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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Presentado a: Robinson Junior Conde Tutor(a). Entregado por: Gildardo Leon Parra Flórez Código: 15339012 Daniela Ortiz Hernandez Código: 1112105478 Juan Carlos Cabanzo Código: 1130592691 Kevin Daniel Martine Campo Código: 1143871081 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx Grupo: 100412_18

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FEBRERO DE 2020

INTRODUCCIÓN

El presente documento se pretende dar solución a los ejercicios planteados en la guía de actividades de la tarea numero 4. Los ejercicios propuestos serán solucionados mediante la interacción de los estudiantes, aplicando los conocimientos adquiridos sobre la transformación Laplace, series de Poncia y teorema de Taylor. Además, se analizarán soluciones planteadas para ciertos ejercicios de mayor complejidad.

OBJETIVOS



Aplicar series de potencia para solución de ejercicios.



Conocer y aplicar la transformada de Laplace para resolución de problemas.



Resolución de ejercicios teniendo en cuenta el teorema de Taylor.



Analizar y cuestionar soluciones planteadas previamente para ejercicios o problemas más complejos.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante Daniela Ortiz Hernández Gildardo León Parra Flórez Juan Carlos Cabanzo

Rol a desarrollar Alertas Compilador Entregas

Kevin Daniel Martinez

Evaluador

Andrés Felipe Ordoñez Dorado

Revisor

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 3Tipo de ejercicios

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver  lo que está ocurriendo. Para una ecuación dada: y , , + p ( x ) y , + q ( x ) y=0 se representa primero p ( x ) y q ( x ) por series de potencias en potencias de x (o de ( x−x 0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de x−x 0 ¿. En muchas ocasiones p ( x ) y q ( x )son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos. ∞

y= ∑ am x m=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ … m=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término: ∞

y , = ∑ m am x m−1=a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +… m=1 ∞

y , ,= ∑ m ( m−1 ) am x m−2=2 a2 +3∗2 a3 x+ 4∗3 a4 x 2 +… m=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de x y la suma de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en y.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Daniela Ortiz Hernández

a.   y ' ' +2 y ' + y=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA   y ' ' +2 y ' + y=0

RAZÓN O EXPLICACIÓN ∞

y=∑ Cn X n n=0 ∞

y ' =∑ n Cn X n−1 n=1

''

∞

y =∑ n ( n−1 ) Cn X n−2 n=2

Reuniendo términos

∞

∑ n ( n−1 ) Cn x n =2

n−2

∞

+ 2 ∑ nCn x n=1

n−1

∞

+ ∑ Cn x n=0 n=0

∞

∞

∞

n =2

n=1

n=0

∑ n ( n−1 ) Cn x n−2+∑ 2 nCn x n−1 +∑ Cn x n=0

∞

n

∞

∞

∑ ( n+2 )( n+1 ) C n+2 x +∑ 2 ( n+ 1 ) C n+1 x +∑ Cn x n=0 n=0

n

n=0

∞

n=0

∑ [ ( n+2 ) ( n+1 ) C n+2 +2 ( n+1 ) Cn +1+Cn ¿ ] x n=0 n=0

( n+2 ) ( n+1 ) Cn +2 +2 ( n+ 1 ) C n+1 +Cn¿=0 ( n+2 ) ( n+1 ) Cn +2=−2 ( n+1 ) Cn +1−Cn¿

Coeficientes

C n+2=

Cn−2 ( n+1 ) Cn +1 ( n+2 )( n+1 )

n=0 , C2=

c 0−2c 1 (1)−2(−2) 5 = = =2.5 2 ∙1 2 2

n=1 ,C 3=

c 1−4 c 2 (−2)−4 (2.5) −12 = = =−2 3 ∙2 6 6

n=2 ,C 4 =

c2−6 c 3 2.5−6(−2) 14.5 3.8 = = = 4∙3 12 12 4

n=3 ,C 5=

c 3−8 c 4 = 5∙ 4

−2−8(

3.8 ) 4

20

=

9.6 2.4 = 20 4

3.8 2.4 −10( ) c 4 −10 c 5 4 4 −5.05 n=4 ,C 6= = = 6 ∙5 35 35 2.4 −5.05 −12 c −12 c 6 4 35 2.33 n=5 ,C 7= 5 = = 7∙6 42 42

(

)

