• Author / Uploaded
• Bentura Ventura

• Categories
• Inclinarse
• Resistencia de materiales
• Física y matemáticas
• Física
• Física aplicada e interdisciplinaria

Citation preview

TEMA 11

FLEXIÓN HIPERESTÁTICA 11.1.Introducción.- 11.2. Vigas Estáticamente Indeterminadas.-11.3. Método de las Fuerzas.11.1.- INTRODUCCIÓN En las estructuras hiperestáticas solicitadas a flexión, las ecuaciones de equilibrio de la Estática son insuficientes para resolver su hiperestaticidad, siendo necesario establecer ecuaciones adicionales. Estas ecuaciones adicionales, o ecuaciones de compatibilidad de deformaciones, se obtienen utilizando los métodos de cálculo de deformaciones a flexión expuestos en los temas anteriores. En este tema se estudia la flexión hiperestática de vigas de un solo tramo y de sistemas estructurales más complejos utilizando el conocido método de las fuerzas, ya utilizado en la resolución de sistemas hiperestáticos sometidos a esfuerzos axiales de tracción y compresión. 11.2.- VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS Las vigas estáticamente indeterminadas normalmente se identifican por la forma en que están dispuestos sus apoyos. El número de reacciones que rebasan el número de ecuaciones de equilibrio se llama grado de hiperasticidad o grado de indeterminación estática. Entonces, una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro (Fig. 11.1a) es estáticamente indeterminada de primer grado. Las reacciones sobrantes se llaman redundantes estáticas y deben seleccionarse en cada caso particular; por ejemplo , la reacción RB de la viga en voladizo soportada de la figura 11.1a. puede tomarse como la reacción redundante. Dado que esta reacción está de más respecto a las necesarias para mantener el equilibrio, puede liberarse de la estructura quitando el apoyo B. Al suprimir este apoyo queda una viga en voladizo (Fig. 11.1b). La estructura que queda cuando las reacciones redundantes se liberan se llama estructura liberada o estructura primaria. La estructura liberada debe ser estable (para que sea capaz de soportar cargas) y debe ser estáticamente determinada (para que todas las fuerzas puedan determinarse sólo por equilibrio). Otra posibilidad para el análisis es escoger el momento de reacción MA como la redundante. Entonces cuando se elimina la restricción de giro en el apoyo A, la estructura liberada es una viga simple con una apoyo fijo en un extremo y un apoyo móvil en el otro (Fig. 11.1c).

Resistencia de Materiales

HA

P

A

A

MA RA

B

B

A

b)

RB

a)

P

P

c)

Figura 11.1. Viga hiperestática de primer grado.

Otro tipo de viga estáticamente indeterminada, conocida como viga doblemente empotrada, se muestra en la figura 11.2.a. esta viga tiene apoyos empotrados en ambos extremos, con lo cual resultan un total de seis reacciones desconocidas (dos fuerzas y un momento en cada empotramiento). Puesto que sólo hay tres ecuaciones de equilibrio, la viga es estáticamente indeterminada de tercer grado. Si seleccionamos las tres reacciones en el extremo B de la viga como redundantes y eliminamos las restricciones correspondientes, queda una viga en voladizo como estructura liberada (Fig. 11.2.b). Si liberamos los dos momentos de empotramiento y una reacción horizontal, la estructura liberada es una viga simple (Fig. 11.2.c). P A

B HB

HA MA RA

a)

RB

MB

P

P B b)

B

A c)

Figura 11.2. Viga hiperestática de tercer grado.

Si consideramos el caso especial de sólo cargas verticales, encontramos que la viga doblemente empotrada tiene ahora sólo cuatro reacciones diferentes de cero. El número de ecuaciones de equilibrio disponibles es de dos, por lo que la viga es estáticamente indeterminada de segundo grado. Si las dos reacciones en el extremo B se consideran redundantes, la estructura liberada es una viga en voladizo; si se toman las dos momentos, la estructura liberada es una viga simple. Otro caso de viga hiperestática son las vigas de varios tramos o vigas continuas. Un ejemplo de este tipo de viga se muestra en la figura 11.3a. Esta viga es estáticamente indeterminada de primer grado porque tiene cuatro reacciones y se dispone de sólo tres ecuaciones de equilibrio. Si la reacción RB en el soporte interior se considera redundante y suprimimos el apoyo que da origen a dicha reacción, queda una estructura liberada en la forma de una viga simple estáticamente determinada (Fig. 11.3b). Si la reacción RC se toma como la redundante, la estructura liberada es una viga simple con un voladizo (Fig. 11.3c). En la siguiente sección, estudiaremos un método para el análisis de vigas estáticamente indeterminadas similares a las vigas descritas anteriormente. El objetivo en cada caso es determinar las reacciones redundantes. Una vez conocidas éstas, todas las reacciones restantes 220

Tema 11

Flexión Hiperestática.

pueden hallarse a partir de ecuaciones de equilibrio.

