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“Año del Buen Servicio al Ciudadano”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA facultad de ingeniería escuela académica profesional de ingeniería civil

INFORME N˚1: EL PROGRAMA MATEMÁTICO MATHWAY

CURSO: ANÁLISIS MATEMÁTICO II GRUPO: D

DOCENTE: Ing. HORACIO URTEAGA BECERRA

ALUMNOS: BRIONES ARMAS, DIEGO JOSÉ CERQUÍN MINCHÁN, JULIO CÉSAR CHAVEZ VARGAS, RICHARD ESCOBAL GARCÍA, LUIS ENRIQUE

SEMESTRE ACADÉMICO: 2017-1

Cajamarca, 19 de mayo del 2017

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

“Año del Buen Servicio al Ciudadano”

INTRODUCCIÓN Mathway es un editor matemático online que permite resolver problemas matemáticos de muy diverso tipo: matemáticas básicas, algebra, geometría, trigonometría, cálculo, estadística, etc. Una vez se introducen los datos automáticamente, nos ofrece la solución, así como gráficos e imágenes en algunos casos. Es la primera versión que no requiere de alguna licencia para poderlo utilizar, es totalmente gratuito. Este programa lo podemos ocupar en una de las materias más importantes en la carrera de ingeniería civil, que es Análisis Estructural. El objetivo principal de esta aplicación es facilitarle el trabajo al estructurista resolviendo las ecuaciones, ya sean integrales, derivadas, etc. Es de fácil manejo ya que presenta una ventana con múltiples opciones que se pueden elegir para componer la ecuación. Antes de querer utilizar este programa o diseñar alguna estructura es necesario conocer los principios básicos para el análisis estructural, saber cómo se componen las ecuaciones y como se introducirían al programa, de lo contrario se corre el riesgo de introducir mal los datos y encontrar un resultado incorrecto. Con respecto a las características del equipo no se necesita con alguna especial, ya que no es necesario instalarlo, se consulta en internet y está disponible en español para aquellos que no saben inglés. Las ventajas que tiene son atractivas, como por ejemplo: hacen que el cálculo de ecuaciones se más rápido que si se hiciera manualmente. La desventaja es que se corre el riesgo de introducir mal los datos y no encontrar el valor verdadero.

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OBJETIVOS

Objetivo General: 

Utilizar correctamente el uso del Mathway.

Objetivos Específicos: 

Conocer la configuración del programa.



Conocer los pasos a seguir para la solución de un problema en el Mathway.



Determinar las ventajas y desventajas del programa.

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descripción: ¿Qué es? Mathway es una aplicación web que permite resolver problemas matemáticos de álgebra, trigonometría y cálculo ¿Para qué sirve? Ofrece la posibilidad de realizar desde operaciones sencillas como sumas y divisiones hasta integrales de funciones trigonométricas. Mathway ofrece la posibilidad de incluir la fórmula en cuestión para mostrar posteriormente el resultado Es una aplicación válida tanto para los aficionados a las matemáticas como para los que no pueden con ellas. Ofrece ayuda y soluciones para casi cualquier problema matemático, incluye un glosario de términos y una impresionante colección de fórmulas y teoremas para resolver dudas. ¿Cómo se Usa? No necesita registrarse para resolver cualquier problema matemático. Con la ayuda de su editor de operaciones en línea se introduce de forma intuitiva la operación a resolver y se presiona sobre “Enser” para obtener la respuesta que también puede graficarse. Normalmente propone la solución definitiva, pero existe un desplegable que permite seleccionar cual es el objetivo de la operación, que puede ser el resultado o algún tipo de conclusión intermedia. Si se desean obtener ejemplos, se ofrece una considerable lista de ellos para aprender su uso y obtener ideas de aprovechamiento de la herramienta. El botón “Get step-by-step solución” que podría dar el contenido definitivo para explicar los pasos de cualquier resolución no funciona como parece que debería, ya que deriva hacia la publicidad de otro producto de resolución de operaciones matemáticas. Este último aspecto es una lástima, pero con las funcionalidades descritas Mathway se convierte en una ayuda en las prácticas pedagógicas en la clase de matemáticas.

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Requerimientos mínimos de software o equipos para su implementación Complemento de Macromedia Flash Player 7.0 o posterior. Windows 2000 o posterior con las últimas actualizaciones instaladas Mac OS X 10.3 o posterior. Firefox 1.1 o posterior, Internet Explorer 5.0 o posterior, o Safari 1.0 o posterior. Conexión de banda ancha a un mínimo de 500 Kbps. Actividades o Uso pedagógico en que podría emplearse dicho recurso TIC Los temas de matemáticas que se pueden abordar con Mathway incluyen conceptos básicos de matemáticas, Pre álgebra, Álgebra, Trigonometría, Pre cálculo, Cálculo, y Estadística. Los estudiantes pueden realizar diferentes tipos de gráficas de funciones después de haber visto los temas en clase para establecer regularidades y cambiar el sistema tradicional de enseñanza (punto a punto) a uno que involucre noción de trazado de gráficas de funciones. Este mismo uso pedagógico se puede implementar en Trigonometría (funciones trigonométricas) y Cálculo (límites de funciones). También puede ser visto como herramienta de ayuda ante posibles dificultades.

Dificultades que podrían presentarse Baja velocidad del internet. Incompatibilidad con los equipos y software de las instituciones educativas. Para acceder a mejores características ya es pago. Se debe tener conocimientos básicos en Inglés, pues por el momento no hay versión en español. Nivel al que se puede aplicar Secundaria y universitario.

