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__ 01 de mayo.'de 20J3

l.

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l.

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~1

30 abril de 2015 1

•

.

1

RES. N° 516-2013-R ·.· - ·~ del 04 de junio de 2013 ·¡ '.:.~~~~Ti~;r~:~2c,_;: :-'.·:·~~y:· l~é

1t

=25P'(

w;r J

c. Recupere la función de oferta y demanda no condicionada de factores a partir de la función de beneficios. (Lema de Hotelling) Recuperando la función de oferta. Para recuperar la función de oferta el lema de Hotelling se aplica derivando la función de beneficio respecto al precio e igualándola a cero.

!t=25Pt;r] QS =- OIJ 8p

=SOp(W+rJ wr

Q'=50~~J 17

Recuperando la Demanda no condicionada de factores Del mismo modo que el anterior, se deriva la función de oferta respecto al precio del factor que se quiere obtener la demanda no condicionada de factores.

rr

~ 25P'(

L>C

w;r J

~-::~o

-~;' ~2s(~)'

d. Compruebe que la función de beneficios es de grado uno en precio de producto y de los factores.

An ~ A25P'( w;r J~ r~

1

e. Compruebe que la función de costos es de grado uno sólo en precios de factores.

2( ~ ) e- (!L 10 ) w+r LP-

= (!!__)

XC LP

(

10

2

XC

LP

= (!!__) 10

2

2

XC LP = (!!__) ,;¡,

íLwíLr ) íLw+íLr

10

2

íL

(~) w+r

íL(~) :::¿ r = 1 w+r

3. Un agricultor de maíz tiene la siguiente función de costos: C= q2, suponga que existen 100 idénticos agricultores que operan en un mercado competitivo. a. Hallar la curva de oferta de mercado CMg=2qP = CMg

P=2q

qs = P/2

100q5 = 100 (P/2)

Oferta de la Empresa Oferta de mercado 18

b. Suponga que la curva de demanda de mercado es Qd = 200 -50P ¿cuál es el precio y la cantidad de equilibrio? Qd= Qs 200- 50P = 50P ~ \P* = 21 y,

IQ* = 1001

c. Encontrar el excedente del consumidor y del productor De la función de demanda:

Qct = 200 -50P

Exc. Consumidor= [(PM- P*) x Q*]/2 Exc. Consumidor= [(4-2) x 100]/2 = 100

!Exc.Cons.

lOOj

También y utilizando integrales: Exc.Consumidor : J(200- 50 p )dp Exc.Cons.: 200p- 25p 214 2

Exc.Cons.: 200( 4)- 25( 4 ) 2

-

200(2) + 25(2) 2

Exc.Cons.: 800- 400- 400 + 100 Exc.Cons.: 100

De la función de Oferta: Q5 = 50P ~

P=O

Exc. Productor= [(2-0) x 100]/2 = 100 !Exc.Prod. = 1001 También y utilizando integrales: Exc.Prod.: f(50P)dp Exc.Prod.: 25p 212

0

Exc.Prod.: 25(2) 2 -25(0)

= 100

19

Equilibrio de Mercado, Excedente Consumidor y Productor 4

2

lOO

4. Una empresa competitiva se enfrenta a un precio de mercado S/. 4 y un costo total representado por: CT = q3 - 7q2 + 12q +5. se le pide determine: a. El nivel óptimo de producción: P=CMg 4 = 3q2 -14q + h===>

q = -b +- (b 2 - 4acf'

2a q = -(-14) +- ((-14i- (4

X

3 X 8)f~

2x3 q = [14 +- (196- 96) y,] 16

q=(14+-10)/6

Jq * =

41

y'

q = 2/3

Tecnología de la Firma

"-.eMe

2/3

En el gráfico, la regla de IMg = CMg que maximiza el beneficio para esta empresa se cumple con q = 2/3 y q = 4; sin embargo en q = 4 obtiene beneficios extraordinarios y es donde el CMg tiene pendiente positiva.

20

b. La ganancia total de la empresa a ese nivel de producción

l. I1 = 4 X 4- (4 3 -7 X 42 + 12x4 + 5) = 16- (64- 112 + 48 + 5) = 16-5 = 11 2. p

=

4(4-1.25) = 11

fl = 111 Tecnología de la Firma

4

5. Los costos de producción de una empresa industrial y comercial del producto "A", pueden ajustarse a una función del tipo: CT = (q31100)- q2 + 3.000q + 2.250.000 La empresa se enfrenta a una demanda de elasticidad infinita. El Estado fija como precio de mercado S/. 15.000 por tonelada. Esta empresa se ubica en su punto de ventas óptimo, obteniendo grandes beneficios extraordinarios; es por ello que el Estado baja el precio · máximo a S/. 9,500 por tonelada, donde los beneficios llegan a ser normales, Se desea saber: a. ¿Qué beneficios extraordinarios estaban obteniendo con el precio más alto? Determinando la función de Oferta de la empresa P=CMg P = 3q2/100- 2q + 3,000 multiplicando todo por 100, tenemos: lOOP= 3q2 - 200q + 300,000 3q2 -200q + (300,000 - 1OOP) = O

donde (300,000 -

1OOP) es el término

independiente.

21

Función de Oferta: q5 = 200 +- [2002

- (4 X

3 X (300,000 - 1OOP)]

y,

2x3 Producción óptima que maximiza beneficios con el precio más alto de S/.15,000: q 5 = 200 +- (40,000- (4

X

3 X (300,000- 100 X 15,000))

y,

2x3 q5 = 200 +- [40,000 - (4 X 3 X

(-

1200,000))

=

y,

4000

2x3

6

a= 666.671 Beneficio de la empresa: TI= 15,000 X 666.67- [(666.673/100)- 666.672 + 3.000 X 666.67 + 2.250.000]

!I1 = 3'231,481.481 b. ¿Qué cantidad de toneladas se colocaron al nuevo precio? Nuevo precio: S/.9,500 por tonelada: q 5 = 200 +- [200 2 - ( 4 X 3 X (300,000 - 1OOP)]

y,

2x3 q 5 = 200 +- (200 2 - ( 4 X 3 X (300,000- 1ÜÜ X 9,500)) 2x3

y,

= 3000 6

q5 = 500 TI= 9.500 \

X

500- (500 3/100- 5002 + 3.000 X 500 + 2.250.000)

TI= O

La empresa obtendría beneficios normales

c. ¿Cuál será el precio mínimo que a corto plazo soportaría la empresa aún con déficit? P=CVMemín

Se está suponiendo que el déficit es el costo fijo de la

empresa. CVMe = q2/100- q + 3000

22

CVMemín: 8CVMe/8q = O

CVMemín: q/50 - 1 = O

q =50

Cuando q = 50 el coste variable medio es mínimo: p = (50)211 00- 50 + 3000

p = 2975

Demostración: TI = 2975

X

50- [5031100- 50 2 + 3000*50 + 2'250,000]

liT =- 2'250,0001 Con este precio la empresa está en el punto de cierre dado que no cubre los costos fijos que son de S/.2'250,000. d. "Aeroflot" se dedica a la venta de avionetas particulares utilizadas en el agro para la fumigación, manejándose con una curva de Costos Medios. CMe = (q 2/100)- lOOq + 500.000 + (72.843.200.000/q) La empresa factura a un precio de lista por unidad de S/.6.620.000, obteniendo a este precio la maximización de sus beneficios extraordinarios. El Estado decide eliminarlos y es por ello que grava a la empresa con un impuesto tal que, a ese precio de venta, sus beneficios son normales. Se desea saber de qué monto será el impuesto. e= q3/Ioo- IOOq 2 + 5oo.oooq + 72.843.2oo.ooo P=CMg p = 3q2/I 00- 200q + 500.000

multiplicando todo por 100, tenemos:

lOOP = 3q2- 20,000q + 50.000.000 3q2 - 20.000q + (50.000.000- 1OOP) = O

donde (50.000.000 - 1OOP) es el término independiente.

y, como P = 6.620.000, entonces tenemos: q = 20.000 +- (20.0002 -4x3x(50.000.000- 100x6.620.000)) 0 ·5 = 2x3 Si W = 6.620.~

108,000 6

~ = 18,0001

23

TI

= 6.620.000

X

18.000 - (18.000 31100 - 100

X

18.0002 + 500.000

X

18.000 +

72.843.200.000) TI= 119.160.000.000 - 107.763.200.000

!TI= 11.396.800.0001

Beneficio extraordinario.

A ese nivel de precios la empresa tiene beneficios extraordinarios, de modo que si el estado le impone un impuesto para que tenga beneficios normales, tenemos que se le debe poner un impuesto a los beneficios por el monto del beneficio extraordinario de 11.396.800.000, siendo éste un impuesto directo a los beneficios de la empresa. 6. Suponga que hay 100 empresas idénticas en un mercado competitivo donde la demanda de mercado está dada por Pd = 1O- Q/200 y la Oferta por P = 1 + Q/200 a. Encuentre el precio de equilibrio competitivo, la producción de la industria y de la empresa. Demanda = Oferta 10- Q/200 = 1 + Q/200 Q = 9*200/2

= 900

IQ = 9üül

La producción de la Industria

W= 5.51

El precio de equilibrio competitivo

Producción de la Empresa QEmpresa = Qindustria/No. Empresas QE = 90011 00

e:=:=::>

Producción de cada empresa

24

Equilibrio de la empresa

Equilibrio de Mercado

10

~""­

--~

5.5

""' - -------------------5-.-:S----------

/

2000

900

9

b. Si las 100 empresas formaran un cártel efectivo ¿Cuál sería la solución de la cantidadprecio para una utilidad agregada máxima? (Supuesto: Q 5 = 2: CMgs). Si forman un cártel efectivo todas las empresas se coluden para actuar como monopolio. IMg=CMg 1o- 2Q/200 = 1 + Q/200 Q = 9*200/3 = 600

IQ = 6ool

y

TI= 7 *600- 600- 6002 1400

ITI = 2,7001 c. A este precio ¿Qué cuota de la producción se le asignaría a cada empresa? ¿qué cantidad le conviene producir a cada empresa? Al Precio de 7, se tiene una producción total en Cártel de 600 unidades: QEmpresa = QindustriaiNO. Empresas QE

= 600/100

=

6

Cuota de producción para cada empresa

25

Determinando el Beneficio de cada empresa: Del Costo Marginal de la Industria al Costo marginal de una empresa: CMgrnd = 1 + Qrnct/200 CMgEmp:

Qlnd

100

Qrnd == 200CMgrnd - 200

= 2CMg

Emp

- 2

qEmp = 2CMgEmp- 2

62 7r=7*6-6-4

In == 271

Beneficio de cada empresa

Cantidad que le conviene a cada empresa: Para formar el cartel a la empresa se le asignó un nivel de producción de 6 unidades al precio de 7 u.m., sin embargo a este precio cada empresa está interesada en maximizar su beneficio por lo que podría convenientemente determinar su producción según la regla: Precio = CMgE

7 = CMgE

Determinando el Costo marginal de cada empresa, suponiendo la misma tecnología para cada una de ellas. Como CMgE: La cantidad que le conviene producir a cada empresa al precio de 7 u.m. es: P=CMg

7

= 1+1 2

Con la prod~cción de 12 unidades y el precio de 7 u.m. la empresa aumentaría su beneficio a 36 u.m. I1 == 7

* 12

- 12 -

12 2

Por empresa

4

26

Sin embargo con la producción de 12 unidades por empresa la cantidad total de producción para el mercado es de 1200 unidades mayor a la producción de equilibrio que se estableció para un mercado competitivo, por lo que frente a la demanda de mercado d precio bajaría. Entonces en estas condiciones el cártel tendería a liquidarse, a menos que se establezcan controles para hacer cumplir a las empresas con la cuota asignada, dichos controles tendrían que tener costos menores al beneficio que persiguen como cártel. CÁRTEL

Equilibrio de la empresa

Equilibrio de Mercado

Al precio de 7 u.m. Producción: Asignada 6 onveniencia 12

10

7

1----.-:..,c----~----------

600

!'..-----------------------------7---------- -¡----- ------ --

1000

2000

7. Una empresa tiene dos subsidiarias (las cuales producen el mismo bien) y venden sus productos en un mercado de competencia perfecta. La función de producción de cada subsidiaria es: Q¡

= K (z L~ donde i =1,2

El stock de capital de cada subsidiaria es de K¡= 25 y K2=IOO. Los precios del trabajo y capital son 1 u.m., respectivamente. Si las funciones de producción de dos subsidiarias de la empresa son:

Q¡ = K(z L~, donde i = 1,2; el stock de capital de cada subsidiaria es de K¡= 25 y K2=IOO, y los precios del trabajo y capital son 1 u.m., respectivamente, entonces: a. Hallar la función de costo total de cada subsidiaria. La función de costo total de cada subsidiaria se obtiene determinando las funciones de los factores de producción en términos de la cantidad de producción para luego reemplazar estas funciones de factores de producción en la función del Costo total. 27

Despejando L de la función de producción de cada subsidiaria: 112

Empresa 1:Q1 = K 1

L~ 12 = (25) L~ 12 = 5L~ 12 => L 112

1

=(

~1

r

Una vez obtenido L para cada empresa, se reemplaza en la ecuación de costos de cada subsidiaria: Empresa 1:CT = rK + wL =1 * 25 + 1 *

(~) 5

Empresa 2:CT = rK + wL =1 *100 + 1

*(Q10

2

2

12

=> CT1 =25 + Q

25

2 )

12

=> CT2 = 100 + Q

100

b. Hallar la curva de oferta de cada subsidiaria. La curva de oferta de cada subsidiaria se obtiene a partir de las curvas de costos totales de cada una de ellas determinando el Costo marginal e igualándolo al precio para luego se obtiene Q en función de P. Subsidiaria 1: 12 2 Empresa 1 :CT1 = 25 + Q => CMg 1 = dCT 1 = Q1 25 dQI 25

Haciendo P

= CMg 1

'

2 25 se tiene :P = Q 1 => Q1 = P 25 2

Subsidiaria 2:

Qi dCT 2 2Q 2 Empresa 2 :CT2 = 100 + -=> CMg 2 = - - = -100 dQ 2 100 . 2Q2 Haciendo P = CMg 2 , se tzene : P = - - => Q2 =50 P 100

c. Determinar el nivel de producción de cada subsidiaria si el precio del producto es 4 u.m

28

4.2.2

MERCADO COMPETITIVO EN UNA ECONOMÍA ABIERTA SIN Y CON INTERVENCIÓN ESTATAL.

