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11/6/2019

Problemas de electrostática en el vacío

Problemas de electrostática en el vacío De Laplace

Contenido 1 Modelo semiclásico del átomo de Bohr 2 Electroscopio de dos hilos 3 Tres cargas en un triángulo equilátero 4 Cuatro cargas en un rectángulo 5 Tres cargas en un anillo 6 Fuerza entre dos varillas colineales 7 Campo eléctrico de un segmento cargado 8 Fuerza entre dos hilos cargados 9 Campo eléctrico entre dos varillas 10 Una varilla y una carga 11 Campo en el eje de un anillo 12 Campo de dos anillos coaxiales 13 Campo debido a dos planos paralelos 14 Campo debido a una super cie esférica cargada 15 Campo de una distribución cilíndrica 16 Campo debido a una esfera cargada uniformemente 17 Modelo de molécula de hidrógeno 18 Una esfera conductora rellena 19 Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme 20 Flujo del campo eléctrico de una carga 21 Campo eléctrico de una esfera horadada 22 Campo de un anillo no uniforme 23 Potencial de dos cargas puntuales 24 Flujo del campo eléctrico a través de una super cie abierta 25 Potencial eléctrico de un segmento cargado 26 Diferencia de potencial entre dos discos 27 Potencial en el centro de una esfera 28 Potencial de una línea de carga 29 Energía de tres cargas en un triángulo 30 Trabajo para reunir cuatro cargas 31 Trabajo para cuatro cargas en un cuadrado 32 Carga, potencial y energía de un campo dado 33 Campo eléctrico con simetría cilíndrica 34 Campo y carga de un potencial conocido 35 Modelo de campo atómico 36 Energía de esferas concéntricas 37 Energía de una esfera cargada 38 Fuerza entre un anillo y un dipolo laplace.us.es/wiki/index.php?title=Problemas_de_electrostática_en_el_vacío&printable=yes

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Problemas de electrostática en el vacío

39 Interacción entre dos dipolos eléctricos 40 Cálculo de momentos multipolares 41 Potencial y campo en el centro de una semicorona esférica 42 Sistema electrostático de tres cargas puntuales

1

Modelo semiclásico del átomo de Bohr

Supongamos un protón y un electrón situados a una distancia de un radio de Bohr 1. Calcule la fuerza eléctrica entre las dos partículas. 2. Halle la fuerza gravitatoria entre ellas. 3. Calcule el cociente entre las fuerza eléctrica y la gravitatoria. 4. Suponga que en lugar a una distancia de un radio de Bohr el protón se encuentra en el centro de la Tierra y el electrón en el centro de la Luna (a 384000 km), ¿cómo cambian las fuerzas eléctrica y gravitatoria? ¿Y el cociente entre ellas? De acuerdo con este resultado, ¿cómo se explica que la fuerza dominante en el sistema Tierra-Luna sea la gravedad?

2

Electroscopio de dos hilos

Un electroscopio mide la carga por la desviación angular de dos esferas idénticas conductoras, suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masa m y está sometida a la gravedad . Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entre sí. Halle la ecuación que liga el semiángulo θ con el valor de la carga total Q depositada en las esferas. Suponga que la masa de cada esfera es y la longitud del cable del que penden es 20 cm. Admita asimismo que los ángulos de desviación pueden medirse como mucho con una precisión de 1°. ¿Cuál es la carga mínima que puede medirse con este aparato? ¿Y la carga máxima?

3

Tres cargas en un triángulo equilátero

Tres cargas q1, q2 y q3, se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a = 1cm. Determine la fuerza sobre cada carga cuando: 1. 2. 3. 4.

4

. . , ,

. .

Cuatro cargas en un rectángulo

Una carga puntual ,

se encuentra situada en el origen de coordenadas. En se halla una segunda carga q2. En , se encuentra

una tercera carga q3. Calcule el valor que deben tener q2 y q3 si, ocupando las´posiciones indicadas, se desea que sea nula la fuerza sobre una carga

situada en

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,

, z = 0. 2/12

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Tres cargas en un anillo

Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en un anillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determine la ecuación para los ángulos del triángulo que forman las tres cargas. ¿Cuál es la solución para los casos , y ?

6

Fuerza entre dos varillas colineales

Calcule la fuerza entre dos varillas colineales, de longitudes L1 y L2, que almacenan respectivamente cargas Q1 y Q2, cuando sus extremos más próximos distan una cantidad a.

7

Campo eléctrico de un segmento cargado

Sea un segmento rectilíneo de longitud L, sobre el cual existe una densidad de carga uniforme λ. Halle el campo eléctrico que produce en un punto arbitrario del espacio ¿A qué se reduce el campo en el plano central del segmento? Calcule el límite del campo del segmento para .

8

Fuerza entre dos hilos cargados

Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo eléctrico similar al producido por dos líneas in nitas con densidad de carga λ y − λ, situadas a una distancia D una de la otra. Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud h del otro hilo.

9

Campo eléctrico entre dos varillas

Dos varillas rectilíneas de longitud L están situadas paralelamente a una distancia D. Las varillas poseen cargas distribuidas uniformemente. 1. Halle aproximadamente el campo eléctrico en un punto P equidistante de ambas varillas, para el caso . 2. Calcule, también de forma aproximada, el valor del campo en el mismo punto P, para el caso . 3. Calcule el valor exacto del campo eléctrico en dicho punto P, para un valor arbitrario de D. laplace.us.es/wiki/index.php?title=Problemas_de_electrostática_en_el_vacío&printable=yes

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4. Compare los valores exactos y aproximados para el caso , ,y 1. 2.

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Una varilla y una carga

Una carga eléctrica Q está uniformemente distribuida a lo largo de un segmento rectilíneo de longitud 2a. A una distancia a del punto medio de dicho segmento y en dirección perpendicular a éste, se halla una carga puntual − Q. 1. Calcule el ujo del campo eléctrico a través de una super cie esférica de radio a / 2 centrada en el punto medio del segmento cargado (punto O). 2. Obtenga la fuerza que actúa sobre la carga puntual. 3. Calcule los momentos monopolar y dipolar de la distribución de carga descrita. Proponga expresiones aproximadas para el potencial y el campo eléctrico en puntos su cientemente alejados de la distribución. 4. ¿Qué trabajo habría que realizar para mover la carga puntual entre los puntos A al B? (ver gura)

11

Campo en el eje de un anillo

Halle el campo eléctrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay una densidad de carga uniforme λ. A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2 (R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0, en los puntos de su eje. ¿A que se reduce si proximidades de z = 0.

12

? ¿Y si

? Considere en particular el comportamiento en las

Campo de dos anillos coaxiales

Dos anillos iguales de radio R y grosor despreciable están cargados eléctricamente con sendas distribuciones lineales y uniformes + λ0 y − λ0. Los anillos se encuentran en planos paralelos separados una distancia R, pero con sus centros situados sobre el mismo eje. Tómese este eje como Z, y como origen de coordenadas O el punto medio entre los anillos. 1. Obtenga la expresión del potencial electrostático creado por estas distribuciones en los puntos del eje Z. Calcule el valor del potencial en un punto arbitrario del plano XY. laplace.us.es/wiki/index.php?title=Problemas_de_electrostática_en_el_vacío&printable=yes

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2. Obtenga la expresión del campo eléctrico para los puntos del eje Z. ¿Cuánto vale la fuerza que actúa sobre una carga puntual q situada en O? ¿Qué trabajo se ha realizado para traer esta carga desde el in nito hasta este punto? 3. Suponga que, en lugar de la carga puntual, se sitúa un dipolo eléctrico de momento dipolar , en el centro del anillo de carga positiva. Obtenga la expresión de la energía potencial del dipolo y la fuerza que actúa sobre él. 4. Obtenga los momentos monopolar y dipolar del sistema de dos anillos y proporcione expresiones aproximadas para el potencial eléctrico y el campo eléctrico en puntos alejados del sistema

13

Campo debido a dos planos paralelos

Un condensador de placas planas puede aproximarse por dos dos planos paralelos, separados una distancia a. Uno de ellos, situado en z = − a / 2 posee una distribución de carga uniforme σ0, mientras que la del otro, situado en z = a / 2 es − σ0. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

14

Campo debido a una superficie esférica cargada

Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su super cie. Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio 1. Aplicando las leyes de la electrostática 2. Por integración directa

15

Campo de una distribución cilíndrica

Un cilindro de radio a y longitud inde nida, mucho mayor que el radio, está relleno de sendas distribuciones de carga eléctrica de signo opuesto y densidades volumétricas constantes ρ0 y − ρ0, según se muestra en la gura. Además, en la super cie de separación entre ambas distribuciones, ρ = a / 2, existe una distribución super cial uniforme de carga. 1. Calcule el valor de dicha densidad super cial de carga si el campo eléctrico es nulo en los puntos exteriores al cilindro 2. Obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio laplace.us.es/wiki/index.php?title=Problemas_de_electrostática_en_el_vacío&printable=yes

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3. Calcule la diferencia de potencial entre el centro de la distribución y la super cie exterior. 4. Halle la densidad de energía electrostática en cualquier punto del espacio, así como la energía almacenada entre dos planos z = 0 y z = h.

16

Campo debido a una esfera cargada uniformemente

Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen. 1. Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio. 2. Halle la fuerza que experimenta un dipolo situado en el interior de esta nube de carga.

17

Modelo de molécula de hidrógeno

Un modelo simple de la molécula de hidrógeno es el siguiente: tenemos dos cargas puntuales (los núcleos) de valor + e inmersas en una nube esférica de radio a, con carga − 2e distribuida uniformemente. 1. Determine la posición de equilibrio entre las dos cargas puntuales, suponiendo que se encuentran situadas simétricamente respecto al centro de la nube. 2. Calcule el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos del espacio en la situación anterior. 3. Suponga que las dos cargas positivas se desplazan una cantidad c = a / 4 a lo largo de la recta que las une, manteniendo la distancia entre ellas. En este caso, ¿qué campo se ve en el exterior de la molécula? ¿cuáles son los dos primeros momentos del desarrollo multipolar del potencial eléctrico? 4. Calcule el trabajo necesario para realizar el desplazamiento del apartado anterior.

18

Una esfera conductora rellena

Una super cie esférica conductora de radio R, puesta a tierra, contiene en su interior una distribución de carga no uniforme, cuya densidad de carga es de la forma

1. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. 2. Calcule el valor de la carga almacenada en la esfera conductora. 3. Halle el potencial eléctrico en el centro de la esfera. 1. A partir del campo eléctrico. 2. Por integración directa a partir de las densidades de carga. 4. Halle la energía electrostática almacenada en el sistema.

19

Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme

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Problemas de electrostática en el vacío

El interior de un tubo cilínndrico de radio a y longitud inde nida está ocupado por un gas que presenta una distribución volumétrica de carga eléctrica, ρq, que varía con la distancia ρ al eje del tubo, según la ley

Inicialmente, no hay más cargas en el sistema. 1. Determine la cantidad de carga contenida en una porción del tubo de longitud h, así como la expresión del campo eléctrico en todos los puntos del espacio. 2. ¿Qué distribución super cial de carga debe añadirse en la super cie del tubo para que el campo eléctrico exterior sea nulo? Para ese caso, determine el potencial electrostático en todos los puntos del espacio. 3. Supóngase que en el punto se encuentra una molécula de agua con momento dipolar . ¿Cómo es la fuerza que el gas ejerce sobre ella? ¿A qué se reduce la fuerza si b = 0?

20

Flujo del campo eléctrico de una carga

Halle el ujo del campo eléctrico debido a una carga puntual q a través de un disco cuyo eje pasa por el punto donde se encuentra la carga. El disco tiene radio R y la distancia de la carga al plano del disco es h. 1. Utilizando coordenadas cilíndricas 2. Usando coordenadas esféricas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra super cie que abarque el mismo ángulo sólido).

21

Campo eléctrico de una esfera horadada En un volumen en forma de esfera (de radio 3R) en la que se han hecho dos huecos (también esféricos, uno de radio 2R y otro de radio R) se distribuye uniformemente una carga Q. 1. Calcule el campo eléctrico en el punto P, de tangencia de los dos huecos. 2. Halle el potencial eléctrico en el mismo punto P. 3. Calcule los dos primeros momentos multipolares del sistema, tomando como origen de coordenadas el centro de la esfera grande.

22

Campo de un anillo no uniforme

En el plano XY se encuentra una distribución de carga lineal, formando un anillo, de radio R y con una distribución de carga no uniforme dada, en coordenadas cilíndricas, por      1. Halle el potencial eléctrico producido por el anillo en los puntos del eje Z. 2. Calcule el campo eléctrico producido por el anillo en el mismo eje. laplace.us.es/wiki/index.php?title=Problemas_de_electrostática_en_el_vacío&printable=yes

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3. Demuestre que, para puntos alejados, su campo se comporta como el de un dipolo, ¿cuál sería el valor y la orientación de dicho dipolo?

23

Potencial de dos cargas puntuales

Halle el potencial creado por dos cargas q1, − q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demuestre que la super cie equipotencial V = 0 es una esfera.

24 Flujo del campo eléctrico a través de una superficie abierta Se tienen dos cargas puntuales de valor q situadas en los puntos campo eléctrico a través de un triángulo con vértices en los puntos

25

,

. Halle el ujo del y .

Potencial eléctrico de un segmento cargado

Sea un segmento rectilíneo de longitud L, sobre el cual existe una densidad de carga uniforme λ. 1. Halle el potencial que produce en un punto cualquiera del espacio. 2. Demuestre que las equipotenciales son elipsoides con focos los extremos del segmento.

26

Diferencia de potencial entre dos discos

Se tienen dos discos plásticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyen de manera uniforme cargas de +1 nC y −1nC respectivamente. Estos discos se disponen paralelamente a una distancia a. Determine 1. El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a = 1mm 2. El valor aproximado del voltaje si a = 1 m. 3. Determine exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de a. Compare el resultado con los dos anteriores. ¿Cuánto es aproximadamente el error cometido en el primer apartado? ¿Y en el segundo?

27

Potencial en el centro de una esfera

Calcule el potencial eléctrico en el centro de una esfera de radio R, cargada con una carga Q0 distribuida… 1. uniformemente en su super cie 2. de forma no uniforme en su super cie, con densidad σs = σ0cosθ. 3. uniformemente en su volumen 4. en su volumen con una densidad ρ = Ar (calcule previamente el valor de la constante A).

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Potencial de una línea de carga

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Determine el potencial eléctrico creado en todos los puntos del espacio por una línea recta in nita, cargada con una densidad uniforme λ0, estando el origen de potencial situado a una distancia a de la línea. ¿Por qué no puede tomarse el in nito como origen de potencial? A partir de este resultado, calcule el potencial creado por dos líneas in nitas de carga, con densidades uniformes + λ0 y − λ0, situadas paralelamente a una distancia 2a, tomando como origen de potencial un punto equidistante de ambas líneas.

29

Energía de tres cargas en un triángulo

Calcule la energía electrostática almacenada en cada una de las cuatro con guraciones del problema de tres cargas en un triángulo equilátero.

30

Trabajo para reunir cuatro cargas

Para la con guración del problema de cuatro cargas en un rectángulo, calcule el trabajo necesario para llevar la carga q4 desde el in nito hasta su posición nal.

31

Trabajo para cuatro cargas en un cuadrado

Cuatro cargas puntuales se sitúan en los vértices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadas en vértices adyacentes, son de valor + q, mientras que las otras dos valen − q. Calcule el trabajo para reunir esta distribución de cargas. Suponga que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vértice opuesto, ¿qué trabajo hay que realizar para esta operación? Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vértice vecino, ¿cuál será en este caso, el trabajo realizado?

32

Carga, potencial y energía de un campo dado

En el espacio vacío se ha detectado un campo electrostático con simetría esférica respecto de un punto jo O, cuya función de campo viene dada por la expresión , con

siendo r la distancia desde O al punto donde se evalúa el campo y E0, a y b$ son constantes conocidas. 1. Determine cómo es la distribución de carga eléctrica que da lugar al campo descrito. 2. Calcule la carga total de dicha distribución. 3. Obtenga el valor del potencial eléctrico en O ( ). 4. ¿Cuánto vale la energía electrostática del sistema? laplace.us.es/wiki/index.php?title=Problemas_de_electrostática_en_el_vacío&printable=yes

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Campo eléctrico con simetría cilíndrica

Un campo eléctrico con simetría cilíndrica está de nido por la siguiente expresión, expresada en coordenadas cilíndricas:

1. Determine las distribuciones de carga que producen este campo eléctrico, así como la carga eléctrica total. 2. Obtenga la expresión del potencial electrostático creado por esas distribuciones. 3. Halle la energía electrostática almacenada entre dos planos z = 0 y z = h.