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MANEJO DEL EQUIPO: APLICACIONES El programa Mathway tiene una serie de opciones para solucionar problemas que van desde la más simple operación básica hasta varias integrales, su uso es bastante fácil, lo primero que tenemos que hacer es entrar al siguiente link: https://www.mathway.com/es, por defecto el programa nos da la pantalla de la resolución de expresiones algebraicas, la cual es la siguiente:

Imagen N°01: Pantalla del programa Mathway. Como se puede ver en la imagen en la parte superior izquierda hay una serie de opciones sobre el tipo de problema que deseamos resolver

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Imagen

N°02: Opciones de soluciones que tiene el Mathway.

Como podemos ver, este programa puede resolver ejercicios que van desde las matemáticas básicas hasta ejercicios de cálculo y diferentes cursos como son Estadística y Química.

APLICACIONES: Entre las aplicaciones que podemos encontrar en este programa para el curso de Análisis Matemático II con la resolución de integrales definidas e indefinidas, así como la solución de derivadas, límites, construcción de gráficas, entre otras. Este programa tiene varias ventajas en las cuales se pueden resaltar la ventaja de imprimir la solución del ejercicio con todos sus pasos. La desventaja que tiene este programa es que no resuelve integrales impropias e integrales que se deben realizar con cambio de variable, lo cual genera una desventaja de un buen programa, la otra desventaja es que se debe escribir la ecuación de la función para que se graficar, además de demorar mucho más tiempo en realizar las gráficas. A continuación, se dará un ejemplo explicando el uso del programa para la solución de una integral definida. Ejemplo de aplicación: Resolver la siguiente integral definida en el programa de Mathway 4

∫ (𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 3) 𝑑𝑥 1

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1.

SOLUCION

Hacemos clic en la opción de cálculo. Introducimos la ecuación en el programa

IMAGEN N°03: Introducción de la integral al programa. Damos un ENTER y nos sale la solución del problema junto con su respectiva gráfica

IMAGEN N°04: Solución del ejercicio.

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IMAGEN N°05: Gráfico del ejercicio. En la imagen N°05 se puede observar que hay una opción que nos permite ver todos los pasos que se han realizado para la solución del ejercicio. A continuación, se mostrarán los pasos que ha realizado el programa.

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IMAGEN N°06: Desarrollo del ejercicio NOTA: Al final del ejercicio podemos ver en la parte inferior derecha una pequeña opción, la cual nos permite imprimir todo el desarrollo del ejercicio.

BIBLIOGRAFÍA 

Chaparro, William (2012) Recurso de Aprendizaje MATHWAY. Recuperado de: http://blogfoliowilliamchaparro.blogspot.pe/p/herramienta-7.html.



Ovando, Vanesa (2011) Uso del MATHWAY. Recuperado de: https://es.slideshare.net/gesuyovi/mathway.



Programa matemático MATHWAY: https://www.mathway.com/es/Graph

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA facultad de ingeniería escuela académica profesional de ingeniería civil

AVANCE N˚2: EL PROGRAMA MATEMÁTICO MATHWAY

CURSO: ANÁLISIS MATEMÁTICO II GRUPO: D

DOCENTE: Ing. HORACIO URTEAGA BECERRA

ALUMNOS: BRIONES ARMAS, DIEGO JOSÉ CERQUÍN MINCHÁN, JULIO CÉSAR CHAVEZ VARGAS, RICHARD ESCOBAL GARCÍA, LUIS ENRIQUE

SEMESTRE ACADÉMICO: 2017-1 ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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Cajamarca, 9 de junio del 2017

CAPÍTULO II: Aplicación Matemático en el Estudio de Funciones Reales de una Variable Real FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 1. Definición: Una función f es una regla de correspondencia mediante la cual a cada elemento x de un conjunto A se le asigna uno y solo un elemento y de un conjunto B -

-

En la definición anterior A se le llama dominio y B se llama codominio de f. Si S  A decimos que la función f está definida en S. Si x  A , entonces y = f ( x ) denota el único elemento en B que la función f asocia a x, (se lee: y es igual a f de x o bien: y es el valor de f en x). En este caso x es la variable independiente; y es la variable dependiente. Al conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente y (o f(x)) conforme x varia en el dominio, se le llama rango de f.

2. Diagrama:

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” (Henríquez – 2010) http://www.uca.edu.sv/facultad/clases/maestrias/made/m000033/Funciones-deuna-variable-real.doc

3. Cálculo de Dominios y Rangos: El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea especificado. El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de “y”, de tal manera que x sea real. (Espinoza – 2002)

Ejemplo de Aplicación: Hallar el dominio y rango de la función √𝟐 + 𝒙 − 𝒙𝟐 . (Problema desarrollado Espinoza Ramos)

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Procedimiento:

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Ejemplo de Aplicación: Hallar el rango de la función 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕, 𝒙 ∈ (𝟐, 𝟑)(Problema desarrollado Espinoza Ramos)

Procedimiento:

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” 4. Determinación de Asíntotas Horizontales, Vertical y Oblicuas: -

-

-

Asíntotas horizontales: La recta y = k es una asíntota horizontal de la función si: limx→−∞ = k o limx→+∞ = k. Asíntotas verticales: Consideremos los puntos k que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales). Si tenemos que limx→kf(x) = ±∞, x = k será una asíntota vertical. Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y=mx+n. Si limx→+∞(f(x) − y) = 0 o limx→−∞(f(x) − y) = 0, y = mx + n será asíntota oblicua. Ahora bien, m y n toman las siguientes expresiones: m = limx→∞ f(x) x y n = limx→∞(f(x) − mx). IMPORTANTE: Sólo se hallarán las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales. Ejemplo de Aplicación:

Calcular las asíntotas de la función

2𝑥 2 +3 𝑥 2 −1

(Problema desarrollado Espinoza

Ramos)

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Procedimiento:

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” Ejemplo de Aplicación: Calcular las asíntotas de la función

𝑥 2 +9 x−3

(Problema desarrollado Espinoza

Ramos).