221

Resistencia de Materiales

HA

P1 B

A

RB

RA

P2 C

RC

a) P1

P2

b)

P1

P2

c) Figura 11.3. Viga continua.

11.3.- MÉTODO DE LA S FUERZAS El método de las fuerzas, también llamado método de superposición, es de importancia fundamental en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Este método, ya lo hemos utilizado para analizar estructuras hiperestáticas sometidas a esfuerzos longitudinales de tracción o compresión (tema 5). En esta sección lo aplicaremos a vigas y a estructuras de barras unidas por nudos. Comenzamos el análisis estableciendo el grado de indeterminación estática o grado de hiperestaticidad y seleccionando las reacciones redundantes. Una vez identificadas las reacciones redundantes, podemos formular las ecuaciones de equilibrio que relacionen las otras ecuaciones desconocidas con las redundantes y las cargas. A continuación liberamos la estructura eliminando las ligaduras que daban origen a la existencia de las reacciones redundantes seleccionadas. La estructura que resulta se llama estructura liberada o primaria, que debe ser estáticamente determinada. A la estructura liberada la sometemos tanto a las cargas reales como a las reacciones redundantes que tendrán consideración de cargas. Luego calculamos las deformaciones (deflexiones o giros) de los puntos de aplicación de las reacciones redundantes seleccionadas. Estas se pueden calcular por superposición de las deformaciones sobre la estructura liberada actuando de forma independiente las cargas reales y las reacciones redundantes. Así, podemos escribir ecuaciones de compatibilidad que expresan el hecho de que las deformaciones de la estructura liberada en los puntos donde se eliminaron las restricciones son las misma que las deformaciones en la viga original (en esos mismos puntos). Puesto que la estructura liberada es estáticamente determinada, resulta fácil determinar sus deformaciones usando los procedimientos descritos en el tema 11. Las relaciones entre las cargas y las deformaciones de la estructura liberada se llaman relaciones fuerza-desplazamiento. Cuando estas relaciones se sustituyen en las ecuaciones de compatibilidad, obtenemos ecuaciones en las que las redundantes son las cantidades desconocidas; entonces es posible 222

Tema 11

Flexión Hiperestática.

resolver dichas ecuaciones y encontrar las reacciones redundantes. Una vez conocidas las redundantes, podemos determinar todas las demás reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio. Los pasos descritos en términos generales en los párrafos anteriores, se detallan analizando los casos de dos vigas de grado de hiperestaticidad uno y dos respectivamente (Fig. 11.4 y 11.5). En el primer ejemplo, consideramos la viga empotrada en el extremo A y apoyada en el B (Fig. 11.4a). Seleccionamos la reacción RB como la redundante.

P HA

A

A a

MA RA

l

Las ecuaciones de equilibrio que expresan a las demás reacciones desconocidas en términos de la redundante quedan así:

RB

a) P

RA

A

PV

RB

MA

Pa

RB l

HA

PH

B El siguiente paso es eliminar la restricción origen de la reacción redundante (en este caso, se elimina el apoyo en el extremo B. La carga puntual P y la redundante RB se aplican ahora como cargas sobre la estructura liberada (Figs. 11.4b y c).

( B) 1 b) ( B) 2

A B

La deflexión en el extremo B de la estructura liberada sometida sólo a la carga P se denota por ( B)1 y la deflexión en el mismo punto originada sólo por la redundante se denota ( B)2.

RB

c)

Figura 11.4. Viga hiperestática de primer grado.

Estas deflexiones las podemos obtener mediante los métodos descritos en el tema 11 y serán función de las cargas que actúan en cada caso, es decir: B 1

f P

B 2

f RB

La deflexión B en el punto B en la estructura original se obtiene por superposición de esas dos deflexiones. Como la deflexión en la viga original es igual a cero, obtenemos la siguiente ecuación de compatibilidad: B

B 1

B 2

f P

f RB

0

Esta ecuación nos permite despejar la reacción redundante RB en términos de las cargas que actúan sobre la viga original. Las reacciones restantes (RA, HA y MA) pueden encontrarse con las ecuaciones de equilibrio. La elección de la reacción redundante no es patrimonio de ninguna de las reacciones, así se podía haber elegido como redundante el momento de reacción MA (Fig. 11.5a).

