• Author / Uploaded
• Bryan Melgarejo

Citation preview

Capítulo 5

Problemas Propuestos Capitulo 5: Torsión Formulario: 4

4

Ip=( De −Di ) ∅=

T G Ip

π 32

T=

cv=

Tn 71600

τ=

Tρ Ip

θ=

TL GIp

ρ=

D 2

71.600∗cv n

19.-Si un árbol circular macizo de 30 mm de diámetro está sometido a un par T de 2.500 kg-cm que produce un ángulo de torsión de 3,38 grados en una longitud de 1,5 m, determinar el módulo cortante del material. Sol. G = 8 x 10 5 kg/cm 2 Datos: T= 2.500 Kg-cm Θ= 3,38 grados = 0,058992128 rad L= 1,5 m = 150cm De= 30 mm =3 cm G=? Formulas:

Ip=( De4 −Di 4)

4

Ip=(3 cm )

π 32

π 32

θ=

TL GIp

= 7,95cm4

Despejando G de la formula general nos queda:

G=

TL θIp

Entonces:

G=

2500 Kg−cm∗105 cm =¿ 799378,1747Kg/cm2 ≈ 8*105Kg/cm2 0,058992128∗(7,95 cm) ⁴

20.-Considerar un árbol circular hueco de diámetro exterior 12,5 cm e

interior 7,5 cm. Por la experiencia se ha de terminado que la tensión cortante en las fibras interiores es de 600 kg/cm 2. ¿Cuál es la tensión cortante en las

Capítulo 5

exteriores? Sol. 1.000 kg/cm2 Datos: De = 12,5 cm Di = 7,5 cm

τ

exterior =?

Ρ= D /2 = 3,75cm; exterior = 6,25cm Formulas:

ρ=

D 2

;

τ=

Tρ Ip

Ip=( De4 −Di 4)

π 32

Entonces de la formula de tensión cortante: 600 Kg/cm2=

T 3,75 cm ((12,5 cm)4−(7,5 cm)4 )

π 32

Entonces: 600 Kg 4 4 π ∗((12,5 cm) −(7,5 cm) ) cm2 32 T= 3,75 cm

= 9817,48 Kg-cm

Como la fuerza para interior y exterior es igual 12,5 cm ¿ ¿ 7,5 cm ¿ = 1000 Kg/cm2 ¿ ¿ 9817,48 Kg−cm6,25 cm τ= ¿

21.-Determinar la tensión cortante máxima en un árbol macizo de 10 cm de diámetro que soporta un par de 228.000 kg-cm. ¿Cuál es el ángulo de torsión

Capítulo 5

por unidad de longitud si el material es acero para el cual G = 8,4 x 105 kg/cm2? Sol. 1.160 kg/cm2, 0,000276 rad/cm Datos: D= 10cm T= 228.000 Kg-cm P= 5cm .τ =? Ø= ? G= 8,4 x 105 kg/cm2

Formulas:

∅=

T G Ip

;

Ip=( De4 −Di 4)

π 32

;

τ=

Tρ Ip

Entonces con las formulas:

Ip=(10 cm 4 )

π 4 32 = 981,75 cm ;

τ=

228.000 Kg−cm∗5 cm 981,75 cm ⁴

= 1161,19 Kg/cm2

Ø= por unidad de longitud

∅=

228.000 Kg−cm 5 kg 8,4 x 10 ∗981,75 cm ⁴ cm ²

= 0,000276 rad/cm

22.-Determinar la potencia máxima que puede transmitir un árbol macizo de acero de 55 mm de diámetro a 250 rpm si la tensión de trabajo del acero es 750 kg/cm 2. Sol. 86 CV Datos: D = 55mm = 5,5 cm N =250 rpm

Capítulo 5

.τ = 750 Kg/cm2 P= 2.75cm Formulas:

cv=

Tn 71600

4

4

Ip=( De −Di )

;

π 32

;

τ=

Tρ Ip

Entonces: 4

Ip=((5,5 cm) )

π 32

= 89,84 cm4

Si mesclo las 2 formulas de cv y de tensión cortante

750 Kg ∗89,84 cm ⁴∗250 RPM cm² cv= 71600∗2,75 cm

τ

obtengo lo siguiente:

=85,6 ≈ 86

23.-Un árbol hueco de acero de 5,50 m de longitud tiene un diámetro

exterior de 125 mm y uno interior de 6,25 mm y está conectado a una máquina que produce 250 CV a una velocidad de 150 rpm. Calcular la tensión cortante máxima en el árbol y la torsión en los 5,50 m de longitud. Tomar G = 8,4 x 10 5 kg/cm 2 . Sol. 330 kg/cm2, 0,0348 rad

Datos: L= 5,5 m = 550 cm De = 125mm = 12,5 cm /2 =P = 6,25cm Di = 6,25mm = 0,625cm /2 p= 0,3125cm Cv= 250 N= 150rpm G=8,4 x 105 kg/cm2 .τ =?