Gráfica:

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” Procedimiento:

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” 4. Gráficas de funciones en coordenadas cartesianas, polares y paramétricas: Ejemplo de Aplicación: Graficar la función en coordenadas cartesianas de f = -x2-2x+3 (Problema desarrollado Análisis Matemático II – Ing Horacio Urteaga).

Gráfico:

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” Procedimiento:

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Ejemplo de Aplicación: Graficar la función en coordenadas polares de r = 2(1 – Cos Ɵ) (Problema desarrollado Análisis Matemático II – Ing Horacio Urteaga).

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APLICACIÓN DEL MATEMÁTICO EN EL CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. El concepto de límite es el punto de partida para el estudio del cálculo diferencial e integral. (MOISÉS LÁZARO)

1. Límites finitos. En la situación del dibujo, se dice que el límite cuando 𝑥 se acerca por la derecha de 𝑎 es +∞ , pues a medida que la 𝑥 se acerca 𝑎, la función se hace cada vez mayor: lim+ 𝑓(𝑥) = +∞ . 𝑥→𝑎

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EJEMPLO N°01: Resolver el límite: 𝐥𝐢𝐦

𝒙𝟐 +𝟕𝒙+𝟓

𝒙→𝟒 𝒙𝟐 −𝟏𝟔

(Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I)

EJEMPLO N°02: Resolver el límite:

𝐥𝐢𝐦

𝒙𝟐 +𝟕𝒙+𝟓

𝒙→𝟒 𝒙𝟐 −𝟏𝟔

(Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I)

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2. Límites laterales: Para que exista lim 𝑓(𝑥) , 𝑥→4

depende del comportamiento de la función

f(X)cuando x tiende hacia a, tanto para los valore de x menores que a (por la izquierda de a), como para los valores de x mayores que a ( por la derecha de a). (Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I)

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EJEMPLO N°01: 𝒙 + 𝟑, 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟏 Calcular el límite, si se sabe que existe: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = { 𝟐 𝒙→𝟏 𝒙 + 𝟏, 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟏 (Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I) 𝟐

Primera parte: 𝐥𝐢𝐦− 𝒙𝟐 + 𝟑 𝒙→𝟏

Segunda parte: lim 𝑥 + 3 𝑥→1

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EJEMPLO N°02: 𝒙 , 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟐 Calcular el límite, si se sabe que existe: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = { 𝒙→𝟐 𝟖 − 𝟐𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟐 (Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I) 𝟐

Primera parte: 𝐥𝐢𝐦− 𝒙𝟐 𝒙→𝟐

Segunda parte parte: 𝐥𝐢𝐦 𝟖 − 𝟐𝒙. 𝒙→𝟐

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3. Límites infinitos: El límite cuando 𝑥 → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo. EJEMPLO N°01: 𝟐𝒙𝟐 +𝟑𝒙+𝟓

Hallar 𝐥𝐢𝐦 𝟑𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟏 (Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I) 𝒙→∞

EJEMPLO N°02: Hallar lim

𝑥→∞

√2𝑥 2 +4 𝑥+7

(Eduardo Espinoza, Análisis Matemático I)

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LA DERIVADA 1. PRIMERA DERIVADA. La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.(MOISES LAZARO. Calculo I. 1995 pág. 56)

Ejercicios sacados del libro de Análisis matemático I del Ing. Horacio Urteaga B. Pág. 142. EJERCICIO 1.

𝑦=

𝑥2 − 1 𝑥 2 − 5𝑥 + 6

Desarrollo en mathway:

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EJERCICIO 2

𝑦=

𝑥4 + 8 𝑥3 + 1

Desarrollo en mathway:

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𝑦′ =

𝑥 6 + 4𝑥 3 − 24𝑥 2 𝑥 6 + 2𝑥 3 + 1

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EJERCICIO 3 y=

1 1 10 + − 2 𝑥 + 1 1 − 𝑥 3𝑥

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2. DERIVADAS DE SEDUNDO ORDEN, HASTA ORDEN n. El proceso de derivación de funciones reales de variable real puede obviamente iterarse, obteniendo la segunda y sucesivas derivadas de una función. Como es lógico, para n ∈ N, la definición de la derivada n-ésima de una función ha de hacerse por inducción. En este tema extendemos las reglas de derivación para que nos permitan estudiar la existencia de las derivadas sucesivas de una función y, cuando sea posible, calcularlas. Aparecerán de esta forma nuevos espacios de funciones cuya estructura iremos analizando. Ejemplos desarrollados con el programa mathway. EJERCICIO 1. y = sin(2𝑥)cos(2𝑥) Solución en mathway.

