17-18-19 JUNTOS
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 1. Ciclo 2012-I En un determinado mes se produjeron 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles. En
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
1.
Ciclo 2012-I
En un determinado mes se produjeron 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles. En el mes anterior hubo solo cuatro domingos. Entonces, el próximo mes incluirá necesariamente A) 5 domingos. C) exactamente 4 viernes. E) exactamente 4 jueves.
B) 5 miércoles. D) exactamente 4 sábados.
Resolución: 1) El mes determinado es la que se muestra (marzo). Observe que el mes anterior es febrero. Lu
Ma
Mi
Ju
Vi
Sa
Do
2) El próximo mes es la que se muestra (abril). Lu
Ma
Mi
Ju
Vi
Sa
Do
3) Por tanto el próximo mes incluirá necesariamente: exactamente 4 sábados Clave: D Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 18
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 2.
Ciclo 2012-I
En un año bisiesto se cuentan los días de la semana y se observa que hay más jueves y viernes que los demás días. ¿Qué día de la semana es el 15 de junio de ese año? A) martes
B) jueves
C) lunes
D) miércoles
E) domingo
Resolución: Dado que un año bisiesto tiene 366 días =52 semanas y 2 días. Debemos empezar con jueves y viernes: 1 de enero es jueves 2 de enero es viernes Así sucesivamente hasta llegar al 15 de junio. Total =30+29+31+30+31+15 = 166 = múltiplo(7) + 5 = martes Por lo tanto es martes 15 de junio Clave: A 3.
Considerando que hoy es lunes y que n(2n)1 días atrás, fue miércoles, ¿qué día será luego de 1(2n)n días? A) martes
B) jueves
C) lunes
D) viernes
E) miércoles
Resolución: 0
Retrocediendo desde lunes, hasta miércoles: n(2n)1 7 5 0
Entonces: 120n 1 7 5 n 4 0
Luego, debe de pasar:
184 7 2
Será miércoles. Clave: E 4.
La fiesta de HLM se realizó el día 14 de junio, un sábado del año bisiesto 2008. ¿Cuántos años tienen que pasar, a partir de ese momento, para que el 14 de junio sea nuevamente sábado? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Resolución: 1) Tenemos el siguiente proceso consecutivo: Año Tipo de año Día 14 de junio: 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Bisiesto Sábado Normal Domingo Normal Lunes Normal Martes Bisiesto Jueves Normal Viernes Normal Sábado
2) Por tanto pasarán 6 años para que el 14 de junio sea sábado nuevamente. Clave: C
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 19
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Ciclo 2012-I
Juan, el martes 11 de marzo de 1975, cumplió una edad que es igual a la suma de los dígitos del año en que nació. ¿Qué día de la semana nació? A) jueves
B) viernes
C) sábado
D) domingo
E) lunes
Resolución:
a=5 y b=5 Nació en 1955 del 11 de marzo 1975 a 11 marzo 1955 años transcurridos = 20 años bisiestos = 5 0
d.t = 20 + 5= 25 = 7 4 martes – 3 = viernes Clave: B 6.
Otto von Bismarck-Schönhausen fue político prusiano, artífice y primer canciller del segundo Imperio Alemán o Segundo Reich. Bismarck nació en Schönhausen, al noroeste de Berlín, el 1 de abril de 1815. ¿Qué día de la semana nació Bismarck, si el 1 de abril de 2012 fue domingo? A) sábado
B) jueves
C) lunes
D) viernes
E) martes
Resolución: Contaremos días transcurridos hasta abril del 2012 Años transcurridos = 2012 - 1815 = 197 2012 1816 Años bisiestos = 49 4 0
Días transcurridos serán: 197 + 49 = 246 = 7 1 Luego el 1 de octubre de 1815 es sábado. Clave: A 7.
Sir Andrew John Wiles nació en Cambridge, Inglaterra, el 11 de abril de 1953; es un matemático británico que alcanzó fama mundial en 1993 por la demostración del último teorema de Fermat. Si el 11 de marzo de 2012 fue domingo, ¿qué día de la semana nació Sir Andrew John Wiles? A) sábado
B) domingo
C) lunes
D) martes
E) miércoles
Resolución: 0
11 de marzo de 2012 domingo entonces + 31 días transc.= 7 3 11 de abril 2012 miércoles del 11 de abril 2012 al 11 de abril 1953 años transcurridos = 59 bisiestos transcurridos = 15 0
d.t = 59 + 15 = 74 = 7 4 miércoles – 3 = Sábado Clave: A
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 20
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.
Ciclo 2012-I
Alejandro Romualdo, reconocido poeta peruano de la generación del 50, nació el 19 de diciembre de 1926. Entre sus publicaciones destaca “Canto coral de Túpac Amaru” con su famoso verso que dice: “Y no podrán matarlo”. El 29 de febrero de 2012 fue miércoles; halle qué día nació, si murió el 27 de mayo 2008. A) martes
B) lunes
C) domingo
D) jueves
E) viernes
Resolución: Nació: Día/19/12/1926 El 29/02/2012 fue miércoles veamos que día fue 19/12/2011: 0
Días trascurridos: 72 7 2 , entonces fue un día lunes. Ahora veamos del 19/12/1926 al 19/12/2011: Años trascurridos: 85 Años bisiestos (1928,…., 2008) = 21 0
Días trascurridos: 85 21 106 7 1 Romualdo nació un día domingo. Clave: C 9.
Un capataz tiene por orden realizar una obra en 30 días. Al iniciar la obra con 10 obreros trabajando 6 horas diarias, en 20 días realizan el 50% de la obra. ¿Cuántos obreros debe contratar adicionalmente, si aumenta la jornada a 8 horas diarias para terminar la obra a tiempo? A) 5
B) 6
C) 58
D) 15
E) 10
Obreros
h/d
días
obra
10
6
20
50%
10 + x
8
10
50%
10 8 10 50% x x 10 x 6 20 50%
luego x = 5
Resolución:
Clave: A 10. Una obra se comenzó con n obreros y a partir del segundo día se despide un obrero cada día, hasta que quedó solo 1 obrero con quien se concluyó la obra. Si el primer día se hizo un noveno de la obra, ¿en cuántos días se terminó la obra? A) 17
B) 16
C) 18
D) 19
E) 20
Resolución: n obreros hicieron
1 de la obra en 1 día, entonces los n obreros realizarán toda la 9
obra en 9 días. Método: todo – parte 9(n) = 1(n) + 1(n – 1) + 1(n – 2) + …. + 1(1)
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 21
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9n =
Ciclo 2012-I
n(n 1) luego n = 17 2
concluyeron la obra en 17 días. Clave: A 11. ¿De cuantas maneras se pueden ubicar en un tablero de ajedrez que consta de 8x8 cuadriculas una ficha blanca en un casillero blanco y una ficha negra en un casillero negro que no estén en una misma línea horizontal ni vertical? A) 780
B) 712
C) 815
D) 768
E) 1024
Resolución: En un tablero de ajedrez hay 32 casilleros blancos y 32 casilleros negros. En cada fila vertical u horizontal hay 4 casilleros blancos y 4 casilleros negros. Al colocar una ficha blanca en cualquier casillero blanco (32 posibilidades) eliminamos todos los casilleros negros que estén en línea vertical y horizontal, es decir eliminamos 4 casilleros negros verticales y 4 casilleros negros horizontales quedando solo 32 – 8 = 24 casilleros negros. Por tanto: (32)(24) = 768 Clave: D 12. En el concurso de matemáticas organizado por el CEPUSM en un salón rindieron el examen un total de 24 alumnos y no pasaron a la siguiente fase (fase final) tantos alumnos como la mitad de los que sí pasaron. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? Indique como respuesta la suma de cifras del resultado obtenido. A) 7
B) 12
C) 15
D) 18
E) 11
Resolución: Del problema se tiene: Pasaron: 16 No pasaron: 8 Luego el # de formas es: 16x15x14 = 3360 Clave: B 13. El siguiente recipiente de base cuadrangular contiene 16 m3 de agua. Luego se vierte al recipiente una cierta cantidad de agua, de tal forma que el recipiente queda totalmente lleno. Se pide calcular el volumen del agua añadido. A) 26 m3 B) 30 m3 C) 35 m3 D) 36 m3 E) 38 m3 Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 22
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución: Vo = volumen inicial V = volumen de agua añadido Vr = volumen del recipiente Por semejanza de pirámides: Vo 23 16 23 3 3 Vr 54 Vr 3 Vr 3 Por tanto: V = Vr - Vo = 54 – 16 = 38 Clave: E 14. En la figura mostrada, ABCD-EFGH es un prisma recto cuyas bases son regiones cuadradas. Si M es punto medio, calcule la razón entre los volúmenes de la pirámide H – BMN y el prisma. A)
1 18
B)
1 9
C)
1 6
D)
1 14
E)
1 20
Resolución:
Vpirámide
(2U)h 3
Vprisma (12U)h Por tanto:
1.
Vpirámide Vprisma
1 18
En enero de un cierto año hubo 4 martes y 4 sábados. ¿Qué día de la semana fue el 9 de enero de ese año? A) lunes
Semana Nº 17
B) martes
C) miércoles
D) jueves
SOLUCIONARIO
E) viernes
Pág. 23
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución: 1) Se tiene el mes de enero: Enero Lu
Ma
6 13 20 27
7 14 21 28
Mi 1 8 15 22 29
Ju 2 9 16 23 30
Vi 3 10 17 24 31
Sa 4 11 18 25
Do 5 12 19 26
2) Por tanto 9 de enero fue Jueves. Clave: D 2.
Si el ayer de n días después del pasado mañana de mañana, coincide con el mañana de 2n días después de ayer, ¿qué día de la semana fue nn días antes de ayer, si pasado mañana es domingo? A) lunes
B) martes
C) domingo
D) jueves
E) sábado
Resolución:
2n Hoy
... n
Del gráfico: 2n + 1 = n + 4 → n = 2 Si pasado mañana es domingo, el día de ayer fue jueves y 4 días antes fue domingo. Clave: C 3.
El viernes 7 de diciembre del 2012 se celebrará una misa muy especial, la familia de Diego se reunirá en la iglesia para conmemorar 110 años de la muerte de su tatarabuelo. ¿Qué día de la semana falleció el tatarabuelo de Diego? A) viernes
B) sábado
C) lunes
D) domingo
E) martes
Resolución: 2012 – 110 =1902 1902, 1903, 1904, ……, 2012 # de bisiestos = (2012-1904)/4 + 1=28 # de días transcurridos = 110+28=138=7(19)+5 Día pedido = viernes – 5 = domingo Clave: D 4.
Charles Darwin, llamado padre de la teoría de evolución, nació el 12 febrero de 1809. En 1859 publico su libro “El origen de las especies” donde formuló que todas las especies de seres vivos, han evolucionado mediante un proceso de selección natural que consiste que miembros de una población con características más adaptables sobreviven,….Murió el 19 de abril de 1882. Hallar el día que murió si el 29 de febrero de 2012 fue miércoles. A) Sábado
Semana Nº 17
B) jueves
C) domingo
D) viernes
SOLUCIONARIO
E) miércoles Pág. 24
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución: Como por dato tenemos que: miércoles 29/02/2012 0
Días transcurridos para 19/04/2012: 50 7 1 y debe ser jueves Murió: día 19/04/1882 y es jueves 19/04/2012 Años trascurridos: 130 Años bisiestos: 33 – 1 = 32 0
Días trascurridos: 130 32 162 7 1 C. Darwin murió un día miércoles. Clave: E 5.
Una cuadrilla de 12 obreros puede terminar una obra en 15 días, trabajando 10 horas diarias. Al cabo de 7 días de labor se enferman 5 de los obreros, 3 días más tarde, se comunica al contratista que termine la obra a tiempo. ¿Cuántos obreros adicionales tendrá que contratar para cumplir en el plazo fijado? A) 8
B) 10
C) 9
D) 11
E) 7
Resolución: Método: todo – parte 15 x 12 x 10 = 7 x 12 x 10 + 3 x 7 x 10 + 5 (7 + x) 10 Luego x = 8 Contrata adicionalmente 8 obreros. Clave: A 6.
Un grupo de obreros pueden terminar una obra en 13 días, trabajando 6 horas diarias. Después de 3 días de trabajo se determinó que la obra quedase terminada 4 días antes del plazo inicial y para lo cual se contrata 5 obreros más y todos trabajan 8 horas diarias; terminando la obra en el nuevo plazo fijado, ¿con cuántos obreros se inició dicha obra? A) 20
B) 18
C) 21
D) 22
E) 24
Resolución: Método: todo – parte, X = Nro. De obreros al inicio. 13(x) (6) = 3 (x) (6) + 6 (x + 5) (8) x = 20 Clave: A 7.
Víctor invita al cine a su novia y a tres de sus amigas al cine, si los asientos son filas de 5 butacas cada una y todos se deben sentar en la misma fila; entonces las afirmaciones siguientes son: - Los 5 podrán ubicarse de 25 maneras diferentes - Si Víctor se sienta siempre en el medio, se podrán ubicar de 24 maneras diferentes - Podrán ubicarse de 48 formas diferentes, si Víctor se sienta junto a su novia. A) VVV
Semana Nº 17
B) VFV
C) VVF
D) FVV
SOLUCIONARIO
E) FFV
Pág. 25
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución: Como son 5 personas, el 1º 5 posibilidades, el 2º 4 posibilidades, el 3º 3 posibilidades, el 4º 2 posibilidades, el 5º 1 posibilidad. Es decir 5x4x3x2x1=120. Así la afirmación 1 es falsa. Al ubicarse en el medio Víctor quedan 4 disponibles 4x3x2x1=24 por tanto la afirmación 2 es verdadera. Víctor y su novia, se pueden contar como uno solo, luego 4x3x2x1=24 y entre Víctor y su novia pueden intercambiar posiciones. Es decir 2x24=48. Así la afirmación 3 es verdadera. Clave: D 8.
Una familia que se encuentra en Lima desea visitar a unos parientes que se encuentran en Puno, se dan cuenta que tienen dos formas de llegar: A) Lima –(6 carreteras)– Junín –(5 carreteras)– Cusco –(3 carreteras)– Madre de Dios –(4 carreteras)– Puno. B) Lima –(4 carreteras)– Huancavelica –(5 carreteras)– Ayacucho –(9 carreteras)– Apurímac –(5 carreteras)– Cusco –(5 carreteras)– Puno. ¿De cuantas maneras diferentes la familia se puede trasladar para llegar a Puno tomando cualquiera de las dos rutas propuestas? Indique como respuesta la suma de cifras de dicho resultado. A) 18
B) 15
C) 21
D) 22
E) 16
Resolución: El número de formas en cada caso es: A) 6x5x3x4=360 B) 4x5x9x5x5 = 4500 Luego el total es = 4860 Clave: A 9.
Un profesor de matemática de una Institución Educativa asigna un problema de Geometría a Perico para que calcule el volumen del prisma recto que se muestra en la figura. Si la arista lateral mide 20cm y Perico resolvió el problema, ¿cuál es el volumen del prisma? A) 5320cm3 B) 5400cm3 C) 4440cm3 D) 3910cm3 E) 4980cm3
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 26
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución: ANM
ABC :
BC 39 AB BC 15 y AB 36 5 13 12
Volumen= ( 36 15 )(20) 5400 2
Clave: B 10. Se funde una bola de plomo de 3 cm de radio para obtener luego bolitas del mismo material, con radio de 1 cm cada una. ¿Cuántas bolitas, como máximo se obtendrán? A) 27
B) 30
C) 35
D) 26
E) 28
Resolución: Sea n el número de bolitas obtenidas. Como los volúmenes de la esfera original y la suma de las n pequeñas, deben ser iguales tenemos: 4 4 3 3 (3) n (1) n 27 3 3
Clave: A
Aritmética 1.
Si
(2x)! x!(x 2)! 132 , halle (x – 1)! (x - 1)!(x 1)! (2x 2)! 35
A) 120
B) 720
C) 24
D) 6
E) 2
SOLUCION: (2x)(2x 1)(2x 2)! x(x 1)!(x 2)! 132 (x 1)!(x 2)!(x 1)x(x +1) (2x 2)! 35 x(2x 1) 66 x =6 (x 1)(x +1) 35
(x 1)! = (6 1)! = 120
CLAVE: A 2.
De un juego de 52 naipes se extrae al azar tres de ellas. Halle la cantidad de maneras de extraer al menos un as A) 4 804
Semana Nº 17
B) 4 200
C) 4 400
D) 4 800
SOLUCIONARIO
E) 4 600
Pág. 27
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
SOLUCION X = # de ases x 1 C14C248 C24C148 C34C048 4804 CLAVE: A 3.
En una reunión hay 4 estudiantes y 10 profesores. ¿Cuántas comisiones de 5 personas pueden formarse, si en cada una de ellas participan a lo más 2 alumnos? A) 1 800
B) 1 812
C) 1 821
D) 1 802
E) 1 281
SOLUCION 4 10 4 10 #E = 4; #P = 10 C04C10 5 C1 C4 C2 C3 1812 252 + 840 + 720 CLAVE: B 4.
Un estudiante debe responder obligatoriamente 8 de 10 preguntas enumeradas de un examen. Si tiene que elegir al menos 4 de las cinco primeras, halle la cantidad de maneras, como podría responder dicho examen A) 25
B) 38
C) 30
D) 36
E) 35
SOLUCION _ _ _ _ _
_ _ _ _ _
n = 8 C54C54 C55C35 25 10 35 CLAVE: E 5.
Con las letras de la palabra “MATEMATICO” ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con la condición de que las letras iguales estén equidistantes de los extremos? A) 1440
B) 1220
C) 1430
SOLUCION MATEMATICO MAT_ _ _ _ TAM
D) 1600
E) 1340
# formas = 5.4.3.4! = 1440 CLAVE: A
6.