Θ=?

Formulas:

Ip=( De4 −Di 4) Entonces

π 32

cv=

Tn 71600

τ=

Tρ Ip

θ=

TL GIp

ρ=

D 2

Capítulo 5

Ip=( ( 12,5 cm )4− ( 0.625 cm) 4 )

π 4 32 = 2396,83 cm

Despejando par (T) de la formula de potencia (cv) obtenemos:

T=

τ=

θ=

71.600∗cv n

=

71.600∗250 = 119333,33 Kg-cm 150 rpm

119333,33 Kg−cm∗6,25 cm 2396,83 cm ⁴ 119333,33 Kg−cm∗550 cm kg 8,4 x 105 ∗2396,83 cm ⁴ cm²

= 311,17 Kg/cm2

= 0.03259927

24.-Un eje de hélice de barco tiene 35 cm de diámetro. La tensión de trabajo

en cortante admisible es de 500 kg/cm 2 y el ángulo de torsión admisible de 1º en 15 diámetros de longitud. Si G = 8,4 x 105 kg/cm2, determinar el par máximo que puede transmitir el árbol. Sol. 4.114.000 kg-cm Datos: D =35 cm .τ = 500 kg/cm2

Θ= 1º en 15 diámetros de longitud G = 8,4 x 105 kg/cm2 T =? El largo se calcula segun lo anterior 15 veces el diámetro= 15*35=525 cm

Formulas: 4

4

Ip=( De −Di )

π 32

;

τ=

Tρ Ip

;

Entonces:

Ip=((35 cm)4 )

π 32

= 147.323,52cm4

θ=

TL GIp

Capítulo 5

Como no se trabajan en grados hay que pasar al formula a radianes;(2π= 360º), y nos queda de la siguiente manera:

θ=

TL GIp

de esta fórmula deducimos el par.

5

kg

2 π∗8,4 x 10 cm² ∗147.323,52 cm ⁴ T= 360∗525 cm

= 4.114.048,64 Kg-cm

25.-Considerar el mismo árbol del Problema 24, pero con un agujero axial de 17,5 cm en toda su longitud. Las condiciones de tensión de trabajo y de ángulo de torsión siguen siendo las mismas. ¿En qué porcentaje se reduce la capacidad de soportar carga torsional? Sol. 6,25% Datos: Di= 17,5 cm De= 35 cm .τ= 500kg/cm2

Θ= 1º T=? Formulas:

Ip=( De4 −Di 4) ∅=

T G Ip

π 32

T=

cv=

Tn 71600

τ=

Tρ Ip

71.600∗cv n

Entonces:

35 cm ¿ 4 π ( ¿ ¿ 4− ( 17.5 cm ) ) =138.115,8 cm 4 32 Ip=¿

500 kg/cm 2=

T∗17,5 cm 138.115,8 cm 4

= T =3.946.165,6 Kg-cm

3.946.165,6 kg-cm = x%

4.114.048,64 kg-cm= 100% X%= 93,75% entonces 100% - 93,75% = 6,25%

θ=

TL GIp

ρ=

D 2

Capítulo 5

27.-Un árbol hueco de acero debe transmitir 7.500 CV a 120 rpm. Si la

tensión cortante admisible es de 850 kg/cm 2y la relación del diámetro exterior al interior es 2, determinar el diámetro exterior. Hallar, además, el ángulo detorsión en una longitud de 12 m. G = 8,4 x 10 5 kg/cm 2. Sol. 30,6 cm. 4,55º Datos: Cv= 7500 N= 120rpm G = 8,4 x 10 5 kg/cm 2 . L= 12m .τ= 850 kg/cm2 De =? Θ =? T=?

Formulas:

T= θ=

71.600∗cv n

4 4 π ; Ip=( De −Di ) 32

cv=

Tn 71600

τ=

Tρ Ip

TL GIp

Entonces:

T=

71.600∗7500 =4475000 Kg−cm 120

ρ=

D 2

mas la formula

Ip=( De4 −Di4 )

π 32

y esta formula

obtengo la siguiente fórmula:

De ³=

8∗32∗T π∗τ∗15

De ³=

8∗32∗4475000 kg−cm =30,58 cm π∗850 kg/cm ²∗15

Remplazando los datos obtenemos

τ=

Tρ Ip

Capítulo 5

θ=

4475000∗1200∗32 =0,0792220599rad =4,54⁰ 5 kg 4 4 8,4 x 10 ∗π∗( ( 30,6 cm ) −( 15,3 cm ) ) cm ²