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” Segunda derivada:

Tercera derivada:

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Cuarta derivada:

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𝐲 = 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒙)𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) =

𝐬𝐞𝐧(𝟒𝒙) 𝟐

𝒚′ = 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙) 𝒚 = 𝟐 ∗ 𝟒𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒙) ′′′ 𝒚 = −𝟐 ∗ 𝟒𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙) 𝒚′′′′ = 𝟐 ∗ 𝟒𝟑 𝐬𝐞𝐧(𝟒𝒙) ′′

𝒇𝟐𝒏 = (−𝟏)𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟒𝟐𝒏−𝟏 𝐬𝐞𝐧(𝟒𝒙) 𝒇𝟐𝒏−𝟏 = (−𝟏)𝒏+𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝟒𝟐𝐧−𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙)

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3. GRAFICA DE UNA FUNCION POR SUS PUNTOS CARATERISTICOS (MAXIMOS, MINIMOS Y PUNTOS DE INFLEXION. EJERCICIO 1. 2

𝑦=

𝑥2

𝑥 −1 − 5𝑥 + 6

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Grafica:

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GRAFICA en autocad:

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EJERCICIO 2. 𝑦=𝒆

2𝑥−𝑥 2

Solución en mathway: Hallando máximos y mínimos, puntos de concavidad y de inflexión.

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Grafica:

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EJERCICIO 3. 𝑦=

𝑥2

𝑥 −1

Solución en mathway. Máximos y mínimos.

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Asíntotas:

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Grafica en matway:

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APLICACIÓN DEL PROGRAMA MATEMATICO EN EL CALCULO DE INTEGRALES DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL La integración es el concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Entre las aplicaciones de las integrales son la solución a problemas donde se desea conocer el área de una figura amorfa, la obtención de un volumen de una figura a partir de un diferencial, entre otras. Aplicado a la Ingeniería Civil, una integral nos ayuda a encontrar el volumen de una piscina, el cálculo del número de bolsas que se necesitan para la construcción de vigas y columnas, entre otras. Este programa nos ayudará a resolver integrales de manera rápida y sencilla, al utilizar este programa nos ahorramos tiempo en el cálculo de integrales simples. Integral indefinida: sea f una función continua, definida por y= f(x), ⩝x ϵ⦋a,b⦌. Si existe una función F, definida por y=F(x), ⩝x ϵ⦋a,b⦌, también continua; para lo cual se verifica que F’(x)= f(x), ⩝x ϵ⦋a,b⦌; a tal función F se le llama primitiva de la función f en ⦋a,b⦌. La integral indefinida, al no tener límites definidos se le agrega una “C” que es llamada la constante de integración.

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EJEMPLO 01: Resolver ∫ 𝟑 ∗ √𝒙 + √𝒙 𝒅𝒙 (Análisis Matemático I, Moisés Lázaro) 𝟑

SOLUCION

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EJEMPLO 02: 3

Resolver ∫ √𝑥^2 + 2 𝑑𝑥 (Análisis Matemático I, Moisés Lázaro)

SOLUCION

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Integral definida: también conocida como Integral de Rieman. Al valor límite de la suma integral cuando la norma de la participación tiende a cero o el número de subintervalos tiende al infinito; le llamaremos “Integral definida”, correspondiente a la función f en el intervalo ⦋a,b⦌; siempre que el límite exista, para un número grande de particiones y sea independiente de la forma de ubicar los puntos del refinamiento. EJEMPLO 03: Resolver

+𝟏 ∫−𝟏 𝟐

∗ 𝒙𝟑 + 𝒆𝒙 𝒅𝒙 (Análisis Matemático I, Moisés Lázaro)

SOLUCION

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GRÁFICA

GRAFICA:

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EJEMPLO 04: Resolver

+𝟒 ∫−𝟑 𝟓

∗ 𝒙𝟑/𝟒 + 𝟑𝒙 𝒅𝒙 (Análisis Matemático I, Moisés Lázaro)

SOLUCION

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GRAFICA:

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𝑏

Integrales impropias: al definir ∫𝑎 𝑓 se tiene en cuenta dos condiciones: i. ii.

Que a y b sean finitos. Que f sea acotada en ⦋a,b⦌

Si una integral definida no cumple, simultáneamente las 2 condiciones dadas anteriormente, se denomina Integral Impropia o lo que es lo mismo Integral Generalizada.

Resolver

∞ ∫𝟎 𝒙𝟑

EJEMPLO 05: + 𝟔 𝒅𝒙 (Análisis Matemático I, Moisés Lázaro)

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SOLUCION

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GRAFICA

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EJEMPLO 06: Resolver

𝟔 ∫−∞ 𝒙𝟑

+ 𝟔 ∗ 𝒆𝒙 𝒅𝒙(Análisis Matemático I, Moisés Lázaro) SOLUCION

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GRAFICA:

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REVISIÓN DE BIBLIOGRAFÍA     

Análisis Matemático I, Ing. Horacio Urteaga. Análisis Matemático II, Ing. Horacio Urteaga. https://www.mathway.com/es/Calculus Análisis Matemático I, Moisés Lázaro. Espinoza, E. (2002). Análisis Matemático I.Perú

PÁGINAS WEB CONSULTADAS. 