EJERCICIOS PROPUESTOS Dada la siguiente función de oferta y demanda de celulares:

xs=

P,

Además se sabe que:

Pc¡r= 20, Prob = 15

Determine y comente los resultados: 1 En este mercado, ¿Se exporta o importa?, ¿cuánto?

2

Cuál es la tasa de arancel que elimina las importaciones.

3

Hallar el monto del impuesto al consumo que convierte al bien en no transable.

4

Cuál es el monto del subsidio a la producción que convierte al bien en no transable.

5

Determine el monto del subsidio a la producción que convierte al bien en exportable

6

Cuál es el monto del impuesto al consumo que convierte al bien en exportable.

30

SOLUCIONARlO 4.2.3

MERCADO COMPETITIVO EN UNA ECONOMÍA ABIERTA SIN Y CON

INTERVENCIÓN ESTATAL. Dada la siguiente función de oferta y demanda de celulares:

xs=

P,

Pcif = 20,

además se sabe:

Prob = 15

l. En este mercado, ¿Se exporta o importa?, ¿cuánto? Equilibrio en mercado local cuando no hay comercio internacional 90- 2P = P; P = 30 y, X= 30 Como el precio del producto a nivel internacional puesto en el mercado local es de 20 u.m. entonces hay importaciones.

45

Donde: XL= 20 (P =XL)

30

20

J--------;;>!""--t-----''k----XT

{

(1+a)20 = 30 ==>

20 + 20a = 30

==>

a= 50%

R. la tasa de arancel que elimina las importaciones es de 50% 3. Hallar el impuesto al consumo que convierte al bien en no transable. El impuesto al consumo es el impuesto por unidad de consumo que pagaría el consumidor tanto a los productos locales como a los importados y en consecuencia lo que reciba el productor o el importador neto de impuestos es de 20 u.m. por lo que no habría importaciones. En consecuencia la demanda con un precio aumentado por el impuesto (Xd = 90- 2P') disminuirá hasta el punto en que iguale la oferta interna en la cantidad de

20 unidades por lo que el precio que paga el consumidor incluido el impuesto es de 35 u.m. (90-2*P(1 +t)) = 20 ==> P(1 +t) = 35) y el precio que recibe el productor o el importador es de 20 u.m. Con una cantidad de 20 unidades ofertadas el precio sin el impuesto es de 20 u.m., por lo que el impuesto es T = P(1+t)- P, reemplazando tenemos T = 35-20 = 15, es decir el impuesto por unidad de consumo para que no haya importaciones es de 15 u.m. Siendo t: P (1 +t) = 35==> 1+t = 35/20 ==> t = 15/20 ==> t = 75% pA

45>~ 35

30 20

----/-------¡,~ ' f------"'*''---+--~---

4. Cuál es el monto del subsidio a la producción que convierte al bien en no transable.

32

El subsidio hará que la empresa local produzca toda la producción que demanda el consumidor al precio de 20 u.rn. que corno se señaló en el punto a. es de 50 unidades. Xd = 90- 2P,

xs =

P +S

90-2(20) = 20 +S

50= 20 +S

S= 30

p

20

so

5. Determine el monto del subsidio a la producción que convierte al bien en exportable. Para que haya un subsidio que convierta al bien en exportable éste debe ser mayor al subsidio de 30 u.rn. que convierte al bien en no transable debido a que con éste subsidio el precio de venta al consumidor interno sería menor al precio internacional por lo que le conviene a la empresa exportar el producto. p

Subs. > 30: pC < 20; pP> 50; Q>SO

20

so

6. Cuál es el monto del impuesto al consumo que convierte al bien en exportable. Para que haya un impuesto al consumo que convierta al bien en exportable éste debe ser mayor al impuesto de 15 u.rn. que convierte al bien en no transable (conforme se explicó en el anterior apartado c.) debido a que con éste impuesto el precio que recibe el productor sería menor al precio internacional por lo que le conviene a la empresa exportar el producto. 33

p

20

30

90

Q

34

4.2.4

MERCADO

COMPETITIVO

EN

UNA

ECONOMÍA

CERRADA

CON

INTERVENCIÓN ESTATAL 1. Suponga que un mercado competitivo se encuentra en equilibrio y presenta las siguientes funciones de demanda y oferta: Q5 =7648 + 184P

Qd

=28000 - 200P

a. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del mercado b. Suponga que se aplica un impuesto de S/.9.60 por unidad de producto y determine el nuevo nivel de equilibrio del mercado en términos de precio y cantidad e ingreso fiscal. Graficar 2. Suponga que el gobierno está considerando un impuesto adicional a los licores destilados que tienen una elasticidad oferta con respecto al propio precio de 4,0 y una elasticidad demanda con respecto al propio precio de -0,2. Si se establece el nuevo impuesto ¿Quién soportará el aumento de la carga? ¿Los oferentes de licor o los consumidores? ¿Por qué?

35

4.2.5 MERCADO

COMPETITIVO

EN

UNA

ECONOMÍA

CERRADA

CON

INTERVENCIÓN ESTATAL EJERCICIOS PROPUESTOS l. Suponga que un mercado competitivo se encuentra en equilibrio y presenta las siguientes funciones de demanda y oferta: Qs = 7648 + 184P

Qd = 28000 - 200P

a. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del mercado 7648 + 184PP = 28000- 200Pc P* =53

donde:

pP=pC

Q* = 17400

b. Suponga que se aplica un impuesto de S/.9.60 en cada unidad. Determine el nuevo nivel de equilibrio del mercado en términos de precio y cantidad e ingreso fiscal El productor recibe por cada unidad el Precio que paga el consumidor menos el impuesto que es del estado:

pP =

pe- T =

pe- 9.60

Por tanto la función de Oferta se altera como sigue: Qs = 7648 + 184(Pc- T) ==>

Qs = 7648 + 184(Pc- 9.60)

El equilibrio se determina con esta función de oferta y la curva de demanda original que está en términos del precio del consumidor: 7648 + 184(Pc- 9.60) = 28000- 200Pc ¡pe= 57.61 Q = 28000- 200Pc

=

28000- 200(57.6)

jQ = 164801

pP = 57.60-9.60 pP = 48 Ingreso fiscal: TQ = 9.60*16480 = 158208

36

p

.1 1

1

Alterando la función de Oferta:

pe 53~--------~~~~

Q5 =7648 + 184(PC- 9.60)

~--~--~--~--~----------------~-.u

17400

También podemos alterar la función de demanda, dejando la función de oferta original: El consumidor paga el pP +el impuesto: La función de demanda se altera:

pe = pP + T Qd

=

pP + 9.60

=28000- 200(PP + 9.60)

El equilibrio se determina con esta función de demanda y la de oferta original: 7648 + 184PP = 28000- 200(PP + 9.60) 384PP = 18432 Q* = 7648 + 184PP

Q* = 16480

Alterando la función de Demanda:

pe

Q0

1-''.....-:---------------''1-.....

=28000- 200(PP + 9.60)

53r---~------~---'~

17400

37

2. Suponga que el gobierno está considerando un impuesto adicional a los licores destilados que tienen una elasticidad oferta con respecto al propio precio de 4,0 y una elasticidad demanda con respecto al propio precio de -0,2. Si se establece el nuevo impuesto: ¿Quién soportará el aumento de la carga? ¿Los oferentes de licor o los consumidores? ¿Por qué? IJS

= aqs p = 4

aP

e

q

D

aqD p qD

= -----=

aP

-2

Relativamente y en términos absolutos la elasticidad de la oferta es mayor a la elasticidad de la demanda:

8 1

&

1

>

1

& D por lo que ante un impuesto que aumenta el precio el 1

consumidor disminuye proporcionalmente menos la cantidad de demanda al aumento proporcional de los precios y por tanto quien soporta el nuevo impuesto son los consumidores más que los productores. Equilibrio de Mercado, Excedente Consumidor y Productor

~.~

p

~~ pe Po p

~ ___.-/

~~

./'

~

qo

Ql

~""~~

,,

q

38

4.3

CAPÍTUL03:

MONOPOLIO

4.3.1

MONOPOLIO, DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS E INTERVENCIÓN DEL

ESTADO.

l. Una empresa posee la función de producción Q = 6K0·5L0 ·5, enfrenta la demanda de mercado Q

= 100 - 5p y paga por cada unidad de insumo r = 8, w = 18. Determine:

a. El Ingreso Marginal b. El Costo Marginal c. El nivel de producción d. El precio de mercado e. Graficar. 2. Suponga que un monopolista se enfrenta a una curva de demanda como: P = 120- 2Q. Su empresa tiene un costo de C = 4Q2 • a.

Suponga que monopolista maximiza beneficios: Encuentre preciO, cantidad y beneficio en monopolio.

b. Si la empresa en monopolio maximiza ingresos cuáles son los niveles de precio, cantidad y beneficio c.

Suponga que los costos corresponden a un conjunto de empresas que actúan en un mercado de competencia perfecta, encuentre los resultados que maximiza beneficios.

d. Qué comentario haría respecto a los anteriores resultados. 3. Un monopolista se enfrenta a dos mercados que tienen la siguiente curva de demanda:

y El CMg = 20 u.m. por unidad (constante) a. Si puede practicar la discriminación de precios ¿Qué precio debe cobrar en cada mercado para maximizar benéficos y cuánto producir? b. Si no puede separar mercados ¿Qué precio y cuánto debe producir para abastecer los mercados y cuánto vende en cada uno? 39

4. Un monopolista vende su producto en dos mercados diferentes que logra mantener aislados. Sus funciones de demanda y costo total son: Pt=140-qt ;P2=90- (113)q2 y CT = (l/300)Q 3 - (2/3)Q 2 + 30Q + 1500 Determine el precio y cantidad de equilibrio de mercado y el beneficio total 5. Una empresa de servicios públicos enfrenta la demanda de mercado P = 5000 - 1O1x, la citada empresa produce con una planta que presenta una función de costos C = 500 -x2. Determine el equilibrio de la empresa, grafique. 6. Sea la siguiente función de costos y demanda de la empresa Telefónica:

e= 4 + Q2;

Qct = 16- P

a. Hallar la solución de monopolio simple (P, Q, Be, Ep,x, ExcC, ExcP, PES.) b. Cuál es el precio que el gobierno debe fijar para eliminar la PES. c. Analice los efectos sobre P, Q, Be si: - El gobierno impone un impuesto de monto fijo de 10 u.m. - El gobierno impone un impuesto a los beneficios de 20% - Se establece un impuesto a la producción de S/. 2 por unidad de Q. - Se impone un subsidio a la producción de S/.1 por unidad de Q. - Se impone un impuesto al ingreso o Ad-Valorem de 20% - Halle la tasa o impuesto por unidad de producto que maximiza ingresos para el estado. - Halle el impuesto que elimina beneficios. - Halle el P, Q de equilibrio si obtiene beneficios normales. - Halle el P, Q e Ingreso fiscal si se impone un impuesto de 10 u.m. por producto. d. Si el gobierno aplica un control de precios de P = S/.1 O, P = S/.14. Halle los nuevos valores de equilibrio.

40

SOLUCIONARlO 4.3.2

MONOPOLIO, DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS E INTERVENCIÓN DEL

ESTADO Sabemos que si una empresa enfrenta la demanda de un mercado entonces la empresa es monopolista y para obtener el máximo beneficio produce cuando el Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal: IMg = CMg, y esto debemos conseguir. l. Una empresa posee la función de producción Q = 6K0 ·5L0 ·5 , enfrenta la demanda de mercado Q = 100- 5p y paga por cada unidad de insumo r = 8, w = 18. Determine el precio que cobrará la empresa. a. El Ingreso Marginal Es una función que se obtiene derivando el Ingreso total (pQ) respecto a la cantidad producida (Q), y se determina: !Mg = a(pQ) 8Q Por tanto, para hallar el IMg primero debemos establecer el Ingreso Total: P*Q Hallando el Ingreso Total De la función de demanda de mercado Q = f(p): Q = 100- 5p,

pQ =f(Q)Q

Ingreso Total:

p = 20-115 Q:

p =f(Q):

Establecemos la función inversa de demanda: 1

p=20--Q

pq

5

1 2 = IT = 20Q--Q

5

Determinando el Ingreso Marginal

/

IMg

= a(pQ)

!Mg =

8Q

a(

20Q- }Q

2 )

---'-----~

8Q

2 !Mg =20--Q 5

b. El costo marginal Es una función que se obtiene derivando el Costo total respecto a la cantidad de producción: CMg= a(C(Q)). El CMg que se obtiene está en términos de Q (cantidad de 8Q producción) CMg

=

f(Q) o es una cantidad constante CMg =k. 41

En el presente caso que se tiene la función de producción debemos hallar el Costo total en términos de Q para ello empleamos la función de producción y los precios de los factores, asimismo, se tiene en cuenta que la función de costos es una función de costos de largo plazo que determina costos eficientes para cualquier nivel de producción. En consecuencia, los elementos de la función de costos responden a la relación: TMgST=w/r. De la función de producción: Q = 6K 0·5L0·5 determinamos la TMST: TM ST= aQ!aL g, 8Q/8K

=

Igualando la TMgST a los precios relativos de los factores:

K_ w ~K= wL. L r r '

K

L

TMgST=w/r

L= rK w

Reescribiendo la función de producción y reemplazando K e términos de L tenemos: _ Q ( r )o.5 L--6 w

Haciendo lo mismo para hallar K: _ Q (w)o.5 K---

6

r

Estableciendo la función de Costo Total de Largo Plazo: En la correspondiente función de costos CT¡_p = wL + rK, se reemplaza L para ponerlo en términos de Q, igual con K.