El capataz de un grupo de 20 obreros que construyen el tren eléctrico, pide aleatoriamente, la opinión a tres de ellos sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la construcción. Si 12 están a favor y 8 están en contra, ¿cuántos resultados posibles obtendrá el capataz de dicho sondeo? A) 1 140
B) 1 104
C) 1 100
D) 1 401
E) 1 144
SOLUCION 8 12 8 12 8 12 8 # FAVOR = 12 # CONTRA = 8 C12 3 C0 C2 C1 C1 C2 C0 C3 1140 CLAVE: A
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 28
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
Ciclo 2012-I
Benito solo puede jugar a la ruleta 5 veces donde ganará o perderá S/. 1 000 en cada juego. Si empieza a jugar con S/. 2 000 y dejará de jugar a la quinta vez ó si pierde todo su dinero ó si gana S/. 3 000, esto es si completa los S/. 5 000. Halle el número de formas como puede suceder el juego A) 30
B) 20
C) 40
D) 50
E) 25
SOLUCION Total de casos: 25 Casos que culminan: Falta GGG 4 GPPP 2 PGPP 2 PP 8 16 juegos TOTAL: 32 – 16 + 4 = 20 CLAVE: B 8.
En el número capicúa de 15 cifras ANITALAVAL ATINA . ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con sus dígitos, teniendo en cuenta que todas las vocales siempre deben estar juntas, lo mismo que las consonantes? A) 35 200
B) 35 208
C) 35 820
D) 35 280
E) 35 802
SOLUCION 8 7 .P2;2;2 # permutaciones = 2!. P6;2 =2
8! 7! . 35280 7!2! 2!2!2!
CLAVE: D 9.
¿Cuántos productos diferentes se pueden obtener con los números naturales del 33 al 41, ambos inclusive, tomándolos de tres en tres? A) 84
B) 648
C) 5 040
D) 48
E) 468
SOLUCION C93 84 CLAVE: A 10. Willy, Lucho, José, Pedro, Sandra y Karina van al teatro y deben ubicarse en una fila de seis asientos. Si Sandra y Karina deben ubicarse en los dos asientos del centro, ¿de cuántas maneras diferentes podrán acomodarse? A) 120
B) 24
C) 48
D) 12
E) 6
SOLUCION _ _ S K _ _ 4!2! = 48 CLAVE: C 11. Una grupo de turistas debe realizar un viaje de excursión, para el cual cuentan con tres vías para poder hacerlo; partiendo en tren, continuando en ómnibus y para llegar a su destino en avión. Si hay 5 rutas para el tren, 3 para el ómnibus y 2 para el avión, ¿de cuántas maneras diferentes podrán decidir el viaje? A) 30 Semana Nº 17
B) 10
C) 12
D) 24
SOLUCIONARIO
E) 48 Pág. 29
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
SOLUCION TREN A B C D E
OMNIBUS M
AVION X
# FORMAS: 5.3.2 = 30
N Y P CLAVE: A
12. ¿Cuántos números mayores de 5 000 pueden formarse con los dígitos 1, 2, 4 y 5? A) 24
B) 12
C) 6
D) 120
E) 240
SOLUCION 5___=6 3.2.1 CLAVE: C
1.
¿Cuántos números de 12 cifras tienen como productos de cifras a 12?. A) 924
B) 936
C) 926
D) 928
E) 920
SOLUCION 261111111111 263111111111 341111111111
12 12 12 P10 P9;2 P10 924
CLAVE: A 2.
De cuántas maneras se pueden sentar tres hombres y tres mujeres alrededor de una mesa circular de seis asientos, sino debe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos? A) 6
B) 12
C) 10
D) 4
E) 16
SOLUCION P3C .P3 2!3! 12 CLAVE: B 3.
¿Cuántos números de tres cifras menores que 436 pueden obtenerse con los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7? A) 187
Semana Nº 17
B) 197
C) 166
D) 162
SOLUCIONARIO
E) 192
Pág. 30
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
SOLUCION ______
abc
111 222 . . . . 3 7 7 entonces 3.7.7 = 147 417=
7
427=
7
435=
5 Por lo tanto 147 + 7 + 7 + 5 = 166 CLAVE: C
4.
¿Cuántos mensajes diferentes se pueden obtener permutando, tres asteriscos, tres puntos y cuatro líneas verticales?
A) 2100
B) 4800
C) 10400
D) 4200
E) 720
SOLUCION 10 4200 * * * . . . | | | | P4;3;3
CLAVE: D 5.
Se quiere pintar una bandera que tiene cinco franjas horizontales y para ello dispone de cuatro colores diferentes. Si dos franjas contiguas no pueden pintarse de un mismo color, ¿de cuantas maneras diferentes se puede pintar la bandera? A) 360
B) 512
C) 340
D) 1024
E) 324
SOLUCION Total = 4.34 = 324 C1 3 3 3 3 CLAVE: E
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 31
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.
Ciclo 2012-I
Tres parejas de esposos que asisten al teatro desean sentarse en una fila con ocho asientos desocupados ¿de cuantas maneras pueden sentarse si cada pareja quieren estar juntos? A) 480
B) 960
C) 360
D) 420
E) 512
SOLUCION __ __ __ __
P25 .23
5.4.3.2! .8 480 2!
CLAVE: A 7.
Con las letras de la palabra “MARACUYA” ¿Cuántas permutaciones pueden realizar si las vocales deben estar juntas? A) 620
B) 480
C) 720
D) 600
E) 512
SOLUCION AAAUMRCY 5! P34 = 120.4 = 480 CLAVE: B 8.
De cinco hombres y ocho mujeres cuantas parejas mixtas se pueden formar si Juan se niega a formar pareja con María y Rosa A) 60
B) 48
C) 38
D) 124
E) 96
SOLUCION H = 5; M = 8 # Parejas = 8.5 – 2 = 38 CLAVE: C 9.
Si las consonantes de la palabra “UNIVERSITARIA” ocupan la misma posiciones, de ¿Cuántas maneras pueden permutar las vocales? A) 960
B) 840
C) 780
D) 420
E) 920
SOLUCION 7 420 IIIAAUE P3;2 CLAVE: D 10. Se tiene cuatro libros diferentes de física y tres libros diferentes de matemática ¿de cuántas maneras se podrá ubicar en un estante para cinco libros y deben estar en forma alternada?
A) 256
Semana Nº 17
B) 240
C) 144
D) 320
SOLUCIONARIO
E) 216
Pág. 32
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
SOLUCION F = 4; M = 3 F M F M F M M M F M 4.3.2.3.2 + 3.2.1.4.3 = 144 + 72 = 216 CLAVE: E
Álgebra 1.
Si f 2 , 4 , a , 3 , a 2 ,b , 4 , b , 2 , a es una función, hallar f 6 . A) – 1
B) – 2
C) – 3
D) – 4
E) – 5
Solución:
f 2 , 4 , a , 3 , a 2 ,b , 4 , b , 2 , a f 2 4
y f 2 a a 4
f 4 3 , f 4 b b 3 f 6 3
Clave: C 2.
Hallar el rango de la función f x x x 1 , si x 2 , 2 . A) 3 , 0
B)
3 ,2
C)
3 ,1
D)
3 ,1
E) 0 , 1
Solución: f x x x 1 , x 2 , 2 f x
2x 1 , Si x 2 , 0 1 , Si x 0 , 2
Como 2 x 0 4 2x 0 3 2x 1 1 3 y1
Luego Ran f 3 , 1 1 3 , 1
Clave: D
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 33
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2012-I
Hallar el mínimo valor de la función f tal que f x 3x 2 12x 9 . B) – 3
A) 3
C) – 4
D) – 6
E) – 2
Solución: f x 3x 2 12x 9
3 x 2 2 1 3 x 2 4x 3
x 2 2 0
x 22 1 1 3 x 2 2 1 3 y 3 mínimo valor de f es 3
Clave: B 4.
Determine la suma de los cuadrados de los elementos enteros del dominio de la función f x A) 36
x 2 2x 4 16 x 2 x 1 .
B) 16
C) 29
D) 30
E) 8
Solución: f x
x 2 2x 4 16 x 2 x 1
Do min io : x 2 2x 4 0 16 x 2 0
x 1 0
i) x 2 2x 4 0
x 1 2 3 0 xR ii) 16 x 2 0 x 2 16 0
x4 x 4 0 x 4 , 4 iii ) x 1 0 x1
x 1,
Dom f R 4 , 4 1 , 1 , 4 12 2 2 3 2 4 2 1 4 9 16 30
Clave: D
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 34
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.
Si f x
Ciclo 2012-I
5x , halle Dom f Ran f . x5
A) 0 ,
0,
B)
D) 0 ,
5
C)
0,
5
E) 0 , 5
Solución:
f x
5x x5 5x 0 x5
i ) Do min io :
–5
0
x , 5 0 , ii) Rango : y
5x 0 y0 x5
5x 5y2 y x y 5 x5 y2 5 2
Luego Dom f Ran f , 5 0 ,
0 ,
5 0 , 5 Clave: D
6.
Sean f x
x2 y g x x 1
x2 x 1
funciones reales de variable real.
Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i) Las funciones f y g tienen el mismo dominio. ii) Si h x f x g x , Dom h 1, . iii) Dom fg , 2
A) FVF
Semana Nº 17
B) FFF
C) FVV
D) FFV
SOLUCIONARIO
E) VVF
Pág. 35
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: fx
x2 y g x x 1
x2 x 1
x2 Dom f x R / 0 , 2 1, x 1 Dom g x R / x 2 0 x 1 0 2 , 1, 1, Dom f g , 2 1,
1 , 1,
Dom fg 1 , i) F ii) V iii ) F
Clave: A 7.
Si f : R R es una función tal que f x x 2 x 3 , hallar el máximo de f en
0 ,1 . A)
5 4
B) –
11 4
C)
13 4
D) 12
E) – 3
Solución: f x x 2 x 3 , si x 0 , 1 f x
2
1 1 3 x 2 4
Como x 0 , 1 0 x 1
1 1 1 x 2 2 2 2
1 1 0 x 2 4 2
1 1 1 x 0 4 2 4 2
1 1 1 0 x 2 4 4 3 f x
Luego el máximo de f es
11 4
11 4
Clave: B Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 36
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 8.
Ciclo 2012-I
¿Cuáles de las siguientes funciones son pares? f x
x 1 , si x 1 , 1
II) f x
x 1 , si x 2 , 2
III ) f x
x 1 , si x 3 , 4
IV ) f x
x 1 1 , si x 4 , 4
I)
A) Todas
B) I y II
C) I , II y III
D) II y IV
E) I , II y IV
Solución: f x
x 1
a) f x
x 1 f x , x Dom f
x 1
b) Si x Dom f x Dom f Luego I) , II) y IV ) son funciones pares
Clave: E EVALUACIÓN DE CLASE 1.
Si f es una función definida por f x a b x b , f 1 , 7 , 2 ,10 , hallar el valor de f (a + b). A) – 8
B) – 11
C) 10
D) 0
ab
tal que
E) – 6
Solución:
f x a b x b
f 1 7 a b b 7 a 2b 7
f 2 10 2 a b b 10 2a 2b b 10 2a 3b 10 Re solviendo : a 2b 7
2a 3b 10 2a 4b 14 2a 3b 10 b 4 b 4 ; a 1 a b 5
Luego f 5 1 4 5 4 15 4 11
Clave: B
2.
Determine el conjunto de valores de x de modo que la función f x 2 x 3 sea no negativa. A) 2 ,1
Semana Nº 17
B) 2 , 8
C) 1 , 6
D) 1 , 5
SOLUCIONARIO
E) 5 , 8
Pág. 37
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: f x 2 x 3 y 2 x3 0 x3 2 2 x 3 2 1 x 5
x 1 , 5
Clave: D
3.
Dada
la
función
f x ax 2 bx
cuadrática
tal
que
f x f x 1 x , x R. Hallar a – b. A) – 2
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Solución: f x ax 2 bx
f x f x 1 x
bx ax
ax 2 bx a x 1 2 b x 1 x ax 2
2
2ax a bx b x
2ax a b x 1 2 a b 0 a
a b 0 a
1 1 b 2 2
Clave: B
4.
Dada la función f x
36 x 2 4 . Hallar la suma de los elementos del
conjunto Dom f Ran f Z.
A) 5
Semana Nº 17
B) 11
C) 9
D) 15
SOLUCIONARIO
E) – 7
Pág. 38
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: Do min io : 36 x 2 0
x 6x 6 0 x 6 , 6
Rango : y
36 x 2 4
y 4 36 x 2 0 y 4
y 4 2 36 x 2 x 2 36 y 4 2 36 y 4 2 0 y 4 2 36 6 y 4 6 10 y 2
y 4 ,2
Dom f Ran f Z 6 , 6 4 , 2 Z 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 4 3 2 1 0 1 2 7
Clave: E 5.
Hallar el dominio de la función f x
x1 x2 x 2
A)
2 , 1 1,
B)
3 ,2 6 ,
D)
3 , 0 1,
E)
2 ,1 3 ,
. C)
2 ,0 1 ,
Solución:
f x
x1 2
x x2
Do min io :
x1 x2 x 2
x1 0 x 2 x 1
Dom f 2 ; 1 1 ;
Clave: A
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 39
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
6.
Si
f :R R
es Dom f Ran f .
A) 8 ,10
una
función
B) 0 , 8
Ciclo 2012-I
tal
C) 2 ,10
que
fx 2
D) 2 ,10
100 x2 ,
hallar
E) 0 ,10
Solución:
f x 2
100 x 2
Do min io : 100 x 2 0
x 10 x 10 0 x 10 , 10
Rango : y 2
100 x 2
100 x 2 0 y 2
y 2 2 100 x 2 x 2 100 y 2 2 0 10 y 2 10 y 2 0 12 y 8 y 0 y 8 y 12 0 y 8 , 12 Ran f 2 , 8 , 12 2 , 12 Dom f Ran f 10 , 10 2 , 12 2 , 10
Clave: C
7.
Dada la función cuadrática f x x 2 4x 5 . Indicar que puntos de f cumplen que su diferencia de coordenadas es 9 y su abscisa no sea un número primo positivo. A) 2 , 7
B)
1, 8 , 4 , 5
C) 2 , 7 , 4 , 5
D)
2 ,7 , 1 , 8 , 4 , 5
E) 5 , 4 , 8 ,1
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 40
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: f x x 2 4 x 5 Sea x , y f y x 9 x 2 4 x 5 x 9 x 2 5 x 5 9 x 2 5 x 14 0
x 7 x 2 0 x 7 x 2
x 2 , y 7
2 ,7 f
Ahora si x y 9 x x 2 4 x 5 9 x 4 x 1 0 x 4 x 1
x 1 , y 8 ; x 4 , y 5 4 , 5 f 1 , 8 f
Clave: D 8.
¿Cuáles de las siguientes resultan de la suma de una función par y una función impar? I) g(x)= cos 3x sen 2x II) h(x)= x 2x 1 1 1 III) f x f x f x f x f x 2 2 A) Solo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I , II y III
Solución:
Sea f (x) una función 1 1 f x f x f x f x f x 2 2 par
impar
Luego toda función es la suma de una función par e impar Clave: E
Trigonometría 1.
La función real f definida por f(x) = tg5x ctg5x + 10. Hallar el complemento del dominio de f.
n A) / n Z 5 n D) / n Z 6 Semana Nº 17
n B) / n Z 10 n E) / n Z 2 SOLUCIONARIO
C) n / n Z
Pág. 41
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: 5x (2n + 1) x (2n + 1)
2
10
5x n x
n 5
x
n 10
n c (Domf) = / n Z 10 Clave: B 2.
Hallar el complemento f(x) 12 ctg cos x 5 .
del
(2n 1) A) / n Z 2 n D) / n Z 4
dominio
de
la
función
B) n / n Z
f
definida
por
n C) / n Z 2
(2n 1) E) / n Z 3
Solución: cosx n cosx n cosx 1 x n (Domf) = n / n Z c
Clave: B 3.
Hallar el complemento del dominio de la función real ctg4x . f(x) sec 4x 1 3n A) / n Z 2 D) , 4 2
B) n / n Z
f
definida por
n C) / n Z 2
n E) / n Z 4
Solución: f(x) =
ctg4x sec 4x 1
está definida si sec4x 1 sen4x 0
entonces 4x 2n 4x n x
n 2
x x
n 4
n 4
Clave: E Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 42
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
4.
Ciclo 2012-I
5 Sea la función real f definida por f(x) = 2 ctg csc 6x , x , . Hallar el 4 12 36 rango de f.
A) 2,3
B) 1,3
Solución: Como 12
2 1
4
C) 0,2
x
5
6x
5
csc6x
4
csc6x
36
E) 0,1
entonces
6
2
2
0
ctg csc 6x 1 4
2
f(x)
,
D) 1,2
3
Ran(f) = 2,3 Clave: A 5.
Hallar el rango de la función real f definida por f(x) = sec x csc x 1 . 2
A) [1,
B) [9,
C) 1,
D) 9 ,
E) [2,
Solución: f(x) = (secxcscx + 1)2 = (2csc2x + 1)2 csc2x – 1 csc2x 1
2csc2x – 2 2csc2x 2 2csc2x + 1 – 1 2csc2x + 1 3 (2csc2x + 1)2 1 (2csc2x + 1)2 9
Ran(f) = [1, Clave: A 6.
5 Sea la función real f definida por f(x) = csc 2 x 10csc x 20 , x , .Si el rango 4 6 ab 4 de f es a,b , calcular . 10 A)
2 5
Semana Nº 17
B)
7 5
C) 4
D) 5
SOLUCIONARIO
E) 10
Pág. 43
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: f(x) = (cscx – 5)2 – 5 tenemos 4
x
1
cscx
– 4
cscx – 5
9
5 6
, entonces
2 –3
(cscx – 5)2 16
4 (cscx – 5)2 – 5 11 Ran(f) = [4,11]
ab 4 =4 10
Clave: D 7.
2 5 Si el rango de la función real f definida por f(x) = tgx sec x csc x , x , 3 6 es a,b , calcular a + 3b.
A) 2 2
B) 3 3
C) 3 2
D) 2 3
E)
3 2
Solución: f(x) = – tgx + secxcscx = – =–
Luego
2 3
x
5 6
–
senx cos x
1 senxcos x
sen2 x 1 senxcos x
=
3 f ( x)
cos2 x senxcos x
= ctgx
3 3
a + 3b = – 2 3 Clave: D
8.