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Deri vada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm



http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/CalculoII/2012-13/Sucesivas.pdf

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA facultad de ingeniería escuela académica profesional de ingeniería civil

AVANCE N˚3: EL PROGRAMA MATEMÁTICO MATHWAY

CURSO: ANÁLISIS MATEMÁTICO II GRUPO: D

DOCENTE: Ing. HORACIO URTEAGA BECERRA

ALUMNOS: BRIONES ARMAS, DIEGO JOSÉ CERQUÍN MINCHÁN, JULIO CÉSAR CHAVEZ VARGAS, RICHARD ESCOBAL GARCÍA, LUIS ENRIQUE

SEMESTRE ACADÉMICO: 2017-1

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Cajamarca, 7 de julio del 2017

CAPÍTULO VI: Aplicación Matemático en el Estudio de Funciones Reales de dos y tres variables reales CÁLCULO DE DOMINIOS 5. Definición: Sea D un conjunto de pares ordenados (x, y), de números reales, D  R2 . Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f (x, y). El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función. Ejemplo de Aplicación 1: Dada la función 𝑧 = √9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , calcular su dominio e interpretarlo como una región plana. Luego graficar la función. Solución: 1) S: 𝑧 = √9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 2) Dz: 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0 → 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9 Dz: {(𝑥, 𝑦)/𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9}

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Desarrollo MATHWAY:

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GRÁFICAS:  Programa Graphing Calculator 3D Gráfica 2D:

Gráfica 3D:

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

Autocad: Gráfica 2D:

Gráfica 3D:

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Ejemplo de Aplicación 2: Hallar el dominio de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 √16−𝑥 2 −4𝑦 2

e interpretarlo geométricamente como una región plana.

Solución: 1) 𝑓(𝑥, 𝑦) =

1 √16−𝑥 2 −4𝑦 2

2) Dominio: Df 𝑥2

Df: 16 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 > 0 → x 2 + 4𝑦 2 < 16 → 16 + 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦)/

𝑦2 4

0, no importando que tan (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )

pequeño, existe un número 𝛿 > 0, tal que: |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 siempre que 0 < √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 < 𝛿, donde 𝛿 = 𝛿(𝜀) (Urteaga-2005) La notación del cálculo de un límite de una función de varias variables es:

.

Para que exista la posibilidad de calcular el límite debemos tener presente varias cosas: El valor (x0,y0) no tiene porqué pertenecer al dominio de f(x,y), pero los valores alrededor de él sí. Es decir, los valores de (x,y) mediante los que definimos el acercamiento a (x0,y0) A diferencia de las funciones de una variable, f:R→R, donde el acercamiento al punto sólo tenía dos posibilidades (límites laterales por izquierda y derecha), en el caso de funciones de dos variables, f:R2→R, las opciones de acercamiento son infinitas, puesto que en el plano XY donde se define el dominio de estas funciones se pueden definir infinitas trayectorias lineales para desplazar un punto genérico (x,y) al punto del límite (x0,y0) . Para poder afirmar que el límite de la función existe en (x0,y0) los cálculos realizados por las infinitas trayectorias de acercamiento deben existir y ser iguales. Existen trayectorias de acercamiento de interés especial que veremos más adelante:  Acercamiento por los ejes, que llamamos límites parciales o límites iterados.  Acercamiento mediante rectas, o límite por rectas.  Acercamiento por parábolas, o límite por parábolas.  Acercamiento mediante coordenadas polares.  El límite de una función en un punto, si existe, es único.

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Límite de dos variables: Ejemplo de Aplicación 1: Resolver:

5𝑥 2 ∗𝑦 2

lim

(𝑥,𝑦)→(1,2) 𝑥 2 +𝑦 2

Solución: 5𝑥 2 𝑦 (𝑥,𝑦)→(1,2) 𝑥 2 + 𝑦 2 lim

5 ∗ (1)2 ∗ 2 (𝑥,𝑦)→(1,2) 12 + 22 lim

5 ∗ (1)2 ∗ 2 =2 (𝑥,𝑦)→(1,2) 12 + 22 lim

Ejemplo de Aplicación 2: Resolver:

lim

𝑥 2 −𝑦 2

(𝑥,𝑦)→(1,−1) 𝑥+𝑦

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano”

Solución: 𝑥2 − 𝑦2 (𝑥,𝑦)→(1,−1) 𝑥 + 𝑦 lim

0

Límite de la forma de la forma:

0

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) (𝑥,𝑦)→(1,−1) 𝑥+𝑦 lim

lim

(𝑥,𝑦)→(1,−1)

𝑥−𝑦

1 − (−1) = 2 Límite de tres variables: Ejemplo de Aplicación 1: Resolver:

lim

(𝑥,𝑦)→(1,−1,−2)

𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧

Solución: lim

(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,−1,−2)

𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧

lim

12 − (−1)2 + (−2)

lim

𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 = −2

(𝑥,𝑦,𝑧)→(1,−1,−2)

(𝑥,𝑦)→(1,−1,−2)

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD.

1. Definición: La función 𝑓 de dos variables 𝑥 ∧ 𝑦, se dice que es continua en el punto (𝑥0 , 𝑦0 ); si y sólo si se verifican, las tres condiciones. 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) existe. lim 𝑓(𝑥, 𝑦) existe. (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 3𝑥 2 𝑦

; 𝑠𝑖(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) Ejemplo de Aplicación 1: Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 2 +𝑦 2 }; determinar si (𝑥, 0; 𝑠𝑖 𝑦) = (0,0) 𝑓 es continua en (0,0) Solución: 𝑓(0,0) = 0 Verificando que existe el límite:

lim

3𝑥 2 𝑦

(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2

a) Sea 𝑆1 un conjunto de puntos del eje x. 3𝑥 2 (0) lim y→0 𝑥 2 + (0)2

b) Sea 𝑆2 un conjunto de puntos de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥. 3(𝑥)2 (𝑚𝑥) x→0 𝑥 2 + (𝑚𝑥)2 lim

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c) Sea 𝑆3 un conjunto de rectas de la parábola 𝑦 = 𝑥 2 . 3𝑥 2 𝑦 3𝑥 2 𝑥 2 3𝑥 4 3𝑥 2 = lim = lim = lim =0 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦→0 𝑥 2 + 𝑥 2 2 𝑦→0 𝑥 2 + 𝑥 4 𝑦→0 1 + 𝑥 2 lim

d) Se concluye que:

lim

3𝑥 2 𝑦

(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦 2

lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

=0 = 𝑓(0,0)