CTLP = w

Q(

6

r )

w

05 · Q ( r )o.5 +r 6 w

Determinando el Costo Marginal Se deriva el costo total respecto a Q:

42

0.5

CMg LP

=; ( :

(

+r ;

)

)0.5

:

c. Igualando el IMg al CMg se determina el nivel de producción que maximiza el beneficio 2 5

1Mg=20--Q

5 0.5 r 0.5 Q -- 50 --w 6

Q

= 50- ~ 18°5 8°" 5

5 6

Q =50- -12

6

Q=40

d. Determinando el Precio de Mercado. El nivel de producción óptima se reemplaza en la función de demanda inversa para determinar el Precio de mercado que maximiza el beneficio. p = f(Q):

p

=

p = 20 -115 (40)

20-1/5 Q

p

=

12

e. Graficando p

1 = 20--Q; 5

2 5

!Mg=20--Q; CMg

LP

= .!_ 18 o.5 8o.5 3

CMgLP =4

43

p

Precio que maximiza el beneficio del Monopolista

20

12

CMg 4

2. Suponga que un monopolista se enfrenta a una curva de demanda como: P = 120- 2Q. Su empresa tiene un costo de e = 4Q2 • a. Suponga que el monopolista maximiza beneficios: Encuentre precio, cantidad y beneficio en monopolio. Si el monopolista maximiza beneficios, entonces IMg = CMg IMg = 120 -4Q

CMg=8Q

120-4Q=8Q

Q = 10

TI= 100*10- 4*102

p = 100

Ingresos= 100* 1O = 1.000

TI= 600

Solución: P = 100; Q = 1O; TI = 600 CMg

p

MONOPOLIO

IMg = CMg 120

Q= 10

100

p

=100

II = 600 40

10

60

Q

44

b. Si la empresa en monopolio maximiza ingresos cuáles son los niveles de precio, cantidad y beneficio Si maximiza ingresos el monopolista producirá para satisfacer una demanda en el punto en que su elasticidad es igual a uno. La elasticidad es igual a uno cuando el IMg =O; IT = PQ = 120Q- 2Q2 ==> IMg = 120- 4Q

Como P = 120- 2Q ==> IMg=O

120-4Q =o

oQ P

8

li=--

oP Q

Q=30

==>

P=60

1 120-60 2 30

= --1120- 2Q 2 Q

&=-----

-----'=--

1 60 8=---=1 2 30

Ingresos: 60*30 = 1.800 Solución: Q=30

y,

TI= 60*30- 4*302

P=60

p

C!VIg

TI=- 1.800

MONOPOLIO

IMg=CMg Q=30

120

P= 60

rr =-1.soo

30

60

Q

c. Suponga que los costos corresponden a un conjunto de empresas que actúan en un mercado de competencia perfecta, encuentre los resultados que maximiza beneficios. Si los costos son de empresas que actúan en un mercado de competencia perfecta, entonces en este mercado la oferta iguala a la demanda o lo que es lo mismo: P=CMg.

120-2Q = 8Q

TI= 96*12- 4*122 = 576

Q= 12

P=96

(Dado que no hay costos fijos)

45

CMg

COMPETENCIA PERFECTA

CM e

120 96

P=CMg Q= 12 p = 96

I1 =576

60

12

d. Qué comentario haría respecto a los anteriores resultados. La empresa en monopolio es la que produce maximizando su beneficio que es de 600 u.m, disminuyendo estos si actúa como si fuera una industria en un mercado competitivo siendo el beneficio de todas las empresas de 576 u.m, en cambio si busca maximizar su ingreso y dada las condiciones de los costos donde no hay costos fijos se tiene que la empresa obtiene pérdidas de 1.800 u.m. 3. Un monopolista se enfrenta a dos mercados que tienen la siguiente curva de demanda: D¡(P¡) = q¡ = 100- P¡

y

El CMg = 20 u. m. por unidad (constante) a. Si puede practicar la discriminación de precios ¿Qué precio debe cobrar en cada mercado para maximizar benéficos y cuánto producir? Como el CMg es constante, IMg¡ =CMg

y

IMg2=CMg

100-2Q¡ =20

50- Q2 = CMg = 20

IQ¡ =4ol

lQ2 = 30l

Producción y

lb =60l

lh = 3 si

Precios para maximizar beneficios.

I1 1 = 60 * 40 - 20 * 40 I1 2 = 35 * 30- 20 * 30

I1 1 = 1,600 I1 2 = 450

Jrrr = 2,osoj 46

b. Si no puede separar mercados ¿Qué precio y cuánto debe producir para abastecer los mercados?, ¿Cuánto debe vender en cada mercado? La demanda es única, por lo cual se suman las demandas q¡

=

100- p

92 =lOO- 2p Q=200-3p IMg=CMg 200 Q Inversa de la Demanda: p = - - 3 3

Determinando IMg. !Mg= 200 _ 2Q 3 3 !Mg=CMg

2Q= 140

Q=70

Cantidad de producción para los 2 mercados 200 3

70 3

p=---

jp=43.3~

p

= 43.33

Precio único para los 2 mercados

TI = 43 .33 * 70 - 20 * 70

TI= 1,63 3.11 Beneficio en monopolio en el mercado agregado

1

¿Cuánto vende en cada mercado? 47

Se determina igualando el precio a cada demanda de mercado: Mercado l.

43.3 = 100- q,

q¡ = 56.7

Mercado 2.

43.3 =50- 0.5qz

qz

13.3

= 13.3

56.7

70

100

4. Un monopolista vende su producto en dos mercados diferentes que logra mantener aislados. Sus funciones de demanda y costo total son: p, = 140- q¡ ; Pz = 90- (1/3) qz y CT = (1/300)Q3 - (2/3)Q2 + 30Q + 1500 Determine el precio y cantidad de equilibrio de mercado y el beneficio total Como los mercados son separados, es decir, lo que el consumidor compra en un mercado no lo puede vender en el otro mercado entonces se puede producir para cada mercado según su demanda y vender según su disposición de pago (discriminando precios). Se observa también que el Costo marginal tiene pendiente positiva (no es constante) por lo que debe haber una única producción para los dos mercados. En consecuencia, se debe considerar un costo marginal único en la producción que iguale un ingreso marginal único por lo que las demandas deben agregarse. IMg = IMg, + IMgz = CMg IT1 = 140q,- q1 2

ITz = 90qz- (1/3)qi

IMg¡ = 140- 2q¡

IMgz = 90- (2/3)qz

48

Agregando los Ingresos Marginales q¡ = 70 - (1/2)IMg¡

q2 = 135 - (3/2)IMg2

(q 1 + q2) = Q = 205 - 2IMg

IMg = 102.5- (1/2)Q

CMg = (1/100)Q2 - (4/3)Q + 30 102.5- (1/2)Q = (11100)Q 2 - (4/3)Q + 30

IMg=CMg

(11100)Q2 - (5/6)Q- 72.5 =o Q = -(- 5/6) +-((5/3) 2 - 4*(1/100)*(-72.5))0·5

Q = 136.46

2*(1/100) A ese nivel de producción el costo marginal en la planta del monopolista es: CMg = (1/100)Q2 - (4/3)Q + 30

CMg = (1/100)136.462 - (4/3)136.46 + 30 = 34.27

CMg= 34.27 Distribución de la producción para la venta en cada mercado Teniendo en cuenta que el CMg = IMg1 = 1Mg2 estabecemos la distribución para cada mercado. q¡ = 70- 0.51Mg¡

q¡ = 70 - 0.5(34.27)

q¡ = 52.9

q2 = 135- 1.5IMg2

q2 = 135 - 1.5(34.27)

q2 = 83.6

Por lo que se discrimina el precio en cada mercado como sigue: Mercado 1:

P¡ = 140- q¡

P1 = 140-52.9

P1 = 87.1

Mercado 2:

P2 = 90- (1/3)q2

P2 = 90- (1/3)83.6

P2 = 62.1

Determinando el Beneficio de la empresa TI= p¡ *q¡ + p2*q2- (1/300)Q3 + (2/3)Q2 - 30Q - 1500 TI= 87.1 *52.9 + 62.1 *83.6- (11300)*136.5"3+(2/3)*136.5"'2-30*136.5-1500 = 8,147.98

49

MONOPOLIO: 1 PLANTA Y 2 MERCADOS

IMgrotal = CMg = 34.27 q¡ = 52.9; P1 = 87.1 1

1

90

,' 34.27 = IMg2 => q2 = 83.6; P2 = 62.1

87.1 62.1 34.27

52.9 70 83.6

270

140

5. Una empresa de servicios públicos enfrenta la demanda de mercado P = 5000- lOlx, la

citada empresa produce con una planta que presenta una función de costos C = 500 -x2 • Determine el equilibrio de la empresa, grafique.

IMg= 5000-20a

CMg=-2x

p = 5000-1 o (25) = 2525

CMg= -2x =-50= !Mg

500 CMe=--x

CMe =

X

P, IMg, CMg, CMe

500 -25 25

5000 - 202 x

= -2x

X

= 25

CMe = -5

De la forma analítica observamos que el CMg es menor a cero (O) y el CMe va disminuyendo hasta hacerse cero cuando aumenta la producción de O a 22.36 punto a partir del cual al aumentar la producción el CMe se hace más negativo. Situación irreal en una empresa dado que los costos negativos suman al beneficio aumentándolo.

6. Sea la siguiente función de costos y demanda de la empresa Telefónica: 50

Qct = 16-P a. Hallar la solución de monopolio simple (P, Q, Be, Ep,x, ExcC, ExcP, PES.) El caso es de una empresa que enfrenta toda la demanda de mercado por tanto esta empresa es un monopolio y maximiza su beneficio cuando el IMg = CMg. Determinando Q, P y B. Hallando el IMg y el CMg e igualándolos para determinar el nivel de producción óptima, con la producción obtenida se reemplaza en la función de demanda y se halla el precio. Monopolio:

CMg = 2Q

e

IMg= 16-2Q

CMemín: -4/Q2 + 1 = O

CMe=4/Q+Q

\CMemín: Q = 2\

El beneficio es el resultado de la diferencia del ingreso total y el costo total. TI= PQ- (4 + Q2) = 12x4- (4 + 4 2) = 48-20 = 28

[I1 = 281

Graficando: p

12

8

5

~--J---~~--------~---------.Q

o

4

8

16

Determinando la elasticidad de la demanda:

Se deriva la función de demanda con respecto al precio y se multiplica por el precio de mercado y se divide por la cantidad de producción, como sigue: t: =

aQ -P· aP · Q'

~

12 - l . - = -3 4

&

= -3 51

Hallando los excedentes del consumidor y el productor en monopolio: Exc. C = (16- 12) x 4/2 = 8

(P(Qo)-PM)

Exc. P = (12- 8) x 4 + 8 x 4/2 = 32

(PM~cMg) x 4 + CMg x 4/2

X

QM/2

Total Excedentes en monopolio = 40 Excedentes en Competencia Perfecta: Se simula que la curva de CMg de la empresa representa la oferta de todas las empresas en el mercado. Dado que es una demanda y CMg lineales, se puede determinar la pérdida de eficiencia social mediante el área del triángulo: b x h/2 Pe: P=CMg

16-Q=2Q

JQc = 16/3j

11\ = 32131

Exc e= (16- 32/3) X (16/3)/2 = 14.22 Exc. P = (32/3) x (16/3)/2 = 28.44 Total Exc. en Competencia Perfecta= 42.66

PES:

C. (12-32/3)x(16/3-4)/2

= 0.89

P. ((32/3)-8)x((16/3)-4)/2 = 1.78 Total: 2.67

16

b. Cuál es el precio que el gobierno debe fijar para eliminar la PES. El precio que debe fijar el gobierno para eliminar la PES es el precio de mercado como si fuera un mercado competitivo. •

Pe= 32/3

52

c. Analice los efectos sobre P, Q, Be si: - El gobierno impone un impuesto de monto fijo de 1O u.m. Si el impuesto es de monto fijo, entonces aumentan los costos fijos de la empresa en 1Ou. m., por tanto el CMg no se altera. En consecuencia: •

La Q y el P no se alteran

•

El Beneficio disminuye en 1Ou. m.

