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COMPLEJOS I 1.- Resolver en el conjunto de los números complejos (C)1 las ecuaciones: 2 2 4 4 2 a) x +4=0 b) x –2x+2=0 c) 16x –1=0 d) x –x –2=0 Soluciónes: a) x1=2 i, x2= -2 i ; b) x1 = 1+i, x2=1-i ; c) x2 =1/2, x2 =i/2, x3 =-1/2, x4 =i/2; d) x2 = 2 , x2 =- 2 , x3 = i, x4 = -i

2.- Calcular las siguientes potencias de i. 3 9 32 a) i b) i c) i

d) i -1

e) i

-82

Soluciónes: a) - i ; b) i, ; c) 1 ; d) -i ; e) -1

3.- Escribir en forma binómica y dar el módulo y argumento de

1 + 3i 3+i

Soluciónes: z = 3 + 4 i; | z |= 1; 5

4.- a) Escribir en forma binómica el complejo z =

5

π 4 0 < arg( z ) =arctg ( ) < 3 2

2 + ai 1− i

b) Hallar a para que z sea un imaginario puro. Solución: a) z = a − 2 + a + 2 i ; 2

2

b) a= 2

1 + mi 1 − mi b) Hallar m para que el módulo de w sea 1.

5.- a) Escribir en forma binómica w =

2 Solución: a) w = 1 − m +

m2 + 1

2m

i;

b) ∀ m∈ℜ

m2 + 1

 ( 2 − i )z + 4w = 5 − 2i 6.- Resolver el sistema  2i  ( 1 + i )z + iw = (Solución z=i, w=1-i)

7.- Hallar dos números complejos sabiendo que . su diferencia es un número real (parte imaginaria 0), su suma tiene de parte real 2 y su producto vale –51+8i. (Solución 7+4i, -5+4i)

(1)

En el conjunto de los números complejos toda ecuación de grado n tiene n soluciones