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0,0)

Ejemplo de Aplicación 2: Analizar la continuidad de la función: ℎ = 𝑒 𝑥

2 +5𝑥𝑦+𝑦 3

Solución: Redefiniendo ℎ como la composición de dos funciones:

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DERIVADAS PARCIALES PRIMER ORDEN

1) Definición: La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior. (MOISES LAZARO. Calculo I. 1995 pág. 56)

Ejercicios sacados del libro de Análisis matemático I del Ing. Horacio Urteaga B. Pág. 142 Ejemplo de Aplicación 1 𝑦=

𝑥2 − 1 𝑥 2 − 5𝑥 + 6

Desarrollo en MATHWAY:

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(−5)𝑥 2 + 14𝑥 − 5 𝑦′ = 4 𝑥 − 10𝑥 3 + 37𝑥 2 − 60𝑥 + 36

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” Ejemplo de Aplicación 2 𝑥4 + 8 𝑦= 3 𝑥 +1 Desarrollo en MATHWAY:

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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR 1. Definición: Si tenemos z f = (x, y), sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez de las mismas variables. Esto es:

∂z = fx(x, y) ∂x ∂z = fy(x, y) ∂y Ejemplo de Aplicación 1: 𝑧=

4 √𝑥 3𝑦 2 + 1

Solución:



∂z ∂x

= fx(x, y) 1

∂z 2x −2 = ∂x 3𝑦2 + 1 ∂z = ∂x 

∂z ∂y

2 1

x −2 ∗ (3𝑦2 + 1)

= fy(x, y) 1

∂z 0 ∗ (3y 2 + 1) − 6𝑦(4𝑥 2 ) = (3𝑦2 + 1)2 ∂y ∂z −24𝑦√𝑥 = ∂y (3𝑦2 + 1)2

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DERIVADAS DIRECCIONALES 1. Definición: Sea f una función de dos variables x ^ y. Si 𝑢 ⃗ es el vector unitario cos 𝜃𝑖 + sin 𝜃𝑖 = 𝑢 ⃗ , la derivada direccional de f en la dirección del vector 𝑢 ⃗ , está definida por: 𝑓(𝑥 + ∆𝑠 cos 𝜃, 𝑦 + ∆𝑠 sin 𝜃) − 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐷𝑢⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑠 , 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 (Urteaga-2005) En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados. (Bombal-1988) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) En la dirección del vector: 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ) Es la función definida por el límite: 𝑓(𝑥 + ℎ𝑣 ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝐷𝑣⃗ 𝑓 = lim

(Bombal-1988) Ejemplo de Aplicación 1: Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 ^ 𝑠𝑖 𝑢 ⃗ es 𝜋 el vector unitario, en la dirección 𝜃 = 6 , hallar 𝐷𝑢⃗ 𝑓. Solución: 𝜋 𝜋 1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥, 𝑢 ⃗ = cos 6 𝑖 + sin 6 𝑗 𝜋

𝜋

2) 𝐷𝑢⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (cos 6 𝑖 + sin 6 𝑗) ∗ (𝐷𝑥 (3𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 )𝑖 + 𝐷𝑦 (3𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 )𝑗) 1 √3 𝐷𝑢⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( 𝑖 + 𝑗) ∗ [(6𝑥 + 4)𝑖 + (−2𝑦)𝑗] → 𝐷𝑢⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) 2 2 = 3√3 + 2√3 − 𝑦 (Urteaga-2005)

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

GRÁFICA: Programa Mathway:

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GRADIENTE. 1. Definición: Si 𝑓 es una función derivable de las variables 𝑥 ∧ 𝑦, entonces el gradiente de 𝑓, denotado por ∇ 𝑓, está definido por: ∇ 𝑓(𝑥, 𝑦)=𝐷𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝐷𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑗 Ejemplo de Aplicación 1: Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦)=3𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 ∧ 𝑠𝑖 𝑢 es el 𝜋 vector unitario, en la dirección 𝜃 = 6 , hallar 𝐷𝑢 𝑓 . Solución: Desarrollo en MATHWAY:

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INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES. 1. Definición: Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy. Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa. Ejemplo de Aplicación 1: 1

1+𝑥

∫ ∫

2𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥

√𝑥

0

Solución: 1

1+𝑥

∫ [∫ 0

2𝑥𝑦 𝑑𝑥]

√𝑥 1

∫ [𝑥𝑦 2 ] 𝑑𝑥 0

1

2

∫ [𝑥(1 + 𝑥)2 − 𝑥(√𝑥) ] 𝑑𝑥 0

1

∫ (𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 0

𝑥2 𝑥3 𝑥4 + + 2 3 4 R: 1.083

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Ejemplo de Aplicación 2: 1

𝑧

√

𝑥 𝑧

∫ ∫ ∫ 2𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 0

1 1

0 𝑧

√

𝑥 𝑧

∫ ∫ 2𝑥𝑧 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 0

1 1

0 𝑧

∫ ∫ 2𝑥𝑧 ( 0

0

∫

2 (𝑧 3

0

𝑥 ) 2𝑧

− 1) 𝑑𝑧 3

1 𝑧4 ( − 𝑧) 3 4 1 24 ( − 2) 3 4 2

R: 3

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA SUMA INTEGRAL PARA INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES 1. Definición: Cuando en la integral doble se pasa de las coordenadas rectangulares x e y a las polares r, 𝜃, relacionados con las primeras por las expresiones. 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 Se verifica la fórmula: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃 (Espinoza-2007) Ejemplo de Aplicación 1: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, donde el recinto S está limitado por la lemniscata (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 𝑎2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) Solución:  Pasando a coordenadas polares x = r cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 𝑟 4 = 𝑎2 𝑟 2 cos 2𝜃 𝑟 = 0, 𝑟 = 𝑎√𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝜋 4