- El gobierno impone un impuesto a los beneficios de 20% Se altera el beneficio disminuyendo en la cantidad de impuesto de 20% (1 - 0.2)TI =TI' = 0.8(PQ - C) = 0.8PQ- 0.8C El IMg y el CMg se alteran en la misma proporción, por tanto la Q y el P no se alteran, se afecta el Beneficio en 5.60 u.m. 0.8IMg=0.8CMg

16-2Q=2Q

Q=4

P= 12

TI'= 0.8(PQ)- 0.8(C) = 0.8(12x4)- 0.8 (4 + Q2) = 0.8(48)- 0.8(4 + 4 2) TI' = o.8(48)- o.8(20)

11-r = 22.4¡

- Se establece un impuesto a la producción de S/. 2 por unidad de Q. Se altera el Costo en 2Q, por tanto se altera el CMg aumentando en 2 unidades, no se altera el IMg, en consecuencia disminuye el nivel de producción y aumenta el precio.

p

CMg=2Q+2 16-2Q =2Q +2 P = 12.5

Q = 14/4

=

16- Q

w= 12.51

IQ=3.5I

* 3.5-4-3.5 2 -2 * 3.5[1 = 2o.s!

- Se impone un subsidio a la producción de S/.1 por unidad de Q. Disminuye el Costo en 1Q, por tanto disminuye el CMg en 1 unidad, aumenta el nivel de producción y disminuye el precio. Costo: 4 + Q2 - Q

CMg =2Q - 1 lo= 17/4 = 4.251

IMg = 16- 2Q

w=

IMg = CMg ==> Q 11.751 53

TI= 11.75 x 4.25-4-4.25 2 + 4.25 = 49.9375- 17.8125 = 132.131

Graficando: CMemín: -4/Q2 +1 = O

CMe = 4/Q + Q -1

Q=2

p

16

e

7.50 4.19

Q

16

4.25

- Se impone un impuesto al ingreso o Ad-Valorem de 20% Impuesto ad-valorem o sobre el valor. Siendo el valor el ingreso (PQ) entonces el impuesto ad valorem es t(PQ), con lo que el ingreso PQ disminuye con el impuesto ad-valorem en t(PQ): Ingreso= PQ- t(PQ) = (1-t)PQ = (1-t)(16-Q)Q = (1-t)(16Q-Q 2) IMg = (l-t)(l6-2Q) = 0.8(16- 2Q) = 12.8- 1.6Q Costos = 4 + Q2

CMg = 2Q

Igualando el IMg = CMg se determina el nivel de producción óptima. Q = 12.8/3.6

lQ = 3.561

TI= 12.44x3.56- 4-3.562

1P = 12.441

[1 = 27.61281

- Halle la tasa o impuesto por unidad de producto que maximiza ingresos para el estado. Ingreso= PQ

Costo= 4 + Q2

T=tQ

Determinando el beneficio del monopolista con un impuesto por unidad de producto.

54

Optimizando el beneficio del monopolista con un impuesto por unidad de producto. 8TI/8Q = 16- 2Q -2Q- t =O

donde Q = 4 - V4 t

Por lo anterior se tiene el impuesto que pone el estado por unidad de producto. t= 16-4Q Determinando los ingresos del estado con el impuesto por unidad de producto por la cantidad de producción (tQ). tQ = 16Q-4Q2

Ingresos del estado:

Maximizando el ingreso del estado: 8(tQ)/8Q = o :

Q=2

16-8Q=O

t= 8

Beneficios del monopolista: TI= 32-4-4-4- 2*8 = O Impuestos recaudados: 16 - Halle el impuesto que elimina beneficios. Es cargar 100% de impuesto a los beneficios, en la que no se altera el nivel de producción ni el precio. (Como se vio en anteriormente) El 100% de impuesto a los beneficios, significa que el beneficio de la empresa es O y éste lo toma el gobierno - Halle el P y Q de equilibrio si obtiene beneficios normales Si buscamos que el beneficio sea igual a cero, significaría que el monopolista sin impuesto produce a un precio que le brinda beneficios normales, en tanto que el estado no obtiene recaudación. .7r

=

7i

o

= PQ- C =O;

16Q- Q 2

-

(4 + Q 2 )=o

2

2Q -16Q+4=0 - -(-16)±~162 -4(2)(4)

Q-

P=l6-Q

Q= 16±-J256-32

2(2)

Q= 16±1497 =7.74

4

p = 16-7.74

4 p = 8.26

55

.7r=8.26*7.74-4-7.74

2

Jr=O

- Halle el P, Q e Ingreso fiscal si impone un impuesto de 10 u.m. por producto: t = 1O u. m por producto y el costo aumenta en 1OQ. Costo= 4 + Q2

p = 16- Q

CMg = 2Q

P=CMg

16-Q=2Q+ 10

Q=2

en la demanda

Q=2

en la oferta

CMe=4/Q+ Q

CMemín:

CMe = 4/2 + 2 = 4

pP = CMe = 4

CMt = 2Q + 1O Q=2

-4/Q 2 +1 =O

CMemín: Q=2

pe= 14

El impuesto debe determinar un CMe = CMg = pP de 4 u.m que le corresponde el nivel de producción de 2. 2

.7r=PQ-(4+Q +10Q)

Ingreso fiscal:

.7Z'=14*2-4-22 -10*2

1l'

=

o

10*2 = 20

2 4

16

d. Si el gobierno aplica un control de precios de P = S/.10, P = S/.14. Halle los nuevos valores de equilibrio. Cuando el P = 1O y el monopolista quiere maximizar producción entonces habría un exceso de demanda:

56

P = 1O = IMg = CMg:

10=2Q

7l"=21

P=10=16-Q p

16

1

Al precio de 1O hay exceso de demanda en 1 unidad

10

'--5.1-6.L..-----'.___.. Q

Exceso de demanda de 1 unidad de Q, que obligaría a subir el precio y aumentar la producción. P=CMg= 10

16- Q = 2Q

Q = 16/3

Q = 5.33

P=16-5.33

p = 10.67

:rr= 1Q67* 5.33-4-5.332

"= 24.46

Cuando el P = 14 y el monopolista quiere maximizar producción entonces habría un

exceso de oferta: P= 14=CMg:

14=2Q

P= 16-Q= 14 p

16

Al precio de 14 hay exceso de oferta en 5 unidades

Exceso de oferta de 5 unidades de Q. El productor produce solo hasta la demanda del consumidor y obtiene beneficios: P = IMg = CMg = 14

En la demanda 14 = 16 - Q; Q = 2

57

7Z"

=14*2 - 4 - 22

1r

= 20

En caso que produzca en función del precio y venda de acuerdo a la demanda, tendría pérdidas: JZ"= 14*2-4-7

2

Ji

= -25

1

58

4.3.2

MONOPOLIO MULTIPLANTA Y DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS

EJERCICIOS PROPUESTOS l. Un monopolista tiene un mercado interno protegido por Ley contra la competencia de las

importaciones. La curva de demanda interna de su producto es Pct= 120- Qct/10. La empresa también puede vender en el mercado mundial de exportaciones, más competitivo, donde el Pe= 80, independientemente de la cantidad exportada Qe (Es decir, la empresa acepta precio del mercado mundial). El CMg = 50 + Q/1 O donde Q = Qct + Qe. a. Encuentre la producción total que incremente las utilidades al máximo y su división entre los 2 mercados. b. Compare las elasticidades de la demanda del mercado interno y el mundial. 2. Un monopolista abastece el mercado local en forma exclusiva y además exporta al Precio internacional P* = 8. La demanda de mercado local es: P1 = 15 - % Q y Sus costos son: 0.05q3 - 0.9q2 + 8q + 6 Determine la producción para el mercado local y para la exportación, los precios y el beneficio máximo. 3. Un monopolio dispone de dos plantas de producción. Una presenta una función de CT¡ =10]1

y, la otra

CT2 =0.5q~

El mercado presenta una función de demanda: Q = 1000 - p Se pide Calcular: El equilibrio de mercado y el excedente del consumidor 4. Un monopolista produce el mismo producto en 2 plantas para un mercado con función de demanda: P = 120- 4Q Su función de costos en cada planta es:

Determine su beneficio máximo y las producciones en cada planta

59

5. Un monopolista abastece dos mercados con dos plantas. La curva de demanda de los mercados son: P¡

=

(280/3)- (20/3)q¡ y P2 = 160-10 q2

Las plantas tienen las funciones de costos del problema anterior. Determine la cantidad total de producción, la producción en cada planta y la venta en cada mercado. 6. Supuesto 2 mercados A y By 2 bienes X e Y, se conoce la disposición a pagar por cada bien como sigue: A dispuesto a pagar 120 u. m. por X y 100 u. m. por Y B dispuesto a pagar 100 u.m. por X y 120 u.m. por Y Asuma Cmg =O y que la disposición a pagar por ambos bienes X e Y es la suma de la disposición a pagar de cada uno de ellos.

a. ¿Qué tipo de correlación tiene y en función de ella que tipo de venta se realizaría para obtener el máximo beneficio? b. ¿Cuál es el beneficio por la venta separada de los bienes y cual por la venta en paquete?

60

SOLUCIONARlO MONOPOLIO MULTIPLANTA Y DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS.

l.

Un monopolista tiene un mercado interno protegido por Ley contra la competencia de las importaciones. La curva de demanda interna de su producto es Pct = 120- Qct/10. La empresa también puede vender en el mercado mundial de exportaciones, más competitivo, donde el Pe= 80, independientemente de la cantidad exportada Qe (Es decir, la empresa acepta precio del mercado mundial). El CMg =50+ Q/10 donde Q = Qct + Qe. a. Encuentre la producción total que incremente las utilidades al máximo y su división entre los 2 mercados.

CMg pd = 100

P•= 80

Qd

QT

200 300

Producción Total de la empresa

Como el monopolista exporta, entonces su precio de referencia es el pe precio la QT resulta de pe

=

=

80 y a ese

CMg.:

80 = 50 + Q/1 O, donde QT = 300 Producción para el mercado interno

El monopolista produce para el mercado interno de acuerdo al IMg = CMg IMgct = CMg = 80; Img:

MT/~Q

IT=PQ

PQ= 120Q- Q2/IO IMg = 120- 2Q/l O 61

Img=CMg

120- 2Q/10 = 80 2Q/10 = 40

1Qct= 2001

Pct = 120-200/10

=

100

IPd = lOq

Producción para el mercado Externo =

300-200 IQe = 1001

100

tp =sol

Beneficio de la empresa B = 100*200 + 80*100- 50*100- 502/20 = 22.875 u.m.

lB= 22.875 u.m.l

b. Compare las elasticidades de la demanda del mercado interno y el mundial. Elasticidad del mercado mundial Dado que el precio de exportación es fijo y por tanto no cambia cuando cambia la cantidad de demanda, la elasticidad de demanda del mercado mundial es perfectamente elástica. Elasticidad del mercado interno Si la curva de demanda es:

P = 120- Q/10

Q=1200-10P

oQp

&=~~

ap Q

oQ =-lo

ap

aQ P =- 1o® 100 =-5 ap Q 200 En consecuencia las elasticidades de la demanda de los dos mercados son diferentes: La demanda del mercado mundial tiene una elasticidad infinita (a)

1

62

La demanda del mercado doméstico tiene una elasticidad elástica (-5) 2. Un monopolista abastece el mercado local en forma exclusiva y además exporta al Precio internacional P* = 8. La demanda de mercado local es: PL = 15 - % Q

y,

Sus costos son: 0.05q3 - 0.9q2 + 8q + 6 Determine la producción para el mercado local y para la exportación, los precios y el beneficio máximo. Producción total de la empresa (Oferta) cuando el P = 8 P=CMg

8 = 0.15q2 - 1.8q + 8

0.15q -1.8 =o

Punto de equilibrio en el mercado local: Como el monopolista abastece al mercado local en forma exclusiva, tenemos: CMg=8

IMgL = 15- 1.5 QL

CMg = IMgL ==> 8 = 15- 1.5 QL PL = 15- (3/4)*4.66 = 11.5

QL = 7/1.5 = 4.66

11\ = 11.5!

