 2 4 0 2 4 2 0 0

b=

2t

b= (

2t

|(

)|

b=

[

cosh ( 2 ) 1 e e 1 1 e 1 − + ; senh ( 2 ) − + ;−e−2− + 2 4 4 2 4 4 2 2

[

2e −e +1 2 senh ( 2 )−cosh ( 2 ) +1 −2 e −e +1 ; ; 4 4 2

[

2 −2 e +1 2 senh ( 2 )−cosh ( 2 ) +1 3 e +1 ; ; 4 4 2

b=

b=

2

2

2

−2

2

⃗ . ⃗b Ahora a

−2

]

−2

] ]

]

)

[

2 −2 e +1 2 senh ( 2 )−cosh ( 2 )+ 1 3 e +1 ⃗a . ⃗b=(2,−4,1) ; ; 4 4 2

2

−2

e +1 1−3 e ⃗a . ⃗b= −2 senh ( 2 ) +cosh ( 2 )− 2 2 2

2

(

−2

e 1 e −e ⃗a . ⃗b= + −2 2 2 2 2

)(

e 2 +e−2 1 3 −1+ − e−2 2 2 2

2

−2

+

)

e 1 e e 1 3 ⃗a . ⃗b= + −e 2 +e−2+ + − − e−2 2 2 2 2 2 2 e2 2 −2 e 2 e−2 3 −2 ⃗ ⃗a . b= −e + e + + − e 2 2 2 2 2

2

2

−2

−2

−2

e −2 e + e 2e +e −3 e ⃗a . ⃗b= + 2 2 ⃗a . ⃗b =0

2 b)

∝ ( t )=(cos ( π t 2 ) ; sen ( π t 2 ))

Solución: T=0 y t=1 cost ( π t 2 ) ; sen ( π t 2 ) → rapidez ∝ ( t )=¿ −2 tπsen ( π t 2 ) ; ( 2 tπ cos ( π t 2 ) ) → velocidad ∝' ( t )=¿ −4 t 2 π 2 cos ( π t 2 ) ; (−4 t 2 π 2 s en ( π t 2 ) ) → aceleracion ∝' ' ( t )=¿ Vector rapidez: t=0 →∝ ( 0 )=( cos ( 0 ) ; sen ( 0 ) ) → ∝ ( 0 )=(1,0)

]

t=1→ ∝ ( 1 ) =( cos ( π ) ; sen ( π ) ) →∝ ( 0 )=(−1,0) Vector velocidad: t=0 →∝' ( 0 )=( 0 sen ( 0 ) ; ocos ( 0 ) ) → ∝' ( 0 ) =(0,0) t=1→ ∝' ( 1 )=( −2 π sen ( π ) ; 2 π cos ( π ) ) → ∝' ( 1 )=(0,−2 π) Vector aceleración: t=0 →∝' ( 0 )=( 0 cos ( 0 ) ; 0 sen ( 0 ) ) → ∝' ' ( 0 )=( 0,0) t=1→ ∝' ' ( 0 )=( −4 π 2 cos ( π ) ;−4 π 2 sen ( π ) ) → ∝' ' ( t )=(4 π 2 , 0)

13.- dada la curva parame trizada por ∝ ( θ ) =( θ−senθ ; 1−cosθ ) , 0