√𝑐𝑜𝑠2𝜃

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜃 ∫ − 5𝜋 4

𝜋 4

0 √𝑐𝑜𝑠2𝜃

+ ∫ 𝑑𝜃 ∫ 3𝜋 4

𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃)𝑑𝑟

𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃)𝑑𝑟

0

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

GRÁFICAS: Programa Graphing Calculator 3D

Como se puede apreciar, por problemas gráficos, la función queda distorsionada.

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INTEGRACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA SUMA INTEGRAL PARA INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS 1. Definición: En geometría plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace posible que recordemos la conexión entre coordenadas polares y cartesianas. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas y coordenadas polares , entonces , de la figura, ,

En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas, llamadas coordenadas cilíndricas, que es semejante a las coordenadas polares y da descripciones cómodas de algunas superficies y sólidos que por lo general se presentan. Como veremos algunas integrales triples son mucho más faciles de evaluar en coordenadas cilíndricas. En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado , donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P.

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Ejemplo de Aplicación 1: Calcular el volumen del cuerpo limitado por el cono 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 y la esfera 𝑧 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 z≥0 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠ѳ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛ѳ 𝑧=𝑧 2 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 

Autocad:

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𝑟 2 + 𝑟 2 = 16

𝑟 = 2√2

𝑟 ≤ 𝑧 ≤ √16 − 𝑟 2 0 ≤ 𝑟 ≤ 2√2 √16−𝑟 2 2𝜋 2√2 𝑑𝜃 𝑑𝑟 𝑟𝑑𝑧 ∫ ∫ 0 0 𝑟 2𝜋 2√2 ∫ 𝑑𝜃 ∫ 𝑟√16 − 𝑟 2 − 𝑟 2 𝑑𝑟

V=∫

0

0 2𝜋

∫ 0

−√16 − 𝑟 2 𝑟 3 𝑑𝜃[ − ] 3 3

𝑉=

64𝜋(2 − √2) 3 𝑢 3

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FUNCIONES VECTORIALES: GRÁFICAS, LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES 1. Definición: Una función del tipo 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 se le denomina función vectorial o campo vectorial. Si m = 1, tenemos 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 𝑛 → 𝑅, se le denomina Función Escalar, Campo Escalar, o Función de Varias Variables. Si 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 2 → 𝑅, tenemos una función de dos variables. Si 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 3 → 𝑅, tenemos una función de tres variables. Si n = 1, tenemos 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 → 𝑅 𝑚 , se le denomina Trayectoria o Curva. (Villena-2003) 2 3 Ejemplo de Aplicación 1: Sea 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , tal que 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 3𝑥 + 5𝑦) Solución: Esquemáticamente tenemos:

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CAPÍTULO VII: Aplicaciones del programa matemático a la ingeniería civil. Este programa tiene varias aplicaciones a la carrera de Ingeniería Civil, tal es el caso de ayudarnos a resolver problemas donde el uso de integrales es prioritario; como por ejemplo en problema de Estática en donde se usa integrales para hallar el centroide de una estructura, el cual es necesario para hallar el punto exacto donde se concentran las fuerzas de una estructura. Otra aplicación se da en los cursos de Dinámica, Fluidos; asimismo hacemos mención del tener a mano un programa que nos ayudaría a resolver el dilema de crear una carretera a raíz de un modelo matemático. Dicho modelo matemático debe ser una expresión algebraica, que sea derivable, ya sea de manera entera o de forma parcial, y que al graficar recree la forma del lugar por donde se desea realizar la carretera. El programa GRAPHING CALCULATOR 3D es excelente opción al crear gráficas de manera exacta y dinámica; por otra parte el programa MATHWAY es una excelente calculadora en línea que sería el complemento perfecto para el GRAPHING CALCULATOR 3D. Dicho esto se dará un ejemplo para explicar de manera más eficiente el uso de estos 2 programas matemáticos aplicados a la ingeniería civil. Ejemplo de Aplicación 1: La superficie de una montaña está representada por el modelo matemático 𝒛 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟐 ∗ 𝒙𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒚𝟐 , donde la distancia se mide en metros, el eje x apunta al este y el eje y hacia el norte. Un hombre se encuentra en el punto de coordenadas (-1, 5, 8): a. ¿Cuál es la dirección de máxima inclinación para el ascenso? b. Si el hombre se desplaza en la dirección noroeste, ¿asciende o desciende y a qué velocidad? c. Si el hombre se desplaza en la dirección sureste, ¿asciende o desciende y a qué velocidad? d. ¿En qué dirección, el hombre recorre una curva de nivel? Solución: Paso 01: Graficamos el modelo matemático en el GRAPHING CALCULATOR 3D y escalamos a la parte que nos ayude a solucionar el problema

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IMAGEN 7.1: Modelo matemático de la montaña y el punto donde se encuentra la persona. Paso 02: Resolvemos los ítems que pide el problema a. Dirección de máxima inclinación: ⃗𝛁𝒇(−𝟏, 𝟓, 𝟖) Sea z = f(x, y) → f(x, y) = 900 − 2 ∗ x 2 − 2 ∗ y 2 ⃗∇𝑓(−1,5,8) = 𝐷𝑥𝑓(−1,5,8)𝑖 + 𝐷𝑦𝑓(−1,5,8)𝑗