Exportaciones de la empresa con el P = 8 Exportaciones = Oferta total - Demanda Local Exportaciones= 12-4.66

Exportaciones = 7.34

Gráfico

63

12

4.66

20

3. Un monopolio dispone de dos plantas de producción. Una presenta una función de Cl} = 1(}¡1 y la otra CT2 =o.sq; . El mercado presenta una función de demanda: Q = 1000 - p Se pide Calcular: El equilibrio de mercado y el excedente del consumidor Equilibrio de Mercado De CT¡ =1{}¡1 y la otra CT2 =O.sq; CMg¡ = 10

CMg2 = q2

y,

p = 1000-Q

se obtiene:

IMg = 1000- 2Q

Al observarse los costos marginales de cada planta se establece que estos no pueden sumarse horizontalmente debido a que la planta 1 puede producir todo lo que demande el consumidor a un CMg = 10 (Constante), en cambio, con la planta 2 tiene un CMg2 de pendiente positiva aumentando en una unidad conforme aumenta en una unidad la producción y puede producir al CMg2 de 1O hasta una cantidad de 1O unidades, más allá el costo marginal es mayor a 1O y aumenta por unidad de producción. En consecuencia, si la demanda es mayor a 1O unidades entonces se produce para maximizar beneficios cuando el costo marginal es de 1O u. m. y cuando el IMg = CMg¡: Producción solo con la planta 1 1000 -2Q = 10

Q=495

TI= 505*495- 10*495

P= 505

TI= 245.025

Producción con las dos plantas. 64

Como es un monopolista que tiene dos (2) plantas de producción, debe decidir si opera solo con la planta 1 o con las dos (2) plantas, entonces debe verificarse que con la planta 2 puede producir hasta un máximo de 1Ounidades y con la planta 1 el resto de la demanda al precio de 505 u.m. q¡ = 485

CMg2 O, puede soportar menor demanda de su producto por entrada de nuevas empresas o mayor producción de las existentes. CMe = CTIX = 10X + 20 + 240/X como: X= 4 CMe = 10*4 + 20 +240/4 = 120

CMe= 120 =Px

b. Gráfico

70

CMe =lOX + 20 + 240/X

8

12

16

20

2. La demanda de periódico "Nuevas buenas" se puede expresar como q¡

=

40 - 2P¡ + P2,

siendo P1 el precio de "Nuevas buenas" y P2 el precio de sus competidores. Analice el comportamiento de la empresa según el modelo de Bertrand, si para "Nuevas buenas" el costo de producción es CT 1 = q¡. Dado que la función de producción (tirada de periódicos por unidad de tiempo) está en términos de precios, estamos considerando el modelo de Bertrand que asume que el producto de cada empresa es un bien diferenciado por lo que cada una 'competirá' fijando su propio precio. Asimismo, cada empresa tendrá una 'función de reacción de precios'. a. Determinando la función de reacción de la empresa "Nuevas buenas" Se tiene que: q1 = 40- 2PI + P2

y,

CT1

=

q¡.

Ingreso total de la empresa:

~

Ingreso marginal por unidad de precio: aJT

-=40-4~

a~

+P2

Costo marginal por unidad de precio: Del Costo Total de producción de "Nuevas buenas": CT1

=

q¡

CT 1 = 40 - 2P¡ + P2

acr..= _2 a~

71

Igualando IMg(p) = CMg(p), tenemos: 40 - 4P 1 + P2 = -2 Función de reacción de "Nuevas buenas":

IP¡ = 10.5 + 0.25P2 1

La función de reacción de "Nuevas buenas" tiene una relación directa con la toma de decisiones de las otras empresas lo cual implica que "buenas nuevas" trata de mantener la cantidad de demanda o porción de mercado que cubre su producción.

p2

Función de Reacción "N.b"

30 --------------------------

10 ---------------,

10.5

13

15.5

18

p1

3. Una empresa en competencia monopolística enfrenta la siguiente función inversa de demanda Q = 60000 - 3000P, si en estos momentos existen 1O empresas en la industria, determine la función inversa de demanda de la empresa si ingresaran al mercado 5 empresas más. Situación inicial de la demanda de mercado de la empresa:

20

\

60000 Q

72

Si hay 1O empresas en el mercado monopolístico y en el supuesto que cada una tiene similar función de costos entonces cada una tiene la misma porción de mercado que en el caso sería de 10%. Si ingresan 5 empresas más al mercado y en el mismo supuesto que tengan similar función de costos, entonces la participación de cada empresa sería de 1/15 o sea 6.67% por lo que las empresas que inicialmente estaban en el mercado pierden mercado en 3.33% (10% a 6.67%) Veamos cómo cambia la demanda de cada empresa cuando entran 5 empresas más al mercado. Como Q = 60.000- 3.000P. Si P = 10 u.m. entonces Q

=

60.000-3.000 * 10 = 30.000 por

lo que la demanda de mercado al precio de 1O u.m. y con 1O empresas en el mercado es de 30.000* 1o = 300.000. Al entrar 5 empresas más, la participación de cada una disminuye a 6.667% y si el precio sigue siendo de 1O u.m. entonces la demanda de mercado no cambia y sigue siendo de 300.000 unidades por lo que la cantidad demandada para cada empresa es de 300;000/15

=

20.000 unidades o lo que es lo mismo 300.000*6.667% = 20.000. La disminución de la demanda para cada empresa se expresa en su función de demanda que disminuye en 33.3%

= (

333 %) o lo que es lo mismo se multiplica la función original de 10%

demanda (Q = 60.000- 3.000P) por 66.67% (100%- 33.33%) como sigue: 0.667Q = 0.6667 * 60.000-0.6667 * 3.000P

==>

Q' = 40.000- 2.000P

En la nueva curva de demanda el precio que corta el eje de la ordenada no cambia pero la cantidad que corta el eje de la abscisa es de 40.000 unidades, disminuyendo 20.000 unidades respecto a la función de demanda original de la empresa por lo cual la pendiente cambia de 1/3000 inicial a 112000 final haciéndose la demanda más inelástica que determina que un disminución en el precio en 1 u.m. aumenta la cantidad demanda de la empresa en 2.000 unidades de productos, sin embargo si hace esto una empresa es probable que se desate una guerra de precios que no es conveniente para ninguna de ellas dado que afecta su beneficio. Situación inicial y final de la demanda de mercado de la empresa: 73

20

20

30

60 Q(miles)

40

4. El mismo mercado monopolístico del ejercicio 3, cuya función de demanda de cada empresa es q¡ = 60000- 3000P¡ y su función de costos es CT 1 = 5q¡ + 40000. a) Determine precio, producción y beneficios económicos de la empresa en el corto plazo. El equilibrio de la empresa se da cuando aplica la regla IMg = CMg que maximiza su beneficio y dado que tiene poder de mercado. Determinando el Ingreso marginal: Se establece la Función inversa de demanda: P¡ = 20- (l/3000)q¡ IT¡

=

(20- (l/3000)q¡)*q¡

IT1

=

20q¡- (l/3000)q¡ 2

!M : 8P¡q¡ =20--1g aq¡ 1500 q¡

CMg¡

=

5

Igualando IMg¡ = CMg¡

~

q¡ *

1 • 20- --q¡ = 5 => q¡ = (20- 5)1500::::> q¡ = 22500 1500

Precio: 1 P1 = 20--- * 22500::::> P¡ = 7.5

3000

Beneficio: TI= P1q 1 - CT1 = 7.5 * 22500-5 * 22500-40000 => II 1 = 16250 Graficando: 74

CMe = 5 +

40000 q¡

~ CMe = 5 + 40000 ~ CMe = 6.78 22500

20

7.5·&~~::::5

t---~1~---""~

22.5 30

45

60 Q(miles)

b) Evalúe la entrada de otra empresa a este mercado Como cada empresa está obteniendo beneficios extraordinarios, en el corto plazo es atractivo para otros inversores entrar a este mercado hasta el punto en que los beneficios sean normales. e) Si a este mercado ingresa una nueva empresa, establezca la nueva función de demanda de cada empresa. Si inicialmente habían (n) empresas en el mercado, la entrada de una nueva empresa significará (n+ 1) empresas en el mercado por lo que la cuota de mercado, en el supuesto que todas tengan la misma función de costos sería de: inicialmente 1/n y finalmente 1/(n+1) existiendo una pérdida de cuota de las inicialmente existentes de [1/n- 1/(n+ 1)] por lo que La nueva demanda de mercado es:

q; ~ [1 - ( ~- n ~ 1)] * q,

q; =[1- _!_n + -n 1+1 - ] * (60000- 3000P¡) Como se aprecia la demanda de mercado de cada empresa se altera disminuyendo en la proporción de la disminución de la cuota de mercado. Un modo práctico de establecer la nueva función de demanda cuando entran nuevas empresas es a través de la función inversa de demanda, así tenemos: Función de demanda Inicial: q 1 = 60.000- 3.000P¡ 75

Su función inversa de demanda es:

1

P1 = 20- - - q1 3000

Función de demanda cuando ingresan 5 empresas más:

q1 = 40.000- 2.000~

Su nueva función de demanda inversa de la empresa es:

p1=20---q1 2000

1

Como se aprecia con la función inversa de demanda lo que se requiere hacer cuando cambia la demanda es multiplicar (1-

%~

n° empresas)

(1-

=

_!_ +

n

1)

n+~

por el

denominador del coeficiente de la demanda (q¡).

Demanda inversa inicial cuando n = 1O

~

=

1

1 300{ 1--+ n

P¡ = 20-

1

1

) q,

n+~n

f'

3000( 1 -1- + 110 10+1 2

5

10

P¡ =20-

P1 =20-

P¡ =20-

1 p1 =20---q 1 3000

Nueva Función de demanda inversa:

1

P1 =20-

=>

De acuerdo al número de entradas de empresas

p1 =20-

1 q1 2972.7

~

= 20- 0.0003363~¡

= 20- 0.00067797q¡

1 1 -) q, 300{ 1 -1- + 10 10+2

1 P1 =20---q 1 2950

~

1 { 1 1 ) q, 300 1 - - + - 10 10+5

1 P¡ =20---q1 2900

P¡ =20-0.00172414q¡

1 P¡ =20---q¡ 2850

~

1

1 1 ) q, 300{ 1--+ 10 10+10

=20-0.00350877q¡

76

Como se aprecia al aumentar el número de empresas en el mercado la pendiente de la curva de demanda inversa aumenta haciéndose la demanda más elástica (Más inelástica). d) Determine el equilibrio para el largo plazo. El equilibrio de mercado en el largo plazo ocurre cuando la empresa monopólica produce para maximizar ganancias aplicando la regla IMg = CMg y además obtiene beneficios normales que se da cuando el P = CMe. De la función inversa de demanda:

P¡ = 20- aq 1

e

'H

-

lVlg¡ -

H

lvle 1

_ 5q¡ 40000 --+--

q¡

Bq¡

-5 -

7.5

20- 2aq¡ = 5

!Mg 1 =eMg1

e

aeT¡

q¡

P¡ =eMe 1

q¡=-

a

'~,( -5 40000 e1v1e +-1 -

q¡

20-aq¡ =5+ 40000 q¡

Reemplazando q¡ por 7.5/a, tenemos:

20-7.5-5 = 5333.33a

7.5 5333.33

a=---

a= 0.00140625

aeniMg=CMg !Mg 1 =eMg1

20-2 * (0.00140625) * q¡

=5

7.5 q¡ = 0.00140625

q: =5333.33 77

La empresa en competencia monopolística producirá en el largo plazo 5333.33 unidades y obtiene beneficios normales.

A ese nivel de producción de 5333.33 el

~ =

CMe1 = 12.5

78

4.5 CAPÍTULO 5:

OLIGOPOLIO

EJERCICIOS PROPUESTOS

l. Un mercado de bien homogéneo tiene la siguiente función de demanda: Q = 20- (1/1.1) P donde q = q¡ + q2 Existen dos productores cuyas ecuaciones de costo son: C1 = 0.0625q¡ 2 + 3q¡ +3 c2 = o.11q22 + 4q2 + 2 Determinar la producción que maximiza los beneficios de cada empresa, el precio de mercado, los beneficios óptimos de cada productor, bajo el supuesto de la conducta de COURNOT.

2. En un mercado oligopólico, las 2 únicas firmas que operan presentan las siguientes funciones de costo: C¡ =5q¡; Y abastecen la siguiente demanda: P = 100- 0.5Q;

donde q = q¡ + q2

Determine la conveniencia para cada firma de ser líder y seguidora. Asuma que las firmas se comportan según la conducta de Cournot. 3. En un mercado duopólico cuya función de demanda es: P¡ = 80- 2q¡- q2 Donde la primera firma tiene la función de costos: Determine la cantidad óptima y el precio de venta que maximizan el beneficio de la firma, si la segunda firma se asume ser seguidora y se conforma con participar con el 10% de la producción de la primera. Stackelberg 4. En un mercado duopólico con un bien homogéneo, con función de costos de: C1 = 1/4 q?+ 9q¡ + 18 c2 = 113

ql + ?q2 + 16

El mercado con función de demanda: P = 35- Q donde Q = q1 + q2

79

a. Si las plantas aún no se construyen, determine la posibilidad de construir las 2 plantas y competir en cantidades, asimismo en el caso que los duopolistas reconocen su interdependencia y deciden coludirse para obtener la máxima ganancia. b. Determine la decisión de los duopolistas sobre la conveniencia de construir las dos plantas o una sola planta. c. Si las plantas están operando, analizar la conveniencia de cerrar una de ellas. 5. Dos empresas, WW y BB, producen fundas de asiento de automóviles de piel de oveja. Cada una tiene una función de costes que viene dada por C (q) = 20q + q2 • La demanda de mercado de estas fundas está representada por la ecuación de demanda inversa P = 200 - 2Q Donde Q = q 1 + q2 es la producción total. a. Si cada empresa actúa para maximizar sus beneficios, considerando dada la producción de su rival (es decir, se comporta como un oligopolista de Cournot), ¿cuáles serán las cantidades de equilibrio seleccionadas por cada una? ¿Y el precio del mercado? ¿Y los beneficios de cada empresa? b. A los directivos de WW y BB podría irles muchos mejor coludiendo. Si coluden las dos empresas, ¿cuál será la elección del nivel de producción que maximiza los beneficios? ¿Cuál es el precio de la industria? ¿Cuál es el nivel de producción y los beneficios de cada empresa en este caso? c. Los directivos de estas empresas se dan cuenta de que los acuerdos explícitos para coludir son ilegales. Cada una debe decidir por sí sola si produce la cantidad de Cournot o la del cártel. Para ayudar a tomar la decisión, representa esta situación como un juego simultáneo en forma normal. Encuentra el equilibrio de Nash en estrategias puras de este JUego. d. Supón que WW puede fijar su nivel de producción antes que BB. ¿Cuánto decidirá producir WW? ¿Y BB? ¿Cuál es el precio de mercado y cuáles son los beneficios dé cada empresa?