34

Campo y carga de un potencial conocido

El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuación

con k y V0 constantes. 1. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. 2. Calcule la densidad de carga que crea este campo eléctrico.

35

Modelo de campo atómico

El potencial medio temporal de un átomo de hidrógeno neutro viene dado por

en donde q es la carga electrónica, y α − 1 = a0 / 2. Halle la distribución de carga (continua y discreta) que dará lugar a este potencial e interprete este resultado físicamente.

36

Energía de esferas concéntricas Halle la energía electrostática almacenada en una super cie esférica de radio a, que almacena una carga Q, distribuida uniformemente sobre ella. Calcule la energía electrostática almacenada en un sistema de dos super cies esféricas concéntricas de radios a y b, cargadas, respectivamente con cargas + Q y − Q, distribuidas uniformemente.

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Problemas de electrostática en el vacío

¿Se veri ca el principio de superposición, esto es, es la energía de las dos esferas la suma de las energías de cada esfera por separado?

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Energía de una esfera cargada

Calcule la energía libre electrostática de: 1. Una carga Q distribuida uniformemente sobre la super cie de una esfera de radio R. 2. Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R. 3. ¿Cuál de las dos con guraciones posee una menor energía almacenada? ¿Cómo se interpreta este resultado si se usa la integral de la densidad de energía ? 4. El llamado radio clásico del electrón se obtiene describiendo esta partícula como una pequeña esfera de radio a, cargada uniformemente en su super cie. Suponiendo que la energía electrostática almacenada en el sistema equivale a la masa del electrón de acuerdo con la ley E = mc2, halle el valor numérico del radio que debería tener el electrón. Repita ahora el cálculo para el caso de un protón. ¿Es lógico el resultado que se obtiene?

38

Fuerza entre un anillo y un dipolo

Un anillo circular de radio a, almacena una carga Q distribuida uniformemente. En el centro del anillo se encuentra un dipolo puntual , alineado según el eje de la espira. 1. Determine la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira. 2. Halle la energía que tiene el dipolo por encontrarse en el campo de la espira. 3. Calcule la fuerza que la espira produce sobre el dipolo. ¿Se veri ca la tercera ley de Newton? 4. Calcule el par que la espira ejerce sobre el dipolo.

39

Interacción entre dos dipolos eléctricos

Se tiene un dipolo puntual sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se coloca un segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientación, en el punto . 1. Halle la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este está orientado como . 2. Calcule el valor numérico de esta fuerza si los dos dipolos son moléculas de agua ( ) situadas a una distancia de . 3. Repita el cálculo si .

40

Cálculo de momentos multipolares

Halle los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Describa el campo y el potencial eléctrico a gran distancia de ellas: 1. Dos cargas de valor + q en los puntos 2. Tres cargas positivas + q en los puntos , , y tres negativas − q en , , . 3. Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ0. laplace.us.es/wiki/index.php?title=Problemas_de_electrostática_en_el_vacío&printable=yes

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Problemas de electrostática en el vacío

4. La misma varilla con una distribución de carga λ = kz. 5. Una super cie esférica sobre la cual hay una distribución de carga σs = σ0cosθ. 6. La misma super cie con distribuciones 7. Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0cosθ.

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,

y

Potencial y campo en el centro de una semicorona esférica

Se tiene el sistema de la gura, formado por una semicorona esférica de radios R y 2R, con una densidad volumétrica de carga uniforme ρ0. Se pide 1. Calcular el potencial eléctrico en el punto O. 2. Calcular el trabajo necesario para trasladar una carga q desde el punto A hasta el punto B. 3. Calcular el campo eléctrico en el punto O. 4. Calcular, hasta el segundo orden de aproximación, la expresión aproximada del potencial en puntos alejados del sistema.

42

Sistema electrostático de tres cargas puntuales

Un sistema electrostático está formado por tres cargas eléctricas puntuales. Dos de ellas tienen idéntico valor y se hallan en los puntos P1 y P2, dados por los vectores de posición y , respectivamente. La tercera carga tiene un valor Q y se halla en el punto P3, dado por . 1. Determine, si es posible, el valor que debe tener la carga Q y la posición de un punto del eje OY en el cuál se anulen simultáneamente el potencial y el campo eléctrico creado por el sistema de tres cargas. 2. ¿Cuál es la energía electrostática del sistema descrito en el caso particular ? 3. En la situación particular del apartado anterior, ¿qué trabajo hay que realizar para traer una carga q desde el in nito hasta el punto de posición . ¿Cuánto vale la fuerza electrostática ejercida sobre dicha carga este punto? 4. Determine los momentos monopolar y dipolar de la distribución correspondiente al apartado 2. Halle el potencial exacto y el aproximado por el desarrollo multipolar, para el punto . Calcule el error relativo cometido en la aproximación, según la fórmula

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17/6/2019

Tres cargas en un triángulo equilátero

Tres cargas en un triángulo equilátero De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Planteamiento 3 Cargas iguales y positivas 4 Cargas iguales y negativas 5 Cargas de la misma magnitud y distinto signo 6 Cargas de diferente magnitud y signo

1 Enunciado Tres cargas q1, q2 y q3, se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a = 1cm. Determine la fuerza sobre cada carga cuando: 1. 2. 3. 4.

. . , ,

. .

2 Planteamiento En cada caso, la fuerza sobre cada carga es la suma vectorial de las fuerzas que cada una de las otras cargas producen sobre ella.

A su vez, la fuerza entre dos cargas viene dada por la ley de Coulomb

3 Cargas iguales y positivas En el primer caso, por la simetría del sistema, es evidente que las tres cargas van a estar sometidas a una fuerza de la misma magnitud (aunque de dirección y sentido distinto; esto es, las tres cargas no experimentan la misma fuerza).

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17/6/2019

Tres cargas en un triángulo equilátero

A su vez la fuerza entre cada par de cargas tiene la misma magnitud, ya que las cargas son todas iguales, y también lo son las distancias entre ellas. Llamaremos a esta cantidad F0

Para hallar la resultante sobre una de las cargas (a la que llamaremos “3”) observamos que y se encuentran sobre los lados de un rombo, formando un ángulo de π / 6 con su diagonal, que a su vez va en la dirección de la línea que pasa por el centro del triángulo y por la carga 3. La resultante viene dada por esta diagonal y tiene por módulo

en cuanto a su dirección y sentido, va en la dirección radial desde el centro de la carga. Este razonamiento es válido para cada una de las cargas del triángulo. Las tres fuerzas tienen el mismo módulo y su dirección y sentido son radiales hacia afuera del triángulo. Puede comprobarse que la suma vectorial de las tres fuerzas es nula, tanto geométricamente como analíticamente

4 Cargas iguales y negativas Si las tres cargas en los vértices del triángulo son iguales pero negativas, el resultado es exactamente el mismo que en el apartado anterior. Según la ley de Coulomb, cargas del mismo signo se repelen, siendo indiferente el que sean positivas o negativas. En el numerador de la ley aparece el producto de las cargas y , por lo que la fuerza entre cada par de cargas, y su resultante será la misma que en el apartado anterior.

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Tres cargas en un triángulo equilátero

5 Cargas de la misma magnitud y distinto signo Si tenemos dos cargas de un signo y una de otro, la fuerza será diferente no solo en dirección, sino también en módulo, para las distintas cargas. Supongamos que la carga 3 es la negativa. Es claro que la fuerza que cada una de las cargas positivas produce sobre ella es igual que la que producirían sobre una carga positiva, salvo en su sentido (ahora es atractiva, donde antes era repulsiva). Por tanto, la resultante es la misma que en los dos apartados anteriores, salvo su sentido

Para cada uno de las dos cargas positivas tenemos un nuevo rombo, siendo la resultante ahora en la dirección y sentido de la diagonal menor, y siendo su módulo igual a la fuerza entre un par de cargas

6 Cargas de diferente magnitud y signo En el último caso, la carga negativa tiene valor doble que las positivas. La fuerza sobre la carga negativa 3 se ve duplicada, ya que tanto la fuerza multiplican por dos.

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como

se

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Tres cargas en un triángulo equilátero

Para las cargas positivas, una sencilla construcción, adosando triángulos equiláteros, permite ver que la fuerza sobre cada una de ellas es paralela a la fuerza y de módulo

Por supuesto, los cálculos de todos los apartados se pueden hacer eligiendo un sistema de ejes y empleando componentes, pero como se ve en esta solución, no es necesario. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Tres_cargas_en_un_tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Cuatro cargas en un rectángulo

Cuatro cargas en un rectángulo De Laplace

1 Enunciado Una carga puntual En ,

se encuentra situada en el origen de coordenadas. se halla una segunda carga q2. En ,

se encuentra una tercera carga q3. Calcule el valor que deben tener q2 y q3 si, ocupando las posiciones indicadas, se desea que sea nula la fuerza sobre una carga , z = 0.

situada en

,

2 Solución La fuerza sobre la carga q4 es, de acuerdo con la ley de Coulomb y el principio de superposición

En nuestro caso, midiendo las distancias en milímetros, tenemos que                            La posición relativa de q4 respecto a las otras tres cargas y las distancias correspondientes son De q4 a q1         De q4 a q2         De q4 a q3        

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Cuatro cargas en un rectángulo

Por tanto, la fuerza sobre q4 es, midiendo las cargas en nanoculombios y las distancias en milímetros,

Para que esta fuerza sea nula debe serlo cada una de sus componentes, lo que nos da las ecuaciones          cuya solución es          Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Cuatro_cargas_en_un_rect%C3%A1ngulo" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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17/6/2019

Fuerza entre dos varillas colineales

Fuerza entre dos varillas colineales De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Introducción 3 Campo de la primera varilla 4 Fuerza sobre la segunda varilla 5 El límite de varillas puntuales 6 Fuerza sobre la primera varilla

1 Enunciado Calcule la fuerza entre dos varillas colineales, de longitudes L1 y L2, que almacenan respectivamente cargas Q1 y Q2, cuando sus extremos más próximos distan una cantidad a.

2 Introducción la fuerza sobre una distribución de carga que almacena una carga total Q, no es igual al producto de la carga por el campo

ya que esta expresión solo vale para cargas puntuales. En particular, ¿qué es un extremo de la varilla, en el otro, en su punto medio?

? ¿El campo en

La expresión correcta para la fuerza neta sobre un sistema es, como ocurre generalmente en mecánica, la resultante de las fuerzas aplicadas, esto es, la suma vectorial de las fuerzas aplicadas sobre cada punto de la distribución. Dividiendo una distribución en elementos de volumen, cada uno de los cuales se puede suponer puntual, queda

o la expresión correspondiente para una distribución de carga lineal

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Fuerza entre dos varillas colineales

En nuestro caso debemos hallar la fuerza entre dos varillas. Empleando el campo eléctrico como intermediario, podemos suponer que una de ellas (la varilla ”1“) crea el campo y la otra (la varilla ”2“) lo experimenta. Sea el segmento 1 el de carga Q1. Este segmento posee longitud L1. Por comodidad podemos suponer como eje Z el común a ambas varillas, y situar el origen de coordenadas en el extremo de la varilla 1 más próximo a la varilla 2. Supondremos además que la segunda varilla se encuentra en el semieje z > 0, esto es que z2 > z1 para todos los puntos de las dos varillas.

3 Campo de la primera varilla Necesitamos calcular el campo eléctrico producido por este segmento, que para una distribución lineal es

No necesitamos conocer el campo en todo el espacio, nos basta con hallarlo en los puntos del propio eje Z situados en z > 0, que es donde se encuentra la segunda varilla. Por tanto, podemos hacer         

        

        dl' = dz'

En cuanto a la densidad de carga, si esta es uniforme, es simplemente

Todo esto nos deja la expresión del campo como

Esta integral es inmediata:

4 Fuerza sobre la segunda varilla Una vez que tenemos el campo, podemos calcular la fuerza sobre la segunda varilla. Esta tiene también densidad uniforme

y ocupa las posiciones laplace.us.es/wiki/index.php/Fuerza_entre_dos_varillas_colineales

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Fuerza entre dos varillas colineales

    dl = dz de forma que la fuerza sobre ella es

De nuevo tenemos dos integrales inmediatas, que resultan en sendos logaritmos. Combinado los logaritmos queda nalmente

Nótese cómo no resulta ya que el campo no contiene logaritmos por ningún lado. La fuerza sobre una distribución de carga no coincide con la fuerza sobre una carga puntual.

5 El límite de varillas puntuales La expresión general de la fuerza depende de las cargas, los tamaños y la distancia entre las varillas. Este resultado, para el caso de que la distancia entre varillas sea mucho mayor que sus tamaños respectivos, debe coincidir con la ley de Coulomb, para la fuerza entre cargas puntuales. Podemos hallar el límite del resultado anterior y comprobar si tiende al valor correcto. Esto nos sirve como test de una condición necesaria (pero no su ciente) para que el resultado anterior sea correcto. Desarrollando el numerador y el denominador del logaritmo y dividiendo en ambos por a2 nos queda

Ahora bien, por ser

podemos aplicar la serie de Taylor del logaritmo

y resulta

Si nos quedamos con los primeros términos que no se anulan mutuamente nos queda

que es la expresión de la ley de Coulomb para dos cargas puntuales Q1 y Q2 separadas una distancia a.

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Fuerza entre dos varillas colineales

6 Fuerza sobre la primera varilla La fuerza sobre la varilla 1 la podemos obtener por simple aplicación de la tercera ley de Newton

obsérvese que este resultado no es exactamente el mismo que resulta si cambiamos Q1 por Q2 y L1 por L2 en la expresión de

(si hiciéramos esto saldría con signo positivo). La razón

está en que al orientar los ejes supusimos que el sentido positivo del eje Z era el que iba de la varilla 1 a la 2. Si lo que queremos es hallar la fuerza de la 2 sobre la 1 debemos cambiar Q1 por Q2, L1 por L2 y además

por

. Entonces sí se obtiene el resultado anterior, en

completo acuerdo con la tercera ley de Newton. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Fuerza_entre_dos_varillas_colineales" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Campo eléctrico de un segmento cargado

Campo eléctrico de un segmento cargado De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Campo de un segmento cargado 2.1 Campo en el plano central 2.2 Campo de un hilo in nito

1 Enunciado Sea un segmento rectilíneo de longitud L, sobre el cual existe una densidad de carga uniforme λ. Halle el campo eléctrico que produce en un punto arbitrario del espacio ¿A qué se reduce el campo en el plano central del segmento? Calcule el límite del campo del segmento para .

2 Campo de un segmento cargado Sin pérdida de generalidad, podemos colocar el eje Z sobre el segmento y el origen de coordenadas en su punto medio. La expresión integral para el campo eléctrico debido a una distribución de carga lineal se expresa

En nuestro caso, la posición de las fuentes es     

    

        

por lo que la integral se convierte en

Separando componente a componente laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_eléctrico_de_un_segmento_cargado

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Campo eléctrico de un segmento cargado

Podemos llevar a cabo estas integrales mediante el cambio de variable          Este ángulo posee interpretación geométrica ya que es el que forma la dirección al punto donde está la fuente con la horizontal. La motivación de este cambio de variable es que gracias a la relación

el denominador de las integrales anteriores se transforma en

Con este cambio las integrales quedan

Los senos y cosenos que aparecen en las expresiones anteriores corresponden a los valores límite de α y su relación con las coordenadas cartesianas es                   Agrupando los resultados tenemos la forma vectorial

Si expresamos el campo en coordenadas cilíndricas centradas en el hilo nos queda

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Campo eléctrico de un segmento cargado

que podemos leer como el campo posee una componente en la dirección radial perpendicular al eje del segmento y una componente paralela a él. Esta interpretación nos seguirá valiendo cuando el eje z no esté situado sobre el segmento. Para ello consideraremos un segmento AB y un punto de observación arbitrario P. Trazamos la recta perpendicular a AB por P. Esta recta cortará a la primera en un punto C. La variable ρ será la longitud del segmento PC. El ángulo α1 será el que forma esta perpendicular con el segmento PA y el α2 con el segmento PB. Ambos ángulos serán positivos si la perpendicular queda por detrás del segmento (considerando adelante aquél en que apunta ) y negativos en caso contrario. Si la perpendicular incide sobre el segmento AB, el ángulo α2 será positivo y el α1 negativo. Este cálculo se puede hacer también numéricamente, de la forma que se muestra en este applet del Curso de Electricidad y Magnetismo del M.I.T. El resultado se puede ver en este otro applet.