La función real f está definida por f(x) = 3csc x , x de f es ,b a, , hallar a b2 . A) 20
Semana Nº 17
B) 30
C) 21
D) 22
SOLUCIONARIO
5 , , . Si el rango 4 4
E) 39
Pág. 44
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución:
Si x
4
Si x ,
, , entonces cscx 1 5
, entonces cscx –
4
2
Luego 3cscx 3 3cscx – 3 2 Ran(f) = [3, , – 3 2 ] a = 3, b = – 3 2 a + b2 = 3 + 18 = 21 Clave: C 9.
Sea f la función real definida por f(x) =
sec x , 4 6x 7 . ¿En cuánto excede 2
el valor máximo de f a su valor mínimo? A)
1
B) 1
2
C)
1 4
D)
1 3
E) 2
Solución: Como 4
2 3
6x
7 , entonces
x
0)
Y
A
2
(y – k) = 4p(x – h)
P
V = (– 6,0) y2 = 4p(x + 6)
V
X
A = (2,8) 64 = 4p(8) 4p = 8
B
y2 = 8(x + 6)
Reemp. B(– 3,– k) k2 = 8(3) k = 2 6 Clave: B
3.
Si P(– 2,– 4) es punto medio de una cuerda de la parábola: y2 + 6x + 10y + 19 = 0, halle la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda. A) x + 2y + 10 = 0 D) 2x + y + 8 = 0
B) x + 3y + 14 = 0 E) x + 3y – 10 = 0
C) 3x + y + 10 = 0
Solución:
Y
Ec. de P : (y + 5)2 = – 6(x + 1)
(x1,y1)
eje focal // eje X (p < 0) (x,y)
V = (– 1, – 5)
x1 + x2 = – 4 y1 + y2 = – 8
Reemp:
X
P(2,4) (x2,y2)
y 12 + 6x1 + 10y1 + 19 = 0 ( ) 2 y 2 + 6x2 + 10y2 + 19 = 0
8(y2 – y1) + 6 (x2 – x1) 10(y2 – y1) = 0
y 2 y1 x 2 x1
3
y4 x2
3
3x + y + 10 = 0 Clave: C
4.
Una parábola contiene al punto R(– 1,– 2), su lado recto tiene como longitud 4 m, su eje focal es paralelo al eje X y su vértice cuya ordenada es positiva pertenece a la recta x – 3 = 0. Halle la ecuación de la parábola. A) (y – 6)2 = 4(x – 3) D) (y – 2)2 = – 4(x – 3)
Semana Nº 17
B) (y + 6)2 = – 4(x – 3) E) (x – 3)2 = – 4(y – 2)
SOLUCIONARIO
C) (x – 2)2 = – 4(y – 2)
Pág. 49
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución:
Eje focal // eje X (p < 0) Y
(y – k)2 = 4p(x – h)
V = (3,k) (y – k)2 = 4p(x – 3)
4p = 4 4p = – 4
V = (3,k)
p=–1 3
(y – k) = – 4(x – 3)
Reemp. R(– 1, – 2)
2
R( 1, 2)
(– 2 – k)2 = – 4(– 1 – 3) k = 4 – 2
X
k=2
Ec. P : (y – 2)2 = – 4(x – 3) Clave: D
5.
La ecuación de una parábola es y2 – 4x – 2y – 11 = 0. Halle la distancia en metros del foco a la directriz. A) 3 m
B) 3,5 m
C) 2,5 m
D) 1 m
E) 2 m
Solución:
Ec. P : y2 – 2y + 1 = 4x – 12 (y – 1)2 = 4(x – 3)
Y
P
eje focal
V
d(F,L ) = 2p
4p = 4
X
2p = 2 Clave: E
6.
Halle la ecuación de una parábola cuyo vértice es el punto V(2, – 3), pasa por el punto A(4, –1) y su eje focal es la recta x – 2 = 0. A) ( x 2)2 2( y 3) D) ( x 2)2 4( y 3)
B) ( x 2)2 4( y 3) E) ( x 2)2 8( y 3)
Y
Solución:
C) ( x 2)2 2( y 3)
eje focal
Eje focal // eje Y (x – h)2 = 4p(y – k)
p>0
(x – 2)2 = 4p(y + 3)
Para x = 4 y = – 1
Reemp. 4 = 4p(2)
X V(2, 3)
4p = 2
(x – 2)2 = 2(y + 3) Clave: A
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 50
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
Ciclo 2012-I
El agua que fluye de un grifo horizontal que está a 25 m del piso, describe una curva parabólica con vértice en el grifo. Si a 21 m del piso, el flujo del agua se ha alejado 10 m de la recta vertical que pasa por el grifo, halle a qué distancia de esta recta vertical tocará el agua el suelo. A) 20 m
B) 25 m
C) 26 m
D) 21 m
E) 28 m
Solución:
Eje focal // eje Y x2 = 4py y
Y
p 0 (x – 1)2 = 3y
4p
C
p
O
F V
P M
X
Clave: B
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 51
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.
Ciclo 2012-I
En la figura, OA es diámetro, A y V son puntos de tangencia y el área del semicírculo es 50. Si el eje X es directriz de la parábola P y 2AB = 3AO, halle la ecuación de dicha parábola. A) (x + 2)2 = 24(y + 6) B) (x – 2)2 = –12(y + 6) C) (y – 6)2 = 12(x – 2) D) (x – 2)2 = 24(y – 6) E) (x – 2)2 = 12(y – 6) Solución:
A =
OA 2 8
= 50
OA = 20
Y
P
V = (2,6) y p > 0
Eje focal // eje Y
eje focal
B 37°
(x – 2)2 = 4p(y – 6)
V
Si eje X es directriz p=6
O
Reemp:
10 6 2 8 Q 10
30
A
X
(x – 2)2 = 24(y – 6) Clave: D 10. Un arco parabólico tiene 18 m de altura y 24 m de ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola. Halle la altura donde la parábola tiene un ancho de 16 m. A) 14 m
B) 9 m
C) 12 m
D) 8 m
E) 10 m
Solución:
Eje focal // eje Y
Y
V = (0,0) y p < 0
V
x2 = 4py
Para x = 12 y = – 18 122 = 4p(– 18)
X
16 18 h
4p = – 8
x2 = – 8y
24
Para x = 8 y = – (18 – h) 64 = 8(18 – h)
h = 10 Clave: E
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 52
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
11. Una parábola cuya ecuación es y2 = 20x, pasa por el punto M de abscisa igual a 7. Halle el radio focal del punto M. A) 10 m
B) 12 m
C) 8 m
D) 9 m
E) 14 m
Solución: Si y2 = 20x
Y
Eje focal // eje X V = (0,0) y p > 0
p=5
Para x = 7 y = b
M(7,b) d X
F(5,0)
b2 = 20 7 b = 2 35
d=
(7 5)2 (2 35 0)2
d = 12 Clave: B 12. Halle la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro el lado recto de la parábola cuya ecuación es y2 = 16x. A) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 8
B) (x – 2)2 + y2 = 25
D) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25
E) (x – 4)2 + y2 = 64
Solución: Si y2 = 16x
C) x2 + (y – 3)2 = 32
Y
Eje focal // eje X V = (0,0) y p > 0
4p = 16
Ec. circunf.
8
p=4
F(4,0)
X
8
(x – 4)2 + y2 = 64 Clave: E 13. En la figura, F y V son foco y vértice de la parábola P: Si VO = 10 m y ON = 12 m, halle la ecuación de la parábola. A) (x – 10)2 = 25y/6 B) (x + 5)2 = 15y/2 C) (x – 10)2 = 25y/3 D) (x – 5)2 = 25y/3 E) (x – 10)2 = 50y/3
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 53
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución:
Eje focal // eje Y
Y
eje focal
V = (10,0)
N
(x – 10)2 = 4py
F
12
Para N = (0,12) 100 = 4p(12) (x – 10)2 =
4p = 25 3
25
O
10
V
X
3
y Clave: C
14. Se tiene una parábola
L1
P
: y = x2, en la cual se traza la recta
L
paralela a
: y = 2x – 7, y que pasa por el punto (0,3). Halle la longitud del segmento que
tiene como extremos los puntos de intersección de A) 4 2
B) 5 2
D) 3 2
E) 2 3
L y P: C) 4 5
Solución:
L:
y = mx + b Y
L // L1
Si
mL = 2 d
(3,9)
Reemp: ( 1,1)
y = 2x + 3
X
L
P
x2 = 2x + 3 x2 – 2x + 1 = 3 + 1 (x – 1)2 = 4
x=12
x=3 y=9 x=–1 y=1 d=4 5 Clave: C
Semana Nº 17
SOLUCIONARIO
Pág. 54
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
1.
Ciclo 2012-I
En la figura, el eje Y es la directriz de la parábola P Si QR = 2 m y OF = 6 m, halle las coordenadas de P.
de foco F y vértice V.
A) (1, 2 3 ) B) (1, 2 5 ) C) (4, 2 5 ) D) (4, 2 3 ) E) (4, 2 2 ) Solución:
OV = VF (propiedad)
Y
Trazar PH OF QRP
FHP
OP = PF = 4 P = (4, 2 3 )
a
Q 2
P
2 3
a 4
R
V H2F
O
X
4
Clave: D 2.
El punto C(3,-1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta: L: 2x5y+18=0, determinando una cuerda cuya longitud es igual a 6m. Halle la ecuación de dicha circunferencia. A) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 36 C) (x + 3)2 + (y - 1)2 = 19 E) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 34
Semana Nº 17
B) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 17 D) (x – 3)2 + (y +1)2 = 38
SOLUCIONARIO
Pág. 55
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Ciclo 2012-I
L : 2x-5y+18=0
Solución:
d(C,L) =
2(3) 5(1) 18
2
2 5 2
2
2
= 29
3 d
2
R = ( 29 ) + 3 = 38
3
C(3,-1) R
Ec. de C :(x-3)2 + (y+1)2 = 38 Clave: D
3.
Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(3,5) y es tangente a la recta L : 3x + y + 2 = 0 en el punto B(-1 ,1). A) (x – 2)2 + (y + 2)2 = 10 C) (x – 2)2 + (y - 2)2 = 9 E) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 9
B) ) (x + 2)2 + (y - 2)2 = 10 D) (x – 2)2 + (y - 2)2 = 10
Solución:
mBC .mL = -1 mL
L : 3x+y+2=0
= -3
1 k 1 mBC = . . .I 3 h 1
k 3 mCM = 1 . . . II h 1
De I y II
M(1,3)
A(3,5)
B(-1,1) R C(h,k)
(x -2)2 +(y – 2)2 = 10 Clave: D
4.
Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en el punto común de las rectas L1: x + 3y – 6 = 0 y L2: x – 2y – 1 = 0. A) (x - 2)2 + (y+2)2 = 10 C) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10 E) (x-3)2 + y2 = 15
Semana Nº 17
B) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 10 D) x2 + (y-1)2 = 15
SOLUCIONARIO
Pág. 56
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Ciclo 2012-I
Y
Solución:
x + 3y = 6 . . . I x – 2y = 1 . . . II
De I y II : x = 3 y y = 1
R2=(3-0)2 +(1-0)2=10
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 10
C(h,k)
O
X
Clave: C 5.
Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje Y, la cual pasa por los puntos A( 2 6 , 0 ) y B(3, 5). A) x2 + (y + 1)2 = 25 C) x2 + (y – 2)2 = 18 E) x2 + (y –3)2 = 13
B) x2 + (y – 1)2 = 25 D) x2 + (y + 2)2 = 58 Y (2
Solución:
C(0,k)
R2 =24 + h2 = 9+(5-h)2 h = 1 y R2 = 25
6 ,0)
(3,5)
Ec. de C :x2 + (y-1)2 = 25
O
X
Clave: B 6.
Una pelota describe una curva parabólica alrededor de un punto F, siendo este el foco de la parábola. Cuando la pelota está a 10 m de F, el segmento de recta de F a la pelota hace un ángulo de 60° con el eje de la parábola. Halle la ecuación de la parábola. A) y2 = 10x D) y2 = 5x
B) y2 = 4x E) x2 = 10y
Solución:
L
Eje focal // eje X
V = (0,0) y p > 0
2
y = 4px p = y2 = 10x
Semana Nº 17
C) y = 10x2
Y P
10
10
5 2
V
5 2
F
SOLUCIONARIO
60° 5
H
X Clave: A
Pág. 57
1.
El avestruz Alwi está entrenando para la Competencia de Cabeza en Arena de las Olimpíadas de los Animales. Él saca la cabeza de la arena a las 8:15 en la mañana del día lunes y así alcanza un récord al permanecer por 98 horas y 56 minutos. ¿Cuándo metió Alwi su cabeza en la arena? A) B) C) D) E)
Viernes a las 11:11 a.m. Jueves a las 5:41 a.m. Jueves a las 11:11 a.m. Viernes a las 5:19 a.m. Jueves a las 5:19 a.m.
Solución: 1) Como 98h 56min = 4d 2h 56min 2) Retrocediendo 4d, será: jueves 8:15 a.m. 3) Luego retrocediendo 2h 56min, será: 5.19 a.m. 4) Por tanto Alfonso metió su cabeza. Jueves 5:19 a.m. Clave: E 2.
Elisa dobla una hoja de papel cinco veces. Luego, ella hace un agujero al papel doblado antes de desdoblarlo. ¿Cuántos agujeros tiene el papel desdoblado?
A) 64
B) 20
C) 32
D) 24
E) 16
Solución: 1) El papel con cinco dobleces, produce 32 pliegues paralelas. 2) Por tanto se producen 32 agujeros. Clave: C 3.
Julio tiene dos hijos. Él es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinar la edad de Julio si: (1) Entre sus dos hijos suman la edad de él. (2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años. A) Ambas juntas, (1) y (2) C) Se requiere información adicional E) (1) por sí sola
Semana Nº 18
B) (2) por sí sola D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 1
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Ciclo 2012-I
Solución: Con el primer dato se obtiene: Padre: x + 25 H. menor: x H. mayor: y x + y = x + 25 y = 25 No se puede determinar la edad de Julio Con el segundo dato se obtiene: y – x = 5 No se puede determinar la edad de Julio Pero usando los dos datos juntos se obtiene: x = 20 Julio tiene 20 + 25 = 45 Clave: A 4.
Alianza, Unión y Sporting, disputan un torneo de una sola ronda (cada equipo juega una vez con los otros). Aparece una tabla de posiciones con solo algunos datos de los partidos jugados. ¿Cuál fue el resultado del partido entre Unión y Alianza, en ese orden? Partidos Partidos Partidos Partidos Goles a Goles en contra Jugados Ganados Perdidos Empatado Favor
2
Union
0 1
Alianza
2
Sporting
A) 2-0
4
B) 3-0
C) 1-0
D) 2-1
E) 3-1
Solución: De los datos observados se deduce unión 2 alianza 0 alianza 2 sporting 2 unión le gana a sporting x-0 Clave: 5.
Se verifican las siguientes operaciones 2 + 3 = 10, 7 + 2 = 63, 6 + 5 = 66, 8 + 4 = 96. Halle el valor de 9 + 7. A) 16
B) 144
C) 69
D) 46
E) 247
Solución: 2 x ( 2 + 3 ) = 10 7 x ( 7 + 2 ) = 63 6 x ( 6 + 5 ) = 66 8 x ( 8 + 4 ) = 96 Luego 9 x ( 9 + 7 ) = 144 Clave: B
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 2
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.
Ciclo 2012-I
¿Cuántas personas deben estar reunidas, como mínimo, para tener 4 con el mismo día de la semana en la fecha de su cumpleaños? A) 22
B) 21
C) 28
D) 25
E) 35
Solución: Planteamos: Lunes: 3 Martes: 3 Miércoles: 3 Jueves: 3 Viernes: 3 Sábado: 3 Domingo: 3 Luego faltaría una persona para que como mínimo haya 4 personas con las condiciones pedidas. Por lo tanto deben estar reunidas: 7(3) + 1 = 22 Clave: A 7.
¿Cuál es la mitad de la tercera parte del mayor número impar menor que 20 que no es primo? A) 19/6
B) 17/6
C) 15/2
D) 5
E) 5/2
Solución: El número impar menor que 20 que no es primo es 15, así resulta la fracción 5/2. Clave: E 8.
Juanita compro un kilogramo de harina de trigo de segunda y un kilogramo de harina de trigo de primera que juntos cuestan juntos 18 soles. Se mezcla 14 Kg. de primera con 26Kg. de harina de segunda y se obtiene un precio por kilogramo menor en 3 soles del que habría obtenido si se mesclaran 26Kg. de primera y 14 Kg. de segunda. ¿Cuál es el precio del kilogramo de trigo de segunda. A) 6
B) 4
C) 8
D) 3
E) 2
Solución: p = precio de un kilogramo de harina de primera q = precio de un kilogramo harina de segunda w = precio de un kilogramo de mezcla Primera mezcla. (I) Segunda mezcla. (II) (II) en (I): se tiene: p – q= 10 y por dato p + q =18, se obtiene: P = 4. Clave: B 9.
Se tiene aguardiente de 18º, 20º y 36º. Para vender 80 litros de aguardiente de 20º, utilizamos 10 litros más de aguardiente de 20º que 36º. ¿Cuántos litros de aguardiente de 18º se utiliza? A) 78
Semana Nº 18
B) 110
C) 96
D) 84
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 56 Pág. 3
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Ciclo 2012-I
Solución: Sea V = litros de 36º que se utiliza V +10 litros de 20º que se utiliza X = litro de 18º que se utiliza. Se tiene por dato: x + (V + 10) + V = 80 (I) ( ) La mezcla: Se tiene: 700 = 9x + 28V (II) (II) – (I): 280 = 5x entonces x = 56. Clave: E 10. Hallar la cifra terminal del desarrollo siguiente: ( A) 1
B) 3
C) 7
Solución: Se tiene que 4567 = ̇ + 3 ( Luego ( )̇
)̇ (
) D) 9
)
(
)(
. E) 6
) Clave: C
11. Hay 5 administradores y 4 ingenieros, se desea formar un directorio que consta de un gerente, un subgerente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas formas diferentes se puede formar el directorio si allí debe haber por lo menos 2 administradores y por lo menos 1 ingeniero? A) 6400
B) 4800
C) 2400
D) 7200
E) 1200
Solución: C52×C42 C53×C14 4! 10 6 10 4 24 2400
Clave: C 12. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular; Gerson y Carlos son dos de ellos, que por ningún motivo se sientan juntos. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar? A) 4610
B) 8310
C) 3600
D) 5320
E) 4320
Solución: Todas las formas de sentarse – las formas que están juntos 7! 2 6!