80

6. Consideremos un mercado con una sola empresa de grandes dimensiones y muchas empresas pequeñas. La curva de oferta conjunta de todas las empresas pequeñas es: Sp = 100 +p. La curva de demanda del producto es: D(p) = 200 - p. La función de costes de la empresa grande es: e (q) = 25q. a. Supongamos que la gran empresa se ve obligada a actuar en el nivel cero de producción. ¿Cuál será el precio de equilibrio?¿ Y la cantidad de equilibrio? b. Supongamos ahora que la gran empresa intenta explotar su poder de mercado y establece un precio que maximice sus beneficios. Para construir el modelo que representa esta situación suponemos que los consumidores acuden siempre primero a las empresas competitivas adquiriendo todo cuanto les es posible y después acuden a la gran empresa. b.l ¿Cuál será el precio de equilibrio en esta situación? ¿Qué cantidad ofrecerá la empresa monopolista? ¿Y las empresas competitivas? b.2 ¿Cuáles serán los beneficios de la gran empresa? c. Supongamos por último que la gran empresa pudiera forzar a las empresas competitivas fuera del negocio y comportarse como un verdadero monopolio. ¿Cuál será el precio de equilibrio? ¿Cuál será la cantidad de equilibrio? ¿Cuáles serán los beneficios de la gran empresa? 7. Un monopolista puede producir con un coste medio (y marginal) constante de CMe =CM= 5. Se enfrenta a una curva de demanda del mercado que viene dada por Q =53- P. a. Calcula el precio y la cantidad maximizadoras de los beneficios de este monopolista. Calcula también sus beneficios. b. Supón que entra una segunda empresa en el mercado. Sea Q¡ el nivel de producción de la primera y Q2 el nivel de producción de la segunda. Ahora la demanda del mercado viene dada por Q¡ + Q2 = 53 - P. Suponiendo que esta segunda empresa tenga los mismos costes que la primera, formula los beneficios de cada una en función de Q¡ y Q2. c. supón (como en el modelo de Cournot) que cada empresa elige su nivel de producción maximizador de los beneficios suponiendo que el de su competidora está fijo. Halla la

81

"curva de reacción" (la función de mejor respuesta) de cada empresa (es decir, la regla que genera el nivel de producción deseado en función del nivel de su competidora). d. Calcula el equilibrio de Cournot (es decir, los valores de Q¡ y Q2 con los que ambas empresas obtienen los mejores resultados posibles dado el nivel de producción de su competidora). ¿Cuáles son el precio y los beneficios del mercado resultantes de cada empresa? e. Supón que hay N empresas en la misma industria y que todas ellas tienen el mismo coste marginal constante, CMg = 5. Halla el equilibrio de Cournot. ¿Cuánto producir 'a cada una, cuál será el precio de mercado y cuánto beneficios obtendrá cada una? Muestra también que a medida que aumenta N, el precio de mercado se aproxima al precio que estaría vigente en condiciones de competencia perfecta. 8. En un mercado de transporte aéreo donde hay dos empresas con un avión cada una (dos duopolistas) cubren el trayecto entre Pinto y Valdemoro y que la curva de demanda de billetes al día es Q = 200 - 2P. Los costes totales de fletar un avión en este trayecto son 700 + 40Q, donde Q es el número de pasajeros por vuelo. Cada vuelo tiene una capacidad para 80 pasajeros. Calcula los beneficios de las empresas en el equilibrio de Coumot.

82

SOLUCIONARlO: OLIGOPOLIO

l.

En un mercado de bien homogéneo, tiene la siguiente función de demanda: Q = 20- (111.1) P donde q = q1 + q2 Existen dos productores cuyas ecuaciones de costo son: C1 = 0.0625q¡ 2 + 3q¡ +3 c2 = o.11q22 + 4q2 + 2 Determinar la producción que maximiza los beneficios de cada empresa, el precio de mercado, los beneficios óptimos de cada productor, bajo el supuesto de la conducta de coumot. p = 22-1.1 Q

P=22-1.1 (q¡ +q2)

Empresa 1

Empresa2

Pq1 = 22q¡- l.lq1 2 - l.lq1q2

Pq2 = 22q2- 1.1ql- 1.1q1q2

IMg¡ = 22- 2.2q¡- 1.1q2

IMg2 = 22- 2.2q2 -1.1q¡

CMg¡ = 0.125q¡ +3

CMg2 = 0.22q2 +4

Función de reacción de cada empresa 1

IMg¡ =CMg1

IMg2 = CMg2

22- 2.2q¡ -l.lq2 = 0.125q¡ + 3

22- 2.2q2 -l.lq¡ = 0.22q2 +4

2.2q¡ + 0.125q¡ + l.lq2 = 19

2.42q2 =18- l.lq¡

q¡ (2.2 + 0.125) = 19- l.lq2

q2 = 18/2.42 - 1.112.42q¡

q¡ = 19/2.325- 1.1q2/2.325

FR2: q2 = 7.43801653- 0.45454545q¡

FRI: q¡ = 8.17204301- 0.47311828q2 Producción de la Empresa 1

Se reemplaza q2 con la función de reacción de la empresa 2, FR2 = q2(q1), en la función de reacción de la empresa l. 83

q¡ = 8.17204301-0.47311828 (7.43801653- 0.45454545q¡) q¡ =8.17204301-3.51906158+0.21505376q¡

~}¡ =5.931

Producción de la Empresa 2 Igual que el anterior, se reemplaza q¡ con la función de reacción de la empresa 1, FR1 = q1(q2), en la función de reacción de la empresa 2. En el presente caso como ya se conoce cuál es la producción de la empresa 1 dado la producción de la empresa 2, se reemplaza la producción 5.93 de la empresa 1 en la función de reacción de la empresa 2. q2 = 7.43801653- 0.45454545(5.93)

lq2 = 4.741

Producción Total: Q = q¡ + q2 = 5.93 + 4.74 = 10.67

IQ= 1o.61l

Precio de mercado

w= 10.2631

p = 22 -1.1(5.93 + 4.74) Beneficio Pq¡ + Pq2- CT¡- CT2 C¡ = 0.0625q¡ 2 + 3q¡ +3

c2 = o.11q22 + 4q2 + 2

C1 = 0.0625(5.93 2) + 3(5.93) +3

c2 = O.l1(4.74f + 4(4.74) + 2

C¡ = 22.987806

c2 = 23.431436

Ih = 10.263*(5.93 + 4.74)- 22.987806-23.431436 IJ¡ = 10.263*5.93- 22.987806 I12 = 10.263*4.74- 23.431436 2.

[h =63.0869681

III¡ = 37.87178ª III2 = 25.21518ª

En un mercado oligopólico, las 2 únicas firmas que operan presentan las siguientes funciones de costo: c2 = o.5qi

84

La demanda que abastecen presenta la siguiente función: P = 100- 0.5Q; donde Q = q¡ + q2 Determine la conveniencia para cada firma de ser líder y seguidora. Asuma que las firmas se comportan según la conducta de Cournot.

Determinando las funciones de reacción de cada empresa: Empresa 1 IMg¡ = 100 -q¡- 0.5q2 IMg¡ =CMg¡ FR1

100- q¡ - 0.5q2 = 5

= q1 = 95- O.Sq2

Empresa2 IMg2 = 100- q2 - 0.5q¡ 100- q2- 0.5q¡ = q2 FR2 = q2 =50- 0.25qJ

Si Empresa 1 es Líder: ITt = 100q¡- 0.5qt 2 - 0.5q¡ (50 - 0.25q¡) IT1 = 100q¡- 0.5q¡ 2 - 25q¡ + 0.125q¡ 2 IMg¡ = 100- q¡- 25 +O. 25q¡ IMg¡ = CMg1

75- 0.75q¡ = 5

0.75q¡ = 70

q¡ = 70/0.75

70- 0.75q¡ =o

~it = 93.331

FR2 = q2 =50- 0.25(93.33)

a2

p = 100 -0.5Q = 100- 0.5(120) = 40

W=4ol

=

26.671

85

TI=PQ-CT TIT = 40* 120- 5*93.33- 0.5*26.672

[h

TI1 = 40*93.33 - 5*93.33

lf!t = 3.2671

TI2 = 40*26.67- 0.5*26.672

n2

= 3.9781

= 7111

Si Empresa 2 es Líder:

IT2 = 100q2- 0.5q22 -0.5q2(95- 0.5q2) IMg2 = 100- q2- 47.5 + 0.5q2

IT2 = 100q2--' 0.5qi- 47.5q2 + 0.25q22 IMg2 = 52.5- 0.5q2

IMgz= CMg2

52.5 - 0.5q2 = q2

q2 = 52.5/1.5

q2 = 35

52.5 = 1.5q2

FRl: q1 = 95- O.Sq2 q¡ = 95- 0.5*35

q¡ = 77.5

Q= 112.5

p = 43.75

TI= PQ-CT

TI= 43.75*112.5- 5*77.5- 0.5*35 2

tí = 3,921.8751

TI1 = 43.75*77.5- 5*77.5

tíl = 3,003.1251

TI2 = 43.75*35- 0.5*35 2

n2 =918.751

En ambos casos quien realice primero la producción se convierte en el líder del mercado y como se observa obtiene mejores ganancias. 3.

En un mercado duopólico cuya función de demanda es: P1 = 80- 2q¡- q2 Donde la primera firma tiene la función de costos:

C1

=

2q¡ 2

86

Determine la cantidad óptima y el precio de venta que maximizan el beneficio de la firma, si la segunda firma se asume ser seguidora y se conforma con participar con el 10% de la producción de la primera. Stackelberg Datos:

P1 = 80-2q1-q2

q2 = 0.1q¡

P=80-2q¡-0.1q¡

IT¡ = 80q¡- 2.1q¡ 2

IMg¡ = 80 - 4.2q¡

q¡ = 80/8.2

kv= 9.761

CMg1 =4q¡

IMg1 =CMg1 80 - 4.2q¡ = 4q¡

4.

q2 = 0.1 *9.76

192 = 0.9761

Q = q¡ + q2

IQ = 10.7361

p = 80- 2(9.76)- 0.976

p = 59.50

En un mercado duopólico con un bien homogéneo, con función de costos de: C1 = 114 q¡ 2 + 9q¡ + 18 C2= 113 ql+1q2+ 16 El mercado presenta la siguiente función de demanda: P = 35- Q donde Q = q¡ + q2 a. Si las plantas aún no se construyen, los duopolistas reconocen su interdependencia y deciden coludirse para obtener la máxima ganancia. a.1 Si las empresas no coluden: Determinando la Función de Reacción de cada empresa: CMg1 = 1/2 q¡ + 9

CMg2 = 2/3 q2 + 7

IMg1 = 35 - 2q¡ - q2

IMg2 = 35 - 2q2- q¡

35- 2q¡ - q2 = 1/2 q¡ + 9

35- 2q2- q¡ = 2/3 q2 + 7

2q¡ + 112 q¡ = 26 - q2

2/3 q2 + 2q2 = 28 - q¡

q¡ = (2/5) (26) - (2/5)q2 FRI: qi

= 10.4 - (2/5)q2

q2 = (3/8)(28)- (3/8)q¡ FRI: q2 = 10.5- (3/S)ql

87

Determinado Nivel de Producción de Cada Empresa y Total q¡ = 10.4 - (2/5)[1 0.5- (3/8)q!]

q2 = 10.5 - (3/8)[ 10.4 - (2/5)q2]

q¡ = 10.4 - (2/5)[1 0.5 - (3/8)q¡]

q2 = 10.5 - (3/8)[ 10.4 - (2/5)q2]

0.85 q¡ = 10.4 - 4.2

0.85 q2 = 10.5-3.9

0.85 ql = 6.2

0.85 q2 = 6.6

/ql = 7.31

¡q2 = 7.761

lo= 15.o6l p = 35-15.06

/P = 19.9~

Determinando los Beneficios: n1

= 19.94*7.3- (1/4)(7.3) 2 - 9(7.3) -18

lrh = 48.53951

n2

= 19.94*7.76- (1/3)(7.76) 2 - 7(7.76) -16

[h = 64.3418671

lr1r = 112.8813671 a.2 Si las empresas coluden, entonces actúan como un monopolio: C1 = 114 q1 2 + 9q¡ + 18

c2 = 1/3 qi + 1q2 + 16

Sumando costos marginales: CMg¡ = 1/2 q¡ + 9

CMg2 = 2/3 q2 + 7

q¡ = 2CMg¡- 18

q2 = 312 CMg2 - 10.5

q¡ +q2 = Q = 7/2 CMg- 28.5

ICMg = 2/7 Q + 2/7(28.5)1

Igualando IMg = CMg:

Como:

OCMg = 35 - 2QI

IMg=CMg: 16/7 Q = 35- 2/7(28.5) p = 35- 11.75

35 - 2Q = 2/7 Q + 2/7(28.5) Q = 7116(35) -7/16(2/7)(28.5)

IQ = 11.15¡

w= 23.251 88

r=

TI= 23.25 * 11.75- 1/7(11.75 2)- 8.14285714(11.75)- 34 Producción en cada empresa:

123.7861

P = 23.25

Las empresas producirán de acuerdo a su nivel de negociación pero en términos sencillos pueden considerar la participación que presentan en el caso que las empresas no coludan que son de 48.5% (7.3/15.06) para la empresa 1 y de 51.5% (7.76/15.06) para la empresa 2. En consecuencia cada empresa puede producir : Empresa 1:

5.65 unidades (48.5%*11.75) y,

Empresa2:

6.1 unidades (51.5%*11.75)

b. Determine la decisión de los duopolistas sobre la conveniencia de construir las dos plantas o una sola planta. Decisión de construir una sola planta b.1 La Empresa 1 enfrenta la demanda del mercado: C¡ = 1/4 q¡ 2 + 9q¡ + 18

P=35 -Q CMg1 = 112q¡ +9

La producción de la empresa 1 se convierte en la producción total que cubre la demanda de mercado. IMg=CMg

35-2Q = 1/2Q +9

Q = 10.4

p = 24.6

Beneficio con la planta de la empresa 1: TI= 24.6*10.4- 114(10.42) -9*10.4 -18

tn = 117.21

Beneficio con la planta de la empresa 2: b.2 La Empresa 2 enfrenta la demanda de mercado: CMg2 = 2/3q2 + 7 IMg=CMg

35-2Q = 2/3Q +7

Q = 10.5

TI= 24.5*10.5 -1/3(10.5 2) -7*10.5- 16

p = 24.5

[1=1311 89

c. Si las plantas están operando, analizar la conveniencia de cerrar una de ellas. c.l Se opera la empresa 2 y se cierra la empresa 1:

fh = 131-Ch

fh = 131-18

c.2 Se opera la empresa 1 y se cierra la empresa 2:

TI1 = 117.2- CF2 5.