−5.05 2.33 −14 ( ) c6 −14 c 7 35 42 0.92 n=6 , C8 = = = 8∙7 56 56 2.33 0.92 −16( ) c 7 −16 c 8 42 56 0.20 n=7 , C9 = = = 9∙8 72 72

c 0=1 c 1=−2 c 2=2.5 c 3=−2 c 4 = c 5=

2.4 4

c 6=

−5.05 35

c 7=

2.33 42

c 8=

0.92 56

3.8 4

c 9=

0.20 72

y=c 0+ c1 x+ c 2 x 2+ c 3 x 3 +c 4 x 4+c 5 x5+c 6 x6 +c 7 x7 y=1−2 x −2.5 x 2 +2 x3 −

3.8 4 2.4 5 −5.05 6 x+ x+ x+ 4 4 35

2.33 7 0.92 8 0.20 9 x+ x+ x +.. . 42 56 72

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Gildardo León Parra Flórez

C.C. 15339012

b.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA   y ' ' −x 2+ y ' =0 y ' ' + y ' =x 2

RAZÓN O EXPLICACIÓN ∞

∑ Cn X n n=0

∞

y ' =∑ n Cn X n−1 n=1 ∞

y ' ' =∑ n ( n−1 ) Cn X n−2 n=2

Reuniendo términos

∞

∞

n =2

n=1

∑ n ( n−1 ) Cn X n−2 +¿ ∑ nCn X n−1=x 2 ¿ ∞

∑ ( n+2 )( n+1 ) C n+2 X n=0 ∞

n

∞

+¿ ∑ Cn X n=x 2 ¿ n=0

∑ [ ( n+2 ) ( n+1 ) C n+2 +Cn ] X n=x 2 n=0

2 C2+C 0=0

Resolviendo

2 C2+C 0+ C2=x 2 C 2=1C 0=−1 Solución

Y =x 2 +1

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan Carlos Cabanzo c.c. 1130592691

c. y ' ' −2 x=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 Se comienza suponiendo que la ecuación diferencial, se puede expresar como una serie de potencia, ∞

y=∑ c n x n n=0

Se calcula la primera derivada de la expresión, ∞

y ' =∑ n cn x n−1 n=1

Se vuelve a aplicar la derivada a la expresión anterior, ∞

y ' ' =∑ n(n−1) cn x n−2 n=2

Note que las series se van corriendo (n= 0, 1, 2) con la derivada. Una vez que ya se tienen las expresiones, se procede a reemplazar en la ecuación original, y ' ' −2 x=0 ∞

∑ n(n−1) c n x n−2−2 x=0 n =2

2 c 2+ 6 c 3 x +12 c 4 x 2 +…+ n ( n−1 ) c n x n−2−2 x=0

Para que la ecuación se cumpla, todos los coeficientes del polinomio con la excepción de c3, deben ser cero. Por consiguiente, c i|i> 3=0 6 c 3 x−2 x=0 6 c 3 x=2 x c 3=

2x 1 = 6x 3

Dado que c 2 está acompañado de una constante y en el polinomio no hay constantes adicionales para sumar e igualar a cero, c 2=0 Ahora, volviendo a la solución original, ∞

y=∑ c n x n n=0

Se obtiene que, c 0,1=k ∈ R ; c 2=0 Por lo que se obtiene la siguiente solución, 1 y= x 3 +c 1 x + c0 3 Donde c 1 y c 0 ∈ R

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Kevin Daniel Martinez Campo Cc.1143871081

d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

  y '−9 xy =0

∞

y ( x ) =∑ ai x i i=0

∞

y ´=∑ i ai x i−1 i=1

Reemplazamos

∞

∞

i=1

i=0

∑ i ai xi −1−9 x ∑ a i x i=0 ∞

∞

i=1

i=0

∑ i ai xi −1−∑ 9 ai xi +1=0 Se mete el 9x a la sumatoria, entonces quedaría de esta manera Propiedad de las sumatorias: ∞