28.-Determinar el diámetro de un árbol macizo de acero que ha de transmitir 200 CV a una velocidad de 250 rpm si la tensión cortante admisible es de 850 kg/cm2. Determinar, asimismo, las dimensiones de un árbol hueco de acero cuyo diámetro interior es tres cuartos del exterior para las mismas condiciones. ¿Cuál es la relación entre los ángulos de torsión por unidad de longitud de esos dos árboles? Sol. Diámetro = 7,00 cm, diámetro exterior = 7,95 cm, relación = 0,88 Datos: Cv= 200 N= 250rpm .τ= 850 kg/cm2 G = 8,4 x 10 5 kg/cm 2 . De=? Di=? Pero Di=3/4De. Formulas:

4

4

Ip=( De −Di ) T=

π 32

τ=

Tρ Ip

θ=

TL GIp

ρ=

D 2

71.600∗cv n

Entonces:

T=

71.600∗200 250

= 57.280kg-cm

Al igual que el ejercicio anterior mezclo las siguientes formulas y los datos ρ=

De 2

y

Ip=( De4 −Di 4)

Remplazando:

π 32

obtengo:

De ³=

128∗32∗T π∗τ∗175

Capítulo 5

De ³=

128∗32∗57.280 kg−cm =7.95 cm kg π∗850 ∗175 cm²

El diámetro menor se obtiene con la siguiente fórmula: 32∗T Di ³= π∗τ∗2

=

Di ³=

32∗57.280 kg π∗850 ∗2 cm²

= 7,00cm

La relación entre los diámetros es: Di/De= 7,00cm/7,95cm =0,881

29.-Considerar un árbol circular macizo que transmite 1.800 CV a 350 rpm. Determinar el diámetro necesario para que (a) no se torsione un ángulo superior a 1 grado en una longitud de 20 diámetros y (6) la tensión cortante no exceda de 650 kg/cm 2. El árbol es de acero para el cual G = 8,4 x 10 5 kg/cm2. Sol. 17,2 cm Datos: Cv= 1800 N=350 rpm Θ = 1⁰= 0,018rad L= 20 De G = 8,4 x 10 5 kg/cm 2 .τ= 650 kg/cm 2

Formulas:

Ip=( De4 −Di 4)

π 32

cv=

Tn 71600

T=

71.600∗cv n

T=

71.600∗1800 =368.229 kg−cm 350

τ=

Tρ Ip

θ=

TL GIp

ρ=

D 2

Capítulo 5

Al igual que los 2 ejercicios anteriores se mezclan las 2 formulas θ=

TL GIp

4

4

Ip=( De −Di )

y

π 32

obtenemos:

De ³=

T∗32∗20 G∗π∗0,0184 rad

Remplazando obtenemos: De ³=

368229 kg−cm∗32∗20 5 kg 8,4 x 10 ∗π∗0,0184 rad cm ²

= 17,23 cm

30.-Un árbol compuesto está constituido por uno macizo de cobre de 65 cm de longitud y 10 cm de diámetro, unido a otro de 80 cm de longitud de acero macizo con 11,5 cm de diámetro. A cada extremo del árbol se aplica un par de 120.000 kg-cm. Hallar la tensión cortante máxima en cada material y el .ángulo de torsión de todo el árbol. Para el cobre, G = 4,2 x 10 5 kg/cm 2 , y para el acero, G = 8,4 x 10 5 kg/cm 2 . Sol. En el cobre, 610 kg/cm 2; en el acero, 400 kg/cm 2; θ = 0,0256 rad Datos: L cu= 65 cm D cu= 10cm T= 120000 Kg-cm

L ac = 80 cm D ac= 11,5cm

Gcu = 4,2 x 10 5 kg/cm 2 .τ cu=? Θ total=?

G ac= 8,4 x 10 5 kg/cm 2 .τ ac=?