!TI= 101.21

TI¡= 117.2-16

Dos empresas, WW y BB, producen fundas de asiento de automóviles de piel de oveja. Cada una tiene una función de costes que viene dada por C (q) = 20q + q 2• La demanda de mercado de estas fundas está representada por la ecuación de demanda inversa P = 200 - Q, donde Q = q 1 + q2 es la producción total. a. Si cada empresa actúa para maximizar sus beneficios, considerando dada la producción de su rival (es decir, se comporta como un oligopolista de Cournot), ¿cuáles serán las cantidades de equilibrio seleccionadas por cada una? ¿Y el precio del mercado? ¿Y los beneficios de cada empresa? Cantidades de equilibrio a lo Cournot. Empresas: Mercado:

CMg;

= 20 + 2q¡

donde Q = q1 + q2

P=200-Q

Ingreso Total:

Pq1 = 200q1 - Q * q1 ==>

!Mg¡

Por similitud:

1Mg2 = 200- 2q2 - q1

FR¡ = IMg¡ = CMg¡ ==>

200- 2q1 - q 2

FR2 = IMg2 = CMg2 ==>

200- 2q2

= 200- 2q1 -

-

q2

= 20 + 2q1

q¡

=

180 -q2 4

q1 = 20 + 2q2

q2

=

180-q¡ 4

Cantidad óptima de producción de q¡ y q2, Precio de mercado y Beneficios de cada empresa:

90

q¡

=

720-180 +q¡ 16

Precio de mercado:

Q=72

IP = 1281

p = 200 -72

Beneficios de cada empresa: 1r¡ = 128 * 36- 20 * 36- 36 2 b. A los directivos de WW y BB podría irles mucho mejor coludiendo. Si coluden las dos empresas, ¿cuál será la elección del nivel de producción que maximiza los beneficios? ¿Cuál es el precio de la industria? ¿Cuál es el nivel de producción y los beneficios de cada empresa en este caso? ¿Cuál es la producción como Cartel? Si las empresas coluden. Esto significa que las empresas actuarán como si fueran monopolio. IMg = CMg IMg:

(En términos agregados o de mercado)

P = 200 - Q

CMg: CMg¡ = 20 + 2q¡

PQ =200Q-Q 2

OCMg = 200 - 2QI

2q¡ = CMg¡ -20

q¡ = 0.5*CMg¡ -10

Q = L.q; = n * 0.5 * CMg¡- n * 10 Comon=2

Q = q1 + q 2 = 2 * 0.5 * CMg- 2 * 10 IMg = CMg

Q=CMg-20

200-2Q=Q+20

!CMg=Q+20j

p = 200 - 60

jp = 140 1

Producción de Cada empresa cuando coluden: Beneficios de cada empresa: ;r1 = 140 * 30- 20 * 30- 30 2

91

Producción como Cartel: Si las empresas forman un Cartel ellas actúan como si fueran monopolio para mejorar sus beneficios y estarían en la misma situación de la colusión.

Mercado

Empresa

- -----------------------------1

1 1 1

36

100 Q

50

18

54

Del gráfico se observa que la empresa en Colusión o Cartel producen menos de lo que le convendría producir al precio de 128 u.m. por lo que estaría interesada en romper el acuerdo y obtener mejores beneficios a ese precio, sin embargo al aumentar su producción afectaría el precio de mercado y el acuerdo se rompería. c. Los directivos de estas empresas se dan cuenta de que los acuerdos explícitos para coludir son ilegales. Cada una debe decidir por sí sola si produce la cantidad de Cournot o la del cártel. Para ayudar a tomar la decisión, representa esta situación como un juego simultáneo en forma normal. c.1 Beneficios de cada empresa en competencia a lo Cournot:

TI¡= 2.232

c.2 Beneficios de cada empresa en Cartel:

TI¡ =2.700

c.3 La empresa 1 Actúa como si coludiera (Cartel) y la empresa 2 actúa como si hubiera competencia a lo Coumot. Las cantidades que produce cada empresa es: La empresa 1 como si las empresas actúan como Cartel, q1 = 30 y, La empresa 2 como si hubiera competencia a lo Cournot, q2 = 36 q¡

= 30

q2 = 36

Q=66 92

p = 200- (30 + 36) Mercado:

P= 134

Il1 =

134*30- 20*30- 30 2

Il1 =

2.520

Il2 =

134*36 - 20*36- 362

Il2 =

2.808

Empresa2

Empresa 1

Coumot

Cartel

Coumot

2.592, 2.592

2.808, 2.520

Cartel

2.520, 2.808

2. 700, 2. 700

Encuentra el equilibrio de Nash en estrategias puras de este juego. En el equilibrio a lo Nash las empresas finalmente deciden como si estuvieran en competencia a lo Coumot obteniendo beneficios de 2.592 u.m. dado que si actúan como Cartel, cada una estaría interesada en mejorar sus beneficios y decidirán actuar como Coumot dejando que el otro actúe como Cartel lo que lleva finalmente a que las empresas decidan a lo Coumot. d. Supón que WW puede fijar su nivel de producción antes que BB. ¿Cuánto decidirá producir WW? ¿Y BB? ¿Cuál es el precio de mercado y cuáles son los beneficios dé cada empresa? Si WW fija el nivel de producción antes que BB entonces WW se convierte en Líder según el modelo de Stackelberg. Liderazgo (Stackelberg) Producción de la empresa 1 (WW Líder).

2Qt'\r. -q21Uf¡ 1

7! -

1

200-2q¡ -45+-q¡ -20-2q¡ 2

=o

2 18f\r. Uf¡ -q¡ -20q -q2 4 1 1

7 2

-ql = 135

93

270 q¡ =-=38.57 7 Producción de la empresa 2 (BB seguidora) 180- 270 7 q2 = --4----'---

q2=

1260-270 990 247.5 =---28 28 7

q2

= 35.36

Precio de Mercado

P=200-(2~0 + 2~.5)

p

= 126.07

Beneficio de cada empresa Jr

Jr

1

2

= 126.07 * 270 7

-20 * 270 - (270 7 7

)2

= 126.07 * 247.5-20 * 247.5- (247.5) 7 7 7

=

2.603,52

tr2 =

2.500.20

1r¡

2

6. Consideremos un mercado con una sola empresa de grandes dimensiones y muchas empresas pequeñas. La curva de oferta de todas las empresas pequeñas es: SP = 100 + p; p = QSP- 100. La curva de demanda del producto es:

D(p) = 200 - p; p = 200 - Q0 M

La función de costes de la empresa grande es: e (q) = 25q, siendo lo mismo: CT0 = 25Q a. Supongamos que la gran empresa se ve obligada a actuar en el nivel cero de producción. ¿Cuál será el precio de equilibrio? ¿Y la cantidad de equilibrio? Si la gran empresa produce cero unidades de producción, entonces toda la demanda de mercado la abastecen las pequeñas empresas donde: SP = DM: Q - 100 = 200 - Q

k2 = t5ol

P=200-150

W=50I

94

p

Q

150

En el punto de equilibrio suponemos que las empresas pequeñas producen cuando el precio es igual al costo medio mínimo, por lo cual sus beneficios son normales. b. Supongamos ahora que la gran empresa intenta explotar su poder de mercado y establece un precio que maximice sus beneficios. Para construir el modelo que representa esta situación suponemos que los consumidores acuden siempre primero a las empresas competitivas adquiriendo todo cuanto les es posible y después acuden a la gran empresa. b.l ¿Cuál será el precio de equilibrio en esta situación? ¿Qué cantidad ofrecerá la empresa monopolista?¿ Y las empresas competitivas? Precio de equilibrio De los datos del ejercicio se tiene que el CMg de la empresa grande es constante en 25 u.m. y si la empresa ejerce su poder de mercado el precio que le impondrá a los consumidores es superior a su CMg. En el gráfico se muestra la oferta de las empresas pequeñas y el CMg constante de la empresa grande.

Exceso Sp = 125

112.5

\

\

\

\ \

\

1 \ 1

\1

87.5100

200

95

Asimismo se observa que si la empresa grande ejerce su poder de mercado produciendo cuando su Img = CMgo, el precio que resulta de esta regla es un precio por encima del precio de equilibrio de las pequeñas empresas competitivas. Img=CMgo

200-2Q = 25

Q = 87.5

p = j(Q=87.5)

P=200-Qo

P = 200- 87.5P = 112.5

A este precio las empresas pequeñas producirán más de lo que demanda el mercado (exceso de oferta de las empresas pequeñas) y dado que el consumidor compra primero a estas pequeñas empresas el resultado es que la empresa grande no venderá su producción. Qos = 87.5

Qps = 100 + p

A este nivel de producción y dada la demanda el precio bajaría a niveles bajo cero. En el supuesto que solo se venda al precio de 112.5, solo venderían las empresas pequeñas 87.5 unidades y el resto de la producción sería un exceso de oferta. Exceso de Oferta pequeñas empresas: 212.5-87.5 Exceso de Oferta total (Sp + So):

= 125

212.5

Si la empresa estima su producción en la condición cuando el P = CMgo : 1

p = 25/ Q = 200 - p

1

Q = 175/

Con lo que al precio de 25 u.m. la empresa grande determina una producción de 17 5 unidades. A este precio de 25 las empresas pequeñas en el corto plazo producen y ofertan: Qp = 100 + 25 /Qp = 125/ La Oferta de la gran empresa termina siendo la diferencia de la demanda menos la oferta de las empresas pequeñas:

Qo = 17 5 - 125

/Qo =

sol

96

p

~------~----~--~-+u

125

175

200

b.2 ¿Cuáles serán los beneficios de la gran empresa? Dado que el Precio es igual al CMGo Los beneficios que obtiene la gran empresa son los beneficios normales que los inversores estimaron ganar con su producción. c. Supongamos por último que la gran empresa pudiera forzar a las empresas competitivas queden fuera del negocio y comportarse como un verdadero monopolio. ¿Cuál será el precio de equilibrio? ¿Cuál será la cantidad de equilibrio? ¿Cuáles serán los beneficios de la gran empresa?

IT = (200- qo)qo

IMg = 200 - 2qo

CMg=25

IMg=CMg

200- 2qo = 25

\qo = 87.5\

P=200-87.5

w= 112.5\

rr = 112.5*87.5- 25*87.5 \rr = 7.656.25\ \

\ \

112.5 --'\-\

1 1 1

\

\

1 \ 1 \1

87.5 100

7.