∞

∑ f ( i )=∑ f (i+ k ) i=k

i=0

∞

∞

i

∑ (i+1 ) ai +1 x −∑ 9 ai xi +1=0 i=0

i=0

∞

∞

i=1

i=0

a 1+ ∑ (i+1 ) ai +1 x i−∑ 9 ai xi +1=0 ∞

∞

i=0

i=0

a 1+ ∑ (i+2 ) ai +2 x i+1−∑ 9 ai x i +1=0 ∞

a 1+ ∑ [ ( i+2 ) ai +2−9 ai ] x i+1=0 i=0

9 i=0=¿ ai + ( 2 a 2−9 a0 ) x=0=¿ a1=0 ; a2= a0 2

( i+2 ) ai+2−9 ai=0 a i+2=

9 9n ai = a0 i+2 i! ∞

∞

i=0

i=0

y ( x ) =∑ ai x i=∑ y=e

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

9 2 x 2

+c

92 i a x 2i i! 0 2

e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa m sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

m

d2 x dx + β + kx=f (t) 2 dt dt

L

d2 q dq + β + kq=E (t) 2 dt dt

Es una función que representa una fuerza externa f (t) o un voltaje E ( t ) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones f (t) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales. Suponga que la función y (t) está definida para t ≥ 0 y la integral impropia converge para s> s0 . Entonces la transformada de Laplace y (t) existe s> s0 y está dada por:

∞

L { y ( t ) }=∫ e−st y ( t ) dt 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Daniela Ortiz

a. L { π + cos 3 t }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA L { π + cos 3 t }

RAZÓN O EXPLICACIÓN ∞

L [ f (t ) ] =∫ f (t) e−st dt 0

Integral para π

∞

∫ π e−st dt=¿ ¿ 0

Sacamos la constante

Integración por sustitución u= -st Sacar constante Aplicar regla de integración

−st π .∫ e tdt

π .∫

−e u du s

( −1s ∙∫ e du) −1 e π .( s ) −1 e ) π .( s u

π.

u

Sustituir u= -st

Simplificar

− st

e−st

π s

e−st

π +c s

Agregar una constante

Calcular Limites

∞

∫ π e−st dt=0−( πs ) 0

¿ Formula

π s ∞

L [ f (t ) ] =∫ f (t) e−st dt 0

∞

∫ cos 3t e−st dt=¿ ¿ 0

Aplicar integración por partes

Sacar constante

Simplicar

−1 −s s := 3 3

Aplicar integración por partes

Simplicar

−1 −s s := 3 3

1 −st −1 − st e sin ( 3 t )−∫ se sin ( 3 t ) dt 3 3 ❑ 1 −st −1 e sin ( 3 t )− s ∙∫ e−st sin ( 3 t ) dt 3 3

1 −st e 3

( −s sin ( 3 t )−( ∙∫ e 3

− st

sin ( 3 t ) dt

−st

cos ( 3 t ) dt

1 −st −s −1 −st s e sin ( 3 t )− e cos (3 t )− ∫ e− st cos ( 3t ) dt 3 3 3 3

( (

1

¿

3 e−st sin ( 3 t ) 3 e− st cos ( 3t ) − 9+ s 2 9+ s 2

3 e−st sin ( 3 t ) 3 e− st cos ( 3t ) ¿ − +C 9+ s 2 9+ s 2

Calcular los limites:

0−(

∞ 0

s ) s +9 3

s s +9 3

Simplificar

Reunir Términos:

¿

π s + 3 s s +9

))

−s −1 −st s e cos ( 3 t )− 3 3 3

( (

∫ e−st cos ( 3 t ) dt=¿ 3 e−st sin ( 3 t )−

Agregar una constante a la solución

∫ cos 3t e−st dt =0−( s3 s+9 ¿ )¿

)

❑

1 −st e sin ( 3 t )−¿ 3

Por lo tanto

Despejar ∫ e

)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Gildardo León Parra Flórez

C.C. 15339012

b. L {2t + πe3 t } PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

  L {2t + πe3 t } Formula Integral para 2t

RAZÓN O EXPLICACIÓN ∞

L [ f (t ) ] =∫ f (t) e−st dt 0

∞

∫ 2 t e− st dt=¿ ¿ 0

Sacamos la constante

−st 2.∫ e tdt

Integración por sustitución u= -st

eu u 2.∫ 2 du s

Constante

2.