6!(7 2) 3600 Clave: C 13. En un triedro tri-rectángulo
M-ABC se cumple que
1 1 1 1 . 2 2 2 81 (MA) (MB) (MC)
Si el área de la región triangular ABC es 20 m 2, calcule el volumen de dicho sólido (en m3). A) 60 m3 Semana Nº 18
B) 50 m3
C) 63 m3
D) 66 m3
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 57 m3 Pág. 4
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Ciclo 2012-I
Solución: .
Ab 20m2
. Dato:
A
1 1 1 1 2 2 2 81 (MA) (MB) (MC)
1 1 1 ......(1) 2 2 x (MA) (MH)2 1 1 1 . BMCxR.M. : ....(2) 2 2 (MH) (MB) (MC)2 1 1 1 1 . Sustituyendo (2) en (1): 2 2 2 x (MA) (MB) (MC)2 . Por tanto: x 9 . Luego: V 60m3
P
x
. AMHxR.M. :
M
C H B Clave: A
14. En la figura se muestra dos conos de revolución cuyas generatrices miden 8m y 4m. Si BP es bisectriz del ABQ, calcule el volumen del cono menor. P
49 15 56 15 A) πm3 B) πm3 24 15
C)
49 15 49 15 πm3 D) πm3 23 26
E)
49 15 πm3 29
Q F
A
Solución: . PBQ : Isósceles m 8 . PFQ
BHQ
m
n 8 r 4
n 8
. Luego: n 2r
. Por tanto: V
7 15 , QH 2 2
Q
F 4
. PBQ : 42 82 82 2(8)(n)
n=7 , r
C
B
P
A
B
r
H
C
49 15 πm3 24
Clave: A
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 5
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
1.
Ciclo 2012-I
Cinco hermanos se ubican en fila, el primero dice 7, el segundo dice 14, el tercero dice 21, el cuarto dice 28, el quinto dice 35, el primero dice 42, el segundo dice 49 y siguen contando de 7 en 7. Jesús dice 77, María dice 119, Ana dice140, Elena dice 161 y Danilo dice 133. ¿Quién dice 259? A) Jesús
B) María
C) Ana
D) Elena
E) Danilo
Solución: 1) Dicen los números: 0 1º: 5 1 7 Jesús 0 2º: 5 2 7 María 0 3º: 5 3 7 Elena 0 4º: 5 4 7 Danilo 0
5º: 5 7 Ana 2) Como 259 5 7 2 7 . Por tanto 259 dijo María. Clave: B 2.
En el siguiente arreglo numérico determine la suma de las cifras de la suma de los números de las 15 primeras filas. Fila 1 Fila 2 Fil a 3 Fila 4 Fila 5
1 2 5 7 9
2 3
3 3
5 3
3
7 3
9
.
.
. . A) 8 Solución: N° de filas 1 2 3 4 . . . 15
B) 10
C) 9
. . .
. .
D) 5
.
.
E) 11
Suma 1 1+2(2) 1+3(1)+2(2+5) 1+3(1)+3(2)+2(2+5+7) . . . 1+3(1)+3(2)+…3(13)+2(2+5+7+…+29)=720
Suma de cifras = 9 Clave: C
Semana Nº 18
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Pág. 6
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Ciclo 2012-I
El costo de una excursión es de $ 300. Si hubieran ido 3 estudiantes menos entonces el costo por estudiante habría sido de $ 5 más. Si todos los estudiantes pagaron igual costo, ¿cuántos estudiantes fueron a la excursión? A) 15
B) 16
C) 12
D) 14
E) 20
Solución: Sea: w el número de estudiantes.
300 , pero debido a que en el w supuesto fueron w – 3 estudiantes, cada uno tendría que pagar 5 dólares más de 300 5 , para lograr cubrir el paquete de viaje de $ 300. pasaje osea w Algebraicamente tenemos la ecuación: 300 5 w 3 300 w 300 5w 300 w w3 De aquí: w2 3w 180 0 , entonces w= – 12 , w = 15 Clave: A A cada estudiante le tocaría pagar un pasaje de
4.
El PBI de un país está proyectado en t2 + 2t + 50 miles de millones de dólares, donde “t” se mide en años a partir del año en curso. Determine el instante a partir del cual el PBI sea igual o exceda a $58 mil millones. A) 5 años
B) 6 años
C) 2 años
D) 4 años
E) 10 años
Solución: t 2 2t 50 58 t 4 t 2 0 t = 2 Clave: C 5.
Con seis niños y cuatro niñas se desea formar un equipo mixto de fulbito. Si Patricia esta enemistada con Raúl y José, ¿de cuantas formas diferentes se podrá formar el equipo de fulbito, si patricia no puede estar con Raúl ni con José en el mismo equipo? (no deben estar las cuatro niñas en el equipo) A) 102
B) 110
C) 112
D) 98
E) 115
Solución:
6 3 N° de equipos a formar = C5 C1 (no va Patricia)
6 3 + C4 C2 (no va Patricia) 6 3 + C3 C3 (no va Patricia)
6 3 + C3 C3 (no va Patricia) 4 3 + C4 C1 (no van Raúl y José, si va Patricia)
4 3 + C3 C2 (no van Raúl y José, si va Patricia)
= 6x3 + 15x3 + 20x1 + 1x3 + 4x3 = 98 Clave: D Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 7
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 6.
Ciclo 2012-I
Se tiene 23 pares ordenados distribuidos en el plano cartesiano de la siguiente manera, 12 pares en el primer cuadrante, 10 pares en el segundo cuadrante y el par (0,0) con la propiedad de que tres pares o más no pueden estar en línea recta. i) ¿Cuántas rectas se pueden formar con los pares del primer cuadrante? ii) ¿Cuántas rectas se pueden formar tal que contengan el par (0,0)? A) 66 y 22
B) 88 y 20
C) 23 y 40
D) 60 y 20
E) 68 y 24
Solución: 12 I) C2
12! 66 10!2!
II) 22 rectas. Clave: A 7.
En una reunión se encuentran 4 parejas de esposos (4 varones y 4 mujeres) y desean sentarse en una mesa circular de ocho asientos. ¿De cuantas maneras diferentes se sientan las parejas de esposos si ellos siempre se sientan juntos? A) 96
B) 225
C) 48
D) 192
E) 384
Solución: La respuesta es 3! 24 96 Clave: A 8.
En un torneo de ajedrez se jugaron en total 218 partidos, habiendo dos ruedas. En la primera rueda jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores. ¿Cuántos participaron en el torneo de ajedrez? A) 20
B) 24
C) 22
D) 18
E) 16
Solución:
(
)
( ( )
) (
( ) ) Clave: A
9.
En el gráfico se muestra un paralelepípedo rectangular. Si la pirámide cuya base es la región sombreada y cuyo vértice es P, tiene volumen igual a 36 , calcule el volumen del paralelepípedo. A) 216 B) 220 C) 235 D) 360 E) 380 Solución:
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta) P
Pág. 8 h
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
=
(
36(6) = a.b.h
.a) =
(
Ciclo 2012-I
.a)
abh =216
= a.b.h = 216 Clave: A 10. En el gráfico, la superficie lateral del cilindro de revolución y la superficie semiesférica son equivalentes. Si R = 2u, calcule el volumen del cono de revolución de vértice V. A)
u3
B)
u3
C)
u3
D)
u3
E)
u3
Solución: Sea la altura del cilindro: h Por la igualdad de superficies: 2(4) = 2(2)h h = 2 = (4).4 =
u3 Clave: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 9
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Ciclo 2012-I
Si alguien hablara de la fuerza mística de los cerros y de los ríos, sería considerado por Comte como A) metafísico. B) fetichista.*
C) positivista.
D) politeísta.
E) monoteísta.
Solución B: El fetichismo consiste en personificar los objetos y dotarlos de un poder mágico.
Aritmética 1.
La probabilidad de que Ana desapruebe el examen de Aritmética es 0, 5, la probabilidad de que Juan desapruebe el mismo examen es 0,2 y la probabilidad de que Ana y Juan desaprueben el examen es 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que ni Ana ni Juan desaprueben el examen? A) 0,2
B) 0,6
C) 0,5
D) 0,4
E) 0,8
SOLUCIÓN: P A B P A P B P A B P A B 0,5 0.2 0,1 0,6 P A´B´ 0,4
Clave: D 2.
1 1 . Si A está contenido en B, y P(B) 3 2 halle la probabilidad de que ocurra B pero no A.
Sean A y B dos sucesos con P(A)
A)
5 6
B)
3 8
C)
1 6
D)
1 8
E)
5 24
SOLUCIÓN: Si A está contenido en B, P B A´
1 6
Clave: C 3.
Sean A y B dos sucesos con P A 0,4
y P(B) 0,7 . Halle el mayor valor
posible de P A B . A) 0,3
B) 0,7
C)0,1
D) 0,1
E) 0,4
SOLUCIÓN: mayor P A B 0,4 en el caso que A B
Clave: E 4.
En un estudio para determinar la agudeza visual se presentan al sujeto cuatro matices de un color que varían ligeramente en su brillo. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona, por simple azar, coloque los matices de mayor a menor brillo? A)
3 8
Semana Nº 18
B)
1 2
C)
1 8
D)
1 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
1 24
Pág. 27
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
SOLUCIÓN: A: “La persona coloca por simple azar los matices de mayor a menor brillo” # A 1
# 24 P A
1 24
Clave: E 5.
Tres personas juegan disparejos, para lo cual cada uno lanza al aire simultáneamente una moneda; si uno de los resultados es diferente de los otros dos, la persona que obtiene el resultado diferente pierde. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos pierda, en una tirada, si las tres monedas no están cargadas? A)
1 4
B)
1 8
C)
3 4
D)
3 32
E)
5 24
SOLUCIÓN: ccc,ccs,csc,css,sss,ssc,scs,scc A ccs,csc,css,ssc,scs,scc PA
6 3 8 4
Clave: C 6.
Tres atletas del equipo A y tres del equipo B participan en una carrera. Si los seis tienen las mismas aptitudes y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que los atletas del equipo A lleguen en los tres primeros lugares y los del equipo B lleguen en los tres últimos lugares? A)
1 720
B)
1 20
C)
1 360
D)
3 10
E)
4 5
SOLUCIÓN: A:” Los atletas del equipo A llegan en los tres primeros lugares y los del equipo B en los tres llegan en los tres últimos lugares” 1 # 720 # A 6X6 36 P A 20 Clave: B 7.
Una urna contiene 10 canicas numeradas del 1 al 10. Se extraen 4 canicas y se define a x como el segundo en orden ascendente de magnitud de los cuatro números extraídos. ¿Cuál es la probabilidad de que x=3? A)
1 6
Semana Nº 18
B)
1 5
C)
2 5
D)
8 15
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
1 10
Pág. 28
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
SOLUCIÓN: # C10 4
# A C12 X1XC72
PA
7X6 1 7X3X10 5
Clave: B 8.
Seis parejas de casados se encuentran en una habitación. Si se elige cuatro personas al azar, hallar la probabilidad de que ninguna pareja sean casados entre los cuatro. A)
37 66
B)
16 33
C)
4 11
D)
15 22
E)
17 44
SOLUCIÓN: A:” Ninguna de las 6 posibles parejas que se pueden formar con las 4 personas elegidas son casados entre ellos” 16 # C12 # A C64 XC12 XC12 XC12 XC12 P A 4 495 33 Clave: B
9.
La probabilidad de que la construcción de un edificio se termine a tiempo es 17 3 , la probabilidad de que no haya huelga es y la probabilidad de que la 20 4 14 construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga es . ¿Cuál es la 15 probabilidad de que no haya huelga dado que la construcción se terminó a tiempo? A)
1 3
B)
1 5
C)
2 5
D)
14 17
E)
7 10
SOLUCIÓN: 17 20 14 P T / H 15
T:” La construcción se termina a tiempo” P T H: “No hubo huelga”
P H/ T
P H T P T
P H
P H P T / H P T
3 4
3 14 X 14 4 15 17 17 20 Clave: D
10. Los porcentajes de votantes del candidato X en tres distritos electorales diferentes se reparten como sigue: En el primer distrito, 21%; en el segundo distrito, 45% y en el tercero, 75%. Si un distrito se selecciona al azar y un votante del mismo se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad que vote por el candidato X? A)
21 100
Semana Nº 18
B)
45 100
C)
47 100
D)
1 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
11 50
Pág. 29
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
SOLUCIÓN: 1 3 B:”La persona seleccionada vota por el candidato X” 3 1 21 45 75 47 P B P A i P B / A i P B x 3 100 100 100 100 i1
Ai:” Se selecciona el i -ésimo distrito”
P Ai
Clave: C 11. En una ciudad determinada los simpatizantes de los candidatos A, B y C son 30%,50% y 20% respectivamente. En las últimas elecciones votaron el 65% de los simpatizantes de A, el 82% de B y el 50% de C. Si se selecciona al azar una persona de la ciudad y se sabe que no votó en las elecciones pasadas, ¿cuál es la probabilidad que sea simpatizante de B? A)
295 1000
B)
90 1000
C)
20 59
D)
18 79
E)
18 59
SOLUCIÓN: Ei:” Se selecciona un simpatizante del i -ésimo candidato” N:”El candidato no votó en las últimas elecciones” 50 18 X P E2 N P E2 P N/ E2 18 100 100 P E2 / N 30 35 50 18 20 50 P N P N 59 x x x 100 100 100 100 100 100 Clave: D 12. Javier lanza repetidas veces dos dados y gana si obtiene 8 puntos antes de obtener 7.¿Cuál es la probabilidad que Javier gane? A)
11 25
B)
11 36
C)
5 36
D)
25 36
E)
5 11
SOLUCIÓN: A:”Se obtiene 8 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba” B:”No se obtiene 7 ó 8 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba” E:”Se obtiene 8 antes de 7” P A
5 36
P B
25 36
P E P A BA BBA ... P A P BA P BBA ...
P E P A 1 P B ....
2 5 5 25 25 1 ... 36 36 36 11
Clave: E
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 30
1.
Un sistema detector de humo usa dos dispositivos, A y B. Si el humo está presente, la probabilidad de que el humo sea detectado por el dispositivo A es 0,95; por el dispositivo B, 0,98; y por ambos dispositivos 0,94. Si hay humo, encuentre la probabilidad de que sea detectado por el dispositivo A, por el dispositivo B o por ambos.
A)
98 100
B)
95 100
C)
97 100
D)
96 100
E)
99 100
SOLUCIÓN: A:”El humo es detectado por el dispositivo A” B:”El humo es detectado por el dispositivo B” se colocan en un estante en 99 P A B 0,95 0,98 0,94 0,99 100 Clave: E 2.
Si se colocan en un estante en orden aleatorio cuatro volúmenes de una cierta obra, ¿cuál es la probabilidad de que el orden sea perfecto? A)
1 4
B)
1 36
C)
1 12
D)
1 16
E)
1 24
SOLUCIÓN: A:”Los libros quedan ordenados así: Volumen 1, 2,3 y4” #(A) = 1 1 # 4! 24 PA 24 Clave: E 3.
Sean A y B dos sucesos con P A 0,4 y P B 0,7 1. Halle el mínimo valor posible de P A B . A)
1 10
B)
1 5
C)
3 10
D) 0
E)
2 5
SOLUCIÓN: minimoP A B 0,1
1 10
Clave: A 4.
Un centro educativo tiene estudiantes desde primero hasta sexto grado. Los grados 2º, 3º, 4º, 5º, y 6ºtienen el mismo número de estudiantes, pero el primer grado tiene el doble. Si un estudiante es seleccionado al azar de una lista que contiene a todos los estudiantes del centro, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante seleccionado pertenezca a un grado impar? A)
2 3
Semana Nº 18
B)
1 6
C)
1 2
D)
3 4
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
4 7
Pág. 31
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Ciclo 2012-I
SOLUCIÓN: Se p: Probabilidad que un estudiante pertenezca a segundo grado 1 P 7p 7p 1 p 7 A: “El estudiante seleccionado pertenece a un grado impar” 4 P A 4p 7 Clave: E 5.
Un director técnico de vóley dispone de diez jugadoras, de las cuales cuatro son armadoras. Si selecciona al azar un equipo de seis jugadoras, ¿cuál es la probabilidad de que entre ellas haya seleccionado exactamente dos armadoras? A)
3 5
B)
3 7
C)
4 7
D)
2 5
E)
1 7
SOLUCIÓN: A:”Se selecciona exactamente dos armadoras” colocan en un estante en orden aleatorio cuatro volúmenes de # C10 6 210 una cierta obra, ¿cuál es la probabilidad de que el orden sea perfecto? PA
C24 xC64 6x15 3 210 210 7
Clave: B 6.
En una Cooperativa de Servicios hay cinco hombres y seis mujeres como candidatos para formar una comisión. Si se elige al azar cuatro personas, ¿cuál es la probabilidad de formar con ellas una comisión mixta? A)
31 33
B)
310 333
C)
210 331
D)
160 357
E)
5 16
SOLUCIÓN: A:”Se forma una comisión mixta de 4 miembros”
C15 xC36 C52 xC62 C53 xC16 31 PA C11 33 4 Clave: A 7.
Una empresa de productos de consumo transmite publicidad por televisión para uno de sus jabones. De acuerdo a una encuesta realizada, se asignaron probabilidades a los sucesos siguientes: B:”Una persona compra el producto” S:”Una persona recuerda haber visto la publicidad”. Las probabilidades fueron P(B) = 0,20 , P(S) = 0,40 y P A B 0,12 . ¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre el producto, dado que recuerda haber visto la publicidad? A)
3 5
Semana Nº 18
B)
2 5
C)
3 10
D)
3 25
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
1 5
Pág. 32
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Ciclo 2012-I
SOLUCIÓN:
P B / S
P B S P S
0,12 3 0,40 10 Clave: C
8.
