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• JUAN JOSE CAMACHO MARTINEZ

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1 TRABAJO COLABORATIVO CALCULO 1

Integrantes:

Instructor:

Docente - Politécnico Grancolombiano

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRAN COLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS INGENIERÍA DE SOFTWARE 2019

2 Resumen

En el presente documento nos centraremos en la aplicación de la Trigonometría, abordando el Teorema de Pitágoras, Teorema del Seno y Teorema del Coseno aplicados a las actividades programadas para el trabajo colaborativo de la asignatura de Calculo 1, el teorema de Pitágoras establece que en todo triangulo rectángulo la medida de la hipotenusa es igual a la suma de la medida de los dos catetos al cuadrado cada uno respectivamente, a2 +b2=c2, por otro lado el teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras, para usar este teorema es necesario saber la extensión de dos lados y la medida de un ángulo

interior (opuesto) . Del mismo modo el

Teorema del seno es una analogía de tres igualdades entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera que siempre se cumplen, en concreto nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto en todo triángulo es constante, dentro del desarrollo de las actividades debemos tener en cuenta la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

3 Tabla de Contenidos Capítulo 1 Introducción e información general .................................................................. 4 Planteamiento de las Actividades. .................................................................................. 5 Objetivo general. ......................................................................................................... 6 Objetivos Específicos.................................................................................................. 6 Marco Teórico ............................................................................................................. 7 Capítulo 2 Desarrollo actividades. ............................................................................. 8 Capítulo 3 Análisis del Foro. ................................................................................... 16 Capítulo 4 Conclusiones. ......................................................................................... 17 Lista de referencias ........................................................................................................... 18

4 Capítulo 1 Introducción e información general Para nuestro tiempo y en especial en la vida laboral teniendo en cuenta la incursión de las TIC’S en nuestro entorno y labores cotidianas, es común encontrar distancias entre ciudades o distancias entre puntos difíciles de calcular por la extensión o situación del terreno se incluyen las distancias entre ciudades, alturas de árboles, cableado de conexiones entre edificios o casas, además desde los inicios el hombre que ha tenido en cuenta las distancias con el fin de obtener información acerca de gastos y características necesarias para medir capacidad de empresas, cotizaciones o simplemente saber qué cantidad de dinero podemos gastar en una conexión a internet si el punto de distribución más cercano está a unos cuantos kilómetros de nuestro hogar, es por ello que los Teoremas de Pitágoras, del seno y del coseno nos ayudaran a resolver estas situaciones llevándolos a la práctica. Nuestro trabajo trata el análisis, procedimiento, argumento del debate del foro que la actividad propuesta genera, con cada aporte de los integrantes del trabajo colaborativo; se abordaron temas como; generalidades del teorema del seno y del coseno, procesos algebraicos, elementos de triángulos no rectángulos mediante el teorema del seno y coseno.

5 Planteamiento de las Actividades. El transporte aéreo “Este trabajo colaborativo pretende visualizar cómo el transporte aéreo ha acortado las distancias y lo útil que es la trigonometría para calcularlas; esta industria ha permitido el progreso económico y social, porque conecta a las personas, países y culturas; además ha generado el turismo a nivel global y se han acercado los países.” SITUACIÓN PROBLEMA: Resolver: 1. Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿cómo se puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C? Explique claramente su respuesta. 2. Si la aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, ¿escriba una función para establecer el costo del combustible por vuelo? Sugerencia Tenga en cuenta el tipo de aeronave y especifique las variables que usa. 3. En la siguiente imagen se muestran algunas rutas de una aerolínea que funciona en Colombia las distancias entre Bogotá y algunos de sus destinos. Calcule la distancia que hay entre la ciudad de Tunja y Mocoa, además encuentre los ángulos que faltan para resolver el triángulo Tunja-Mocoa-Medellín, si la distancia entre Tunja y Medellín es de 250 km y la distancia entre Medellín y Mitú es de 580 km y el ángulo que tiene como vértice la ciudad de Tunja es 72,26º. (Tenga en cuenta que estás distancias se toman en línea recta). 4. Dada la siguiente ruta Bogotá – Caracas – San José, se conoce la distancia entre

Bogotá y San José 1280 km, la distancia entre Caracas y Bogotá es 1020 km y la

6 distancia entre Caracas y San José es 1880, hallar los ángulos de este triángulo Bogotá – Caracas – San José.