Integrar por partes

Sustituir u= -st

1 u . ∫ e udu s2 1 s

u u 2. 2 (e u−∫ e du ¿

1 s

2. 2 (e u u−eu ¿ 1 s

2. 2 (e−st −st−e−st ¿ Simplificando

Calculamos Limites

2 (−se ¿ ¿−st t−e− st )¿ 2 s ∞

2

∫ 2 t e− st dt=¿ ¿0 - s 2 0

Simplificando

Formula

¿

2 s2 ∞

L [ f (t ) ] =∫ f (t) e−st dt 0

∞

∫ πe 3t e−st dt=¿ ¿ 0

∞

π ∫ e3 t −st dt=¿ ¿ 0

1 ¿¿ e 3−s ¿ π( ¿

1 ) s−3

π s−3

L {2t + πe3 t }

Reunimos términos

¿

2 π + 2 s s−3

1

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan Carlos Cabanzo c.c. 1130592691

c. L {t 2−sin ( πt ) }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

  La transformada de Laplace es una expresión matemática que proviene de una integral con límites de 0 a infinito si es unilateral o de infinito a infinito si es bilateral. Cuando se calcula una transformada de Laplace, en realidad se está calculando la convergencia de la expresión. Primero, se debe usar la propiedad de la linealidad, L { t 2 } −L{sin(πt)} Para L {t 2 } se usa la formula { t n }= L {t2 }=

n! s n+1

1 x2 2 = s 2+1 s3

L {sin( πt ¿)}se usa la formula{sin ( at ) }=

L {sin( πt ¿) }=

a ¿ s +a2 2

π ¿ s +π2 2

2 Uniendo las dos expresiones obtenemos que, L {t −sin ( πt ) }=

2 π − 2 2 3 s s +π

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Kevin Daniel Martinez Campo Cc.1143871081

d. L { sinh 2t }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA   Reemplazamosla funcion ∞

F ( S ) =∫ f ( t ) e− St dt

RAZÓN O EXPLICACIÓN ∞

∞ −St

F ( S ) =∫ sinh ( 2t ) e 0

dt=¿∫ 0

e2 t −e−2 t − St e dt ¿ 2

0

Se parte en dos termino

1 F ( S)= 2

∞

[∫ 0

∞ 2t

e e

−St

dt−∫ e

−2 t −St

0

u=( S−2 ) t=¿ du=( S−2 ) dt

e

∞

] [∫

1 dt = 2

0

∞ −t ( S−2 )

e

dt−∫ e− 0

v=( S +2 ) t=¿ du= ( S+ 2 ) dt ∞

∞

1 1 1 F ( S)= [ e−u du− e−v dt ] ∫ ∫ 2 s−2 0 s+2 0 ∞

∫ e−x dx=1=¿ F ( S ) = 12 0

[

1 1 − S−2 S+ 2

]

F ( S)=

1 S+2−( S−2 ) 4 2 = = 2 2 2 ( S+2 ) ( S−2 ) 2 ( S −4 ) S −4

F ( S)=

2 S −4 2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

y , −3 y=e 2 t y ( 0 )=1

}

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial L { y , −3 y }=¿❑ L { e 2t } ¿ L { y , } −3 L { y }=

1 s−2

sY ( s )− y ( 0 )−3 Y ( s )= sY ( s )−1−3 Y ( s )=

1 s−2

1 s−2

Y ( s )=

s−1 ( s−2 ) (s−3)

Y ( s )=

−1 2 + s−2 (s−3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: y ( t )

L−1 { Y ( s) }=−L−1

1 1 +2 L−1 s−2 s−3

( )

( )

y ( t ) =−e 2t +e 3t

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Daniela Ortiz

a. y ' ' −2 y ' =et sin t ; y ( 0 )=0 , y ' ( 0 )=0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA   y ' ' −2 y ' =et sin t ; y ( 0 )=0 , y ' ( 0 )=0

RAZÓN O EXPLICACIÓN y ' ' −2 y ' =et sin t y ( 0 )=0 y ' ( 0 )=0

Transformar cada termino

L { y ' ' } +2 L { y ´ }=L { et sin t } L { y ' ' } =S 2 f ( s )−sy ( 0 )− y ´ (0) L { y ´ }=sf ( s )− y (0) L { e t sin t } =

1 (s−1)2 +1

Sustituir

S2 f ( s )−sy ( 0 )− y ´ ( 0 ) −2 sf ( s )− y ( 0 ) =

1 ( s−1 )2+1

Sustituir condiciones iniciales

S2 f ( s )−sy ( 0 )− y ´ ( 0 ) −2 sf ( s )− y ( 0 ) =

1 ( s−1 )2+1

S2 f ( s )−s−2 sf ( s )= S2 f ( s )−2 sf ( s )=s

F ( s ) ( S2−2 s ) =s

Factorizar denominador

F (s)

s ( S −2 s )