Considere el experimento que consiste en lanzar un par de dados equilibrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre los dos números que aparecen sea menor que 3? A)
4 9
B)
7 18
C)
5 12
D)
5 36
E)
2 3
SOLUCIÓN: A:”
La diferencia entre los 2 números que aparecen en las caras que caen hacia arriba es 3” 24 2 PA 36 3 Clave: E
9.
Una máquina produce un artículo defectuoso con probabilidad p y produce un artículo no defectuoso con probabilidad q. Se selecciona aleatoriamente para su control seis de los artículos producidos, siendo los resultados de control independientes para estos seis artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los seis artículos sean defectuosos? A) 30 p2 q4
B) 72p2 q2
C) 10p6 q4
D) 24 p2 q4
E) 15p2 q4
SOLUCIÓN: A :”Exactamente 2 de los 6 artículos seleccionados son defectuosos” P A C62p4q2 15p2q4
Clave: E 10. En la tabla siguiente se presentan datos muestrales de la cantidad de personas que cuentan con seguro médico según edades. SEGURO MÉDICO EDAD 18 a 34 35 o mayor
SI 750 950
NO 170 130
Si se elige al azar una persona y no tiene seguro médico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 18 y 34 años? A)
13 95
B)
17 92
C)
1 18
D)
3 20
E)
17 30
SOLUCIÓN: A: “La persona elegida tiene entre 18 y 34 años” B:”La persona elegida no tiene seguro médico” P A B 170 17 P A / B P B 300 30 Clave: E Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 33
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Ciclo 2012-I
Álgebra EJERCICIOS DE CLASE 1.
x2 3a 5 Si f : 1 , 3 , b tal que f x x3 2 3
es una función sobreyectiva,
halle a 2 b 2 . A) 5
B) 2
C) 1
D)
1 2
E)
1 4
Solución: I) f x
x2 x3
1
1 x3
Si x 1 , 3 1 x 3 4 x 3 6
3 4
1
1 x3
1 4
1 x3
1 6
3 5 Ran f , 6 4 6
5
5 3 II) Además f es sobreyectiva Ran f a , b 3 2 3 3 1 aa 4 2 2 5 5 1 bb 6 3 2 1 1 1 a 2 b2 4 4 2
Clave: D 2.
Halle la suma de los tres mayores valores enteros del dominio de la función 2x 2 . f : Dom f 1 , 2 para que la función sea sobreyectiva si f x x2 A) – 3
B) – 2
C) 0
D) – 4
E) 3
Solución: I) f x
2x 2
2
2
x2 x2 2 2 1 2 2 3 0 x2 x2 2 4 4 x 2 x Dom f , 3 3 3 tres mayores elementos enteros : 1 0 1 0
Clave: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 34
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Ciclo 2012-I
Halle un intervalo para que la función f x 1 2 x x 2 sea inyectiva y decreciente. A)
, 0
B)
0,1
C)
2 1, 1
E) 0 ,
D) 1 , 5 Solución:
1 2x x 2 ; x 0 f x f x 1 2x x 2 ; x 0
2 x 1 2 ; x 0 2 x 1 2 ; x 0
Del gráfico: Y
f es inyectiva y decreciente en 1 , 5
2
–1
4.
1 x m si se cumple 4 Determine el valor de f 4 f 4 .
Dada la función
A) 13
f x
B) 2
C) 8
x
1
Clave: D
f 4m f m2 1 ; m 0 .
D) 3
E) 11
Solución: I) Sea y f x
1 4
x m x 4 y m
f x 4 x m
II) Si f 4m f m2 1 4m 4
m 4 m2 1 m 2m2 3m 2 0 m 2
f 4
4 4
2m
1
m
2
2 3
f 4 4 4 2 8 f 4 f 4 11
Clave: E
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 35
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Ciclo 2012-I
Determine la función inversa de f : 1 , 4 R definida por f x x 4 2 1 . A) f x 1 x 1 ; x 1 , 8
B) f x 4 x 1 ; x 1 , 8
C) f x 4 x 1 ; x 0 , 8
D) f x x 1 1; x 1 , 8
E) f x x 1 4 ; x 1 , 8 Solución: I) x 1 , 4 1 x 4 3 x 4 0 0 x 4 9 1 x 4 1 8 2
2
1 f x 8
Dom f 1, 8
II) Sea y f x x 4 2 1 y 1 x 4 2 x4 y1 x 4
y1
f x 4
x1
Clave: B 6.
Si f x 2 3 x , halle Dom f . A) 2 ,
B) R
+
C)
, 2
D) 2 , 2
E)
2,
Solución: f x 2 3 x x R x R 3 x 0 x R 2 3 x 2 f x 2
Dom f , 2
Clave: C 7
Si f x 10 log2 x2 8 ; x 8 , halle f 13 A) 4
B) 8
C) 2
D)
8
E) 2 6
Solución:
Sea y f x 10 log 2 x 2 8 , x 8
log 2 x 2 8 y 10 , x 2 8 x 2 8 2 y 10
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 36
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Ciclo 2012-I
2 y 10 8
x
f x
2 x 10 8
f 13
21310 8 4
Clave: A 8.
Determine el rango de la función f x e
e 2
0,
A)
B)
0,
1 2
C)
2 ln 1 x 1
e2 2 ,e 2
, x 1, 5
2 4
D)
e 2 , 2e 2
E)
.
e2 , e2 2
Solución: f x e
1 2
2 ln 1 x 1
2
x
5 4
0 x 1 ln 2 ln
e e2 2
1 2
, x 1 , 5
1 2
1 2
x 1 1 2
ln 1 x 1
2 ln 1 x 1
e2 2
1 4
1 x 1 1
1 2 e 2 ln 1 x 1
e
4
ln 1 e2 ln1
e2
f x e 2
Ran f
, e2 2
e2
Clave: E EVALUACIÓN DE CLASE
1.
3a Dada la función f x 5b siguientes proposiciones:
2 x 3 a
; 0 a b , indique el valor de verdad de las
I) f es creciente
II) f es inyectiva
3a 3a III) f 2 5b
A) VVV
C) VFV
E) VVF
Semana Nº 18
B) VFF
D) FFF
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 37
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: 2 x 3 a
3a f x 5b I) Dom f R
;0ab
Sea x1 y x 2 R / x1 x 2 2x1 3a 2 x 2 3a 3a Como 0 3a 3b 5b 1 5b 5b f x1 f x 2 f es creciente 3a
2 x 1 3a
2 x 3a
3a 5b
2 x 2 3a
V
2 x 2 3a
3a 3a II) x1 y x 2 R / f x1 f x 2 5b 5b 2x1 3a 2x 2 3a x1 x 2 f es inyectiva 3a 3a III ) f 2 5b
3a 2 3a 2
V
0
3a 1 5b
F Clave: E
2.
Dada la función f : Dom f 0 , 3 2 , 11 definida por f x ax b , a 0
es creciente y suryectiva, halle el valor de f f 11 . A) – 4
B) 4
C) 5
D)
1 3
E)
1 3
Solución:
I) f es creciente y suryectiva Ran f f 10 , f 3 2 , 11 f 0 2 b 2
f 3 11 3a b 11 a 3
f x 3x 2 II) Sea y 3x 2 x
y2 3
f x
x2
3
1 f f 11 f 3 3 Clave: E
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 38
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Ciclo 2012-I
3 2x 3 11 f : Dom f 0 , 4 a , b tal que f x 2 x1 5
Si
es una función
biyectiva, halle f a b . A) 1
C)
B) 0
1 2
D) 2
E) – 1
Solución: I) f x
2x 3 1 2 x1 x1
x 0 , 4 0 x 4 1 x 1 5
1 1 1 5 x1 3 11 a , b 2 5
11 1 11 2 3 Ran f ,3 5 x1 5 11 11 aa1 5 5 3 3 bb2 2 1 1 1 II) y 2 x 1 x 1 x1 y2 y2 1 f x 1 x2 f a b f 3 1 1 0
Clave: B 4.
Si
f x
x 1 x
, x 1, 1
y Dom f x a , b , halle el valor de
2b 4a 8ab . A) 3
B) 9
C)
1 2
D) 2
E) 1
Solución: fx
x , x 1 ,1 1 x
x 1 x , 0 x 1 fx x , 1 x 0 1 x x Sea f1 x , 0x1 1 x 1 1 1 x
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 39
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
0 x 1 1 x 1 2 1 Ran f1
Ciclo 2012-I
1 1 1 1 0 1 x1 2 x1 2
1 2
0,
x 1 1 , 1 x 0 1 x 1 x 1 1 1 1 0 x 1 1 1 0 2 1 x 2 1 x 1 Ran f2 , 0 2 Sea f2 x
Ran f Ran f1 Ran f2
1 1 1 1 , Dom f a ; b 2 2 2 2
2b 4a 8ab 9
Clave: B 5.
Si f x
A)
x 1 1 6 , x 3 , 4 , halle el valor de f 15 . x 3 x 3 2
7 2
5 2
B)
C)
1 2
D)
2 7
E)
5 7
Solución: y f x
x 1 x3
1
x 3 2
6
2
x 1 x 3 1 6 x 3 2 2
1 x2 y 6 1 x3 x3 1 1 1 y6 y6 1 x3 x3 1 1 x3 x 3 y6 1 y6 1 f x 3 f 15 3
1 x 6 1 1 15 6 1
7 2
Clave: A 6.
2 Si 1 , 3 pertenece a la gráfica de la función f definida por f x a x 2x , halle el rango de f.
A)
0 ,3
Semana Nº 18
B)
, 3
C)
3 ,3
D) 0 , 3
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
,3
Pág. 40
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Ciclo 2012-I
Solución:
1 ,3
gráfica de f
1 f 1 3 a1 2 a 3 1 f x 3
x 2 2x
1 3
x 1 2 1
x R x 1 2 0 x 1 2 1 1
x 1 2 1
1 0 3 Ran f 0 , 3
1 3
1
0 fx 3
Clave: A 7.
Halle el dominio de la función f definida por f x ln 1 2x x 2 . A) 0 , 2 1 D)
B)
1 3 , 2 2
C) 1 , 2
0,1
E) 0 , 2
Solución:
f x ln 1 2x x 2 2x x 2 0 x x 2 0
; x Dom f ln 2x x 2 0 2 x 2 1 x
x 1
x 0 ,2
x1
Dom f 0 , 2 1
Clave: A 8.
f x ln log del dominio de f. Si
A) 4
10 x 1 x 2
, halle la suma de los elementos enteros
C) – 1
B) 2
D) 5
E) – 5
Solución:
Si f x ln log
10 x 1 x 2
10 log x 1 x 2
Semana Nº 18
0
10 0 x 1 x 2
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 41
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Ciclo 2012-I
10 1 0 x 1 x 2
12 x x 2 0 x 1 x 2
x 4 x 3 0 x 1 x 2
x 1 x 2 0
Dom f 4 , 2 1 , 3
valores enteros del Dom f : 3 2 1 Clave: C
Geometría 1.
Dada la ecuación de la elipse 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0. Halle las coordenadas de su centro. A) (1; – 4)
B) (3; – 7)
C) (3; – 1)
D) (4; – 3)
E) (1; – 1)
Solución: Completando cuadrados: 5(x2 – 6x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 1 – 1) + 9 = 0 5(x – 3)2 – 45 + 9(y + 1)2 – 9 + 9 = 0 5(x – 3)2 + 9(y + 1)2 = 45
( x 3)2 9
( y 1)2
=1
5
C = (3;–1) Clave: C 2.
Halle la ecuación de una elipse cuyos focos son los puntos F 1(3;2) y F2(3;–4), si se sabe además que la longitud de su eje mayor es 10 unidades. A) 16(x – 3)2 + 25(y – 5)2 = 400
B) 25(x – 3)2 + 16(y + 1)2 = 400
C) 16(x – 5)2 + 25(y – 3)2 = 400
D) 9(x – 5)2 + 25(y – 3)2 = 400
E) 25(x – 3)2 + 9(y – 5)2 = 400
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 42
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Ciclo 2012-I
Solución:
Y
Tenemos que 2a = 10 a = 5 De la figura tenemos 2c = 6 c = 3
F1 (3,2)
Pero a = b + c b = 4 2
( x 3) 2 4
2
2
2
( y 1)2
5
2
C(3, 1) X
O
=1
F2 (3, 4)
25(x – 3)2 + 16(y + 1)2 = 400
Clave: B 3.
En la figura se muestra una elipse de centro O donde F 1 y F2 son sus focos. Si la y2 x2 elipse tiene por ecuación + = 1 y OB2 = 4F2O. Halle OC. 14 n 5 n A) 2 2 m
Y
B) 2 3 m
C
C)
3 m
D) 4 m A
E) 6 m Solución: Tenemos que
O
F1
F2
B
X
D
a2 b2 c 2 a2 14 n b2 5 n c a2 b2
Pero a2 = 4c 14 – n = 4 14 n 5 n n = 2 b=
3 m
Clave: C 4.
Si la recta L : y = 2x + n, n > 0 es tangente a la elipse 9x2 + 4y2 = 36. Halle n2 – 9. A) 5
B) 9
C) 12
D) 16
E) 25
Solución: Y
Como y = 2x + n ; n > 0 9x2 + 4(2x + n)2 = 36 2
2
(x,y)
L : y = 2x + n
n
2
9x + 4(4x + 4xn + n ) = 36 25x2 + 16nx + 4n2 – 36 = 0
F1
O
F2
X
Pero = 0 256n2 – 400n2 + 3600 = 0 n=5 n2 – 9 = 16 Clave: D Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 43
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Ciclo 2012-I
En la figura, la elipse tiene por ecuación 16x2 + 25y2 – 400 = 0. Si F1 y F2 son sus focos y además F2 es centro de la circunferencia de radio 4 m, halle la abscisa del punto P. Y
A) 3 m
B) 4 m P
C) 5 m
D)
5
m
2
E)
O
F1
F2
X
5
m 3 Solución: Como la ecuación de la elipse es x2 5
2
y2 4
=1
2
Y
a5 c=3 b4
P 6
En el F1PF2: 2
2
2
F1
2
6 – (3 + x) = 4 – (3 – x)
4
x
O H
3
F2
X
3 x
20 – 9 – x2 – 6x = – 9 – x2 + 6x 12x = 20 x=
5
m
3
Clave: E 6.
En la figura, F1 y F2 son los focos de la elipse cuya ecuación es
x2 49
y2 24
= 1.
Si PF2 = 6 m, halle el área de la región triangular F1PF2. A) 26 m2
Y
B) 28 m2
P
C) 24 m2 F1
D) 12 m2
O
X
F2
E) 36 m2 Solución: Y
Como a = 7 F1P + PF2 = 14 F1P + 6 = 14 F1P = 8 SF1PF2 =
48
P 6
F1
O
F2
X
= 24 m2
2
Clave: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 44
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
Ciclo 2012-I
En la figura, F1 y F2 son los focos de la elipse. Si AF1 = 2 m, halle el inradio del triángulo ABF2. Y
A) 1 m
B) 2 m
B C) 3 m
D) 4 m
F1
O X
F2
A
E) 5 m Solución:
Y
Por definición tenemos
B
F1B + BF2 = 2 + AF2 pero por Poncelet:
2
F1
O X
F2
A
AB + BF2 = AF2 + 2r 2 + F1B BF2 = AF2 + 2r 2 AF2 r=2m
Clave: B 8.
x2
y2
= 1, halle el área de la región triangular en 9 4 metros cuadrados formada por un lado recto y los segmentos que unen sus En la elipse cuya ecuación es
extremos con el centro de la elipse. A)
4 3
m2
B)
8 5 3
m2
C)
2 5
m2
D)
3
4
m2
E)
4 5
m2
3
7
Solución: Si
x2 9
PQ =
y2 4
2b 2 a
SPOQ =
=1 a=3 y b=2 c=
Y
PQ =
18 5 23
SPOQ =
5
8 P
3 F1
O
F2
X
Q
4 5 3
Clave: E
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 45
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 9.