2.1 Campo en el plano central Si estamos en el plano medio del segmento, tenemos que por simetría      y el campo eléctrico en este plano se reduce a

esto es, posee solo componente radial, perpendicular al segmentol. Es fácil ver por qué ocurre esto. El campo en un punto de este plano, será la suma de las contribuciones de todos los puntos del segmento. Por cada punto del segmento habrá uno simétrico respecto a este plano, de forma que las componentes tangenciales de ambas contribuciones se cancelan y solo quedan las contribuciones radiales. Cómo esto ocurre para todos los puntos del segmento, el campo total será también radial. Esto no será cierto para puntos situados fuera del plano central, porque para ellos no todos los puntos del segmento poseen una pareja situada simétricamente. Para este plano, la expresión del seno de α es sencilla

y nos queda el campo

y, en cartesianas

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Campo eléctrico de un segmento cargado

Como límite particular, que nos sirve como test de que el resultado es razonable, podemos tomar el límite en que , en el cual el segmento se ve de muy lejos, y debe comportarse como una carga puntual. Despreciamos L2 frente a 4ρ2 en la raíz y obtenemos

que es efectivamente el campo de una carga puntual.

2.2 Campo de un hilo infinito Si tenemos un hilo in nitamente largo (que, obviamente, no existe en la realidad, pero sirve para modelar el campo de hilo muy largo como el de un cable de alta tensión si estamos a corta distancia de él), podemos hallar el campo que produce tomando el límite de la expresión anterior. Sea cual sea el punto de observación, , , por lo que

Este resultado puede también obtenerse por aplicación de la ley de Gauss. Lo que nos dice este resultado es que el campo producido por un hilo in nito es radial desde hilo y decae con la distancia como 1 / ρ (esto es, doble distancia, mitad de campo). Si expresamos este campo en coordenadas cartesianas nos queda

Si tenemos un hilo no situado en el eje Z pero paralelamente a él, habrá que realizar la tralación de la expresión anterior. Así, si el hilo se encuentra sobre la vertical que pasa por x = x0, y = y0, la expresión correspondiente para el campo es

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Fuerza entre dos hilos cargados

Fuerza entre dos hilos cargados De Laplace

1 Enunciado Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo eléctrico similar al producido por dos líneas in nitas con densidad de carga λ y − λ, situadas a una distancia D una de la otra. Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud h del otro hilo.

2 Solución Para hallar la fuerza que uno de los hilos produce sobre otro situado paralelamente a él, a una distancia D, situamos los ejes de forma que el hilo que crea el campo (el de densidad de carga + λ) coincide con el eje Z, mientras que el segundo (con densidad − λ) pasa por el punto x = D, y = 0. Aplicando la expresión para el campo creado por un hilo in nito, el campo debido al primer hilo es

y su valor en cada uno de los puntos del segundo hilo es

La fuerza sobre un elemento de carga del segundo hilo es

Esta fuerza diferencial es independiente de la altura z a la que se encuentre el elemento (lo cual es evidente dada la simetría traslacional del sistema. Por tanto, la fuerza sobre un segmento de longitud h del segundo hilo es

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Fuerza entre dos hilos cargados

Esta fuerza va en el sentido de , siendo el vector que va del primer hilo perpendicularmente al segundo. Esto quiere decir que la fuerza es atractiva, como corresponde a dos hilos cargados con signos opuestos. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Fuerza_entre_dos_hilos_cargados" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Campo eléctrico entre dos varillas

Campo eléctrico entre dos varillas De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Caso de dos varillas muy alejadas 3 Caso de dos varillas muy próximas 4 Caso general 5 Comparación con los casos aproximados 5.1 Caso de segmentos muy alejados 5.2 Caso de segmentos muy próximos

1 Enunciado Dos varillas rectilíneas de longitud L están situadas paralelamente a una distancia D. Las varillas poseen cargas distribuidas uniformemente. 1. Halle aproximadamente el campo eléctrico en un punto P equidistante de ambas varillas, para el caso . 2. Calcule, también de forma aproximada, el valor del campo en el mismo punto P, para el caso . 3. Calcule el valor exacto del campo eléctrico en dicho punto P, para un valor arbitrario de D. 4. Compare los valores exactos y aproximados para el caso y 1. 2.

,

,

2 Caso de dos varillas muy alejadas Si la distancia entre las varillas es muy grande, comparada con su tamaño, desde el punto central se apreciará cada una aproximadamente como una carga laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_eléctrico_entre_dos_varillas

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Campo eléctrico entre dos varillas

puntual. La distancia de P a esas cargas puntuales será, también aproximadamente, D / 2. Los campos debidos a cada carga serán iguales en el punto central y ambos irán de la varilla positiva a la negativa (dirección y sentido de . Por tanto, el campo en P vale aproximadamente

Este campo tiende a cero cuando , pero no se trata de hallar su valor límite (nulo), sino de estudiar cómo se comporta para distancias grandes.

3 Caso de dos varillas muy próximas Cuando la distancia entre las varillas es muy corta comparada con su longitud, podemos aproximar cada varilla como una línea in nita de carga, con densidad de carga . El campo creado por una línea in nita de carga situada en el eje z puede calcularse bien por integración directa, bien por aplicación de la ley de Gauss (como en otro problema). En cualquier caso, el campo que produce, en cartesianas, es

Si la varilla no está en el eje z sino en x' = D / 2, y' = 0 el campo es

El campo debido a esta varilla, en el punto P (

) será, sustituyendo

Éste es el campo debido a la varilla cargada positivamente. El de la cargada negativamente se obtiene del mismo modo, considerando carga opuesta y posición en x' = − D / 2. El resultado es exactamente el mismo, por lo que el campo total es el doble del que crea una sola de las varillas

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Campo eléctrico entre dos varillas

Este campo tiende a in nito para , pero de nuevo se trata de estudiar su comportamiento, no de hallar su valor límite.

4 Caso general El cálculo exacto debe hacerse por integración directa, ya que la ley de Gauss no es útil en el caso de una varilla de longitud nita. Para hacer el calculo exacto debemos hallar el campo eléctrico en el plano medio de un hilo cargado uniformemente de longitud L. Podemos calcularlo como caso particular del campo creado por un segmento en un punto arbitrario del espacio. No obstante, dada la simetría del plano central, es más sencillo calcularlo directamente. En este caso tomamos el eje Z coincidente con el hilo y el origen de coordenadas en su centro. El campo en un punto de vector es

Usando coordenadas cilíndricas se tiene     

    

El campo es

siendo α el ángulo indicado en la gura. Obsérvese que en esta integral no hace falta pasar a la base cartesiana porque al provenir de (y no de ) funciona como una constante en la integral. El campo es radial en el plano medio, pues la suma de las componentes en el eje Z se anula. Observando la gura se ve que

Por tanto

Ahora hemos de aplicar este resultado a nuestro problema. Si consideramos el hilo positivo, el campo apunta a lo largo del eje X y en sentido negativo. La distancia del punto medio

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Campo eléctrico entre dos varillas

entre los hilos al centro del hilo es ρ = D / 2. Entonces el campo del hilo positivo es

Para el hilo negativo el campo en ese punto es el mismo, como en los apartados anteriores. El campo total es la suma de los dos

5 Comparación con los casos aproximados 5.1 Caso de segmentos muy alejados Cuando que tenemos

podemos despreciar L frente a D en la expresión exacta, de forma

que es la expresión que obtuvimos a partir de la aproximación de las varillas mediante cargas puntuales. Podemos hacer una estimación del error cometido. Una posibilidad es acudir a la de nición de error relativo

que, sustituyendo y eliminando los factores comunes nos da

(en el último paso, para evitar indeterminaciones se multiplica por el conjugado del numerador). Cuando

este error vale aproximadamente

esto quiere decir que si, por ejemplo L = 2cm y aproximadamente laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_eléctrico_entre_dos_varillas

, el error cometido es

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Campo eléctrico entre dos varillas

una décima de un 1%. Vemos que la aproximación por cargas puntuales da un error muy pequeño y es perfectamente válida. Otra forma de calcular el error es a partir de la serie de Taylor de la raíz. Se tiene que`, por la ´formula del binomio de Newton      lo que en nuestro caso da

con lo que el error relativo es el factor que corrige al 1 en el paréntesis anterior, resultando la expresión que ya conocemos.

5.2 Caso de segmentos muy próximos En el caso contrario, lo que se puede despreciar es D en su suma frente a L en la expresión exacta, de forma que tenemos

que es la expresión que obtuvimos a partir de la aproximación de las varillas por hilos in nitos. La estimación del error relativo cometido es ahora

y para

este error vale

que para el caso L = 2cm y

nos da un error relativo

medio 1%.

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Campo eléctrico entre dos varillas

Obviamente ambos límites dejan de valer cuando una de las distancias deja de ser mucho más pequeña que la otra. Podemos representar grá camente estas dos aproximaciones. Puesto que estamos trabajando con funciones que tienden a 0 o a in nito, es conveniente hacer una grá ca log-log. En la gura se ve el campo eléctrico (escalado adecuadamente) como función del del cociente D / L para valores de esta cociente entre una centésima y 100. Cuando la distancia relativa se multiplica por 100, nos movemos dos décadas hacia la derecha. En este grá ca, los caso en que la distancia es mucho menor que la longitud de las varillas quedan a la izquierda, mientra que si es mucho mayor nos situamos a la derecha. Resulta entonces que, como hemos dicho, para distancias cortas la mejor aproximación es la de dos líneas de carga (cuya grá ca es una línea recta de pendiente -1 en la grá ca log-log). Para grandes distancias, en cambio la mejor aproximación es la de dos cargas puntuales (a la cual corresponde una grá ca de pendiente -2). Ambas aproximaciones fallan cuando (en el centro de la grá ca). Para esos valores habría que usar la expresión exacta. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_el%C3%A9ctrico_entre_dos_varillas" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Una varilla y una carga

Una varilla y una carga De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Flujo del campo eléctrico a través de la super cie esférica 3 Fuerza sobre la carga puntual 4 Desarrollo multipolar 5 Trabajo para mover la carga entre A y B

1 Enunciado Una carga eléctrica Q está uniformemente distribuida a lo largo de un segmento rectilíneo de longitud 2a. A una distancia a del punto medio de dicho segmento y en dirección perpendicular a éste, se halla una carga puntual − Q. 1. Calcule el ujo del campo eléctrico a través de una super cie esférica de radio a / 2 centrada en el punto medio del segmento cargado (punto O). 2. Obtenga la fuerza que actúa sobre la carga puntual. 3. Calcule los momentos monopolar y dipolar de la distribución de carga descrita. Proponga expresiones aproximadas para el potencial y el campo eléctrico en puntos su cientemente alejados de la distribución. 4. ¿Qué trabajo habría que realizar para mover la carga puntual entre los puntos A al B? (ver gura)

2 Flujo del campo eléctrico a través de la superficie esférica Tal como se indica en las guras, adoptaremos un sistema de referencia cartesiano con origen en el centro de la varilla cargada, la cuál va a ser colineal con el eje . Además, consideraremos que la carga puntual se halla en el eje . En este apartado hay que calcular el ujo del campo eléctrico super cie esférica :

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, a través de una

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Una varilla y una carga

Nótese que dicho campo debe ser el creado por toda la distribución de carga descrita; es decir, la carga puntual colocada en el punto P0, dado por el vector ,y la varilla de longitud cargada uniformemente con una cantidad de carga eléctrica, o lo que es lo mismo, con una densidad lineal constante:

La expresión del campo eléctrico de una carga puntual es bien conocida, y el cálculo del campo eléctrico creado por un segmento con densidad lineal de carga constante puede verse en el ejercicio Campo eléctrico de un segmento cargado. Sin embargo no es necesario realizar el cálculo explícito de la anterior integral ya que, en virtud de la Ley de Gauss se tiene que dicho ujo del campo eléctrico a través de una super cie cerrada es proporcional a la cantidiad de carga eléctrica encerrada en su interior. Dada las dimensiones y la posición de respecto del sistema de cargas, se tiene que sólo la mitad de la varilla se halla en el interior de dicha super cie esférica. Como la distribución de carga en la varilla es uniforme, habrá una cantidad de carga dentro de :

          

3 Fuerza sobre la carga puntual La fuerza sobre la carga puntual colocada en el punto es igual al resultado de multiplicar dicha carga por el campo eléctrico creado en dicho punto por la distribución de carga de la varilla:

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Una varilla y una carga

donde es el vector posición correspondiente a un punto arbitrario de la varilla, P'. Se tendrá entonces...

Como ya se ha visto en otros ejercicios relativos a segmentos cargados, para realizar estas dos integrales resulta muy útil el siguiente cambio de variable:             , que llevado a la anterior expresión proporciona el valor de las componentes campo eléctrico creado por la varilla en :

y

del

Es decir, puesto que la carga puntual se halla en un eje de simetría de la distribución lineal, la fuerza que actúa sobre aquélla sólo tiene componente en la dirección :

4 Desarrollo multipolar El momento monopolar del sistema (que llamaremos ) es igual a la suma de todas las cargas puntuales, más la carga total contenida en las distribuciones líneales, super ciales y volumétricas de carga eléctrica que lo constituyen; es decir, es la carga eléctrica total del sistema. En el caso que nos ocupa se tendrá:             Por su parte, el momento dipolar del sistema calculado respecto del origen del sistema de referencia, , es...            

Obsérvese que, como el momento monopolar es nulo, el dipolar no va a depender del punto que se elija como “centro de la distribución”:

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Una varilla y una carga

Esto tiene como consecuencia que en puntos del espacio su cientemente alejados de la distribución de carga, el potencial y el campo eléctrico generado por aquélla son, en primera aproximación, los del dipolo colocado en cualquier punto próximo a dicho distribución. Por tanto, si es un punto que veri ca dicha condición, se tendrá...                      

           

5 Trabajo para mover la carga entre A y B Supongamos una fuerza exterior que actúa sobre a carga , haciendo que ésta se mueva de manera cuasi-estacionaria, es decir, pasando por sucesivos estados de equilibrio y constituyendo un proceso reversible (ideal). Para ello debe veri carse que la fuerza neta que actúa sobre la carga (la exterior más la que ejerce el campo eléctrico creado por la varilla) debe ser nula. En consecuencia, el trabajo in nitesimal realizado por dicha fuerza cuando provoca un desplazamiento diferencial de la partícula, , es:             El trabajo total realizado en el proceso de llevar la carga puntual negativa desde A hasta B, será proporcional a la circulación entre dichos puntos del campo eléctrico creado por la varilla. Y puesto que éste es un campo electrostático y derivará de un potencial electrostático , dicha circulación será independiente del camino e igual a la diferencia de potencial entre los puntos inicial y nal:

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Una varilla y una carga

Obsérvese que de niendo la energía potencial electrostática de la carga puntual negativa en el seno del campo creado por la varilla cargada, como el producto de aquélla por el valor del potencial , se llega al resultado ya conocido de que el trabajo realizado por la fuerza externa al cambiar la posición de la carga, es igual a la variación experimentada por dicha energía potencial:               Si esta variación es positiva, la fuerza externa habrá realizado trabajo; si es negativa, es el campo electrostático de la varilla el que ha realizado el trabajo y la fuerza exterior sólo ha intervenido para que el proceso sea cuasi-estacionario. Por tanto, para responder a este apartado sólo hay que calcular la diferencia de potencial entre los puntos inicial y nal, pero para ello, no va ser necesario calcular el valor del potencial creado por la varilla en cada punto del espacio. Nótese que el punto y el punto se encuentran a igual distancia de sendos puntos simétricos de la varilla, y , en cada uno de los cuales hay la misma cantidad in nitesimal de carga . Como el potencial electrostático es una magnitud escalar cuyo valor en un punto sólo depende de la distancia a cada carga fuente y del valor de ésta, la conclusión es que...             Es decir, no se realiza trabajo neto ya que el potencial electrostático creado por la varilla y, por tanto, la energía potencial de la carga puntual en los puntos y es idéntica. Veamos analíticamente la igualdad del valor del potencial en dichos puntos, dados por los vectores posición y . Aplicando la expresión general del potencial para distribuciones lineales de carga, se tendrá:

           

Y con estas dos integrales de nidas se obtiene el mismo resultado, pues realizando el cambio de variable en cualquiera de ellas, ambas integrales pasan a ser idénticas, con lo que se demuestra la igualdad Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Una_varilla_y_una_carga" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Campo eléctrico en el eje de un anillo

Campo eléctrico en el eje de un anillo De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Campo de un anillo uniforme 3 Campo de una corona 4 Campo de un disco 5 Campo de un plano in nito

1 Enunciado Halle el campo eléctrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay una densidad de carga uniforme λ. A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2 (R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ, en los puntos de su eje. ¿A que se reduce si proximidades de z = 0.