F (s)

s s ( s−2 )

2

1 ( s−1 )2+1

Pasar a transformada inversa

y=L−1 y=

[

s s ( s−2 )

]

1−h ( o ) 2L

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Gildardo León Parra Flórez

C.C. 15339012

b. y ' ' + y ' +2 y=x ; y ( 0 )=2 , y ' ( 0 ) =2 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA   y ' ' + y ' +2 y=x ; y ( 0 )=2 , y ' ( 0 ) =2

RAZÓN O EXPLICACIÓN y ' ' + y ' +2 y=x y ( 0 )=2 y' ( 0 )=2 y ' =5 y ( 5 )+ y ( 0 ) y ' ' =52 y ( 5 )−5 y ( 0 ) − y ' ( 0 ) y= y ( 5 )

L ( y ' ' + y ' +2 y ) =L ( x ) Reemplazamos

L ( y ' ' ) + L ( y ' )+L(2y) =L ( x )

52 y ( 5 )−5 y ( 0 )− y ' ( 0 )+ 5 y ( 5 ) + y ( 0 ) +2 y ( 5 ) =

Condiciones Iniciales

1 52

52 y ( 5 )−25−2+5 y ( 5 ) +2+2 y ( 5 )=¿

Simplificando y ( 5 ) ( 52−25+5+2 ) =

1 52

1 52

Despejando y ( 5 )

y ( 5 )=

1 5 (5 −25+ 2) 2

2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan Carlos Cabanzo c.c. 1130592691

c. y ' ' + y ' =7 ; y ( 0 ) =1 , y ' ( 0 )=0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

  y ' ' + y ' =7 ; y ( 0 ) =1; y ' ( 0 )=0 L {f ' ' (t ) }=s 2 F ( s )−sf ( 0 )−f ' (0) L {f ' ( t ) }=sF ( s ) −f ( 0) s2 Y ( s ) −s +sY ( s )−1=

7 s

7 Y ( s ) [ s 2+ s ]= + s+1 s Y ( s ) [ s 2+ s ] = 2

Y ( s ) [ s + s ]=

Y ( s )=

7+ s (s +1) s s2 + s+7 s

s2 + s+7 s2 + s+7 = s ( s2 + s) s 3+ s 2

Ahora se aplica la transformada inversa de Laplace, y=L

−1

{

s2 + s+7 s 3+ s 2

}

Para poder aplicar la transformada inversa de Laplace, es necesario separar la expresión y para ello se hace uso del método de fracciones parciales, s 2+ s+ 7 s2 + s+7 a0 a1 a2 = 2 = + 2+ 3 2 s +s s (s +1) s s s +1

2 2 2 s 2 (s 2+ s +7)(s +1) a 0 s (s+1) a1 s (s +1) a2 s (s +1) = + + s s+ 1 s 2 (s +1) s2

s2 + s+7=a0 s ( s+ 1 )+ a1 ( s+ 1 )+ a2 s 2 Al sustituir la s por cero, se obtiene que a 1=7 Al sustituir la s por -1, se obtiene que a 2=7 s2 + s+7=a0 s ( s+ 1 )+ 7 ( s+ 1 )+7 s 2 s2 + s+7=s 2 ( a0 +7 ) + s ( a0 +7 ) +7 Entonces, a 0+7=1 a0 =−6 L−1

{

7 7 6 + − 2 s+1 s s

}

Ahora se debe hacer uso de la propiedad de la linealidad de la transformada inversa de Laplace, 7 7 6 + L−1 −L−1 2 s +1 s s

L−1

{} { } {}

L−1

{}

L−1

{s +17 }=7 L { s+11 }L {s−a1 }=e 7 L {s +11 }=7 e

L−1

{6s }=6 L { 1s }L {as }=aH ( t ) 6 L {1s }=6 H (t)

(n) ! 7 1 1 =7 L−1 2 L−1 n+1 =t n 7 L−1 2 =7 t 2 s s s s

{} { } −1

−1

−1

−1

{}

at

−1

−1

H ( t ) es el escalónde Heaviside Entonces, la respuesta para la ecuación diferencial es, y=7 t +7 e−t −6 H (t)