Ciclo 2012-I
En la figura, O es el centro de la circunferencia cuyo radio es 5 m. Si A y B son los focos de la elipse y mAMB = 106°, halle las coordenadas del punto C. Y
A) (2;1)
B) (3;1)
C) (4;6)
D) (4;1)
C
O B (16;0)
A
E) (5;1)
X
M
Solución:
Y
Como BC es diámetro m ) CAB = 90° y
C
m ) BCA = 53°
6 53°
por definición: 2a = 16 a=8 LN = 16 LA = BN = 4 C = (4;6)
L
4
5
O
5
B
8
A
4
M
N
X
106°
Clave: C 10. En una elipse que tiene por ecuación x2 + 2y2 = 8, se traza la recta tangente en el punto P( 6 ; – 1). Halle la ecuación de la recta. A)
6 x – 2y = 8
B)
6 x + 2y = 4
D)
6 y – 2x = 6
E)
6 x – 2y = 4
C)
6 y – 2x = 8
Solución: Y
Como ( 6 ,– 1) L
L : y = mx + b
– 1 = m 6+ b Como: x2 + 2y2 = 8
O
X
( 6, 1)
x2 + 2(mx + b)2 = 8 x2(1 + 2m2) + 4mbx + 2b2 – 8 = 0 Pero = 0 tiene única solución 16m2b2 – 4(1 + 2m2)(2b2 – 8) = 0 8m2 = b2 – 4 Reemplazando tenemos: 2m2 – 2m 6 + 3 = 0 m =
6 2
y=x 6 –7 y=x
6 2
– 4 2y = x 6 – 8 Clave: A
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 46
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
11. Se tiene una elipse de focos F1(– 2;0) y F2(2;0) en donde se ubican los puntos A y B de tal manera que el área de la región cuadrangular F1AF2B es máxima e igual a 4 m2. Halle la ecuación de la elipse. x2
A)
6 x2
D)
y2
=1
B)
2
y2 = 1
E)
5 Solución: 1 SF1 AF2B = AB F1F2 sen 2 1
x2 8 x2 9
y2 2 y2
=1
C)
9
F1( 2,0)
AB 4
4
X
F2(2,0) B
AB = 2
=1
12
A
2
y2
=1
Luego tenemos 4=
4
= 90°
1
x2
b 1 a 5 c 2
x2
+ y2 = 1
5
Clave: D 12. En la figura, determine la ecuación de la elipse que describe el punto P(x;y) sobre el plano xy, si se cumple que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a 4. A)
x2 9
C)
x2 36
E)
x2 9
y2
=1
B)
36
y2
y2
x2 16
=1
D)
9
x2 9
y2
Y
=1
P(x;y)
25 y2
=1
25
B( 3;0)
=1
O
A(3;0)
X
36
Solución: Y
Tenemos que:
P(x;y)
tgtg = 4
y
y
(3 x ) (3 x )
y2 = 4(9 – x2)
x2 9
y2 36
y
=4
B( 3;0) 3
O
A(3;0) x
X
3 x
=1 Clave: A
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 47
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
13. En la figura se muestra una elipse de centro O cuyos focos son F1 y F2. Si L1 : 3 x – y + 2 3 = 0 y la suma de pendientes de L1 y L2 es cero, halle la ecuación de la elipse. A) x2 + y2 = 16 B)
x2 10
C)
x2 12
D)
x2 16
E)
x2 9
y2
y2
L2
=1
Y
L1
4
=1
F1
16 y2
O
X
F2
=1
12
y2
=1
4
Solución: 1
Pero mL =
2
3
1
tg =
Y
L2
Tenemos que: mL + mL = 0 3 = 60°
F1
L1
4 2 3 = 60° 60° 2 O
F2
X
a = 4, b = 2 3 , c = 2 x2 y2 =1 16 12 Clave: D 14. Determine el lugar geométrico de todos los puntos P(x;y) del plano cartesiano tal que la suma de sus distancias a los puntos Q(– 3;0) y R(3;0) es siempre constante e igual a 10 unidades. B) 25x2 + 16y2 = 400 E) 4x2 + 5y2 = 20
A) x + y = 10 D) 5x2 + 4y2 = 20 Solución: Tenemos
d1 =
( x 3) 2 y 2
d2 =
( x 3) y 2
C) 16x2 + 25y2 = 400
Y
2
10 = d1 + d2 (10 – d1)2 = d22 100 + 12x = 20 ( x 3)2 y 2 400 = 16x2 + 25y2 x2 y2 =1 25 16
d1
(x;y) d2
A( 3;0)
O
B(3;0)
X
Clave: C
Semana Nº 18
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Pág. 48
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
1.
Ciclo 2012-I
Los focos de una elipse son los puntos F1(3,0) y F2(–3,0) y la longitud de su lado recto es 9 unidades. Halle la ecuación de la elipse.
A)
x2
y2
y2
=1
B)
81 36
D)
x2 27
x2 49
=1
E)
x2 36
36
y2
=1
C)
27 y2
x2 36
y2
=1
27
=1
81
Solución: 2b 2
MN =
a
b2
9
a
=9
Y
M
pero c = 3
2
F1 (3,0)
Como a2 = b2 + c2
O
4k2 = 9k + 9
F2 (3,0)
X
N
4k2 – 9k – 9 = 0 4k
3
k
–3
k=3 a = 6, b = 3 3 , c = 3
x2
36
y2
=1
27
Clave: C
2.
Los puntos A(2;m) y B(n;4) pertenecen a una elipse cuyo centro es el punto C(3;1). Si AB contiene al centro, halle mn. A) – 3
B) 8
C) – 8
D) 3
Solución:
Y
(n,4) (2,m)
A(2,m)
= (3,1)
2
n=4
E) 4
~
y
mn = – 8
m=–2
~
(3,1)
X
B(n,4)
Clave: C
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 49
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Ciclo 2012-I
En la figura, se muestra una elipse de centro O cuyos focos son FF 3 y F1B + F2B = 20 cm, halle la ecuación de la elipse. Si 1 2 AQ 4 x2
A)
100
B)
x
2
64
C)
x2 25
D)
x
2
25
E) x 2
y2
Y
=1
64 y
B
2
=1
100
F1
y2
=1
100
y
F 1 y F2 .
A
O
2
=1
X
Q
X
F2
16 y2
Q
=1
D
100
Solución: Como F1B + F2B = 20 cm
Y
Por definición:
B
2a = 20 a = 10 cm F F 6k 12 AQ 8k AQ 4
F1F2
3k
3
F1 4k
A
3k
c 3k a = 5k b 4k
O F2
5k = 10
D
k=2
x2 64
y2 100
=1 Clave: B
4.
En la figura, se muestra una elipse de focos F1 y F2 donde AB es el eje mayor y la 5 recta L es la recta normal a la elipse en T. Si AF 1 = m, F1P = 4 m y PF2 = 6 m, 2 halle PT.
L A) 15 m
B)
20 m
C)
25 m
D)
30 m
E)
35 m
A
F1
P
F2
B
T Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 50
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: Como L es normal a la elipse en T
L
mF1TP = mPTF2 Luego por el primer T.B.I. en el TF1F2: 5n 15 n3 F2T 3n
F1T
2n
A
F1 5/2
2n 4 x 3n 6
Por el segundo T.B.I.:
5/2
B
T
x2 = 6(9) – 24 x=
F2
P
30 m
Clave: D 5.
El centro de una elipse es el punto M(3;5) y sus focos son F 1(–1;5) y F2(7;5). Si el eje menor tiene una longitud de 10 unidades, halle la ecuación de la elipse. A)
( x 3)2 25
C)
( x 3)2 25
E)
x2 25
y2
( y 5)2
=1
B)
41 ( y 5)2
( x 3)2 41
=1
D)
9
( x 3)2 9
( y 5)2
=1
25 ( y 5)2
=1
25
=1
9
Solución: Como 2b = 10 b=5m de la figura c = 4 m
10 m
F1(1,5)
como a2 = b2 + c2
41
a=
M(3,5) F2 (7,5)
( x 3)2 41
( y 5)2 25
=1 Clave: B
6.
Si Q(–2 5 ;2) es punto de una elipse cuya longitud de su semieje menor es 3 unidades. Halle la ecuación de la elipse cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas. A) D)
x2 16 x2 9
y2
y2
Semana Nº 18
9 5
=1
B)
=1
E)
x2 49
x2 256
y2 36
=1
y2 192
C)
x2 36
y2 9
=1
=1
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 51
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: x2
E:
a2
Y
y2
Q(2 5,2)
=1
b2
como Q E y b = 3 x2 a2
y2
F1
=1
O
F2
X
9
( 2 5 )2
a2
22
=1
9
a2 = 36 a = 6
x2 36
y2
=1
9
Clave: C
Trigonometría 1.
x 2 Dada la función f definida por f(x) = 4arcsen , hallar la intersección del 6 dominio y rango de f. A) [– 2 ,8]
B) [– 8, 2 ]
C) [– 8,4]
D) [– 2 ,2 ]
E) [– 2 ,4]
Solución: Domf: – 1
x2 6
1 –8 x4
Domf = [– 8, 4] Ranf: –
x 2 arcsen 2 6 2
x 2 – 2 4 arcsen 2 6 – 2 f(x) 2 Ranf = [– 2, 2] Domf Ranf = [– 2 ,4] Clave: E 2.
130 96 Calcular el valor de arcsen cos +arccos sen . 7 7 A)
5 7
Semana Nº 18
B)
6 7
C)
5 11
D)
3 7
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
5 14
Pág. 52
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución:
cos
130
sen
7
cos
4 7
sen
sen 14 14
96
5 5 3 11 sen sen cos cos 7 7 7 14 14
11 11 10 5 arcsen sen arccos cos 14 14 14 14 7 14 Clave: A 3.
La función real F está definida por F(x) = 4 + 12arctg(3x – 2),
1 3
rango de F es el intervalo [a,b] ; calcular
b
x
3 2
, el
3
.
a
A) 8
B) 7
C) 9
D) 6
E) 10
Solución: 1 3x
3 + 2 – 1 3x – 2
arctg(– 1)
–
4
– 3
3
arctg(3x – 2)
arctg( 3 )
arctg(3x – 2)
12 arctg(3x – 2)
3
4
4 + 12 arctg(3x – 2) 8
RanF = [, 8]
b a
=
8
=8 Clave: A
4.
Sean las funciones reales f y g definidas por f(x) = sen
x
+ cos(arctgx)
y
4
g(x) =
A)
1 3 tg(arccos(– x)); calcule f(1) + g . 2
2– 2
B)
2– 3
C)
2+ 3
D)
2+ 1
E)
2+2
Solución:
1 1 f(1) + g = sen cos(arctg(1) 3 tg arccos 4 2 2
2 = sen cos 3 tg = 4 4 3
2– 3 Clave: B
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 53
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Ciclo 2012-I
1 1 1 1 Calcular el valor de cos2 arccos + sen2 arccos . 4 3 2 2 A)
21
B)
4
19
C)
24
23
D)
14
E)
3
24
7 24
Solución: cos2x =
1 cos 2x
; sen2x =
1 cos 2x
2
= arccos
1
2
1
cos =
4
= arccos
1
4 1
cos =
3
3
1 1 1 cos = cos2 arccos = cos2 = 4 2 2 2
1
1
4 = 5 2 8 1 1 1 1 1 cos 3 = 1 5 + 1 = 23 sen2 arccos = sen2 = = 3 2 2 3 8 3 24 2 2
Clave: C 6.
Si el rango de la función real f definida por 3 f(x) = arctg(1) + arccos arcsen(4x – 5) es [a,b], hallar b – a. 2 3
22
A)
B)
3
7
C)
5
6
D)
6
4 2
E)
5
5 2 6
Solución: f(x) =
2 12
–
2
5
arcsen(4x – 5)
6
arcsen(4x – 5)
–
2 3
f(x)
2 2
2
–
5 2 12
5 6
arcsen(4x – 5)
5 2 12
2 2 5 2 2 2 = Ranf = , 2 3 6 3 12 Clave: E
7.
arc tg4 x
Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) =
(arctg4 x )2
1 1 A) R – , 4 4 1 1 D) R – , E) R – 4 4 Semana Nº 18
1 1 B) R – , 2 4 1 1 , 2 12 (Prohibida su reproducción y venta)
2
.
16
1 1 C) R – , 4 2
Pág. 54
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: x Domf
2 (arctg4x) –
arctg4x
4x 1
2 16
0
arctg4x 0 4 4 x
1 4
1 1 Domf = R – , 4 4 Clave: D 8.
Hallar el dominio de la función real f definida por f(x) = arccos
A) [– 1,0]
1 C) , 0 2
B) [0,1]
D) 1, 0
x2 x2 1
+ arcsen x .
1 E) , 0 2
Solución: –11–
–2 –
0 1 2
–
1 2
1 x2 1 1
x 1 2
1 x 1 2
1
0
2
x2 + 1
< +
x2
< +
x
< +
0
–1
x 1
0 x 1
0x1
Dom f(x) = [0,1] Clave: B
9.
Determine el rango de la función f, definida por f(x) =
A) 0, 2
Semana Nº 18
B) , 4 2
C) 0, 2
D) 0,
2x 3 arcsen . 3 5 6 2
2
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 0,
Pág. 55
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Solución: Como
2x 3 5
[–1,1] –
2x 3 arcsen 2 5 2
2x 3 2 2 – arcsen 3 3 5 3 3 2x 3 2 – arcsen 6 3 6 5 Luego
0
2x 3 arcsen 2 3 5 6 f ( x)
2
Ranf = 0, 2 Clave: C
mx 1 10. Sea f la función real tal que f(x) = 4arcsen 2 Dom(f) = [a,b], calcular 2a + 3b. A) 1
B) 2
C) 0
D) – 1
y
2 1 = . f 3
Si
E) – 2
Solución:
2 1 = f 3 2 1 m 1 3 = arcsen 1 m 2 1 1 = 4arcsen 2 3 4 2 2 1 2 1 2 1 = 2 –1 m=3 1 = m m 2 2 3 3 3 x 1 f(x) = 4arcsen 2 1 3x 1 –1 1 – 2 3x + 1 2 – 3 3x 1 – 1 x 2 3 1 1, Domf = 3 2a + 3b = – 2 + 1 = – 1 a, b
mx 1 f(x) = 4arcsen , 2
Clave: D
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 56
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
1.
Ciclo 2012-I
Hallar el mínimo valor de la función f definida por f(x) = 2arcsen2x +
A) –
B) –
6
C) –
2
D) –
1 3 , x , . 6 4 4
E) –
5
3
4
Solución:
1 3 Como x , 4 4 –
1
x
4
–
1
2x
2
– –
3
–
4
3 2
arcsen2x
6
–
3
3
6
+
6
2arcsen2x +
f(x)
6
2 3
+
6
5 6
5 f(x) , 6 6
3
2arcsen2x
2
min f(x) = –
3
6
Clave: A 2.
Determine el valor de la siguiente expresión:
7 3 1 A = sec2 arctg + sen2 arccos + cos2 arccos 8 8 2 A) 1
B) 2
C)
1 4
D)
1 2
E)
3 4
Solución:
7 3 1 1 sen2 arcsen A = 1 + tg2 arctg 1 cos2 arccos 8 8 2 = 1 1
1
7 3 1 1 4 8 8 1 5 8
A =
5 4
3
8
=2
4
Clave: B Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 57
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
3.
Ciclo 2012-I
x 2 Sea la función real f definida por f(x) = arcsen (1 – x ) + arccos . Hallar el 3 dominio de f. A) [– 2,2]
B) [– 2,1]
C) [– 5,1]
D) [2,5]
E) [– 5,– 2]
Solución: x2
–1 x 1 –1
x 2
3
1
–3x+23
–2x2
–5x1
Domf = [– 2,2] [– 5,1] = [– 2,1] Clave: B 4.
Hallar el dominio de la función real g definida por
x 1 + arcsen + arccos(2x + 2). 6 2
g(x) =
1 A) 1, 2
1 C) , 0 2
B) [– 1,0]
1 D) , 1 2
1 E) , 3 2
Solución: g(x) = –1
x 1 + arcsen + arccos(2x + 2) 6 2
x 1
1 – 1 2x + 2 1
2
– 2 x – 1 2 – 3 2x – 1 –1x3 –
3 2
x–
1 2
1 Dom(g) = 1, 2 Clave: A
5.
1 Calcular arcsen . 1 2 1 tg arccos 2
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 58
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO A)
B)
12 Solución:
1 = arccos 2
C)
6
Ciclo 2012-I
D)
3
cos = – =
5 12
E)
4
1 2
2 3
2 1 – tg = 1 + 3
3
6 2 1 = = arcsen arcsen 12 4 2 (1 3 )
Semana Nº 18
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 59
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
1.
Ciclo 2012-I
Tenemos 4 cajas y 4 objetos; una llave, una moneda, un dado y una canica. Cada caja contiene un objeto. Se sabe que: • • • • • •
La caja verde está a la izquierda de la caja azul. La moneda está a la izquierda de la canica. La caja roja está a la derecha del dado. La canica está a la derecha de la caja roja. La caja marrón está a la derecha de las otras tres cajas. La llave no está en la caja roja ni en la azul.
¿En qué caja está la moneda? A) En la caja verde C) En la caja azul E) En la caja verde o en la caja marrón
B) En la caja roja D) En la caja marrón
Resolución: 1) Distribución de los objetos en las cajas:
[1 dado moneda canica Llave 23][1 424 3][1 424 3][1 23] verde
roja
azul marrón
2) Por tanto la moneda está en la caja roja. Rpta: B 2.
Un niño siempre dice la verdad los jueves y los viernes y siempre miente los martes. En los demás días de la semana no sabemos cuándo miente o dice la verdad. En siete días consecutivos, se le preguntó su nombre y él contestó los primeros seis días en este orden: Juan, Pedro, Juan, Pedro, Luís, Pedro. ¿Qué respondió el séptimo día? A) Juan
B) Pedro
C) Luis
D) Silvio
E) Carlos
Resolución: 1) Tenemos los días y las respuestas: Vier(V) Juan
Sábado Pedro Juan
Dom Juan Pedro Juan
Lunes Pedro Juan Pedro Juan
Mart(M) Luis Pedro Juan Pedro Juan
Mier Pedro Luis Pedro Juan Pedro Juan
Jueves(V) Diría: Juan Pedro Luis Pedro Juan Pedro Juan ….
Vier (V)
Sab.
Dom
Lunes
Mart(M)
⇒⇐ Pedro Luis Pedro Juan Pedro
⇒⇐ Pedro Luis Pedro Juan
⇒⇐ Pedro Luis Pedro
⇒⇐ Pedro Luis
⇒⇐ Pedro
2) Por tanto el séptimo día que es jueves respondió: Juan. Rpta: A Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 15
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Ciclo 2012-I
En una caja se tienen 25 pares de zapatos completos de tres colores distintos y de tres tamaños distintos; si en la caja hay: 6 pares de zapatos rojos, 2 chicos, 3 medianos y 1 grande, 9 pares de zapatos verdes, 3 chicos, 4 medianos y 2 grandes, 10 pares de zapatos azules, 4 chicos, 3 medianos y 3 grandes. ¿Cuál es la cantidad mínima de zapatos que debe sacarse al azar para estar seguros de que se ha sacado un par completo del mismo color y tamaño? A) 12
B) 26
C) 20
D) 22
E) 30
Resolución: 1) Según el enunciado se tiene: Color Chico Mediano Grande Total Rojo 2D,2I 3D,3I 1D,1I 6D,6I Verde 3D,3I 4D,4I 2D,2I 9D,9I Azul 4D,4I 3D,3I 3D,3I 10D,10I 2) Peor de los casos: Como queremos que sea del mismo color, del mismo tamaño y que sea un par completo será: 10D+9D+6D+1I(cualquiera que sea el tamaño). 3) Por tanto es necesario extraer como mínimo 26 zapatos. Rpta: B 4.