Formulas:

4

4

Ip=( De −Di )

τcu=

π 32

τ=

Tρ Ip

θ=

TL GIp

120000 Kg−cm∗5 cm =611,15 kg /cm² 4 π∗( 10 cm) / 32

Capítulo 5

τac=

θtotal=

θtotal=

120000∗5,75 cm =401,84 kg/cm ² 4 π∗( 11,5 cm ) /32

T∗Lcu T∗Lac + Gcu∗Ip Gac∗Ip 120000 kg−cm∗65 cm 120000 kg−cm∗80 cm + kg kg ∗π ∗π 2 2 = 0,0256rad 5 cm 5 cm 4,2 x 10 ∗(10 cm)⁴ 8,4 x 10 ∗(11,3 cm)⁴ 32 32

31.-El árbol vertical y las poleas enclavadas a él pueden considerarse sin

peso. El árbol gira con velocidad angular uniforme. Los esfuerzos conocidos en las poleas son los indicados y las tres poleas están sujetas rígidamente al árbol, como se puede ver en la Fig. (a). Si la tensión de trabajo a cortante es de 530 kg/cm2, determinar el diámetro necesario para un árbol circular macizo. Despreciar la flexión del árbol producida por la proximidad de los apoyos de las poleas. Sol. 3,15 cm Datos: .τ= 530 kg/cm2 D=? Formulas: 4

4

Ip=( De −Di )

π 32

ρ=

D 2

τ=

Tρ Ip

T=F x r

Con la aplicación de la última: 150kg -120kg= 30kg

T= 30kg * 17,5cm = 525 kg-cm

400kg- 140kg= 260kg

T= 260kg* 12,5cm = 3250 kg-cm

530 kg/cm ²=

3.250 kg−cm∗D/2 π ∗D ⁴ 32

530 kg/ cm ²∗2 π∗¿ 32∗3250 kg−cm = 3,14cm De ³= ¿

Despejando D obtenemos:

Capítulo 5

32.-Determinar el número de pernos necesarios para unir dos árboles de 60

mm de diámetro cada uno que soportan un par de 110.000 kg-cm. La tensión cortante admisible en los pernos es de 850 kg/cm 2, el diámetro del círculo de pernos de 180 mm y el diámetro de los mismos de 20 mm. Sol. 5 pernos Datos: D=60mm =6cm T= 110000 kg-cm .τ= 850 kg/cm2

D perno circulo= 180mm =18cm =r =9cm D perno=20mm = 2cm

Formulas:

τ=

F A

F=

T r

A=

n∗π ∗d perno ² 4

Entonces: F=

110000 kg−cm 9 cm

=12.222,22kg

Capítulo 5

850 kg /cm²=

12.222,22 kg n∗π ∗2² 4

Despejando n obtenemos 4,57 ≈ 5

pernos. 33.-Considerar el árbol compuesto de acero representado en la Fig. Formado por dos barras macizas circulares. Se desprecia la concentración de tensiones en la unión de las dos. La tensión cortante máxima admisible es de 750 kg/cm 2 y el máximo ángulo de torsión admisible en los 150 cm de longitud, de 1 grado. ¿Cuál es la capacidad de resistencia a un par de este árbol? Para este material, G = 8,4 x 10 5 kg/cm 2. Sol. 51.500 kg-cm Datos: .τ=750 kg/cm2 G = 8,4 x 10 5 kg/cm 2 L=150cm Θ=1⁰= (π/180) T=? Formulas:

Ip=( De4 −Di 4) θtotal=

π 32

θ=

TL GIp

ρ=

D Tρ τ= 2 Ip

T 3∗L T 3∗L + G∗Ip G∗Ip

Despejando T de la formula de tensión cortante máxima obtenemos T de árbol de mayor diámetro

750 kg 4 ∗(10 cm ) ∗π 2 cm = 147.262,22 kg-cm T= 5 cm∗32

Ahora se despeja T con el árbol de menor diámetro:

750 kg 4 ∗(17,5 cm ) ∗π 2 cm =62.126,22 kg-cm T= 3,75 cm∗32

Capítulo 5

Con la siguiente formula calcularemos T3

θtotal=

T 3∗L T 3∗L + G∗Ip G∗Ip

π / 180=

T 3∗90 cm∗32 T 3∗60 cm∗32 + kg kg 8,4 x 10 5 ∗π∗(10 cm) ⁴ 8,4 x 105 ∗π∗(7,5 cm)⁴ 2 cm c m2

T3= 51.472,27 kg-cm

34.-Determinar los pares reactivos en los extremos empotrados del árbol

circular cargado con tres pares, representado en la Fig. .La sección de la barra es constante en toda su longitud. Sol. T¡ = 3.636 kg-cm, TD = 13.636 kg-cm Esta figura solo se realiza momento en los extremos ya que poseen 2 incógnita. MI =0

= -10.000 kg-cm*90cm -10.000kg-cm*180cm +30.000kg-cm*240cm -T D*330cm

Despejando TD obtenemos =13.636,32kg-cm Luego realizamos momento en el punto MD y llegamos a despejar TI planteamiento. MD =0

siguiente

=30.000kg-cm*90cm -10.000kg-cm*150cm -10.000kg-cm*240cm + T I*330 cm

Despejando TI obtendremos =3.636,36 kg-cm

Capítulo 5