? ¿Y si

? Considere en particular el comportamiento en las

2 Campo de un anillo uniforme La existencia de una distribución uniforme de carga eléctrica en el anillo signi ca que la cantidad de carga eléctrica por unidad de longitud es la misma en todos los puntos del anillo. O lo que es la mismo, que existe una relación constante entre la cantidad de carga contenida en un tramo arbitrario de anillo y la longitud de dicho tramo. De esta forma, si la cantidad total de carga distribuida es Q, y el anillo tiene radio R, la densidad lineal de carga en cualquier punto P' del anillo será:

La expresión general para el campo creado por una distribución lineal de carga es

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Campo eléctrico en el eje de un anillo

Como en este caso se trata de una distribución uniforme y dicha densidad es constante, puede extraerse de la integral. Por otra parte, deseamos calcular el campo eléctrico exclusivamente en los puntos del eje perpendicular al plano que contiene al aro y que pasa por el centro de éste, y que tomaremos como eje Z, de manera que, Por su parte, podemos parametrizar los puntos del anillo como          

y la distancia del punto de medida a la posición de las fuentes, igual para todos los puntos del anillo      El campo nos queda entonces

Las componentes en x e y se anulan al integrar sobre un periodo, de forma que el campo sólo posee componente en la dirección z. Este resultado es previsible a la vista de otros problemas con sistemas simétricos. Para cada punto del anillo existe uno diametralmente opuesto cuyas componentes x e y del campo anulan a las del primero. Esto nos deja sólo con la componente z que además no depende de , y que podemos integrar trivialmente

con Q = 2πRλ la carga total. Este campo posee una dependencia en z como la ilustrada en la gura. Justo en el punto central el campo es nulo. Al aumentar z crece, para luego disminuir a medida que nos alejamos del anillo y de su in uencia. Cuando

el campo tiende a

Según esto, si nos situamos puntos muy alejados del anillo, su tamaño pasa a ser despreciable y lo percibimos simplemente como una carga puntual.

3 Campo de una corona Nuestro siguiente problema es el de una corona circular de radio interior R1 y exterior R2. Podemos considerar esta corona como compuesta de anillos concéntricos, al estilo de aros de cebolla. Cada uno de estos anillos tendrá un cierto radio ρ' y un cierto espesor dρ'. Podemos sumar el campo de los diferentes anillos para obtener el campo de la corona completa. El campo de cada anillo será

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Campo eléctrico en el eje de un anillo

donde la carga dQ es la cantidad de carga, diferencial, contenida en el anillo. La obtenemos sabiendo que la densidad de carga de la corona es uniforme y que el área del anillo equivale a su longitud por su anchura

El campo de la corona será entonces

Este campo es válido para toda corona circular. En la grá ca tenemos el resultado para R2 = 2R1.

4 Campo de un disco Podemos analizar el resultado obtenido para una corona estudiando los distintos límites indicados: Si la corona se convierte en un disco. La expresión del campo se reduce entonces a

donde hay que tener la precaución de tomar sólo la raíz positiva, por ser el denominador una distancia, esto es,

Este campo presenta una discontinuidad en z = 0. Para ello, desarrollamos el campo alrededor de este límite y nos queda

esto es, el campo es igual al producido por un plano in nito. Esto es razonable, ya que a medida que nos acercamos al disco, éste se ve cada vez más grande. Este límite muestra asimismo que un disco de carga, por pequeño que sea, produce una discontinuidad en el campo en sus proximidades. Esto sirve como justi cación de que todo campo sufre una discontinuidad en su componente normal al atravesar una super cie de carga.

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Campo eléctrico en el eje de un anillo

Por otro lado, si en lugar de acercarnos al plano, nos alejamos de él, haciendo z muy grande, el campo se convierte en

esto es, se reduce al de una carga puntual.

5 Campo de un plano infinito Por último, si tomamos simultáneamente los dos límites, el campo se reduce al de un plano in nito

Este campo es independiente de la distancia al plano. Además, puesto que cualquier recta normal al plano puede considerarse el “eje” de este disco in nito, este resultado no solo es válido para los puntos del eje Z, sino para cualquier punto del espacio. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_el%C3%A9ctrico_en_el_eje_de_un_anillo" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Campo de dos anillos coaxiales

Campo de dos anillos coaxiales De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Potencial 2.1 Campo de un solo anillo 2.2 Potencial de los dos anillos 2.3 Potencial en el plano XY 3 Campo eléctrico, fuerza y trabajo 3.1 Campo eléctrico 3.2 Fuerza sobre una carga puntual 3.3 Trabajo para traer la carga 4 Fuerza y energía de un dipolo 4.1 Fuerza sobre el dipolo 4.2 Energía potencial 5 Desarrollo multipolar

1 Enunciado Dos anillos iguales de radio R y grosor despreciable están cargados eléctricamente con sendas distribuciones lineales y uniformes + λ0 y − λ0. Los anillos se encuentran en planos paralelos separados una distancia R, pero con sus centros situados sobre el mismo eje. Tómese este eje como Z, y como origen de coordenadas O el punto medio entre los anillos. 1. Obtenga la expresión del potencial electrostático creado por estas distribuciones en los puntos del eje Z. Calcule el valor del potencial en un punto arbitrario del plano XY. 2. Obtenga la expresión del campo eléctrico para los puntos del eje Z. ¿Cuánto vale la fuerza que actúa sobre una carga puntual q situada en O? ¿Qué trabajo se ha realizado para traer esta carga desde el in nito hasta este punto? 3. Suponga que, en lugar de la carga puntual, se sitúa un dipolo eléctrico de momento dipolar , en el centro del anillo de carga positiva. Obtenga la expresión de la energía potencial del dipolo y la fuerza que actúa sobre él. 4. Obtenga los momentos monopolar y dipolar del sistema de dos anillos y proporcione expresiones aproximadas para el potencial eléctrico y el campo eléctrico en puntos alejados del sistema

2 Potencial laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_de_dos_anillos_coaxiales

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Campo de dos anillos coaxiales

Tanto el potencial eléctrico como el campo de dos anillos pueden calcularse mediante el principio de superposición, hallando en primer lugar el potencial de un solo anillo y posteriormente sumando las dos contribuciones.

2.1 Campo de un solo anillo Consideremos el anillo en z = + R / 2. El potencial que produce en su eje puede hallarse por integración directa, según la expresión

Tenemos que         

        

        

        

         Sustituyendo todo esto queda la integral

2.2 Potencial de los dos anillos El potencial del segundo anillo es análogo al anterior, sin más que cambiar + λ0 por − λ0 y + R / 2 por − R / 2

Sumando las dos contribuciones

2.3 Potencial en el plano XY En los puntos del plano XY, equidistante de los dos anillos, el potencial de cada anillo posee una expresión extremadamente complicada que requiere matemáticas avanzadas. Sin embargo, no se nos pide el potencial de cada anillo por separado, sino del sistema de dos anillos y este es trivial: vale cero. Para verlo, consideremos dos elementos de carga, uno por cada anillo, situados simétricamente respecto al plano XY. Estos dos elementos tendrán cargas iguales y opuestas , . Todos los puntos del plano XY se encuentran a la misma distancia de estos dos elementos, , y por ello, sus contribuciones al potencial total se van a cancelar mutuamente

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Campo de dos anillos coaxiales

Puesto que esto es cierto para cada elemento de carga que tomemos, y para cualquier punto del plano XY, el potencial total en todos los puntos del plano XY es nulo.

3 Campo eléctrico, fuerza y trabajo 3.1 Campo eléctrico El campo eléctrico en el eje se calcula, al igual que el potencial, mediante el principio de superposición. Primero se calcula el campo eléctrico de un solo anillo, como ya se hace en otro problema) y luego se suma el del segundo anillo. Para el caso de un solo anillo, el cálculo es idéntico al del caso de un anillo en el plano XY, simplemente trasladando la posición del centro del anillo. La expresión general para el campo creado por una distribución lineal de carga es

Tenemos que, como antes,              

             

        

Al sustituir e integrar, las componentes x e y del campo se anulan, por la simetría de la distribución, o bien aplicando que la integral en un periodo de y de es nula. Para la componente z tenemos

Sumando ahora la contribución del anillo de carga negativa situada en z = − R / 2 queda el campo total en el eje

3.2 Fuerza sobre una carga puntual Si situamos una carga puntual en el origen de coordenadas, la fuerza sobre esta carga es

Haciendo z = 0 en la expresión del campo

Si la carga es positiva, esta fuerza va hacia abajo, como corresponde a que el campo vaya de las cargas positivas a las negativas. laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_de_dos_anillos_coaxiales

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Campo de dos anillos coaxiales

3.3 Trabajo para traer la carga El trabajo necesario para traer la carga desde el in nito es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial

Este trabajo es nulo pues va de un punto a otro situado al mismo potencial. Podemos verlo de otra forma imaginando que traemos la carga por un camino situado en todo momento en el plano XY. Al moverse en todo instante por una equipotencial no se realiza trabajo sobre la carga: la fuerza es perpendicular a la equipotencial y por tanto al desplazamiento, .

4 Fuerza y energía de un dipolo 4.1 Fuerza sobre el dipolo Un dipolo alineado según el eje Z,

, experimenta una fuerza

En este caso conocemos el campo sólo en los puntos del eje Z y por tanto no sabemos cómo depende de x o y (ya que lo hemos calculado sólo para x = y = 0). Sin embargo, puesto que la fuerza sólo requiere una derivada en z y sí conocemos la dependencia en esta coordenada, podemos hallar esta fuerza derivando la expresión calculada previamente. Eso sí, no podemos sustituir la posición del dipolo z = R / 2 hasta después de haber calculado dicha derivada. Para simpli car las expresiones, primero calcularemos la fuerza cada anillo produce sobre el dipolo y luego sumaremos las dos contribuciones. Derivando

obtenemos

que en z = R / 2 vale

Operando del mismo modo para el anillo de carga negativa

que en z = R / 2 vale

Sumando los dos términos

4.2 Energía potencial laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_de_dos_anillos_coaxiales

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Campo de dos anillos coaxiales

La energía potencial electrostática del dipolo es más sencilla de calcular, ya que solo necesitamos el valor del campo en la posición del dipolo:

5 Desarrollo multipolar Los dos primeros momentos multipolares son la carga y el momento dipolar de la distribución: Carga La carga neta del sistema es nula, ya que la positiva de un anillo se anula con la negativa del otro

Momento dipolar El momento dipolar no es nulo, ya que la distribución de cargas es claramente equivalente, para puntos alejados, a un dipolo que va de las cargas negativas a las positivas

Separando las dos contribuciones y aplicando la expresión de el anillo positivo

que dimos antes, tenemos para

y para el negativo

y el momento dipolar total de la distribución es

Una vez que tenemos estos dos momentos podemos dar la expresión aproximada para el potencial eléctrico

y para el campo eléctrico

donde, para expresar el resultado en esféricas se ha aplicado que          Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_de_dos_anillos_coaxiales" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Campo debido a dos planos paralelos

Campo debido a dos planos paralelos De Laplace

1 Enunciado Un condensador de placas planas puede aproximarse por dos dos planos paralelos, separados una distancia a. Uno de ellos, situado en z = − a / 2 posee una distribución de carga uniforme σ0, mientras que la del otro, situado en z = a / 2 es − σ0. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

2 Solución Este problema puede resolverse por simple superposición de los campos de los planos individuales. El campo debido a un plano cargado uniformenente situado en z = 0 es

Si este plano está en z = − a / 2 simplemente trasladamos la coordenada y ya tenemos el campo del primer plano

Para el segundo plano, cambiamos a por − a y σ0 por − σ0, lo que nos deja laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_debido_a_dos_planos_paralelos

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Campo debido a dos planos paralelos

Para superponer estos campos, dividimos el espacio en tres regiones: Por debajo del plano inferior (z < − a / 2) En esta zona los campos son iguales y opuestos

Por debajo del plano inferior ( − a / 2 < z < a / 2) En esta zona los campos son iguales y en el mismo sentido

Por encima del plano superior (z > a / 2) En esta zona, de nuevo, los campos son iguales y opuestos

Tenemos entonces que dos planos in nitos cargados uniformemente con cargas iguales y opuestas producen un campo uniforme entre los dos planos y nulo en el espacio exterior a los planos. Nótese que no es que un plano impida que el campo del otro llegue al otro lado. Cada campo de cada plano se extiende hasta el in nito. Lo que ocurre es que el campo debido a las cargas de un plano anula el campo de las cargas del otro en el espacio exterior a los planos. El campo total posee una discontinuidad al atravesar cada uno de los planos, como corresponde a la presencia de una densidad de carga super cial. En z = − a /2

y en z = a / 2 laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_debido_a_dos_planos_paralelos

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Campo debido a dos planos paralelos

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Campo debido a una superficie esférica cargada

Campo debido a una superficie esférica cargada De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Aplicando las leyes de la electrostática 3 Por integración directa

1 Enunciado Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su super cie. Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio 1. Aplicando las leyes de la electrostática 2. Por integración directa

2 Aplicando las leyes de la electrostática La forma más sencilla de calcular este campo es aplicando el caracter irrotacional del campo electrostático y la ley de Gauss. El hecho de que el campo electrostático es irrotacional nos permite introducir el potencial eléctrico      El uso del potencial eléctrico nos permite aprovechar de forma sencilla las simetrías de este problema. Por tratarse de una super cie esférica uniformemente cargada, el sistema es invariante ante una rotación alrededor de su centro. Por ello, el potencial eléctrico no puede depender de las coordenadas esféricas θ y          Por tanto, el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia al centro de la esfera

y esto implica que el campo electrostático es un campo central

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Campo debido a una superficie esférica cargada

Una vez establecido que el campo es radial y dependiente exclusivamente de la distancia al centro, podemos utilizar la ley de Gauss para hallar su valor. Supongamos una super cie esférica de radio r, concéntrica con la esfera de carga (pero de radio diferente, r puede tener cualquier valor, mayor o menor que R, el radio de la esfera cargada). De acuerdo con la ley de Gauss

Vamos primero con el segundo miembro. Qint es la carga encerrada por la super cie sobre la que estamos hallando el ujo. Tenemos dos posibilidades: 1. r > R La super cie de integración es exterior a la super cie cargada. En este caso, encierra a toda la distribución y Qint es la carga total de la distribución

1. r < R La super cie de integración es interior a la esfera y no encierra carga alguna, pues toda esta en el exterior de la super cie

Agrupando ambos resultados

Vamos ahora con el primer miembro. Para una super cie esférica tenemos que

por lo que el ujo se reduce a la integral

En esta última integral yta no aparece el campo como vector, que varía de punto a punto de la super cie esférica (pues su dirección cambia de punto a punto), sino solo su componente radial, que sí tiene el mismo valor para todos los puntos de la super cie esférica (por ser un campo central). Por tanto, puede salir de la integral

Hay que insistir, una y otra vez, que para que el campo se pueda extraer del ujo, debe primero transformarse esta integral en una de una cantidad escalar (normalmente el módulo del campo) y que esta cantidad es constante sobre los super cie de integración. Si no, no se puede extraer el campo y el ujo no es igual a .

La ley de Gauss siempre es cierta, pero no siempre es útil Igualando ahora la expresión del ujo a la carga encerrada dividida por laplace.us.es/wiki/index.php?title=Campo_debido_a_una_superficie_esférica_cargada&printable=yes

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Campo debido a una superficie esférica cargada

y la expresión para el campo, en forma vectorial, es

Expresado en palabras: el campo eléctrico creado por una esfera cargada uniformemente es nulo en el interior de la esfera, e igual al de una carga puntual en el exterior de ella. Esta carga puntual valdría el total de la carga de la esfera y estaría situada en el centro de ella.

3 Por integración directa Ahora resolveremos este mismo problema por integración directa, esto es, partiendo de la expresión integral para el campo producido por una distribución de carga super cial

En nuestro caso representa un punto cualquiera del espacio, mientras que puntos de la super cie esférica.

describe a los

La densidad de carga, si ésta está distribuida uniformemente, será

Podemos elegir el sistema de ejes de tal forma que el eje Z coincida con la línea que pasa por el centro de la esfera y el punto de observación , estando el origen de coordenadas en el centro de la esfera. De esta forma      Siendo integrar.

un vector unitario radial, que habrá que pasar a la base cartesiana a la hora de

El vector de posición relativo y su módulo valen      ya que

, por de nición del angulo θ' (el que forma la dirección radial con el eje Z).