Objetivo general. Investigar e identificar conceptos y procedimientos de Trigonometría relacionados con el transporte aéreo para calcular distancias, con el fin de evidenciar procedimientos de cálculo de distancias, ángulos y poderlos apropiar para resolver problemáticas.

Objetivos Específicos. Consultar e interiorizar el Teorema de Pitágoras, teorema del seno y del coseno, utilizados para la solución de triángulos rectángulos y no rectángulos. Utilizar y transferir de forma adecuada el Teorema de Pitágoras, teorema del seno y del coseno en los ejercicios pactados dentro de las actividades de grupo enmarcadas en el trabajo colaborativo.

7 Marco Teórico TEOREMA DEL COSENO. “Así como las razones trigonométricas se utilizan para resolver triángulos rectángulos, el teorema del seno y el teorema del coseno se utilizan para resolver tanto los triángulos acutángulos (con los tres ángulos agudos), o bien, los triángulos oblicuángulos (dos ángulos agudos y uno obtuso).”1

TEOREMA DEL SENO. “Así como las razones trigonométricas se utilizan para resolver triángulos rectángulos, el teorema del seno y el teorema del coseno se utilizan para resolver tanto los triángulos acutángulos (con los tres ángulo agudos), o bien, los triángulos oblicuángulos (dos ángulos agudos y uno obtuso).”2

TEOREMA DE PITÁGORAS “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”3

1-2-3

https://ebookcentral-proquest-

com.loginbiblio.poligran.edu.co/lib/bibliopoligransp/reader.action?docID=3157365&query=trigonometria#

8 Capítulo 2 Desarrollo actividades. Ejercicio 1. Cuando se dice de forma trigonométrica relacionamos este ejercicio con ángulos y lados que se forman entre los puntos A, B y C, los cuales al unirlos forman un triángulo. En caso de conocer alguna longitud entre estos puntos, se puede hallar el ángulo entre estas, y por lo tanto el método más conocido es el Teorema de Pitágoras. También, se puede resolver por el teorema del seno, y el teorema del coseno respectivamente. Aplicando el teorema de Pitágoras, para triángulos y rectángulos teniendo en cuenta que el lado a hallar es la hipotenusa. En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la medida de sus catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2

a= Hipotenusa, b= Cateto, c= Cateto

Utilizando la formula

Aunque de acuerdo al enunciado sabemos: Distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. Para hallar la Distancia entre B y C.

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De acuerdo con la imagen tenemos: c = distancia entre A y B = segmento AB b = distancia entre A y C = segmento AC α = ángulo formado entre los segmentos b y c La idea es poder dividir este triángulo para poder tener triángulo rectángulo. Gráficamente se puede concluir:

En la imagen que se presentó antes, se traza desde C una línea hasta c que sería igual a AB, a esta línea o segmento lo llamamos d. Con relación a lo anterior podemos evidenciar que d al cortar a c, forma dos ángulos rectos, del mismo modo d divide a c formando dos segmentos e y f. De acuerdo a lo anterior y lo visto en Álgebra lineal / vectores en R2. Decimos que d se obtiene de multiplicar b por el seno del ángulo.

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Asimismo e se obtiene de multiplicar b por el coseno del ángulo

Calculados d y e debemos hallar f donde f se halla de restar c - e

Para finalizar tenemos un triángulo rectángulo formado por los segmentos d y f y el segmento BC, de lo cual conocemos los valores de d y f nos quedaría hallar la hipotenusa "segmento BC" aplicando el teorema de Pitágoras.

Aplicando la ley de Seno se debe conocer el lado y el ángulo opuesto.

𝑎 𝑏 = 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑎=

𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑆𝑖𝑛𝐵

Ejercicio 2. De acuerdo a la sugerencia para el desarrollo de este ejercicio, se puede tener en cuenta las siguientes variables:

1. Los valores de cada punto se dan en kilómetros

11 2. Tendremos en cuenta el avión Boeing 747 con capacidad de 500 pasajeros

o

Consumo de 3 galones por cada km.

o

El galón tiene un precio de 2.15 US$

Entonces: a=Distancia entre A y C b=Distancia entre A y C c=Distancia entre A y B Ca=consumo del avión Boeing 747 en el recorrido de a Cb= consumo del avión Boeing 747 en el recorrido de b Cc= consumo del avión Boeing 747 en el recorrido de c Concluimos El costo del combustible por vuelo para cada recorrido se puede hallar:

12 Ejercicio 3. Teniendo en cuenta la corrección allegada por la profesora mediante correo donde advierte del error que existe en este enunciado nos dice que la distancia entre Medellín y Mocoa es de 580 km, por tanto se debe trabajar el triángulo Medellín-Tunja-Mocoa y el ángulo de Tunja es 72.26°. Entonces: Identificamos los ángulos de acuerdo al punto. Mocoa = A=?