223

Resistencia de Materiales

El siguiente paso es eliminar la restricción origen de la reacción redundante (en este caso, se sustituye el empotramiento en el extremo A por un apoyo fijo). La carga puntual P y la redundante MA se aplican ahora como cargas sobre la estructura liberada (Figs. 11.5b y c). El ángulo de rotación en el extremo A de la estructura liberada sometida sólo a la carga P se denota por ( A)1 y la deflexión en el mismo punto originada sólo por la redundante se denota ( A)2. P A

HA

A a

MA RA

l

P

(

A 1

RB

a)

A

Estos ángulos las podemos obtener mediante los métodos descritos en el tema 11 y serán función de las cargas que actúan en cada caso, es decir:

B A)1

A

MA

A)2

A

B c)

A 2

f MA

El ángulo de rotación A en el punto A en la estructura original se obtiene por superposición de esos dos ángulos. Como el ángulo de rotación en la viga original es igual a cero, obtenemos la siguiente ecuación de compatibilidad:

b) (

f P

A 1

A 2

f P

f MA

0

Esta ecuación nos permite despejar la reacción redundante MA en términos de las cargas que actúan sobre la viga original. Las reacciones restantes (RA, HA y RB) pueden encontrarse con las ecuaciones de equilibrio.

Figura 11.5. Viga hiperestática de primer grado.

Nótese que cuando la reacción redundante es un momento de empotramiento, la ecuación de compatibilidad a plantear se formula en términos de ángulos de rotación. Cuando la redundante es una reacción vertical la ecuación se plantea en términos de deflexión. Como segundo ejemplo, analizamos la viga hiperestática de segundo grado de la figura 11.6a. Por ser hiperestática de segundo grado, tendremos que formular dos ecuaciones de compatibilidad y por tanto elegir dos reacciones como redundantes. Si elegimos como reacciones redundantes las de los apoyos B y C, construimos la estructura liberada eliminando las restricciones que originan estas reacciones y la sometemos por un lado a las cargas originales y por otro a las reacciones redundantes RB y RC, que actúan en este caso como cargas (Figs. 11.6b y c). Las deflexiones en los puntos B y C de la estructura liberada sometida sólo a la carga P se denotan por ( B)1 y ( C)1 respectivamente, las deflexiones en los mismos puntos originada sólo por las redundantes se denotan por ( B)2 y ( C)2 respectivamente.

224

Tema 11

Flexión Hiperestática.

P1 B

A

HA

P2

Estas deflexiones las podemos obtener mediante los métodos descritos en el tema 11 y serán función de las cargas que actúan en cada caso, es decir:

C

MA RA

RB

RC

a) P1 B

A

P2

b) ( B) 2

A

( C) 2

B

C

RB

f P1 , P2

B 2

f R B ,RC

f P1 , P2

C 1 C

2

f R B ,RC

Las deflexiones B y C en los puntos B y C en la estructura original se obtienen por superposición de esas dos deflexiones. Como las deflexiones en la viga original son igual a cero, obtenemos las siguientes ecuaciones de compatibilidad:

C

( C) 1

( B) 1

B 1

B

B 1

f P1 , P 2 RC

C

C 1

f P1 , P 2

c)

B 2

f RB , R C

0

C 2

f RB , R C

0

Figura 11.6. Viga hiperestática de segundo grado.

P1 B

A

HA

P2

C

MA RA

RB

RC

a) P1 B

A ( B) 1

P2

C ( C) 1

b)

Estas ecuaciones nos permiten despejar las reacciones redundantes RB y RC en términos de las cargas que actúan sobre la viga original. Las reacciones restantes (RA, HA y MA) pueden encontrarse con las ecuaciones de equilibrio. Igualmente se podría optar por elegir otras reacciones como redundantes. En la figura 11.7a, se muestran las estructuras liberadas sometidas a las cargas reales y a las reacciones MA y RC (reacciones redundantes elegidas). Siendo en este caso las ecuaciones de compatibilidad a plantear las siguientes: B

MA

A

f P1 , P 2

( C) 2

( B) 2 B

C

B 1

C

RC

C 1

f P1 , P 2

B 2

f MA,RC

0

C 2

f MA,RC

0

c) 225