El diferencial de super cie, por último, es el correspondiente a una super cie r constante

Al sustituir en la expresión integral para el campo, debemos pasar el integrando a la base cartesiana. El campo tendrá en principio tres componentes: x, y y z. Sin ambargo, vista desde el punto de observación, la esfera cargada puede verse como compuesta de anillos cuyo eje pasa por este punto. Cada uno de los anillos, según se ve en otro problema, produce un campo en su eje que va en la dirección de dicho eje. Por tanto el campo en va a tener sólo componente

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Campo debido a una superficie esférica cargada

en la dirección de tercera:

La integral en entonces

, por lo que no precisamos escribir las tres componentes, sino solo la

nos da un factor 2π, ya que el integrando posee simetría acimutal. Nos queda

Para calcular esta integral en θ', hacemos el cambio de variable     

    

    

y queda

Separando la integral en dos

En el resultado anterior, hay que tener mucho cuidado con que

Tenemos que, puesto que los dos radios son positivos

pero

Por ello distinguimos dos regiones en el resultado: r > R En el exterior de la esfera

que es el campo de una carga puntual. r < R En el interior de la esfera

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Campo debido a una superficie esférica cargada

que es un campo nulo. Queda un último paso antes de escribir la expresión del campo eléctrico. Hemos jado el eje Z en la dirección del punto de observación. Pero, ¿qué ocurre si tenemos dos puntos diferentes en los que queremos hallar el campo y cuyos valores queremos comparara? No puede ser que el eje Z apunte en la dirección de ambos puntos a la vez. La solución es recuperar la interpretación geométrica. En este problema es el unitario que apunta en la dirección y sentido que va del centro de la esfera al punto de observación . Pero ésta no es más que la de nición general de . Por tanto, la expresión del campo para cualquier punto del espacio es

Puede resultar extraño que el campo en el interior de la esfera cargada sea nulo. Es evidente que en el centro de la esfera debe serlo, por simetría. El resultado, no obstante, es más fuerte. El campo es nulo en todos los puntos del interior de la esfera. Parece antiintuitivo que, si uno carga negativa se acerca a la super cie (cargada positivamente) por la parte de dentro, no experimente una fuerza de atracción debida a las cargas de la super cie que están cerca de ella. Esta atracción, por supuesto, existe, pero se ve compensada por la atracción debida al resto de cargas de la super cie esférica, que tiran en sentido opuesto. Ese resto de cargas están más alejadas, pero son mayoría, por lo que nalmente ambos efectos se compensan y la fuerza es nula. Este efecto también es aplicable al campo gravitatorio, pues la ley de Newton es análoga a la ley de Coulomb. Ello quiere decir que, en un planeta hueco, sus habitantes subterráneos no caminarían por la cara interior del planeta, sino que otarían ingrávidos en el interior

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Campo de una distribución cilíndrica

Campo de una distribución cilíndrica De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Densidad super cial de carga 2.2 Campo eléctrico 2.2.1 En el cilindro interior 2.2.2 En la corona cilíndrica 2.2.3 En el exterior del sistema 2.2.4 Expresión completa 2.2.5 Aplicando el principio de superposición 2.3 Diferencia de potencial 2.4 Densidad de energía electrostática

1 Enunciado Un cilindro de radio a y longitud inde nida, mucho mayor que el radio, está relleno de sendas distribuciones de carga eléctrica de signo opuesto y densidades volumétricas constantes ρ0 y − ρ0, según se muestra en la gura. Además, en la super cie de separación entre ambas distribuciones, ρ = a / 2, existe una distribución super cial uniforme de carga. 1. Calcule el valor de dicha densidad super cial de carga si el campo eléctrico es nulo en los puntos exteriores al cilindro 2. Obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio 3. Calcule la diferencia de potencial entre el centro de la distribución y la super cie exterior. 4. Halle la densidad de energía electrostática en cualquier punto del espacio, así como la energía almacenada entre dos planos z = 0 y z = h.

2 Solución 2.1 Densidad superficial de carga laplace.us.es/wiki/index.php?title=Campo_de_una_distribución_cilíndrica&printable=yes

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Campo de una distribución cilíndrica

Si el campo exterior es nulo, al calcular su ujo a través de una super cie cilíndrica de radio ρ y altura h, exterior al cilindro de carga el ujo es nulo. Esto quiere decir, por aplicación de la ley de Gauss, que también lo es la carga encerrada en este cilindro

A su vez la carga encerrada es la suma de la carga de volumen y de la super cial

Como las tres distribuciones son uniformes, la contribución de cada una es igual al integrando multiplicado por el dominio de integración (un cilindro, una super cie cilíndrica y una corona cilíndrica), esto es Cilindro interior

Super cie cilíndrica intermedia

Corona cilíndrica exterior

Sumando las tres contribuciones e imponiendo la anulación        

2.2 Campo eléctrico Una vez que tenemos las densidades de carga podemos hallar el campo eléctrico aplicando la ley de Gauss en forma integral. Por la simetría del sistema podemos considerar que el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia al eje del cilindro y por tanto el campo eléctrico es radial y dependiente de esta misma distancia         Si consideramos una super cie cilíndrica de altura h y radio ρ < a, el ujo del campo eléctrico a través de esta super cie contiene solamente la contribución de la cara lateral, en la cual el módulo del campo es constante

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Campo de una distribución cilíndrica

Este ujo debe ser igual a la carga encerrada dividida por

. Tenemos tres posibilidades

2.2.1 En el cilindro interior Si consideramos ρ < a / 2, la carga encerrada es la contenida en un volumen cilíndrico de radio ρ con densidad uniforme ρ0

Aplicando la ley de Gauss         2.2.2 En la corona cilíndrica Si consideramos a / 2 < ρ < a, tenemos tres contribuciones a la carga encerrada: la de un cilindro de radio a / 2, con densidad + ρ0 la de la super cie cilíndrica de radio a / 2, con densidad σs = ρ0a / 2 la contenida en una corona cilíndrica de radio interior a / 2 y exterior ρ, con densidad − ρ0

Aplicando la ley de Gauss         2.2.3 En el exterior del sistema Si el radio de la super cie de integración ρ > a, la carga encerrada es nula, tal como vimos en el primer aparatdo, por tanto

y también lo es el campo eléctrico

2.2.4 Expresión completa Reuniendo los tres resultados

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Campo de una distribución cilíndrica

Grá camente el campo tiene la forma que se indica en la gura. Es nulo en el origen, como se puede deducir por simetría (las contribuciones de cargas situadas simétricamente se cancela mutuamente) Crece linealmente con la distancia para ρ < a / 2, como en el caso de un solo cilindro homogéneo. Tiene una discontinuidad en ρ = a / 2, como corresponde a la presencia de una densidad de carga super cial. Este salto es

Se anula en ρ = a. En este punto el campo es continuo, pues en la super cie exterior del cilindro no hay ninguna distribución de carga super cial. Es nulo para todo ρ > a, como corresponde a que la carga total sea nula y además su distribución sea simétrica. El campo de las cargas positivas se cancela con el de las negativas. 2.2.5 Aplicando el principio de superposición El campo eléctrico puede también calcularse considerando la distribución como una superposición de distribuciones más elementales cuyo campo es conocido. El campo creado por una super cie cilíndrica de longitud in nita y radio b cargada uniformemente con densidad super cial σs es

esto es, análogamente al caso de una super cie esférica, el campo en el interior es nulo y el exterior equivale al de una carga situada en el centro del cilindro (una línea de carga en este caso).

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Campo de una distribución cilíndrica

Igualmente, el campo eléctrico debido a un cilindro de radio b y longitud in nita, cargado con una densidad uniforme ρ0 produce un campo eléctrico

que, análogamente al caso de la esfera cargada uniformemente en volumen, es lineal con la distancia en el interior y decae en el exterior como el de una línea de carga situada en el centro del cilindro. La distribución de carga de este problema puede describirse como la superposición de tres distribuciones de carga: Un cilindro de radio a y densidad de carga − ρ0, que produce un campo

Una densidad de carga super cial σs = ρ0a / 2 situada sobre un cilindro de radio a / 2, que produce el campo

Un cilindro de radio a / 2 y densidad de carga + 2ρ0 (el 2, para compensar el -1 que hemos introducido con el cilindro de radio a), que produce un campo

Sumando las tres contribuciones

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Campo de una distribución cilíndrica

 

 

2.3 Diferencia de potencial La diferencia de potencial la obtenemos integrando el campo eléctrico a lo largo de un camino radial que vaya desde el eje del cilindro hasta su super cie

Esta integral se compone de dos tramos, uno por el cilindro interior y otro por la corona cilíndrica

Sustituyendo los límites de integración

Esta diferencia de potencial es positiva, como corresponde a que el campo sea radial y hacia afuera en todos los puntos, yendo de las regiones de mayor potencial a las de menor potencial.

2.4 Densidad de energía electrostática A partir del campo eléctrico, la densidad de energía electrostática es inmediata

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Campo de una distribución cilíndrica

La energía total almacenada en una porción del sistema comprendida entre dos secciones planas z = 0 y z = h será la integral de volumen de esta densidad. Esta integral se compone de tres contribuciones que hay que sumar: En el cilindro interior (0 < ρ < a / 2)

En la corona cilíndrica (a / 2 < ρ < a)

En el exterior del cilindro (ρ > a) U3 = 0 La energía total contenida en esta porción del espacio es

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Campo debido a una esfera cargada uniformemente

Campo debido a una esfera cargada uniformemente De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Campo eléctrico 3 Fuerza sobre un dipolo

1 Enunciado Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen. 1. Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio. 2. Halle la fuerza que experimenta un dipolo situado en el interior de esta nube de carga.

2 Campo eléctrico El campo eléctrico se determina de forma simple mediante la aplicación de la ley de Gauss. Dada la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico debido a esta esfera depende exclusivamente de la distancia al centro de ella. Esto implica que el campo eléctrico debido a la esfera es central         Si calculamos el ujo del campo eléctrico a través de una super cie esférica de radio r concéntrica con la esfera de carga obtenemos

Al tratarse de dos vectores paralelos, el integrando se reduce al producto de las dos componentes radiales. Por otro lado, por ser la super cie de integración una esfera (r = cte) y ser el campo central la componente radial del campo es la misma sobre todos los puntos de la super cie y puede extraerse de la integral laplace.us.es/wiki/index.php?title=Campo_debido_a_una_esfera_cargada_uniformemente&printable=yes

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Campo debido a una esfera cargada uniformemente

Nótese que lo que es constante es la componente radial del campo y no el propio campo, cuya dirección varía de un punto a otro de la super cie esférica. Este resultado es general para cualquier sistema con simetría esférica, sea una carga puntual, una super cie cargada o una distribución radial no uniforme. De acuerdo con la ley de Gauss, este ujo es igual a la carga encerrada, dividida por la permitividad del vacío

Dependiendo de si el radio de la super cie de integración es mayor o menor que el de la esfera de carga, tenemos dos casos:

En el exterior de la nube de carga (r > R) En este caso, la super cie de integración contiene a toda la carga del sistema        

       

El campo en el exterior de la esfera es igual al de una carga puntual que concentrara toda la carga del sistema y estuviera situada en el centro de ésta.

         En el interior de la nube (r < R) En este caso la super cie de integración no contiene a toda la carga del sistema, sino solo a la porción que quepa dentro de ella. Puesto que la densidad de carga es uniforme, esta carga encerrada es igual a la densidad de carga multiplicada por el volumen de esta esfera:

A su vez, la densidad de carga es igual a la carga total dividida por el volumen total

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Campo debido a una esfera cargada uniformemente

        lo que nos da el campo eléctrico         Atendiendo a la dependencia radial, vemos que el campo en el interior aumenta radialmente desde cero en el centro de la esfera hasta un valor máximo en su super cie. Reuniendo los dos resultados obtenemos, que para una nube esférica de carga con una carga Q distribuida uniformemente el campo es (usando que )

Este campo es continuo en r = R ya que sobre la esfera no hay una densidad super cial de carga.

3 Fuerza sobre un dipolo la fuerza sobre un dipolo en el seno de un campo eléctrico tiene la expresión

En el caso de que el dipolo se encuentre en el interior de la nube de carga, aplicamos esta fórmula a la expresión del campo interior

Tal como se demuestra en un problema de [Algunas_identidades_vectoriales#Primera_identidad_.28.29|fundamentos matemáticos], para cualquier vector y el vector de posición se cumple

por lo que la fuerza sobre el dipolo es

Vemos que resulta una fuerza independiente de la posición del dipolo (siempre que se encuentre en el interior de la nube) y proporcional al momento dipolar. Si la carga de la nube es positiva, la fuerza es el mismo sentido que el momento dipolar; si es negativa, en sentido opuesto.

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Campo debido a una esfera cargada uniformemente

El caso particular en el que el dipolo apunta radialmente es fácil de entender. Supongamos que Q > 0 y que el dipolo apunta radialmente hacia afuera. Entonces la carga positiva del dipolo se encuentra a una mayor distancia del centro de la nube que la carga negativa del dipolo. Puesto que el campo aumenta linealmente con la distancia al centro, esto quiere decir que la fuerza de repulsión sobre la carga positiva es más intensa que la de atracción sobre la negativa. La resultante de las fuerzas sobre el dipolo es entonces de repulsión y apuntará hacia afuera, como el momento dipolar. Análogamente, pero con los signos invertidos, si el dipolo apunta hacia adentro, o la carga de la nube es negativa. Más difícil de ver es el caso en el que el dipolo apunta perpendicularmente a la dirección radial. En este caso las dos cargas que forman el dipolo se encuentran a la misma distancia del centro de la nube, por lo que el módulo de la fuerza que actúa sobre ellas es el mismo para las dos. Sin embargo, se encuentran sobre direcciones radiales diferentes, por lo que la dirección de la fuerza sobre cada una es diferente. Cuando se tiene esto en cuenta y se halla la resultante, resulta una fuerza también perpendicular a la dirección radial, como el momento dipolar. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_debido_a_una_esfera_cargada_uniformemente" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Modelo de molécula de hidrógeno

Modelo de molécula de hidrógeno De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Posición de equilibrio 3 Potencial y campo eléctrico 3.1 Campo eléctrico 3.2 Potencial eléctrico 4 Desplazamiento de las cargas 4.1 Campo exterior 4.2 Primeros momentos 5 Trabajo eléctrico

1 Enunciado Un modelo simple de la molécula de hidrógeno es el siguiente: tenemos dos cargas puntuales (los núcleos) de valor + e inmersas en una nube esférica de radio a, con carga − 2e distribuida uniformemente. 1. Determine la posición de equilibrio entre las dos cargas puntuales, suponiendo que se encuentran situadas simétricamente respecto al centro de la nube. 2. Calcule el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos del espacio en la situación anterior. 3. Suponga que las dos cargas positivas se desplazan una cantidad c = a / 4 a lo largo de la recta que las une, manteniendo la distancia entre ellas. En este caso, ¿qué campo se ve en el exterior de la molécula? ¿cuáles son los dos primeros momentos del desarrollo multipolar del potencial eléctrico? 4. Calcule el trabajo necesario para realizar el desplazamiento del apartado anterior.

2 Posición de equilibrio Las cargas positivas se repelen mutuamente. Sin embargo no se alejan inde nidamente debido a la fuerza debida a la nube negativa, que las empuja hacia el centro y que es más intensa cuanto más se alejan del centro. La condición de equilibrio para una de las cargas positivas es que la fuerza total sobre ella se anule

siendo

el campo de la otra carga puntual y

el de la nube electrónica.

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Modelo de molécula de hidrógeno

Si suponemos uno de los núcleos, de carga + e situado en que el segundo produce en la posición del primero es

y el otro en

, el campo

El campo debido a la nube de carga puede calcularse aplicando la ley de Gauss y el resultado es

En la posición ocupada por el primer núcleo, este campo vale

La condición de equilibrio es entonces

que tiene por solución         Por tanto, la molécula está formada por dos núcleos situados simétricamente a ambos lados del centro de la nube, a una distancia del centro igual a la mitad del radio de la nube.