−t

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Kevin Daniel Martinez Campo Cc. 1143871081

d. y ' ' − y ' + y=cos ( t ) ; y ( 0 ) =1 , y ' ( 0 )=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 La transformada de Laplace delcoseno

L { y ' ( t ) }=SY ( S )− y (0)

S S = 2 S +w ( S+ jw ) ( S− jw )

L { y ' ( t ) }=SY ( S )− y (0)

cos ( t )=

2

La transformada de la derivada

L { y ' ' ( t ) }=S2 Y ( S ) −Sy ( 0 ) − y ' (0)

S2 Y ( S ) −Sy ( 0 ) − y ' ( 0 ) −( SY ( S )− y ( 0 ) )+ Y ( S ) = S2 Y ( S ) −S−( SY ( S )−1 ) +Y ( S )= S2 Y ( S ) −S−SY ( S )+ 1+ Y ( S ) = S2 Y ( S ) −SY ( S ) +Y ( S )= Y ( S ) ( S 2−S +1 )= Despejamos Y ( S )

Sacamos fracciones simples

Descomponemos el segundo miebro en fracciones simples

S S +1 2

S S +1 2

S + S−1 S +1 2

S + S−1 S +1 2

Y ( S )=

S S−1 + 2 2 ( S +1 ) ( S −S+1 ) S −S +1

Y ( S )=

S S−1 + 2 2 ( S +1 ) ( S −S+1 ) S −S +1

Y ( S )=

1 1 S 1 − 2 + 2 − 2 S −S+1 S +1 S −S+1 S −S+

Y ( S )=

−1 S + 2 2 S +1 S −S+1

Y ( S )=

−1 + S 2 +1

2

2

2

S

( S− 12 − j √23 )( S− 12 + j √23 )

Y ( S )=

Todo el dominio temporal y recordemos la propiedad de la derivadapara la transformacion

Y ( S )=

(

j

1 √3

j

1 √3

(

j

1 √3

j

1 √3

−1 +S − 1 3 1 3 S 2 +1 √ S− + j S− − j √ 2 2 2 2

−1 +S − 1 3 1 3 S 2 +1 √ S− + j S− − j √ 2 2 2 2

)

1

√

{

√3

1

1 −( 2 + j 2 )t 1 −(2 − j y ( t ) =−sen ( t ) + j e −j e √3 √3

{ {√

−2 y ( t ) =−sen ( t ) + e √3 y ( t ) =−sen ( t )−

−1 t 2

−1 e 3

√3 t . sen

−1 t 2

−1

'

( 2 )}

. sen

( √23 )+ √22 √23 e

1 3 y ( t ) =−sen ( t ) + e 2 . sen √ t −e 2 √3 √3 cos( t ¿ 2

Solucion

)

( )

−1 t 2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Usar elteorema de Taylor para hallar la solución en serie de x y ' ' +2 y ' =xy con y (1)=1 y en y ' (1)=0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA   x y ' ' +2 y ' =xy con y (1)=1 y en y ' (1)=0 .

RAZÓN O EXPLICACIÓN Para el teorema de Taylor tenemos que la solución propuesta es, ∞

y=∑ i =0

ai i x i!

∞

y ' =∑ i=1

''

∞

y =∑ i=2

ai

( i−1 ) !

x i−1

ai x i−2 (i−2 ) !

Se reemplaza en la ecuación propuesta, x y ' ' +2 y =xy ∞

x∑ i =2

ai

( i−2 ) !

x

i−2

∞

+2 ∑ i=1

ai

( i−1 ) !

x

i−1

∞

=x ∑ i=0

ai i x i!

Se multiplica la x por la expresión contenida en las sumatorias, ∞

∞ ∞ ai ai a i−1 i−1 x +2 x = ∑ ( i−2 ) ! ∑ ( i−1 ) ! ∑ i!i x i+1 i=2 i =1 i=0

Utilizando la siguiente propiedad, logramos que todas las sumatorias comiencen desde cero, ∞

∞

x ∑ f (i)=x ∑ f (i+k ) i=k

i=0

∞

∞ ai +2 i +1 ai +1 i ∞ ai i+1 ∑ ( i ) ! x + 2 ∑ ( i ) ! x =∑ i! x i=0 i=0 i=0 ∞

∞ ∞ ai +2 i +1 a +1 a x + 2a 1+2 ∑ i x i=∑ i x i+1 (i) ! i=1 ( i ) ! i=0 i!