Tunja = B =72.26°

Medellín = C=?

También identificamos las distancias. Tunja – Medellín = a=250km

Medellín - Mocoa = b=580km

Mocoa - Tunja = c=?

Como podemos dar cuenta solo tenemos dos distancias y nos solicitan hallar Tunja – Mocoa = c y los ángulos Mocoa = A y Medellín = C, pues ya sabemos el de Tunja = B =72.26°.

13 Como conocemos los lados a y b y el ángulo B, aplicamos el teorema del seno para hallar el ángulo A:

Por tanto,

Despejamos el seno de A:

Finalmente, despejamos A utilizando la inversa del seno (sin-1):

Luego el ángulo es:

Para hallar el ángulo C aplicamos la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º:

Sabiendo el ángulo que se forman en el punto de Medellín (C=83,5º), para saber cuánto mide c utilizaremos el teorema del coseno para calcularlo.

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Y se obtiene que el lado c=605,04 km. Para terminar tenemos que la distancia entre Mocoa - Tunja es de 605.04 km, y los ángulos de los puntos Mocoa es 24,24º y Medellin es 83,5º.

Ejercicio 4. El interrogante es "hallar los ángulos de este triángulo Bogotá – Caracas – San José" de acuerdo a la gráfica.

Entonces identificamos los puntos donde están las ciudades, así: A=Bogotá

B=Caracas

C=San José

15 a=1880 km

b=1280 km

c=1020 km

Al analizar la imagen y delimitar el triángulo ABC, se puede definir que es viable usar el teorema del coseno, que comprende las siguientes formulas, así:

De acuerdo a este procedimiento hemos obtenido el valor de los ángulos del triángulo formado Bogotá – Caracas – San José: A=109.12°, B=40.03°, C=30.83.

16 Capítulo 3 Análisis del Foro.

Desde el del foro del trabajo colaborativo hubo varias de las opiniones, participaciones y procesos individuales que cada uno de nosotros compartió de acuerdo a la consulta de los Teoremas objetos de investigación, de acuerdo a las consultas que cada uno de los integrantes del grupo iba aportando, los demás integrantes encaminaban sus dudas y/o corrigiendo algunos temas si esto era necesario sin entrar en controversia. Con ejemplos e intervención analizamos las operaciones que se procedían a realizar de acuerdo a los Teoremas, para la solución de los ejercicios inicialmente se trabajó de manera individual, teniendo en cuenta que quien lo desarrollo con mayor agilidad lo cargo para guía o corrección de los demás participantes. A partir del segundo ejercicio ya teníamos una un punto de partida que fue el procedimiento que se realizó para probar la primera actividad con el análisis que se hizo sin dar valores, lo único que cambiaba era que se tenía que aplicar los valores dados para cada ejercicio.

17 Capítulo 4 Conclusiones. 

Este trabajo fue de gran satisfacción, porque los Dos teoremas “seno y coseno”, teniendo en cuenta que la ley de los senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos que podemos idear en nuestro diario vivir y que pueden ser complicadas cuando se necesitan hallar.



Este trabajo es nuestra experiencia grupal y evidencia lo enriquecedor que puede llegar a ser desarrollar actividades en esta modalidad; nos permite ver, que a pesar de estar separados por grandes distancias, es posible intercambiar ideas y posturas similares o contrarias pero al final constructivas para todo el grupo de trabajo.

18 Lista de referencias

Colegio24hs. Trigonometría, Colegio24hs, 2004. ProQuest Ebook Central, https://ebookcentral-proquestcom.loginbiblio.poligran.edu.co/lib/bibliopoligransp/detail.action?docID=3157365. https//sites.google.com/site/timesolar/teoremapitagoras/leycoseno www.ditutor.com/trigonometria/ley0seno.html https://es.slideshare.net/frinconr/teorema-del-seno-y-el-coseno https://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_2.html https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/law-of-cosines (Enlaces a un sitio externo.) https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cateto/amp/