3 Potencial y campo eléctrico 3.1 Campo eléctrico El campo eléctrico en cualquier punto del espacio será la suma del de las dos cargas puntuales, más el de la nube de carga, que hemos enunciado más arriba. Si distinguimos entre el interior y el exterior de ésta tenemos: Exterior de la molécula Desde fuerza de la molécula, las dos cargas puntuales se ven como tales, mientras que la nube de carga se ve como una tercera carga puntual situada en el centro de la nube, y de magnitud − 2e. El campo total es entonces

Nótese que aunque la molécula es neutra (la nube tiene la misma carga que los dos núcleos juntos y con signo opuesto) el campo exterior no es nulo. Interior de la molécula Dentro de la molécula, las dos cargas puntuales se siguen viendo como puntuales, mientras que la nube de carga produce un campo que varía linealmente con la distancia. El campo total es entonces

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Modelo de molécula de hidrógeno

3.2 Potencial eléctrico Para el potencial eléctrico aplicamos de nuevo el principio de superposición. El potencial total será el de las dos cargas más el de la nube. El potencial de cada carga puntual es          Para el potencial debido a la nube integramos el campo desde el in nito hasta una cierta distancia del centro. Exterior de la nube El campo es en todos los puntos el de una carga puntual, por lo que el potencial también lo es

Interior de la nube Para llegar al interior, la integral se compone de dos tramos, uno desde el in nito hasta el borde de la nube, y otro desde ahí hasta el punto donde queremos hallar el potencial

Combinando ambos resultados:

Sumando ahora este potencial al de los dos núcleos obtenemos el potencial total: Exterior de la molécula Fuera de la molécula, el potencial es el de tres cargas puntuales

Interior de la molécula En el interior de la molécula, el potencial será el de las dos cargas puntuales más el debido a la nube, que varía cuadráticamente con r:

4 Desplazamiento de las cargas 4.1 Campo exterior Tras el desplazamiento de las cargas, en el exterior de la molécula seguimos viendo tres cargas puntuales, sólo que ahora una de ellas está a una distancia a / 2 − a / 4 = a / 4 del centro y la otra a a / laplace.us.es/wiki/index.php?title=Modelo_de_molécula_de_hidrógeno&printable=yes

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Modelo de molécula de hidrógeno

2 + a / 4 = 3a / 4, por lo que el campo exterior es

4.2 Primeros momentos Debemos hallar los momentos monopolar (carga) y dipolar de la molécula, formada por dos cargas puntuales, y la nube esférica. Sin embargo, el que la tercera carga sea en realidad una esfera es irrelevante desde el punto de vista del cálculo de los momentos, ya que el desarrollo multipolar sólo se aplica en puntos alejados de la distribución y para cualquier punto exterior a una esfera de carga uniforme, ésta se ve como una carga puntual situada en su centro. Por ello, para el desarrollo multipolar, el sistema equivale a tres cargas puntuales: Una carga puntual q1 = + e situada en

.

Una carga puntual q2 = + e situada en

.

Una carga puntual q3 = − 2e situada en

.

Así tenemos Momento monopolar Es la carga neta de la distribución

Es nula, como era de esperar para una molécula formada por dos átomos con sus respectivos electrones. Momento dipolar

5 Trabajo eléctrico El trabajo para mover una carga es igual a la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial y nal. En este caso movemos dos cargas, por lo que el método más sistemático para calcular el trabajo sería imaginar un proceso que lleve desde el estado inicial al nal. Este proceso se compone de dos pasos: 1. La carga q1 se lleva de 2. La carga q2 se lleva de

a

. a

.

Ahora bien, dado que las dos cargas se mueven rígidamente (mantienen su distancia relativa), las contribuciones debidas a la otra carga puntual se cancelan mutuamente. La razón es sencilla: en este subsistema de dos cargas puntuales, primero las separamos y luego las volvemos a aproximar a la misma distancia que estaban, con lo que la distancia relativa no cambia y no se realiza trabajo alguno debido a la interacción entre las cargas puntuales. Queda solo el potencial debido a la nube. Sumando las dos contribuciones obtenemos la expresión para el trabajo

Cada uno de estos términos depende solo de la distancia al origen. Sustituyendo

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Modelo de molécula de hidrógeno

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Una esfera conductora rellena de una densidad de carga

Una esfera conductora rellena de una densidad de carga De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Campo eléctrico 2.1 En el exterior de la esfera 2.2 En el interior de la esfera 3 Carga en la esfera conductora 3.1 Por el teorema de Faraday 3.2 A partir de la densidad de carga super cial 4 Potencial en el centro de la esfera 4.1 A partir del campo eléctrico 4.2 Por integración directa 5 Energía electrostática almacenada

1 Enunciado Una super cie esférica conductora de radio R, puesta a tierra, contiene en su interior una distribución de carga no uniforme, cuya densidad de carga es de la forma

1. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. 2. Calcule el valor de la carga almacenada en la esfera conductora. 3. Halle el potencial eléctrico en el centro de la esfera. 1. A partir del campo eléctrico. 2. Por integración directa a partir de las densidades de carga. 4. Halle la energía electrostática almacenada en el sistema.

2 Campo eléctrico Al haber una super cie conductora a tierra, que funciona como Jaula de Faraday, el problema se desacopla en dos independientes: el exterior de la esfera y el interior de ella.

2.1 En el exterior de la esfera En el exterior del conductor se veri ca la ecuación de Laplace, puesto que no hay carga exterior     (r > R) laplace.us.es/wiki/index.php?title=Una_esfera_conductora_rellena_de_una_densidad_de_carga&printable=yes

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Una esfera conductora rellena de una densidad de carga

con las condiciones          La solución de la ecuación de Laplace en una región cuando el potencial se anula en todos los puntos de la frontera es simplemente         Dicho en términos físicos, la esfera conductora apantalla la densidad de carga interior, con el resultado de que en el exterior no se percibe campo alguno.

2.2 En el interior de la esfera En el interior, dada la simetría rotacional de la distribución de carga, la herramienta natural para calcular el campo es la ley de Gauss en forma integral. Por la simetría del sistema, el campo va a ser radial y con módulo dependiente sólo de la distancia al origen

Por ello, si consideramos el ujo del campo a través de una super cie esférica de radio r concéntrica con la esfera conductora

De acuerdo con la ley de Gauss, este ujo será igual a la carga encerrada en esta super cie esférica, dividida por

La carga encerrada por una esfera de radio r es

Sustituyendo la expresión de ρ(r)

Por tanto el campo eléctrico en el interior de la esfera vale

Reuniendo los dos resultados

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Una esfera conductora rellena de una densidad de carga

Podemos calcular la carga en la super cie esférica conductora de dos formas: por aplicación del teorema de Faraday o integrando la densidad de carga super cial

3.1 Por el teorema de Faraday Es una consecuencia inmediata de la ley de Gauss. Si calculamos el ujo del campo eléctrico a través de una super cie exterior al conductor, tenemos que

Por tanto la carga contenida dentro de esta super cie es nula. Esto quiere decir que la carga almacenada en la super cie conductora es exactamente igual y de signo contrario a la carga total almacenada en el volumen. Esta carga ya la hemos calculado en el apartado anterior. Basta sustituir r por R para obtener la carga total de volumen

3.2 A partir de la densidad de carga superficial El campo eléctrico es discontinuo en la super cie conductora, ya que en el exterior es nulo, mientras que en el interior no lo es. Esto quiere decir que en la esfera existe una densidad de carga super cial, proporcional al salto en el campo eléctrico

Esta densidad de carga es uniforme, por lo que la carga total es simplemente el producto de esta densidad por el área de la esfera

4 Potencial en el centro de la esfera 4.1 A partir del campo eléctrico Una forma de hallar el potencial eléctrico en el centro de la esfera es integrando a lo largo de un camino que va desde el in nito hasta el centro

Considerando un camino radial, tal que el exterior de la esfera y otro por su interior

, esta integral se compone de dos tramos: uno por

4.2 Por integración directa Otra posibilidad es emplear la expresión integral para el potencial eléctrico creado por una distribución de carga

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Una esfera conductora rellena de una densidad de carga

donde hay que recordar que en este caso, además de la distribución de carga de volumen tenemos una carga en la super cie de la esfera conductora. Como sólo deseamos el potencial en el centro de la esfera, . La integral en el volumen es el producto de una integral sobre θ' y (que dan un factor 4π) y una integral radial:

La integral sobre la super cie simplemente produce un factor 4πR2, ya que el integrando no depende ni de θ' ni de

Sumando las dos contribuciones

5 Energía electrostática almacenada La forma más sencilla de calcular la energía electrostática almacenada en el sistema es a partir de la densidad de energía

La integral se extiende a todo el espacio. Sin embargo, dado que el campo exterior es nulo, el cálculo se reduce a una integral en el volumen de la esfera. De nuevo, el integrando depende solo de r, por lo que la integral en las variables angulares da un factor 4π. La integral radial queda

Desarrollando el cuadrado

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Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme

Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Carga y campo eléctrico 2.1 Versión integral de la ley de Gauss 2.2 Versión local de la ley de Gauss 3 Distribución super cial para anular el campo 3.1 Potencial electrostático en la nueva situación 4 Fuerza sobre una molécula de agua

1 Enunciado El interior de un tubo cilíndrico de radio a y longitud inde nida está ocupado por un gas que presenta una distribución volumétrica de carga eléctrica, ρq, que varía con la distancia ρ al eje del tubo, según la ley

Inicialmente, no hay más cargas en el sistema. 1. Determine la cantidad de carga contenida en una porción del tubo de longitud h, así como la expresión del campo eléctrico en todos los puntos del espacio. 2. ¿Qué distribución super cial de carga debe añadirse en la super cie del tubo para que el campo eléctrico exterior sea nulo? Para ese caso, determine el potencial electrostático en todos los puntos del espacio. 3. Supóngase que en el punto P0, dado por el vector posición se encuentra una molécula de agua con momento dipolar ella? ¿A qué se reduce la fuerza si b = 0?

. ¿Cómo es la fuerza que el gas ejerce sobre

2 Carga y campo eléctrico Puesto que la densidad volumétrica de carga sólo depende de la variable ρ (distancia al eje z), la cantidad de carga que hay dentro de una sección de tubo de longitud h se calcula integrado la densidad volumétrica en cualquier elemento de volumen que tenga dicha altura:

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Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme

       

Para calcular el campo eléctrico creado por la distribución podemos utilizar diversos procedimientos. Por ejemplo, aplicar la ley de Gauss integral en un recinto con simetría cilíndrica, o bien, resolver la ecuación diferencial que para cada punto del espacio nos proporciona la versión local de dicha ley de Gauss. En cualquier caso, es esencial determinar las propiedades geométricas del campo eléctrico: como lo distribución de carga es estática, dicho campo va a ser irrotacional y, en consecuencia, derivará de un potencial electrostático . Como la distribución de carga que lo produce tiene una longitud inde nida y sólo depende de la distancia ρ al eje z, el valor de dicho campo escalar en un punto del espacio no será función de las coordenadas cilíndricas y z. En consecuencia, el campo eléctrico sólo tiene componente en la dirección de y ésta sólo depende de la variable ρ:

2.1 Versión integral de la ley de Gauss Consideremos un volumen cilíndrico τ(ρ), coaxial con la distribución de carga, de radio y altura arbitrarias ρ y Δz, respectivamente. Según la ley de Gauss, el ujo del campo eléctrico a través de la super cie cerrada que limita dicho volumen es proporcional a la carga eléctrica encerrada: La super cie cerrada

está formada por los discos Σ1 y Σ2, contenidos en sendos planos

perpendiculares al eje z, y la super cie cilíndrica lateral ΣL(ρ). Sólo a través de esta última el ujo del campo eléctrico será no nulo:

Por otra parte, la cantidad de carga encerrada dentro del volumen τ(ρ), va a depender tanto de su altura Δz, como del radio ρ:

Y exigiendo que se veri que la ley de Gauss, se obtiene la expresión del campo elécgtrico para todos los puntos del espacio:

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Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme

       

Obsérvese que al considerar que sólo la distribución volumétrica de carga es la fuente del campo eléctrico, éste va a presentar continuidad en la super cie cilíndrica ρ = a.

2.2 Versión local de la ley de Gauss La versión local de la ley de Gauss, junto con las propiedades de simetría del campo eléctrico antes determinadas, nos lleva al siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:

Las soluciones generales a estas ecuaciones son:

donde A, B y C son constantes a determinar por las condiciones de contorno. Como el campo eléctrico debe anularse en puntos muy alejados de la distribución (cuando ), se tendrá que B = 0. Por otra parte, la carga eléctrica contenida en un cilindro de radio tiende a ser cero; por tanto, el campo eléctrico también debe anularse cuando y, en consecuencia, C = 0. Finalmente, el valor de A se determina exigiendo la continuidad de la componente normal del campo en ρ = a, ya que en este apartado no se considera la existencia de una distribución super cial de carga eléctrica en dicha super cie, de forma que E(a + ) = E(a − ). Se obtiene, por tanto,

3 Distribución superficial para anular el campo

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Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme

Determinemos ahora qué distribución super cial de carga σq(ρ = a) ha de existir en la super cie cilíndrica Σ:ρ = a para que en el exterior el campo eléctrico sea nulo. El procedimiento más sencillo es utilizar la condición de salto o discontinuidad que va a veri car la componente normal del campo eléctrico en dicha super cie:

La distribución en la super cie Σ:ρ = a no va a afectar al campo en el interior, de manera que, si aquí se mantiene la distribución volumétrica ρq(ρ < a), el campo eléctrico en ρ < a seguirá siendo el mismo que se calculó en el apartado anterior. De esta forma, se tendrá

Obsérvese que la cantidad de carga eléctrica que habrá en la super cie lateral ΔΣ de una porción de tubo de longitud h será:

Es decir, es la opuesta a la que hay distribuida en volumen en el interior de dicha porción de tubo, según se calculó en el apartado anterior. En consecuencia, la carga total que habrá ahora en cada porción de tubo es cero y, en consecuencia, el campo exterior será nulo.

3.1 Potencial electrostático en la nueva situación Como se discutió anteriormente, el campo eléctrico deriva de un potencial electrostático escalar,

Si el campo eléctrico en el exterior del cilindro es nulo, el potencial electrostático no cambia en dicha región del espacio. La expresión en el interior se obtiene por integración:

Para determinar la constante C2 tenemos en cuenta que el potencial debe ser nulo en puntos muy alejados de la distribución de carga: en consecuenia, se tendrá que C2 = 0. El valor de C1 se obtiene exigiendo que el potencial debe ser continuo en la super cie Σ:ρ = a:

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Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme

       

4 Fuerza sobre una molécula de agua En primer lugar, observamos que el campo eléctrico en el punto P0 tiene la misma orientación que el momento dipolar de la molécula:         Es decir, sobre la molécula no va a actuar un par de fuerzas pues su momento dipolar está alineado con el campo eléctrico. Sin embargo, a pesar de que la molécula es eléctricamente neutra, sobre ella sí puede existir una fuerza neta, siempre que el campo eléctrico presente una variación en la dirección de . Para calcular esta magnitud podemos seguir varios procedimientos. Por ejemplo, si saqemos a priori que el momento del dipolo permance siempre constante (en módulo, dirección y sentido), podemos aplicar que la fuerza que actúa sobre el dipolo es opuesta al gradiente de su energía potencial cuando se halla en el campo creado por la distribución de carga:

decir, en la dirección del unitario

Sin embargo, si consideramos que en cada punto donde se encuentre la molécula, esta siempre se va orientar con la dirección del campo eléctrico (es ), puede resultar conveniente la expresión general,

Hay que tener cuidado de realizar primero el proceso de derivación en un punto genérico y después particularizar al punto P0. Consideremos por tanto que nuestra molécula se haya en un punto arbitrario de coordenadas eléctrico:

pero -eso sí-, ya orientada en la dirección del campo

       

Para determinar la fuerza que actúa sobre la partícula en el punto P0 basta sustituir en la anterior expresión las coordenadas cilíndricas correspondientes a dicho punto:         laplace.us.es/wiki/index.php?title=Cilindro_relleno_de_una_densidad_de_carga_no_uniforme&printable=yes

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Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme

Obsérvese que en el caso particular de que el dipolo se encuentre en el eje z (b=0), pero orientado en la dirección del eje x, la molécula está sometida a una fuerza no nula en la dirección de dicho eje:

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Flujo del campo eléctrico de una carga

Flujo del campo eléctrico de una carga De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Introducción 3 En cilíndricas 4 En esféricas

1 Enunciado Halle el ujo del campo eléctrico debido a una carga puntual q a través de un disco cuyo eje pasa por el punto donde se encuentra la carga. El disco tiene radio a y la distancia de la carga al plano del disco es h. 1. Utilizando coordenadas cilíndricas 2. Usando coordenadas esféricas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra super cie que abarque el mismo ángulo sólido).