∑ i=0

Se vuelve a aplicar el teorema, esto con el fin de poder agrupar las sumatorias, ∞

∞ ai +2 i +1 ai +2 i +1 ∞ ai i +1 ∑ ( i ) ! x + 2a 1+2 ∑ ( i+1 ) ! x =∑ i! x i=0 i=0 i=0

Se agrupan las sumatorias, ∞

∑ i=0

[

ai+ 2 ai +2 a i i+1 + − x +2 a1=0 i! ( i+1 ) ! i!

]

Para que dicha igualdad se cumpla, a 1=0 ai +2 ai+ 2 ai + − =0 i! ( i+1 ) ! i ! ai ( i+ 1 ) !+ i! =ai +2 i! i! ( i+ 1 ) ! a i+2=ai

( i+1 ) ! ii! i =ai =a i i !+ii ! 1+ i i !+ ( i+1 ) !

Si a 1=0 los subíndices impares son cero, a 1=0 a 2=a0

2 2 = 1+2 3

a 4=a0

4 4 = 1+4 5

Por

y=1+

n/(n+1) n 2/3 2 4 /5 4 x + x +…+ x 2! 4! n!

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie es: t

di 1 L + Ri + ∫ i ( τ ) dτ =E(t) dt c 0 Utilizando la transformada de Laplace encuentre i ( t ) ,si L=0.05 H ; R=1 Ω ; c=0.02 F y E ( t )=50 [ t 3 e−t ] V e i ( 0 )=0 Solución planteada: 1. Se reemplazan los valores t di 1 0.005 +i+ i ( τ ) dτ=50 [ t 3 +e−t ] ∫ dt 0.02 0 2. Se divide por 0.005 t

di +200 i+ 1000∫ i ( τ ) dτ=10000 t 3−10000 e−t dt 0 3. A cada término se le halla la transformada de Laplace

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

sI ( s ) +i ( 0 ) +200 I ( s ) +1000

I ( s ) 30000 10000 = 2 − s s−1 s

4. Se agrupan los términos de I(s) I ( s)

(

s2 +200 s +1000 3 1 =10000 2 − s s−1 s

)

(

)

5. Se factoriza el numerador del lado izquierdo y se despeja I(s). Se reescribe el resultado para aplicar Transformada inversa. I ( s) =

10000 s 3 1 − 2 2 s(s+ 100) s s−1

(

)

1 3 1 I ( s ) =10000 − + 2 2 (s +100) ( s+100 ) s−1

[

4. Se debe tener en cuenta que I ( 0 )=0, lo cual la ecuación queda de la siguiente manera. I (s ) sI ( s ) +200 I ( s ) +10000 =¿ s 30000 30000 −s − e s s La agrupación de términos de I(s), no es conveniente. I ( s)

]

(

s2 +200 s +1000 3 1 = 2− s s−1 s

)(

)

5. Se factoriza I ( s ) en el extremo izquierdo de la ecuación.

6. Se aplica la transformada inversa para hallar i(t)

i ( t )=20000 [ t e−100t −3 ( t−1 ) e−100 (t−1 )−e−t ] Con esto se obtiene finalmente la corriente en función del tiempo

(

I ( s ) s+ 200+

10000 30000 30000 −s − e = s s s

)

6. se opera la fracción del lado izquierdo de la ecuación bajo el m.c.m

PASO 8

TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante Daniela Ortiz

Ejercicios sustentados Ejercicio 1.

Enlace video explicativo

https://www.youtube.com/watch?v=C5CysoN1eTw&feature=youtu.be

CONCLUSIONES



La transformada de Laplace es una expresión matemática que proviene de una integral con límites de 0 a infinito si es unilateral o de infinito a infinito si es bilateral.



La transformada de Laplace es muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales, transforma las ecuaciones lineales NO HOMOGÉNEAS en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por métodos algebraicos.

∞



n

Una expresión de la forma ∑ an ( x−a) recibe el nombre de serie de potencias centrada n=0

en el punto a.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

García, H. A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Retrieved from https://ebookcentralproquest-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co

López, M., & Acero, I. (2009). Ecuaciones diferenciales : Teoría y problemas (2a. ed.). Retrieved from https://ebookcentral-proquest-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co

Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias : Una introducción. Retrieved from https://ebookcentral-proquest-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co