Nueve fichas diferentes de un juego de dominó se colocan como se muestra en la figura 1, siguiendo las reglas del juego (blanca se empareja con blanca, 1 con 1, 2 con 2 y así sucesivamente), como se muestra en la figura 2 ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de puntos de las 9 fichas, como se muestra en la figura 1, si ya se colocó una de ellas? A) 29 Figura 2
B) 27 C) 28 D) 30 E) 26
Figura 1
Resolución: 1) Según las condiciones del problema, se tiene:
2) Por tanto la suma mínima de las 9 fichas es 28.
Rpta: C Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 16
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 5.
Ciclo 2012-I
Halle el valor de X sabiendo que es un cuadrado mágico y se compone de los números del 10 al 18.
X
A) 14
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
Resolución: a b c a+x+f=N x b+x+e=N c+x+d=N d e f (a + b + c) + 3X+(d + e + f) = 3N N+3X+N=3N ⇒ 3X=N ⇒ X=N/3 En este cuadrado mágico, N es la tercera parte de la suma de sus elementos 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 126 ⇒ N = 42. Luego X = 14. Rpta: A
6.
En el siguiente tablero, ¿cuál sería la mínima suma obtenible de los nueve números positivos del tablero si se considerara que fichas con numeración consecutiva no pueden ir en casillas con un lado común?
2
A) 33
B) 32
1
5
4
1
C) 25
D) 30
E) 31
Resolución: 1 5 2
4 2 2
1 5 2
1 5 2
4 1 4
4 1 4
Suma = 25
Solucionario – Repaso
Rpta: C
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 17
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 7.
Ciclo 2012-I
Florencia debe tomar una pastilla del tipo A cada 8 horas y 2 pastillas del tipo B cada 7 horas. Si inició su tratamiento tomando ambos tipos de pastillas, ¿en cuántas horas como mínimo habrá tomado 18 pastillas? A) 35
B) 40
C) 36
D) 38
E) 42
Resolución: 1Nro pastillas tomadas = Nro pastillas del tipo A + Nro de pastillas del tipo B T T Nro pastillas tomadas = 1 + 1 + 2 + 1 = 18 ⇒ 23T = 56 (15) = 840 ⇒ T = 36,5 8 7
32 Nro pastillas del tipo A = 1 + 1 = 5 8 35 Nro de pastillas del tipo B = 2 + 1 = 12 7
Para tomar las 18 pastillas: Tiempo mínimo = 40 h
Rpta: B 8.
Una caja contiene 35 esferas azules, 31 esferas amarillas, 33 esferas rojas y 29 esferas blancas. ¿Cuántas esferas, como mínimo, se debe extraer al azar, para tener la certeza de obtener 4 esferas del mismo color, en 3 de los 4 colores? A) 73
B) 15
C) 102
D) 75
E) 32
Resolución: – Azules(35): 35 – Amarillas(31): 3 – Rojas(33): 33 – Blancas(29): 3 – Adicional: 1
Peor de los casos
Por tanto, como mínimo se deben extraer 75 esferas.
Rpta: D 9.
Se muestran “n” circunferencias mayores y otras menores, dispuestas como indica la figura. Determine el máximo número de puntos de cortes. A) 10(n-1) B) 5(n+1) C) 10(n+1) D) 30(n-1) E) 5(n-1)
Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 18
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución: Por recurrencia: n=2
⇒
M= 10 = 10 x1 = 10(2 – 1)
n=3
⇒
M= 20 = 10 x2 = 10(3 – 1)
n=4
⇒
M= 30 = 10 x3 = 10(4 – 1) … Luego para “n” circunferencias mayores: M =10(n-1)
…
Rpta: A
10. En una reunión hay 100 personas; de ellas 40 no tienen hijos; 60 son hombres; 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos; hay 5 madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres solteros? A) 30
B) 10
C) 15
D) 25
E) 20
11. De un recipiente lleno con aceite se extrae 1/5, luego 3/7 de lo que queda y luego 1/8 de lo que quedaba. Luego se añade la mitad de los 2/3 de lo que se había extraído hasta el momento. ¿Qué fracción del volumen que había inicialmente queda en el recipiente? A) 3/5
B) 7/8
C) 9/11
D) 3/4
E) 5/6
Resolución: V: volumen inicial Se extrae Queda 1 4 V V 5 5 2do 3 4 44 V V 75 75 3ro 1 4 4 2 7 4 4 2V V = V V = 8 7 5 35 8 7 5 5 3 3 Finalmente F(V)=: V ⇒ F = 5 5
Finalmente
1ro
2 V 1 2 3 3 + V = V 5 2 3 5 5
Rpta: A Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 19
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
12. Marcos le dice a Jaimito: “En una división entera inexacta, el residuo por defecto es la cuarta parte del residuo máximo y el residuo por exceso es 346. Si hallas el valor del dividendo, tu propina será, en soles, la suma de cifras del valor obtenido”. Si el cociente de la división por defecto es 7, ¿cuál será la propina de Jaimito? A) S/. 12
B) S/. 8
C) S/. 9
D) S/. 11
E) S/. 13
Resolución: D = d(q) + rd ⇒ rd =
re + rd = d ⇒
rmáximo d − 1 = ; 4 4
re = 346
d -1 + 346 = d ⇒ d - 1 + 1384 = 4d 4
3d = 1383 ⇒ d = 461 D = d(q) + rd = 461(7) + 115 = 3342 ⇒ Suma cifras dividendo = 3 + 3 + 4 + 2 = 12
Propina de Jaimito es de S/. 12
Rpta: A 13. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible, sin que sobre madera. ¿Cuál debe ser la longitud en centímetros del lado de cada cuadrado y cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera, respectivamente? A) 22 y 22
B) 24 y 32
C) 32 y 24
D) 22 y 24
E) 24 y 22
Resolución: a) La longitud L del lado del cuadrado debe ser un divisor de 256 y de 96, y además el mayor divisor común; ⇒ L= m.c.d. (256,96) = 32 b) Nro.cuadrados=
256× 96 = 8(3) = 24 32× 32
Rpta: C 14. La relación de los volúmenes de aceite de motor de tres cilindros es de 45, 36 y 27. Si se vierte aceite de motor del primer cilindro al segundo y luego del segundo al tercero, entonces la nueva relación es de 9, 15 y 12 respectivamente. Si en total se ha transferido 108 litros de aceite de motor, halle el volumen inicial del cilindro de menor capacidad. A) 144 L
Solucionario – Repaso
B) 108 L
C) 180 L
D) 114 L
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 111 L
Pág. 20
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Ciclo 2012-I
Resolución: x
y
5k → 4k → 3k
x + y = 108
;
5k - x 4k + x - y 3k + y = = 3 5 4
x = 72 y = 36 k = 36
⇒
∴ 3k = 3(36) = 108 litros. Rpta: B 15. En una fiesta infantil se reparten 492 caramelos entre 12 niños. El reparto se realizó según el orden de llegada. Si cada niño recibió dos caramelos más que su antecesor, ¿cuántos caramelos recibió el niño que llegó último? A) 52
B) 54
C) 50
D) 48
E) 56
Resolución: Total de caramelos = 492 Total de niños
= 12
N1 = a
492 = 12a + 2 (1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 11)
N2 = a + 1( 2 )
11× 12 492 = 12a + 2 2 492 = 12a + 11× 12
N3 = a + 2 ( 2 )
N4 = a + 3 ( 2 )
⇒
.
41 = a + 11 a = 30
. .
N12 = 30 + 11( 2 ) = 52
∴
N12 = a + 11( 2 )
Rpta: A
16. Halle la suma de cifras de “”117P” si P=
A) 6
Solucionario – Repaso
B) 9
1 4
+
1 8
+
3 64
+
C) 10
1 64
+
5 1024
+
3 2048
+ ...
D) 11
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 7
Pág. 21
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución: P=
1 4
+
2 16
4P - 1 =
2 4
3P – 1 =
+
+
1 4
3 64 3
+
16
+
16
1024
5
+
64
5
+
256
4
1
+
4
+
256
1 64
+
+
6 4096
-
6
+
+ ...
1024
1 256
+
+ ...
1 1024
+
1 4096
+ ... =
1/4 1 = 1 - 1/4 3
⇒ 117P = 52
Suma de cifras = 5 + 2 = 7 Rpta: E
17. Calcule
1
S=
3 A)
7
2
B)
36
1
+
3
2
+
26 3
6
+
242 3
8
10
C)
25
+
2186 3
14
17
+ ...
D)
25
21
E)
80
9 40
Resolución: 3
5
7
3 -1 3 −1 3 −1 3 −1 • S = 2 + 6 + 10 + 14 + ... 3 3 3 3 • S = 1 + 1 + 1 + 1 + ... - 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 2 3 5 7 6 10 14 3
3
3
3
3
3
3
3
1/3 1 − 1/3
2
−
1/9 1 − 1/3
4
=
3 8
−
9 80
=
21 80
Rpta.: D 18. Kiara salió de compras al supermercado, para ello llevó en su monedero cierta cantidad de monedas de S/. 1, S/. 2 y S/. 5; y gastó todas las monedas de S/. 2 comprando un peluche de S/.40. Como lo que le quedaba no le alcanzaba para comprar un bolso de S/. 120, se regresó en un taxi pagando con una moneda de S/.5. ¿Cuántas monedas como máximo puede haber tenido en su monedero al salir de compras? A) 114
B) 115
C) 135
D) 25
E) 47
Resolución: #monedas de S/. 5 = a #monedas de S/. 2 = b #monedas de S/. 1 = c Gasta S/.40 en puras monedas de S/. 2 entonces b = 20
Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 22
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Lo que le queda 5a +c < 120 Para maximizar el número de monedas: 5amín + cmáx < 120 amín = 1 ⇒ cmáx < 115 ⇒ cmáximo = 114 Total de monedas como máximo: a + b + c = 135 Rpta: C 19. Tres amigas, María, Clara y Pilar, tienen cada una un auto que poseen velocidades constantes de 35 Km/h, 40 Km/h y 50 Km/h respectivamente. Todas parten del mismo punto en la Panamericana sur; María parte a las 5 h, a las 6 h parte Clara y finalmente a las 8 h parte Pilar. ¿A qué hora se encontrará el auto de Pilar entre los autos de las otras dos amigas? A) 15,4 h
B) 15,5 h
C) 16,2 h
D) 17 h
E) 15 h
Resolución: 35(3)+35t Km
2(40)+40t Km
50t Km
Sea t el tiempo que lleva viajando Pilar desde las 8:00 h, así: 105 + 35t – 50t = 50t – (80 + 40t) 185 = 25t t = 37/5 = 7,4h serán las 8 h + 7,4 h = 15,4 h Rpta: A 3
20. Si
R=
2
y + y − 13y − 13 − 1− y
A) 16
B) 10
, y ≠ – 1, halle el máximo valor de “R”. C) 13
D) 14
E) 15
Resolución: • R=
y 3 + y 2 − 13y − 13 − 1− y
=
y 2 (y + 1) 13(y + 1) − = 13 − y 2 − (y + 1) − (y + 1)
∴ R máximo = 13 Rpta: C
Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 23
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
21. De la siguiente expresión: M=
50x100 x 98 (x 4 + 1) + x 96 (x 8 + 1) + x 94 (x12 + 1) + ... + x 2 (x196 + 1) + (x 200 + 1)
Donde x∈R; x ≠ 0, ¿cuál es el máximo valor que puede tomar M? A) 1
B) 2
C) 1/2
D) 50
E) 100
Resolución:
Así el máximo valor de M es 1/2.
Rpta: C
22. Veinticuatro obreros se demoran 36 días en realizar una obra; otra cuadrilla de 16 obreros emplearía 12 días en hacer la misma obra. Se toma 3/4 de la primera cuadrilla y 1/4 de la segunda cuadrilla y todos ellos trabajan juntos por 2 días, a partir del cual todos los obreros de la segunda cuadrilla harán lo que falta de la obra en K días. Halle el valor de K. A) 10
B) 5
C) 8
D) 11
E) 2
Resolución: Se ha hecho:
Falta hacer:
(3/4)24(2) 24(36)
11
+
(1/4)(16)2 16(12)
=
1 12
y como la segunda cuadrilla harían lo que falta, entonces lo harían
12
en 11 días.
Rpta: D 1
23.
Si x x
A)
x + xx
4
3 = 4 4 , y, R = x − x
2
Solucionario – Repaso
B)
C)
x − xx
1 2
. Halle R
8
.
D) 1
(Prohibida su reproducción y venta)
E) 2
Pág. 24
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución: Se tiene: 1 1 1 x 44 4 3 x x 3/2 2 4 x x 4 2 2 2 x =4 =4 =4 = 2 = 4
Luego 8
Así R
=1/2. Rpta: C
x
24. Si 2 + 2.3
x+y
x
= 56 ;
A) 1
3.2 + 3
x + y +1
B) 0
= 87 . Calcule 2x – y.
C) – 1
D) 2
E) – 2
Resolución: x
• 3. 2 + 2.3 x
3.2 + 3
3
x + y +1
x + y +1
x + y +1
= 3(56)
–
= 87
= 81 = 3
4
⇒
x
3
x+y=3
• Reemplazando: 2 + 2.3 = 56
⇒
x=1 ⇒ y=2
∴2x – y = 2(1) – 2 = 0 Rpta: B 25. Puesto que el día de la proclamación de nuestra independencia nacional fue el 28 de julio de 1821, ¿qué día de la semana cumpliremos 300 años de nuestra proclamación de la independencia? A) Lunes
B) Martes
C) Viernes
D) Sábado
E) Domingo
Resolución: Partiendo del día actual podemos deducir que el 28 de julio del 2012 será sábado sábado⇒7°
Dt= 109+26+1-1=135=19(7)+2=Lunes
28 de julio de 2012
28 de julio de 2121
Tener en cuenta que el año 2100 no será bisiesto Rpta: A
Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 25
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO logx 3 log (log 3) x x
3
26. Si
Ciclo 2012-I
= x , halle la suma de las cifras del valor numérico de E.
E = ( x log3 x2 )6 A) 7
B) 5
C) 9
D) 11
E) 10
Resolución: logx (logx 3)
3
logx 3
=x ⇒ 3
log x (log x 3)
= x ⇒ log x 3 = x ⇔ xx = 3
E = ( x log3 x2 )6 = [2 log3 3]6 = 64
Suma de cifras = 10 Rpta: E
27. Jair comienza a desayunar cuando las agujas del reloj se encuentran como indica el gráfico adjunto. Si 30 minutos antes de comenzar a desayunar escuchó timbrar el teléfono, ¿a qué hora timbró el teléfono? A) 9:02 am
11
B) 9:32 am
10
C) 10:02 am
9
12 1 o
2
71
3
D) 10:32 am E) 9:34 am
6
Resolución: Hora que se muestra: 10h m min. Por hallar m. Cuando el minutero no ha pasado al horario: α= −
11 2
m + 30H ; α = 360 – 71 = 289
289 = 30(10) -
11 2
m ⇒ m=2
⇒ Hora mostrada: 10h 02 min.
Hora que timbró el teléfono: 9:32am Rpta: B 28. El disco de radio 4 cm gira una vuelta alrededor del disco de radio 8 cm desde la posición inicial mostrada. ¿Qué ángulo ha girado la rueda pequeña? A) 120° B) 110° C) 150° D) 127°
A
O1
O
8 cm
4 cm
B
E) 135° Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 26
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO
Ciclo 2012-I
Resolución:
• nv =
O1
A
O
B
1=
4 cm 8 cm
Lc 2πr
=
(8 + 4)θ 2π4
3θ 2π ⇒ θ= 2π 3 Rpta.: A
29. En la figura, AO = OB y mBAC = 19º. Halle mBOC. A) 19°
C B
B) 53° C) 45° D) 37°
2
A
E) 38°
O
Resolución: C
38º
∧ ∧ 1) Como m ACB = θ , m AOB = 2θ , entonces C es un punto de la circunferencia de centro O que pasa por A y B.
B º 19
A
x
2) El cuadrilátero ABCB’ es inscriptible a la circunferencia de centro O.
2
O
3)
m BC = 38º ⇒ x = 38º
B’
Rpta.: E
Solucionario – Repaso
(Prohibida su reproducción y venta)
Pág. 27
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Ciclo 2012-I
30. En la figura, O1 y O2 son centros de las semicircunferencias, S1 y S2 son áreas de las regiones triangulares APB y BQC, respectivamente. Si P, Q y B son puntos de tangencia y S1.S2 = 256 m², halle el área de la región triangular PBQ. A) 20 m2
P
B) 10 m2 C) 16 m2 D) 25 m2
Q
S1 A
O1
E) 12 m2
S2 B
Resolución: 1) AB = 2R , BC = 2r , PQ = 2 rR 2) ∆APB ∼ ∆BQC ∼ ∆PBQ S1 S S = 22 = 3) 2 (2R) (2r) (2 Rr )2
P θ
4) 5)
S1.S2 = S2 = 256 ⇒ S = 16 m2
α
S1 A
S1.S2 S2 = 16R2r 2 16(Rr)2
C
O2
θ
α R
O1
S2
θ
B
R
Q
r
O2
α r
C
Rpta: C 31. Fernando y Miguel reciben por herencia terrenos en forma triangular tal como se muestra en la figura. Si Carlos recibe la parcela triangular ABM y Miguel el terreno MBC y AC = 80m, ¿cuál es el área máxima de terreno que podría tener Miguel? A) 1600m2
B
B) 800 m2 C) 400 m2 D) 360 m2 E) 240 m2
45° A
M
C
Resolución:
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Área del triángulo BCM =
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(80 − 2 x )x
área del triángulo MBC (40 − x )x
2
[(40 − x)x]max si y solo si x = 20 Área del triángulo MBC máxima [(20 )20 ]max Área del triángulo MBC máxima
Área del triángulo MBC máxima
[400 m ] 2
Rpta: C
32. En el gráfico, PQ = 8 cm. Calcule el área de la región sombreada. A) 8 π cm2
P
B) 8 2 π cm2
r
C) 16 π cm2
O
D) 32 π cm2
Q
E) 16 2 π cm2 Resolución:
Rpta: C
33. Una hormiguita, ubicada en el punto “A”, de un sólido de madera en forma de paralelepípedo se dirige a su hormiguero ubicado en el punto “B”. ¿Cuál será el menor recorrido que debe realizar? A) 30 cm B) 31 cm C) 14 5 cm
A
18 cm
D) 18 5 cm
B 14 cm
E) 24 cm 10 cm
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Resolución:
A
Caso:I Por el teorema de Pitágoras:
d
1 8cm
24 2 + 18 2 = d d = 30cm
10cm
14c m
B
Casos: II
d
Por el teorema de Pitágoras: 28 + 14 = d 2
B
14cm
2
A
d = 14 5 d = 31.30495168
10cm
18cm
por lo tanto el menor recorrido es: 30 cm Rpta: A
Aritmética 1.