2 Introducción El ujo del campo eléctrico de una carga puntual (sobre la cual, por comodidad, situamos el origen de coordenadas) es

La integral que aparece en el último miembro no es más que el ángulo sólido, Ω, abarcado por la super cie, vista desde el origen de coordenadas. Por tanto

El problema se reduce, por tanto, a determinar el ángulo sólido con el que el disco se ve desde la carga.

3 En cilíndricas laplace.us.es/wiki/index.php/Flujo_del_campo_eléctrico_de_una_carga

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Flujo del campo eléctrico de una carga

Situamos, según hemos dicho, el origen de coordenadas sobre la carga puntual, y el eje Z como el eje del disco. De esta forma, el disco queda parametrizado como     

        

El vector de posición de los puntos del disco y el vector diferencial de super cie valen         

        

        

Sustituimos en la expresión del ujo

La primera integral produce un factor 2π, mientras que la segunda es casi inmediata

donde

siendo θ0 el ángulo con el que se ve el borde del disco desde el origen de coordenadas.

4 En esféricas El cálculo del ujo a través del disco lo podemos hallar igualmente empleando coordenadas esféricas. Sin embargo, se plantea el problema de cómo se expresa el diferencial de super cie z = h = cte en coordenadas esféricas, pues en este sistema no se trata de una super cie coordenada. Afortunadamente, no necesitamos resolver esa cuestión. Según indicamos, el ujo del campo eléctrico de una carga puntual a través de una super cie cualquiera es

y el ángulo sólido abarcado por una super cie S sólo depende del borde de dicha super cie. Cualquier otra super cie S' apoyada en la misma curva Γ y orientada en el mismo sentido producirá la misma proyección sobre una esfera de radio a centrada en la carga y por tanto abarcará el mismo ángulo sólido. Así pues lo que necesitamos es una super cie sencilla en coordenadas esféricas cuyo borde sea un anillo de radio R situado a una altura h. Esta super cie es un casquete esférico apoyado en dicho anillo. Este casquete se puede parametrizar como laplace.us.es/wiki/index.php/Flujo_del_campo_eléctrico_de_una_carga

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Flujo del campo eléctrico de una carga

        

        

        

        

        

Obsérvese que los límite de variación de la coordenadas esférica θ son 0 (el cenit de la carga) y θ0, de nido anteriormente como el ángulo con el que se ve el borde. Sustituyendo en la expresión del ujo del campo eléctrico

El resultado, naturalmente, coincide con el anterior. Vemos también que el ángulo sólido abarcado por un casquete esférico es Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Flujo_del_campo_el%C3%A9ctrico_de_una_carga" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Campo eléctrico de una esfera horadada

Campo eléctrico de una esfera horadada De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Campo eléctrico en P 2.2 Potencial eléctrico en P 2.3 Momentos multipolares del sistema

1 Enunciado En un volumen en forma de esfera (de radio 3R) en la que se han hecho dos huecos (también esféricos, uno de radio 2R y otro de radio R) se distribuye uniformemente una carga Q. 1. Calcule el campo eléctrico en el punto P, de tangencia de los dos huecos. 2. Halle el potencial eléctrico en el mismo punto P. 3. Calcule los dos primeros momentos multipolares del sistema, tomando como origen de coordenadas el centro de la esfera grande.

2 Solución 2.1 Campo eléctrico en P En este apartado se trata de hallar el campo eléctrico en el punto P, no en todo el espacio. Para ello, aplicaremos el principio de superposición. Nuestra distribución en forma de esfera con dos huecos la podemos considerar como compuesta de una esfera maciza, de radio 3R y densidad de carga ρ0 (cuyo valor calcularemos a continuación), y dos esferas también macizas, de densidad de carga − ρ0 y de radios R y 2R, descentradas respecto a la esfera mayor.

=

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Campo eléctrico de una esfera horadada

Calculamos en primer lugar el valor de ρ0 imponiendo que la carga total del sistema sea Q

Por tanto

El sistema se compone entonces de tres esferas, de cargas totales     

    

estando los centros respectivos en     

    

donde hemos tomado el origen de coordenadas en el centro de la esfera grande y el eje Z el que pasa por los tres centros. Ahora se trata de sumar los campos correspondientes a cada una de las esferas. En cada caso podemos aplicar la expresión para el campo de una esfera de radio a cargada uniformemente con una carga Q:

Físicamente esta fórmula quiere decir que el campo debido a una esfera cargada uniformemente en el volumen equivale al de una carga puntual situada en su centro, para los puntos del exterior, y varía linealmente, para los puntos del interior. Esta expresión presupone que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de la esfera. Si no es así, sino que se encuentra centra en simplemente se traslada, sustituyendo por . En nuestro caso, el punto P se encuentra en el interior de la esfera grande y en la frontera de los dos huecos. Usando el sistema de ejes indicado anteriormente, la posición del punto P es

de forma que el campo debido a la esfera mayor es

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Campo eléctrico de una esfera horadada

Para los dos huecos podemos usar tanto la expresión interior como la exterior, por encontrarse el punto P en la frontera. Para el hueco pequeño, centrado en

Para el hueco grande, centrado en

el campo es

, el campo es

de forma que el campo total en P es

esto es, es nulo, independientemente del valor de ρ0 y de Q. Si se quiere emplear el campo de cargas puntuales para los dos huecos el resultado es, naturalmente, el mismo

siendo

el vector de posición relativo al centro del hueco pequeño. Del mismo modo

resultando un campo total nulo.

2.2 Potencial eléctrico en P El cálculo del potencial eléctrico es en la misma línea que el anterior, aunque requiere un poco de cálculo adicional. De nuevo aplicamos el principio de superposición, sumando el potencial de una esfera maciza con densidad de carga ρ0 y dos esferas, también macizas, de densidad − ρ0. Para el potencial debido a los dos huecos el cálculo es simple: Una esfera cargada uniformemente produce en su exterior el mismo potencial que una carga puntual situada en su centro. Por tanto      Para la esfera grande, debemos calcular el potencial dentro de una esfera maciza. Esto lo podemos hacer integrando la expresión del campo eléctrico

Esta integral se compone de dos tramos, uno desde el in nito hasta la super cie de la esfera y otro desde ahí hasta el punto nal, situado a una distancia R del centro. En cada uno de estos tramos hay que emplear la expresión del campo eléctrico correspondiente.

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Campo eléctrico de una esfera horadada

A esta expresión se puede llegar directamente si se conoce la expresión para el potencial en el interior de una esfera maciza cargada

Sustituyendo Q0 por 4π(3R)3ρ0 / 3, a por 3R y r por R queda nalmente

Sumando las tres contribuciones tenemos el potencial en el punto $P$

Sustituyendo ahora el valor de ρ0 queda nalmente

2.3 Momentos multipolares del sistema Los dos primeros momentos multipolares son la carga total y el momento dipolar total. La carga ya la conocemos. No es otra que Q Q=Q Para el momento dipolar observamos que, desde fuera, el sistema se ve como tres cargas puntuales, una positiva situada en el centro de la esfera grande y sendas cargas negativas situadas en los centros de los huecos.

    ≡    

Por tanto el momento dipolar es

Sustituyendo cada término laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_eléctrico_de_una_esfera_horadada

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Campo eléctrico de una esfera horadada

El potencial en puntos alejados será entonces, aproximadamente

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Campo de un anillo no uniforme

Campo de un anillo no uniforme De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Potencial en el eje 3 Campo en el eje 4 Desarrollo multipolar

1 Enunciado En el plano XY se encuentra una distribución de carga lineal, formando un anillo, de radio R y con una distribución de carga no uniforme dada, en coordenadas cilíndricas, por      1. Halle el potencial eléctrico producido por el anillo en los puntos del eje Z. 2. Calcule el campo eléctrico producido por el anillo en el mismo eje. 3. Demuestre que, para puntos alejados, su campo se comporta como el de un dipolo, ¿cuál sería el valor y la orientación de dicho dipolo?

2 Potencial en el eje El potencial en el eje del anillo puede hallarse por integración directa, según la expresión

Tenemos que laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_de_un_anillo_no_uniforme

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Campo de un anillo no uniforme

        

        

        

        

         Sustituyendo todo esto queda la integral

Obtenemos entonces que el potencial es nulo en todos los puntos del eje. Puede entenderse este resultado observando que, cuando se tienen dos cargas iguales y opuestas, el potencial es nulo en los puntos que equidistan de ambas. En este anillo, cuya densidad de carga es positiva en un lado y negativa en el otro, los puntos diametralmente opuestos poseen cargas de la misma magnitud y signo contrario. Por ello, en el eje, que equidista de dos puntos diametralmente opuestos, las contribuciones al potencial se anulan dos a dos y queda un potencial total nulo.

3 Campo en el eje Calculamos el campo en los puntos del eje también por integración directa, según la ley,

Sustituyendo cada factor, calculado anteriormente, nos queda la integral vectorial

A la hora de calcular esta integral vectorial hay que tener mucho cuidado con los vectores de la base que se empleen. Cuando se usa una base no cartesiana (la de cilíndricas, en este caso), esta base depende de la posición y por tanto debe tenerse en cuenta a la hora de integrar. Por ello, es casi siempre preferible el pasar a la base cartesiana, que posee la ventaja de que es independiente de la posición. En este caso

lo que nos deja la integral como

Separando en las tres componentes, tenemos, para la componente x laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_de_un_anillo_no_uniforme

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Campo de un anillo no uniforme

para la y

y para la z

Reuniendo los tres resultados queda nalmente

En particular en el centro del anillo

Puede parecer extraño el que, siendo el potencial eléctrico nulo en todos los puntos del eje, el campo eléctrico, que es su gradiente, no lo sea. Podemos verlo físicamente de una forma sencilla. El campo eléctrico va de las cargas positivas a las negativas, por ello, debe haber un campo que vaya de las x positivas a las negativas en todos los puntos del eje, en particular en el centro del anillo. Por tanto, el campo no puede ser nulo en el eje. Mátematicamente también se puede explicar de forma simple: un gradiente es un conjunto de tres derivadas y una derivada es un cociente entre dos incrementos. En particular, una derivada parcial respecto a x es el cociente entre lo que varía el potencial entre dos valores próximos de x, y la diferencia entre estos dos valores

pero, en el cálculo del primer apartado, nosotros no hallamos el valor del potencial para dos valores distintos de x, sino para uno solo: el x = 0, que corresponde al eje. Por tanto, no tenemos información su ciente para calcular su derivada respecto a x, que puede ser 0 o no serlo. Lo mismo ocurre con la derivada respecto a y.

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Campo de un anillo no uniforme

Para la derivada respecto a z necesitamos ver cómo varía el potencial con z en los puntos del eje. Eso sí lo sabemos, pues conocemos que el potencial es nulo en todos los puntos del eje, por tanto, lo más que nos permite hallar el primer apartado es que

Resultado que coincide, por supuesto, con el calculado por integración directa.

4 Desarrollo multipolar En puntos del eje alejados del anillo aproximar por

y el campo eléctrico se puede

Este es un campo dipolar. Lo que lo identi ca como tal es el hecho de que decaiga con la distancia como z ( ) al cubo. Si fuera una carga, decaería como z al cuadrado y si fuera un momento superior como z a la cuarta o más rápidamente. Para ver la magnitud y la orientación del dipolo, escribimos la expresión de un campo dipolar

que para

da

Comparando esta expresión con la del campo en puntos alejados obtenemos, para la componente x         para la y         y para la z

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Campo de un anillo no uniforme

        Por tanto, el momento dipolar del anillo es

Este resultado coincide con el que se obtiene hallando directamente el momento dipolar a partir de la integral:

Este momento dipolar va dirigido de las cargas negativas a las positivas, por lo que que era previsible que resultara un dipolo en lla dirección y sentido de Igualmente, mediante el cálculo del momento monopolar, se obtiene que Q = 0. Este ejemplo muestra, no obstante, que del simple conocimiento del campo en los puntos del eje puede hallarse el momento dipolar del anillo. Una vez conocido este valor, puede emplearse para hallar el campo en puntos alejados del anillo, pero no situados en el eje (para los cuales no es posible el cálculo exacto mediante la integral). Sustituyendo en la expresión del campo dipolar, para

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Potencial de dos cargas puntuales

Potencial de dos cargas puntuales De Laplace

1 Enunciado Halle el potencial creado por dos cargas q1, − q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demuestre que la super cie equipotencial V = 0 es una esfera.

2 Solución El potencial creado por estas dos cargas en cualquier punto del espacio es

La equipotencial V=0 vendrá dada por la ecuación

No es evidente que ésta sea la ecuación de una esfera. Para ponerlo de mani esto reescribimos la ecuación como      Supondremos, sin pérdida de generalidad, que γ < 1, esto es, que q2 es la menor en magnitud de las dos cargas. Podemos tomar el origen de coordenadas en la carga q1 y el eje Z el que pasa por las dos cargas, de forma que cartesianas esta ecuación queda

. Expresando el vector de posición en

Elevando al cuadrado y agrupando términos

Esta es ya claramente la ecuación de una esfera. Para identi car su radio y la posición del centro, despejamos y competamos cuadrados laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_de_dos_cargas_puntuales

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Potencial de dos cargas puntuales

De aquí obtenemos el radio y el centro de la esfera          Dado que y , la esfera no está centrada en ninguna de las dos cargas Puesto que , esta esfera envuelve a la menor de las dos cargas, aunque no está centrada en ella. Sólo la equipotencial V = 0 es una esfera. El resto de las equipotenciales tienen formas más complicadas, no esféricas. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_de_dos_cargas_puntuales" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Potencial eléctrico de un segmento cargado

Potencial eléctrico de un segmento cargado De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Potencial eléctrico 2.2 Super cies equipotenciales 2.2.1 Demostración geométrica 2.2.2 Demostración analítica 2.3 Líneas de campo eléctrico

1 Enunciado Sea un segmento rectilíneo de longitud L, sobre el cual existe una densidad de carga uniforme λ. 1. Halle el potencial que produce en un punto cualquiera del espacio. 2. Demuestre que las equipotenciales son elipsoides con focos los extremos del segmento.

2 Solución 2.1 Potencial eléctrico El cálculo del potencial eléctrico debido a un segmento es algo más complicado que el del campo eléctrico, pese a que la integral es aparentemente más simple. Para hallar el potencial por integración directa, debemos resolver la integral

En nuestro caso, empleando los mismos ejes y las mismas variables que para el cálculo del campo eléctrico, nos queda

Empleando de nuevo el cambio de variable          nos queda ahora laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_eléctrico_de_un_segmento_cargado

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Potencial eléctrico de un segmento cargado

Esta integral no es inmediata, pero existen técnicas “mecánicas” para resolverla. Una posibilidad es introducir el nuevo cambio de variable          y la integral se nos transforma en

Esta integral se descompone en dos fracciones y obtenemos nalmente

Una forma alternativa y mucho más directa consiste en emplear funciones hiperbólicas. Si en lugar del cambio de variable de la tangente, empleamos          nos queda, simplemente,

o, en términos de las dimensiones del segmento,

2.2 Superficies equipotenciales Se trata de ver que la fea ecuación,

o, alternativamente

para un V jo, es la de un elipsoide en torno al segmento Antes de hacer el cálculo veamos que este resultado es razonable. Para el caso de una carga puntual tenemos equipotenciales esféricas. Para un segmento obtenido estirando una carga a lo largo de una línea, las super cies equipotenciales, que envuelven a la carga, deberían ser al menos super cies parecidas a elipsoides. La demostración de este resultado es bastante laboriosa. Aquí tenemos dos demostraciones alternativas. Una puramente analítica. La otra, con un mayor signi cado geométrico. laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_eléctrico_de_un_segmento_cargado

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Potencial eléctrico de un segmento cargado

2.2.1 Demostración geométrica Consideremos el triángulo ABP formado por los extremos del segmento (A y B) y el punto de observación P. Supondremos, para simpli car el cálculo, que este punto P se encuentra a una altura intermedia entre los dos extremos (aunque no necesariamente en el plano central). Los lados de este triángulo valen L, r1 y r2, siendo estas dos últimas cantidades las distancias a los extremos inferior y superior, respectivamente. Vamos a demostrar que

esto es, que la suma de las distancias a los extremos es una constante para cada super cie equipotencial. Si demostramos esto, habremos probado que estas super cies son elipsoides con focos en los extremos del segmento. Partiremos de la expresión para el potencial

En términos del triángulo ABP, los ángulos − α1 y α2 son los que forma la altura por P con los lados AP y BP. Estos ángulos pueden relacionarse con los ángulos β1 y β2 que estos lados forman con el segmento AB.          y la ecuación para las equipotenciales se convierte en

Ahora bien, por el teorema del coseno          y de aquí         

        

Sustituyendo esto en la ecuación de las equipotenciales

y ya casi está, pues de aquí podemos despejar r1 + r2. Hallando la exponencial laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_eléctrico_de_un_segmento_cargado

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Potencial eléctrico de un segmento cargado

Multiplicando por

en ambos miembros

esto es

dicho en palabras: la suma de las distancias a los extremos del segmento es constante para cada equipotencial. Por tanto las equipotenciales son elipsoides con focos en los extremos del segmento. Elipsoides y no elipses porque estamos en tres dimensiones y el sistema posee simetrñia de revolución en torno al eje Z. En particular, este tipo de elipsoides que poseen el semieje mayor en la dirección del eje de revolución se denominan elipsoides prolatos (los aplastados como tortas se denominan oblatos). Podemos ver que si convierte en

, como la cotangente hiperbólica tiende a la unidad, esto se

lo cual quiere decir que la equipotencial se reduce al propio segmento. Por contra, si

,

esta distancia crece sin límites, y el elipsoide tiende a una esfera centrada en el segmento (que se ve como un punto desde muy lejos) 2.2.2 Demostración analítica Partimos ahora de la expresión

Comenzamos despejando uno de los arcosenos hiperbólicos          Desarrollando ahora el seno de la diferencia

Despejando ahora la raíz y multiplicando por ρ nos queda laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_eléctrico_de_un_segmento_cargado

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Potencial eléctrico de un segmento cargado

Aplicando las fórmulas del ángulo doble     

    

obtenemos

Elevando al cuadrado y agrupando términos queda nalmente

o, equivalentemente,

que es la ecuación de un elipsoide de revolución prolato. Los semiejes de este elipsoide valen,         

    

La distancia del centro a cada foco es

esto es, todos los elipsoides tienen los focos en los extremos del segmento. Si consideramos

,

y los semiejes tienden a         

y el elipsoide se reduce al propio segmento. Si en cambio V es muy pequeño los semiejes se comportan como          los semiejes tienen el mismo valor y el elipsoide se convierte en una esfera de radio tal que

como corresponde a una carga puntual.