200

Un monopolista puede producir con un coste medio (y marginal) constante: CMe = CMg = 5. Se enfrenta a una curva de demanda del mercado que viene dada por Q =53- P. 97

a. Calcula el precio y la cantidad que maximiza los beneficios de este monopolista. Calcula también sus beneficios. P = 53 - Q

IT = PQ = 53Q- Q2

IMg = CMg

53 - 2Q = 5

IMg=53-2Q

CMg=5

!Q = 241

¡n = 5761

tp = 291

b. Supón que entra una segunda empresa en el mercado. Sea q¡ el nivel de producción de la primera y q2 el nivel de producción de la segunda. Ahora la demanda del mercado viene dada por Q = q¡ + q2 =53- P. Suponiendo que esta segunda empresa tenga los mismos costes que la primera, formula los beneficios de cada una en función de q¡ y q2. Beneficios de cada empresa: U=Pq¡-CT¡ TI¡

TI¡ = (53 - Q)q¡- 5Q¡

TI¡=

53q¡- q?- q¡q¡- 5q¡

= 48q¡ - q? - q¡q¡

c. Supón (como en el modelo de Cournot) que cada empresa elige su nivel de producción maximizador de los beneficios suponiendo que el de su competidora está fijo. Halla la "curva de reacción" (la función de mejor respuesta) de cada empresa (es decir, la regla que genera el nivel de producción deseado en función del nivel de su competidora). Curva de reacción de cada empresa: TI¡

= 48q¡ - q? -q¡q¡

aro BQ¡ = o: FR1 =0:

48- 2q¡- q¡ = o

q¡ = 24- 0.5q2

FR¡ =0:

q¡ = 24- 0.5q¡

FR2 =0:

q2 = 24- 0.5q¡

d. Calcula el equilibrio de Coumot (es decir, los valores de Q¡ y Q2 con los que ambas empresas obtienen los mejores resultados posibles dado el nivel de producción de su competidora). ¿Cuáles son el precio y los beneficios del mercado resultantes de cada empresa? q¡ = 24- 0.5(24- 0.5q¡)

q¡* = 24- 12 + 0.25q¡

Q¡=l6=q2

Q=32

98

p =21

p =53- 32 II 1

=II2 = 21 * 16 -

5 * 16

e. Supón que hay N empresas en la misma industria y que todas ellas tienen el mismo coste marginal constante, CMg = 5. Halla el equilibrio de Cournot. ¿Cuánto producirá cada una, cuál será el precio de mercado y cuánto beneficios obtendrá cada una? Muestra también que a medida que aumenta N, el precio de mercado se aproxima al precio que estaría vigente en condiciones de competencia perfecta. N firmas en Cournot: P=a-Q

CMgi =e¡

U= Pq¡ -c¡q¡

TI¡=

U= (a-

~q¡-

CF=O

q¡ (P-e¡)

n=q¡(a-Q-c¡)

an 1 8q¡ =(a- 2q¡- ~q¡- e¡)= o

C¡)q¡

dondeQ=q¡ +q2 ... +qn donde

~Q¡

excluye Q¡

En la función de beneficios del problema U= (53 -

~q¡-

an 1 aq¡ =48 - 2q¡ - ~q¡ = o

S)q¡

48- 2q¡- (N-1)q¡ =o

FR¡ = q¡ = 24- 0.5(N-1)q¡

(1)

Esta función de reacción es para cada una de las empresas que están en este mercado y actúan en competencia en cantidades a lo Coumot, dado que cada una tiene la misma tecnología (CMg = 5). Por la misma razón y dado que las funciones de reacción de cada empresa son simétricas entonces cada una produce la misma cantidad. Por tanto: q¡ = q2 = q3 ... = qn y en consecuencia q¡ = q¡ En la funcion de reacción (1) para ponerlo todo en términos de q¡: FR¡: q¡ = 24- 0.5(N-1)q¡

)i

WR¡: q¡ = 24/0.S(N+ 1 Q=Nqi

q¡ + 0.5(N-1)q¡ = 24

q¡ = 24/(1+ O.S(N-1))

(2)

Q = 24N/[0.5*(N+1)]

Si hay 2 empresas en el mercado (N= 2) y usando FRi tanto de (1) como de (2): (1)

q¡ = 24- 0.5q¡ q¡ = 24 -0.5(24- 0.5q¡)

q¡ = 12- 0.25q¡

q¡* = 16 99

(2)

q¡ = 24/[0.5(2+ 1)]

q¡ = 16

qi = 24/1.5

Si son 3 empresas en el mercado: (1)

q¡ = 24- 0.5(3-1)q¡

q¡ = 24- 1(q¡)

q¡ = 24/2

(2)

qi = 24/[0.5(3+ 1)]

qi = 24/2

q¡= 12

q¡*

=

12

Lo anterior y para mas empresas se resume en el siguiente cuadro: N: Empresas en

FRi: qi* = 24/[0.5(N+l)]

el mercado

Resultado por

Resultado

empresa

Total: NQ¡

1

q¡* = 24/(0.5*2)

q¡* = 24

24

2

q¡* = 24/(0.5*3)

q¡* = 16

32

3

q¡* = 24/(0.5*4)

q¡* = 12

36

101

q¡* = 24/(0.5*102)

q¡*

=

0.47

47.47

1.001

q¡* = 24/(0.5*1002)

q¡*

= 0.0479

47.95

10.000.001

q¡*

q¡*

=

=

24/(0.5*10000002)

0.0000047 ..

Si hay muchas empresas con la misma tecnología (CMgi sus

47.999995

= 5) entonces para maximizar

ganancias realizan su producción aproximándose como si estuvieran en

competencia perfecta donde P = CMg. Como P = 53 - Q 8.

y,

CMg=5

tenemos: 53- Q = 5

IQ* =481

En un mercado de transporte aéreo donde hay dos empresas con un avión cada una (dos duopolistas) cubren el trayecto entre Pinto y Valdemoro y que la curva de demanda de billetes de asientos al día es Q = 200 - 2P. Los costes totales de fletar un avión en este trayecto son 700 + 40Q, donde Q es el número de pasajeros por vuelo. Cada vuelo tiene una capacidad para 80 pasajeros. Calcula los beneficios de las empresas en el equilibrio de Coumot. Mercado:

P = 100- O.SQ IOOQ¡- O.S(q1 + q2)q1 IMg1

CT empresa 1:

CT 1 = 700 + 40q¡

=

100- q¡- O.Sq2

CMg1 =40 100

IMg1

=

CMg1

FR1 = Q¡* = 60- O.Sq2

100- Q1- O.Sq2 = 40

Por similitud la empresa 2:

FR2 = q2*

=

60 - O.Sq1

Cada empresa fleta su avión con Q pasajeros: Q¡*

=

60- 0.5q2

Q¡*

=

60- 0.5(60- 0.5q¡)

Precio de mercado: P = 100- 0.5*Q

rr1 = Pq1 -700- 40q¡

IQ¡*

P = 100- 0.5*80

rr1 = 60*40 -700- 40*40

=

40 = q2*1

?= 601 !II1 =

100 = rr~

101

4.6

CAPÍTUL06:

EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO

EJERCICIOS PROPUESTOS l. Suponga una economía en un mercado competitivo que presenta los siguientes datos: 2 bienes:

Ay,B

2 Agentes económicos:

1 y, 2

Sus preferencias definidas:

U1

a, xp, = X lA' lB

U2

Dotación de los bienes:

Precios e Ingresos:

-

donde a¡+ f31 =1

a, Xp, X 2A • 2B

=4 ;

] ; lüiA

2 : lü2 A

= 6;

donde a2 + f32 = 1

=7 lü 28 = 3

lü18

M¡: i = 1,2 P1 : j

= A,B

a. Determine las funciones de demanda ordinaria del consumidor b. Determine las funciones de demanda considerando la dotación del agente por el precio respectivo como su Ingreso. c. Establezca las demandas netas de los agentes. d. Determine el equilibrio general. e. Verificar el óptimo de Pareto. f.

TMSI =TMS2

Diagrama de Edgeworth.

g. Gráfico de Edgeworth 2. Suponga una economía en la que existen dos empresas: una que produce el bien x y otra que produce el bien y, empleando dos factores, L y K . Las funciones de producción de las empresas vienen dadas por las siguientes expresiones:

Fx(Kx,LJ= (KxLJ 114 y,

Fy (Ky ,Ly )=(Ky Ly )112 • La dotación de cada uno de los factores es de 25 unidades.

102

a) Determine la curva de asignaciones que cumplen la eficiencia productiva y represéntela en un gráfico. b) Determine la expresión de la FPP. Represéntela gráficamente y calcule e interprete económicamente su pendiente.

103

SOLUCIONARlO EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO.

l. Suponga una economía en un mercado competitivo que presenta los siguientes datos: 2 bienes:

Ay,B

2 Agentes económicos:

1 y, 2

Sus preferencias definidas:

donde a¡ + p¡ =1

al xP1 U 1 - X JA· lB

donde az + Pz =1

Dotación de los bienes:

= 4; 2 : Q)2A = 6;

Precios e Ingresos:

M;: i = 1,2 P1 : j = A,B

} : Q)IA

=7 Q)2B = 3

Q)IB

a. Determine las funciones de demanda ordinaria del consumidor:

Demandas Ordinarias de los agentes:

-a1M-J., D lAPA -a M 2.

D2A-

2-,

PA

b. Determine las funciones de demanda considerando la dotación del agente por el precio respectivo como su Ingreso:

Ingresos de los agentes:

M¡ =4PA +7PB

M2 =6PA +3PB

............... (2)

Sustituyendo (2) en (1):

104

c. Establezca las demandas netas de los agentes.

d. Determine el equilibrio general.

DNIA + DN2A =O;

DNIB + DN2B

=o

4P)a1-1)+7a1P8 + 6PAa2 -1)+3a2P8 =O PA PA 4f31PA +7Pp(f31-1) + 6f32PA +3P 8 (/32 -1) =o

_ _ __ ! _ __ _

PB

PB

4PAa1-1)+7a1P8 +6PAa2 -1)+3a2P8 =0 4f31PA + 7PB (/3¡ -1) + 6f32PA + 3PB (!32 -1) =o 4PAa1-1)+ 6PAa2 -1)+ 7a1P8 + 3a2P8 =O 4/31PA +6f32PA +7PA/31-1)+3P8 (/32 -1)=0 4PAa 1-1)+6PAa2 -1)=-7a1P8 -3a2P8 4f31PA +6f32 PA =-7P8 (/31 -1)-3P8 (f32 -1)

PA4a1+6a2 -10)=P8 (-7a1 -3a 2 ) PA4/3¡ +6f32)=PB(-7/3¡

Si: a,= 0.2;

/31 = 0.8

-3/32 +10)

y

PA _ (-7a1 - 3a2 ) P8 - (4a1 + 6a2 -10) PA - (- 7/3¡ - 3/32 + 1o) PB (4/3¡ + 6f3J

a 2 = 0.3; 105

PA = (-7* 0.2-3 *0.3) = 0.31081 PB (4*0.2+6*0.3-10) PA = (-7*0.8-3*0.7+10) =0.31081 PB (4*0.8+6*0.7) Si tomamos el bien B como numerario el PB = 1, entonces PA = 0.31081; por lo que en el óptimo se obtendrá: Demandas de los bienes de los dos agentes =0.24*0.31081+7 = 5.304 . 0.31081 '

D JA

D 2

A

=0.36*0.31081+3 = 4 .696 . 0.31081 '

D 1A=

x;A = 5.304; D 2A= x;A = 4.696;

D 1s

DIB = 0.8 4 * 0.31081 + 7 = 6.595 1 D2B

=0.76*0.31081+3 =3.405 1

= x;8 = 6.595

D 28 =

x;8 = 3.405

Niveles de satisfacción que logran: U 1--

xa,!A" xp,!8

U 1 = 5.304° 2 * 6.595°· 8 = 6.314

U2

a, xp, X 2A • 28

U 2 = 4.696°· 3 * 3.405°·7 = 3.75

-

Demandas Netas de los agentes. DN = 4*0.31081(0.2-1)+7*0.2 =1. · 3 !A 0.31081 ' DN 2

= 6*0.31081(0.3-1)+3*0.3

0.31081

A

e. Verificar el óptimo de Pareto.

TMS 2

DN 18

-1. 3· '

= 4 * 0.8 * 0.31081 + 7 * (0.8 -1) = -0.40 5

DN28

1

= 6 * 0.7*0.31081 + 3 * (0.7 -1) = 0.405 1

TMS 1 =TMS 2

TTA~ xa,-! xP,28 = ~. ___1}}_ X o 3 _. 3 405 = vmg 2A = a2 2A • = -·-. - = 0.31075079

TTA~

Vlvlg 28

f3 2 xa, xP,-! 2A" 28

f3 2 X

2A

o• 7

4 • 696

106

En la que se observa que las tasas marginales de sustitución de los bienes 1 y 2 son aproximadamente iguales, verificándose el óptimo de Pareto.

f. Diagrama de Edgeworth. Total de bienes en el mercado: xlA + x2A

=x

5.304 + 4.696

A

6.595 + 3.405

xJB + x2B =X s

= 10 = 10

x2A

= 10- xlA

X2B =10-XlB

En el óptimo de Pareto se presenta la siguiente relación: TMS1 = TMS2:

= 0.8 0.3 X 1 A10- X

X 18

X 18

0.2 0.7

=

18 )

10- xlA

X1s es la cantidad del bien B del consumidor 1 que

120XIA 70+5XlA

está en función de X1A, cantidad del bien A del

x1A

1 2 3 4 S

X

-

lB-

120XlA 70+5X 1A

120*1/(70+5*(1)) 120*2/(70+5*(2)) 120*3/(70+5*(3)) 120*4/(70+5*(4)) 120*5/(70+5*(5))

XlB

=

1.6 3.0 4.2 5.3 6.3

107

1120*10/(70+5*(10))

10

10.0

Forma de la curva Se identifica con la segunda derivada de la relación Xm y X 1A: X 18

= l20XIA

70+5X1A

La primera derivada de la relación Xm y XIA nos da la pendiente de la curva: Si es positiva la curva es ascendente vista del origen y si es negativa la curva es descendente vista del origen.

120(70 + 5X 1J-120X1A * 5

8X18 BX!A

=

BX18 BX1A

840 0 = (70+5X1Ay >

(70 + 5X1A)

2

=

840 + 600X 1A- 600X1A (70 + 5X 1A)

2

Resultando que la curva es ascendente debido a que la pendiente es positiva. 2da. Derivada para determinar la forma de la curva.

a2X¡a ax12A

=

-840 * (2(70 + 5X1A)* 5) a2x1B ax12A (70+5X 1At

a2 X¡a ax12A

=

-8400 (70+5X 1J

=

-8400 * (70 + 5XIA) (70+5X1At

o 3