Si (p → q) ∨ (¬p∆r) es falsa, halle el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes I. (p∆q)∆r II. ¬(p ↔ r)∆r III. [(p ∨ r) ∧ q] → (p∆r) A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) VFV
E) FFF
RESOLUCIÓN: I. V
II. V
III.V Clave: A
2.
Clasifique las siguientes proposiciones como tautología (T), contradicción (⊥) o contingencia (C) I. (p → q) ∧ (p ∨ q) II. (p∆¬p)∆(p → p) III. (p ∧ q) → p
A) ⊥ ,C,T
B) C, ⊥ ,T
C) T,C, ⊥
D) ⊥ ,T,C
E) C,T, ⊥
RESOLUCIÒN: I. C
II. ⊥
III.T Clave: B
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UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO 3.
Ciclo 2012-I
En una fiesta donde hay 70 personas, 10 son hombres que no les gusta la cumbia y 20 son mujeres que les gusta este ritmo. Si el número de hombres que gustan de la cumbia son la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música, ¿a cuántas personas les gusta la cumbia? A) 20
B) 30
C) 10
D) 15
E) 40
RESOLUCIÓN: H 10 10
C NC
M 20 30
Clave: B
4.
En una encuesta realizada a 200 personas sobre el consumo de 3 refrescos que llamaremos A, B y C se obtuvieron los siguientes resultados: 60 personas consumen sólo A , 22 consumen sólo 2 de los 3 refrescos , 8 consumen los 3 , los que consumen B o C pero no A son 72 , los que consumen B y C pero no A son 12 , los que consumen A y B son tantos como los que consumen A y C, 50 personas consumen C. a) ¿cuántas personas de las encuestadas consumen el refresco A? b) ¿cuántas personas consumen al menos uno de estos refrescos? c) ¿qué porcentaje de los encuestados no consume ninguno de los 3 refrescos? A) 25, 78, 150 D) 150, 78, 25
B) 78, 25, 150 E) 78, 150, 25
C) 150, 25, 78
RESOLUCION: a) 78
b) 150
c) 25 Clave: E
5.
Consideremos los números de 5 cifras formados por los dígitos 1 y 2. ¿En cuántos de ellos el 1 aparece más veces que el 2? A) 16
B) 20
RESOLUCIÓN: _____ 11111 1 11112 5 11122 10
C) 32
D) 18
E) 12
TOTAL 16 Clave: A
6.
¿Cuántos de los 60 números: 84; 2(84); 3(84); ... ; 58(84); 59(84); 60(84) son múltiplos de 60? A) 12
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B) 18
C) 30
D) 15
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E) 14
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RESOLUCIÓN: ∗
K × 84 = K × 22 × 3 × 7 = 60 → K = 5 , TOTAL 12 Clave: A 7.
Pablo eligió tres dígitos distintos y escribió todos los números de 3 cifras que se forman con ellos (sin repeticiones). Después sumó todos los números que obtuvo. Halle la suma que obtuvo Pablo, sabiendo que la suma de los dígitos originales es 14. A) 4 800
B) 3 108
C) 4 662
D) 3 200
E) 3 000
RESOLUCIÓN: abc, acb, bac, bca, cab, cab , entonces la suma es 222( a + b + c ) = 3 108 Clave: B 8.
En un número de tres cifras cuya suma de sus cifras es 18. La cifra de las unidades es el doble de la de las decenas. Por último, la diferencia que se obtiene restando el número dado y el formado al invertir el orden de sus cifras es 297. ¿Cuál es el número inicial? A) 924
B) 624
C) 648
D) 936
E) 948
RESOLUCIÓN: ∗
ab(2b) − (2b)ba = 297 ∧ a = 3∧ a + 3b = 18 → a = 9 , b = 3 ; el número inicial es 936 Clave: D 9.
Juan ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadie puede tener la misma cantidad de canicas, ¿cuál es la máxima cantidad de primos a los que les puede repartir sus canicas? A) 8
B) 7
C) 5
D) 4
E) 6
RESOLUCION: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14; Máxima cantidad de primos = 7 Clave: B 10. Un niño quiere subir una escalera; lo puede hacer subiendo uno o dos escalones a la vez. Si la escalera tiene 10 escalones en total, ¿de cuántas formas distintas puede subir la escalera? A) 20
B) 55
C) 89
D) 10
E) 98
RESOLUCIÓN: I. De uno en uno (1 opción) II. Solamente en una ocasión sube dos escalones a la vez (9 opciones) III. En dos ocasiones sube dos escalones a la vez (28 opciones) IV. En tres ocasiones sube dos escalones a la vez (35 opciones) V. En cuatro ocasiones sube dos escalones a la vez (15 opciones) VI. En cinco ocasiones sube dos escalones a la vez (1 opción) Por lo tanto el niño tiene 89 opciones Clave: C
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11. Un señor quiere repartir entre sus 3 hijos 15 monedas, pero el desea que cada uno de ellos reciba al menos una moneda. ¿De cuántas formas distintas puede repartirles las monedas? A) 91
B) 105
C) 455
D) 220
E) 90
RESOLUCIÓN: C14 2 = 91 Clave: A 12. Se tienen menos de 200 canicas. Si se reparten entre 3 niños, sobra una; si se reparten entre 7 niños, sobran 2 y; si se repartieran entre 5 niños, no sobraría ninguna. ¿Cuántas canicas sobrarían si se reparte a 6 niños? A) 4
B) 3
C) 5
D) 2
E) 1
RESOLUCIÓN: •
•
•
•
N = 3 + 100 = 7 + 100 = 5 + 100 = 105 + 100 → N = 100 , Luego sobrarán 4 canicas Clave: A 13. Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que le quedan 36 hombres por acomodar. Decide poner una fila y una columna más de hombres en dos lados consecutivos del cuadrado y se da cuenta que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado más grande. ¿Cuántos hombres hay en la tropa? A) 3 061
B) 55
C) 3 025
D) 2 004
E) 2 000
RESOLUCIÓN: (x + 1)2 − 75 = x 2 + 36 → x = 55 , habrán 55 2 + 36 = 3 061 soldados Clave: A 14. ¿Cuántos enteros del 1 al 2004 (inclusive ambos) al elevarlos a la vigésima potencia, el resultado es un número terminado en 1? (En otras palabras, ¿para cuántos valores de “n” la cifra de las unidades de n20 es 1?) A) 861
B) 803
C) 802
D) 804
E) 801
RESOLUCIÓN: 1, 11, 21, …, 2001 3, 13, 23, …, 2003 7, 17, 27, …, 1997 9,19, 29, …, 1999
201 201 200 200, En total hay 802 Clave: C
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15. Hay un número que tiene 2005 dígitos y tiene el siguiente patrón: 18263171826317182631718263171826317. . . Halle el número de tres cifras que se forma con los tres últimos dígitos A) 826
B) 718
C) 182
D) 263
E) 171
RESOLUCIÓN: •
Se van agrupando de 7 en 7, y como 2005 = 7+ 3 , el número buscado será 182 Clave: C 16. Un lingote está compuesto de plata y cobre en la proporción de 9 a 1. Si fundimos este lingote con 1 050 de plata resulta una aleación donde el peso de la plata es al peso del cobre como 975 es a 25, halle el peso del lingote inicial, en gramos A) 300
B) 330
C) 320
D) 350
E) 370
RESOLUCIÓN:
9k + 1050 975 = = 39 → k = 35 , el peso inicial del lingote es 350 gramos k 25 Clave: D 17. Un comerciante mezcla dos tipos de café que cuestan S/.18 y S/. 24 el kilogramo respectivamente. Si vende 60 kilogramos de esta mezcla a S/. 23 el kilogramo y gana el 15%, halle la diferencia positiva de los pesos, en kilogramos, de los dos tipos de café que mezcló A) 20
B) 22
C) 24
D) 21
E) 23
RESOLUCIÓN: 18x + 24(60 − x) = 20 → x = 40 , por lo tanto la dif(+) = 20 60 Clave: A 18. Se tiene una sucesión de 77 números enteros para la cual la suma de cualesquiera siete términos consecutivos es no negativa y la suma de cualesquiera once términos consecutivos es no positiva. ¿Cuál es el valor de la suma de todos los términos de la sucesión? A) –11
B) –7
C) 0
D) 11
E) 7
RESOLUCIÓN: 77
77
77
n=1
n=1
n=1
∑ xn ≤ 0 ≤ ∑ xn → ∑ xn = 0 Clave: C
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19. En el primer ciclo de Medicina en San Marcos hay tres grupos en el curso de Anatomía. El promedio de las calificaciones en el grupo A es de 87, en el grupo B es de 73 y en el grupo C es de 91. Si se sabe que el promedio de las calificaciones en los grupos A y B juntos es de 79 y el de los grupos B y C juntos es de 83. Halle el promedio de calificaciones de todos los alumnos del curso de Anatomía. A) 84
B) 83
C) 38
D) 34
E) 43
RESOLUCIÓN:
∑
A
= 87A;∑ B = 73B; ∑ C = 91C →87A + 73B = 79A + 79B ∧ 73B + 91C = 83B + 83C
Entonces A = 3k, B = 4k y C = 5k, luego
87A + 73B + 91C = 84 A +B+C Clave: A
20. En un pequeño pueblo, se utilizan 2 bases de numeración. Uno de los habitantes dijo: "26 personas usan mi base, base 10, y sólo 22 personas usan la base 14". Otro dijo "De los 25 habitantes 13 usan ambas bases y 1 no sabe escribir todavía". ¿Cuántos habitantes, en base decimal, hay en el pueblo? A) 15
B) 25
C) 27
D) 35
E) 45
RESOLUCIÓN: #(U) = 2n + 13 En la base “n” hay 2n + 6 personas , en la base “n + 4” hay 2n + 2 personas , los que usan ambas bases son “n + 7” y de los datos llegamos a la ecuación 2n + 13 = 3n + 2, entonces n = 11; por lo tanto hay 2(11) + 13 = 35 habitantes Clave: D 21. Sean: a1; a2; a3;... y b1; b2; b3;..., dos progresiones aritméticas donde a1 = 25, b1 = 75 y a100 + b100 = 100. Halle la suma de los primeros 100 términos. A) 1 000
B) 10 000
C) 100 000
D) 100
E) 10
RESOLUCIÓN: S100(ai)+S100(bi) = 2(25) + 99r × 100 + 2(75) + 99t × 100 = 50[200 + 99(r + t)] = 10 000
2
2
Pués 99(r + t) = 0 Clave: B 22. ¿Cuántos dígitos "2" se necesitan para escribir todos los números enteros desde el 1 hasta el 101 996 ? A) 1 996.101 997 D) 1 993.101 997
Solucionario – Repaso
B) 1 996.101 995 E) 1 992.101 000
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C) 1 995.101 994
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RESOLUCIÓN: Hasta 10 hay un solo 2 Hasta 102 hay 2(10) cifras 2 Hasta 103 hay 3(102) cifras 2 Hasta 104 hay 4(103) cifras 2 …………………………………. Hasta 101 996 habrán 1 996.101 995 Clave: B 23. De los números de 4 cifras que son múltiplos de 9 ¿cuántos hay que tienen todas sus cifras distintas de cero y distintas entre sí? A) 300
B) 330
C) 333
D) 323
E) 336
RESOLUCIÓN: •
Sea abcd = 9 , consideremos el caso a>b>c>d y luego multiplicaremos por 4!, •
puesto que el orden de las cifras no interesa porque siempre resultará 9 . Para a = 9: 9765, 9621, 9531, 9432, 9864 y 9873 Para a = 8: 8721, 8631, 8541 y 8532 Para a = 7: 7641, 7632 y 7542 Para a = 6: 6543
(6) (4) (3) (1)
Luego habrán 4!.14 = 336 Clave: E 24. Halle el resto de dividir 22001 + 32001 por 7 A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E) 4
RESOLUCIÓN: ∗
(23 )667 + (3 3 )667 = 7 , por lo tanto el resto es 0 Clave: D 25. Después de partir un pastel, Sandra se quedó con los 2/3 mientras que Verónica se quedó con 1/3. Para evitar que su amiga se enojara, Sandra cortó 1/4 de su porción y se lo dio a Verónica. En este momento: A) Sandra tiene 5/12 del pastel C) Sandra tiene 7/12 del pastel E) Sandra tiene 1/3 del pastel
B) Sandra tiene 1/4 del pastel D) Sandra tiene 1/2 del pastel
RESOLUCIÓN: S: 2/3 V: 1/3 Luego Sandra le dio 1/4 (2/3) = 1/6 entonces se quedó con 1/6 + 1/3 = 1/2 Clave: D
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26. Una calculadora descompuesta no muestra el número 1 en la pantalla. Por ejemplo, si escribimos el número 3 131 en la pantalla se ve escrito el 33 (sin espacios). Pepe escribió un número de seis dígitos en la calculadora, pero apareció 2 007. ¿Cuántos números pudo haber escrito Pepe? A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
RESOLUCIÓN: C62 = 15 Clave: E 27. Sea E(n) la suma de los dígitos pares de n. Por ejemplo, E(5681) = 6 + 8 = 14. ¿Cuál es el valor de E(1) + E(2) + · · · + E(100)? A) 200
B) 360
C) 400
D) 900
E) 2 250
RESOLUCIÓN: Solamente van a quedar aquellos sumandos E(n) donde n contiene cifras pares, es decir: E(2) + E(4) + E(6) + E(8) + E(10) + E(12) + E(14) + … + E(100) = 400 Clave: C 28. Una “operación” consiste en multiplicar el número 1 por 3 y sumarle 5, luego, multiplicar el resultado anterior por 3 y sumarle 5, a continuación se multiplica al resultado anterior por 5 y se suma 7 y así sucesivamente. ¿Cuál es el dígito de las unidades después de aplicar la operación 2007 veces? A) 1
B) 2
C) 5
D) 8
E) 9
RESOLUCIÓN: 4013(…5(3(3.1 + 5) + 5) + 7…) + 4015 = …8 Clave: D 29.
Para cada entero positivo k, sea Sk la progresión aritmética creciente de enteros cuyo primer término es 1 y cuya diferencia común es k. Por ejemplo, S3 es la progresión 1, 4, 7, 10, . . .. ¿Para cuántos valores de k, Sk contiene el número 2008? A) 0
B) 2
C) 6
D) 10
E) 2 008
RESOLUCIÓN: En cada progresión el término general es de la forma 1 + (n – 1)k, por lo tanto debemos considerar la igualdad 1 + (n – 1)k = 2008, entonces (n – 1)k = 2007 Y esto es posible únicamente para 6 valores de k. Clave: C
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30. Considera un entero positivo M que cumple la siguiente propiedad: si escogemos al azar un número x del conjunto {1, 2, . . . , 1000}, la probabilidad de que x sea un divisor de M es igual a 1/100 . Si M ≤ 1000, ¿cuál es el mayor valor posible de M? A) 540
B) 976
C) 1 084
D) 1 460
E) 2 008
RESOLUCIÓN: M debe tener 10 divisores positivos, entonces M = 61.24 = 976 Clave: B
Álgebra 1.
El exponente de x que resulta al reducir T (x ) =
A)
2n − 1
B)
n
2 +1
2n
C)
n
2 −1
2n − 1 2
n
D)
3
x
5
x4
2n + 1 2
n−1
9
x 24
17
x 240 ...n radicales .
E) 2n + 1
Solución:
T (x ) =
3
1
x
5
9
x4
x 24
24
4
17
x 240 . . . n radicales
240
= x 3 . x 3.5 . x 3. 5 . 9 x 3. 5 . 9.17
n factores 2n
2
4
=
x 2.3
=
1 1 2 − n 2 2 + 1 x
.
x 3.5 .
16
8
x 5.9 =x
x
9 .17
...
2n − 1 + 1 2n + 1 x
2n − 1 2n + 1
Clave: A 2.
Si M ( x , y ) = 7x a − 2 y 4 + 3xb −1yc + 1 + 10x 6 yd se reduce a un monomio, halle la suma de los coeficientes del polinomio Q (x ) = (cx + b − a )b − c −1 + 2a .
A) 16
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B) 25
C) 81
D) 24
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E) 80
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Solución: Si M ( x , y ) = 7x a − 2 y 4 + 3x b − 1y c + 1 + 10 x 6 y d es un monomio ⇒ a−2 = 6 ⇒ a = 8 b−1= 6 ⇒ b = 7 c+1= 4 ⇒ c = 3 d=4 ⇒ Q (x ) = ( 3x − 1 )3 + 16 ∴ ∑ coef Q (x ) = Q (1) = ( 3 − 1 )3 + 16 = 24 Clave: D 3.
Dada la inecuación lineal nx − 2 ≤ 1 − x ; n ∈ Z − − { − 1} . Calcule el menor valor que puede tomar x. B) −
A) – 3
3 2
C) – 1
D) –
3 4
E) –
3 5
Solución:
n x − 2 ≤ 1− x , n ∈ Z − − { − 1 } ⇒ ( n + 1 ) x ≤ 3 , n ≤ −2 ⇒x≥
3
n+1 Además si n ≤ −2 → n + 1 ≤ −1 3 → ≥ −3 n−1 ⇒ x ≥ −3 ∴ x menor = − 3 Clave: A 4.
Indique el conjunto al que pertenece n de tal manera que el intervalo n I = 1 + , n + 1 este incluido en el intervalo − 2 , 3 . 2
A)
3 ,2 2
Solucionario – Repaso
B)
0,
3 2
C)
0,
3 2
3 D) , 2 2
(Prohibida su reproducción y venta)
E)
0,2
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Solución:
Si I ⊂ − 2 , 3 n 2 n ⇒ −2 < 1 + 2 ⇒ −6 < n ⇒0