IMAGEN 7.2: Determinación de las derivadas parciales Dxf y Dyf respectivamente. ⃗ 𝑓(−1,5,8) = 4𝑖 − 20𝑗 … (1) ∇ b. Si el hombre camina en la dirección noroeste: 𝜽 = 𝟏𝟑𝟓° Para hallar el ángulo nos ayudamos de la siguiente gráfica:

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IMAGEN 7.3: Orientación de la montaña y de la dirección NO que toma la persona. 𝑢 ⃗ = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗 𝑢 ⃗ = cos 135° 𝑖 + sin 135° 𝑗 √2 √2 𝑢 ⃗ =− 𝑖+ 𝑗 2 2 𝐷u ⃗ 𝑓(−1,5,8) = [𝐷𝑥𝑓(−1,5,8)𝑖 + 𝐷𝑦𝑓(−1,5,8)𝑗] ∗ 𝑢 ⃗ √2 √2 𝐷u ⃗ 𝑓(−1,5,8) = [4𝑖 − 20𝑗] ∗ (− 𝑖+ 𝑗) 2 2 𝐷u ⃗ 𝑓(−1,5,8) = −12 ∗ √2 El hombre desciende con una velocidad de = −12 ∗ √2 𝑚/𝑠𝑒𝑔. c. Si el hombre se desplaza en la dirección sureste = 𝜽 = 𝟑𝟏𝟓° Para la obtención del ángulo hicimos un proceso similar al hecho en el ítem “b”

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IMAGEN 7.4: Orientación de la montaña y de la dirección SE que toma la persona. 𝑢 ⃗ = cos 𝜃 𝑖 + sin 𝜃 𝑗 𝑢 ⃗ = cos 315° 𝑖 + sin 315° 𝑗 √2 √2 𝑢 ⃗ = 𝑖− 𝑗 2 2 𝐷u ⃗ 𝑓(−1,5,8) = [𝐷𝑥𝑓(−1,5,8)𝑖 + 𝐷𝑦𝑓(−1,5,8)𝑗] ∗ 𝑢 ⃗ √2 √2 𝐷u ⃗ 𝑓(−1,5,8) = [4𝑖 − 20𝑗] ∗ ( 𝑖 − 𝑗) 2 2 𝐷u ⃗ 𝑓(−1,5,8) = 12 ∗ √2 El hombre asciende con una velocidad de = 12 ∗ √2 𝑚/𝑠𝑒𝑔. d. La dirección donde el hombre no desciende ni asciende, en otras palabras, recorre una curva de nivel Para la solución de este ejercicio nos vamos a ayudar del siguiente gráfico:

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IMAGEN 7.5: Montaña con sus curvas de nivel y la ubicación del hombre. Como no asciende ni desciende, se concluye que 𝐷u ⃗ 𝑓(−1,5,8) = 0 𝐷u ⃗ 𝑓(−1,5,8) = 𝐷𝑥𝑓(−1,5,8) ∗ cos 𝜃 + 𝐷𝑦𝑓(−1,5,8) ∗ sin 𝜃 = 0 4 ∗ cos 𝜃 − 20 ∗ sin 𝜃 = 0 20 ∗ sin 𝜃 = 4 ∗ cos 𝜃 sin 𝜃 4 = cos 𝜃 20 tan 𝜃 =

1 5

𝜃 = tan−1

1 5

𝜃 = 11.3099° 𝜃 ≈ 11.31°

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CAPÍTULO VIII: VENTAJAS DEL PROGRAMA MATEMÁTICO Si bien el programa matemático que tratamos no cumplió con todas nuestras expectativas, no obstante, entregó resultados que cumplieron con lo estudiado en clase; la ventaja de este programa sobre los otros programas fue en la facilidad con la que se puede acceder a este; esto se debe a que no se debe instalar un software para poder utilizarlo ya que es completamente usado vía página web. Además, nos da opciones para la solución de problemas de diferente índole, tal es el caso de resolución de ejercicios geométricos, trigonométricos, estadísticos, entre otros. Asimismo, cuenta con una aplicación para los teléfonos con sistema Android, el cual puede ayudarnos a resolver integrales simples haciéndonos los cálculos más fáciles de obtener. Aplicado este programa a la ingeniería, nos ayudaría a solucionar integrales no muy complejas; esto es una gran ventaja en cursos como Estática y Dinámica, donde es fundamental para la obtención de centros de gravedad y movimientos de cuerpos respectivamente. Para finalizar, una de las desventajas del programa es en el tiempo que toma para realizar gráficas en 3D, por lo cual nos vimos en la necesidad de usar AUTOCAD, EXCEL y GRAPHING CALCULATOR 3D para realizar este tipo de gráficas. El GRAPHING CALCULATOR 3D nos dio buenos resultados al crear fielmente las gráficas en 3D, ya que solo bastó introducir la ecuación para la creación de la gráfica en 3D y de la misma forma poder ver de forma dinámica las vistas que nos ofrece la figura creada en este programa.

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“Año del Buen Servicio al Ciudadano” REVISIÓN DE BIBLIOGRAFÍA    

Análisis Matemático II, Ing. Horacio Urteaga. https://www.mathway.com/es/Calculus Espinoza Ramos, E. (2002). Análisis Matemático III.Perú Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988

PÁGINAS WEB CONSULTADAS. 

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Deri vada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm



http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/CalculoII/2012-13/Sucesivas.pdf

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