2.3 Líneas de campo eléctrico Una vez que sabemos que las super cies equipotenciales son elipsoides con focos en los extremos del segmento, podemos obtener las líneas de campo de forma inmediata, por las propiedades de las cónicas. laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_eléctrico_de_un_segmento_cargado

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Potencial eléctrico de un segmento cargado

Las líneas de campo son hipérbolas que tienen sus focos en los extremos del segmento. Estas hipérbolas son ortogonales a los elipsoides equipotenciales. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_el%C3%A9ctrico_de_un_segmento_cargado" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Diferencia de potencial entre dos discos

Diferencia de potencial entre dos discos De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Pequeña distancia 3 Gran distancia 4 Distancia arbitraria

1 Enunciado Se tienen dos discos plásticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyen de manera uniforme cargas de +1 nC y −1nC respectivamente. Estos discos se disponen paralelamente a una distancia a. Determine 1. El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a = 1 mm 2. El valor aproximado del voltaje si a = 1 m. 3. Determine exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de a. Compare el resultado con los dos anteriores. ¿Cuánto es aproximadamente el error cometido en el primer apartado? ¿Y en el segundo?

2 Pequeña distancia En el primer caso situamos los discos a una distancia mucho menor que su propio radio, siendo uniforme la distribución de carga sobre ellos. Esta con guración es muy parecida a la de un condensador de placas paralelas, separadas una distancia a, menor que su radio. Como en el caso del condensador, que veremos más adelante, podremos suponer que el campo es uniforme entre los discos. La aproximación que hacemos consiste en suponer que los discos se comportan como planos de extensión in nita. Esto es razonable siempre que no nos alejemos de ellos tanto que podamos apreciar su tamaño real. El campo creado por dos planos in nitos de carga uniforme, con densidades de carga iguales en magnitud, y opuestas en signo, vale

Para hallar la diferencia de potencial entre centros integramos este campo desde el centro de un disco hasta el del otro. También podemos hallar el potencial en cada punto y calcular la diferencia entre los centros. En este caso no podemos suponer el origen de potencial en el in nito, por tratarse de planos in nitamente extensos. En su lugar, situamos el origen de potencial en el centro del sistema, resultando laplace.us.es/wiki/index.php/Diferencia_de_potencial_entre_dos_discos

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Diferencia de potencial entre dos discos

La diferencia de potencial es entonces

(la densidad de carga, por ser uniforme, equivale a la carga total dividida por la super cie). El valor numérico de esta diferencia es

Vemos que el voltaje es relativamente elevado, y para una distancia tan pequeña, probablemente se produciría la llamada ruptura dieléctrica, en la que una chispa salta de una placa a la otra, descargando el sistema.

3 Gran distancia Si la distancia no podemos suponer que se trata de dos discos prácticamente in nitos. Por el contrario, cada uno ve al otro como una carga prácticamente puntual. Al otro, pero no a sí mismo. Para hallar la diferencia de potencial superponemos el efecto de los dos discos, de forma que el potencial en cada punto se escribe

Primero tomaremos el de carga positiva, hallaremos el potencial en un punto muy alejado y en su propio centro y calcularemos la diferencia. Sumando el mismo cálculo para el de carga negativa tendremos la diferencia total.

Para el disco inferior resulta

En z = − a / 2 estamos situados en el centro del disco y el potencial en este punto (tomando el origen en el in nito) lo obtenemos a partir de la expresión

que, en nuestro caso         

        

        

Al desplazarnos al punto z = a / 2 ya estamos lo su cientemente lejos del disco para verlo como una carga puntual y el potencial en este punto (tomando de nuevo el origen de potencial en el in nito) es, laplace.us.es/wiki/index.php/Diferencia_de_potencial_entre_dos_discos

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Diferencia de potencial entre dos discos

aproximadamente,

La diferencia de potencial debida al disco de carga positiva vale entonces

Para el disco de carga negativa resulta la misma diferencia de potencial, al cambiar tanto el orden en la resta como el signo de la carga, con lo que

El valor numérico de esta cantidad es         

        

Observemos que, de las dos contribuciones, la primera es mucho más importante y que el resultado es aproximadamente 10 veces el del primer apartado, y no 1000 veces, como podría pensarse ingenuamente al multiplicar la distancia por 1000.

4 Distancia arbitraria Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Diferencia_de_potencial_entre_dos_discos" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Potencial en el centro de una esfera

Potencial en el centro de una esfera De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Esfera cargada uniformemente en la super cie 2.1 Por integración directa 2.2 A partir del campo eléctrico 3 Esfera cargada de forma no uniforme 3.1 Por integración directa 3.2 A partir del campo eléctrico 4 Esfera cargada uniformemente en el volumen 4.1 Por integración directa 4.2 A partir del campo eléctrico 5 Esfera cargada no uniformemente en el volumen

1 Enunciado Calcule el potencial eléctrico en el centro de una esfera de radio R, cargada con una carga Q0 distribuida… 1. uniformemente en su super cie 2. de forma no uniforme en su super cie, con densidad σs = σ0cosθ. 3. uniformemente en su volumen 4. en su volumen con una densidad ρ = Ar (calcule previamente el valor de la constante A).

2 Esfera cargada uniformemente en la superficie En este caso de una carga en el centro de una esfera, la simetría del problema permite hacer el cálculo de forma sencilla tanto por integración directa como a partir del campo eléctrico.

2.1 Por integración directa laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_en_el_centro_de_una_esfera

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Potencial en el centro de una esfera

La expresión integral para el potencial eléctrico debido a una distribución super cial de carga es

En nuestro caso la super cie de integración es la esfera de radio R, en cuyo centro situamos el origen de coordenadas, que es la posición en que queremos hallar el potencial. Por ello     

    

    

Sustituyendo todo esto nos queda

El resultado es un potencial análogo al que crearía una carga puntual situada a una distancia R. La razón es evidente: el centro de la esfera se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la super cie. Por tanto la contribución de cada elemento de super cie al potencial es simplemente la carga en dicho elemento dividida por la distancia, que es siempre la misma, y la constante . El resultado es la carga total dividida por y por R.

2.2 A partir del campo eléctrico Para hallar el potencial a partir del campo eléctrico, primero debemos conocer éste en todos los puntos del espacio, no solo en el origen. Este cálculo se puede hacer por aplicación de la ley de Gauss o por integración directa y el resultado es

esto es, el campo de una carga puntual en el exterior de la esfera, y un campo nulo en el interior de ella. Para hallar el potencial en el centro de la esfera debemos calcular la integral desde el origen de potencial (situado en el in nito) hasta el punto donde queremos hallar el potencial (el origen de coordenadas), esto es

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Potencial en el centro de una esfera

El resultado de esta integral es independiente del camino elegido, pero hay que elegir al menos uno. El más simple es uno rectilíneo radial, de forma que . La integral de camino se compone de dos tramos, uno por el exterior y otro por el interior de la esfera

que es por supuesto el mismo resultado que el obtenido anteriormente. Nótese que es muy importante incluir las dos contribuciones a la integral y no pensar que el potencial en el interior es solo la integral del campo en el interior. Puesto que el camino de integración viene desde el in nito, el exterior también debe contarse. Este método de cálculo del potencial tiene la ventaja de que puede extenderse fácilmente a cualquier punto del espacio, no solo al centro de la esfera, mientras que la integración directa, aunque es factible, implica laboriosos cálculos. Si este cálculo se aplica a otros valores de r el resultado es

ya que para todos los puntos del interior la segunda integral es nula, resultando un potencial uniforme. En los puntos del exterior tenemos la integral del campo de una carga puntual y el resultado es el potencial de una carga puntual.

3 Esfera cargada de forma no uniforme 3.1 Por integración directa Para el caso de una densidad de carga no uniforme, el procedimiento es exactamente el mismo que en el apartado anterior. De nuevo tenemos la misma posición de las cargas y la misma posición del punto donde queremos hallar el potencial. Por ello, volvemos a tener

siendo Q la carga total de la super cie esférica que en este caso es

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Potencial en el centro de una esfera

La carga total es nula, como corresponde a que en esta distribución toda la carga en un hemisferio (el que va de 0 a π / 2) es positiva, mientras que en el otro es igual y de signo contrario. Por tanto el potencial en el centro de la esfera es nulo.

3.2 A partir del campo eléctrico El cálculo del campo eléctrico producido en cualquier punto del espacio por una distribución de carga super cial σs = σ0cosθ es un problema fácil de resolver por el método de separación de variables o por otros métodos alternativos. Sin embargo, para calcular el potencial en el centro de la esfera no necesitamos conocer el campo en todos los puntos del espacio. Nos basta con aquellos puntos pertenecientes al camino de integración que hayamos elegido para ir desde el origen de potencial (el in nito) hasta el centro de la esfera. En este caso el camino más adecuado es uno rectilíneo a lo largo del plano ecuatorial de la esfera. La razón es clara atendiendo a la simetría de la distribución. Consideremos primero el caso de dos cargas puntuales iguales y opuestas separadas una distancia (un dipolo). El campo en el plano equidistante de las dos cargas es siempre perpendicular a dicho plano. Por el principio de superposición, siempre que tengamos una distribución de carga simétrica respecto a un plano (como en el caso de la distribución que nos ocupa), el campo en este plano va a ser laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_en_el_centro_de_una_esfera

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Potencial en el centro de una esfera

perpendicular a él. Si tomamos este plano ecuatorial como z = 0, el campo tendrá la expresión Si ahora tomamos como camino de integración uno que vaya a lo largo de este plano (no necesariamente uno rectilíneo), se cumplirá para todos los puntos del camino de integración, que

y por tanto

esto es, el plano ecuatorial es un plano equipotencial cuyo potencial es igual a 0. En particular, se anula el potencial en el centro de la esfera.

4 Esfera cargada uniformemente en el volumen 4.1 Por integración directa La expresión integral para el potencial eléctrico debido a una distribución volumétrica de carga es

En nuestro caso el volumen de integración es la esfera de radio R, en cuyo centro situamos el origen de coordenadas, que es la posición en que queremos hallar el potencial. Por ello     

    

    

Sustituyendo todo esto nos queda

En esta integral hemos abreviado la expresión usando la de nición de ángulo sólido     

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Potencial en el centro de una esfera

Podemos llegar a este valor del potencial de forma más intuitiva empleando el resultado del primer apartado. La esfera maciza puede descomponerse en una serie de capas concéntricas, de radio r' y espesor dr', cada una de las cuales contribuye al potencial como

siendo la carga en cada capa

y el potencial total

4.2 A partir del campo eléctrico Para hallar el potencial a partir del campo eléctrico, debemos conocer éste en todos los puntos del espacio por los que pase el camino de integración, que en este caso será una semirrecta desde el in nito hasta el centro de la esfera. Para estos puntos el campo puede hallarse por aplicación de la Ley de Gauss, siendo su valor

esto es, el campo de una carga puntual en el exterior de la esfera, y un campo que varía linealmente con la distancia, en el interior de ella. Integrando a lo largo de la semirrecta, la integral de camino se compone de dos tramos, uno por el exterior y otro por el interior de la esfera

Si este cálculo se aplica a otros valores de r el resultado es

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Potencial en el centro de una esfera

5 Esfera cargada no uniformemente en el volumen Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Potencial_en_el_centro_de_una_esfera" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Trabajo para cuatro cargas en un cuadrado

Trabajo para cuatro cargas en un cuadrado De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Trabajo para reunir las cuatro cargas 2.1 Proceso de reunión 3 Trabajo para permutar cargas opuestas 4 Trabajo para permutar cargas contiguas

1 Enunciado Cuatro cargas puntuales se sitúan en los vértices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadas en vértices adyacentes, son de valor + q, mientras que las otras dos valen − q. Calcule el trabajo para reunir esta distribución de cargas. Suponga que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vértice opuesto, ¿qué trabajo hay que realizar para esta operación? Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vértice vecino, ¿cuál será en este caso, el trabajo realizado?

2 Trabajo para reunir las cuatro cargas Podemos calcular el trabajo de dos formas equivalentes: hallar el trabajo a partir de un proceso arbitrario que las lleva del in nito a su posición nal, o bien a partir de la variación en la energía almacenada.

2.1 Proceso de reunión Si colocamos las cargas una a una en sus posiciones nales, trayéndolas desde el in nito, los sucesivos trabajos individuales son: Para traer la primera carga positiva, el trabajo es nulo:

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Trabajo para cuatro cargas en un cuadrado

Para traer la segunda carga positiva debemos vencer la repulsión de la primera

La primera carga negativa es atraída por las dos previas, por lo que el trabajo correspondiente es negativo

La cuarta carga es atraída por las dos primeras y repelida por la tercera

Sumando las cuatro contribuciones hallamos el trabajo total

3 Trabajo para permutar cargas opuestas 4 Trabajo para permutar cargas contiguas Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Trabajo_para_cuatro_cargas_en_un_cuadrado" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Carga, potencial y energía de un campo dado

Carga, potencial y energía de un campo dado De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Distribución de carga 2.2 Carga total 2.3 Potencial eléctrico en el origen 2.4 Energía electrostática del sistema

1 Enunciado En el espacio vacío se ha detectado un campo electrostático con simetría esférica respecto de un punto jo O, cuya función de campo viene dada por la expresión , con

siendo r la distancia desde O al punto donde se evalúa el campo y E0, a y b$ son constantes conocidas. 1. Determine cómo es la distribución de carga eléctrica que da lugar al campo descrito. 2. Calcule la carga total de dicha distribución. 3. Obtenga el valor del potencial eléctrico en O ( ). 4. ¿Cuánto vale la energía electrostática del sistema?

2 Solución 2.1 Distribución de carga La expresión del enunciado de ne un campo irrotacional en todos los puntos del espacio, pues al presentar simetría radial se tendrá…

En consecuencia, dicho campo sólo tendrá fuentes escalares que, por tratarse de un campo eléctrico, serán cargas eléctricas. El objetivo de este apartado es determinar cómo están laplace.us.es/wiki/index.php/Carga,_potencial_y_energía_de_un_campo_dado

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Carga, potencial y energía de un campo dado

distribuidas dichas cargas, lo cuál está directamente relacionado con la forma del campo eléctrico. Como se sabe, en los puntos donde la función de campo presente una singularidad (el campo no toma un valor real) es porque hay una carga puntual qi o una distribución lineal de carga . Una discontinuidad o salto en el valor del campo en los puntos de una super cie S indica que en ésta existe una distribución super cial de carga eléctrica tal que…

siendo \mathbf{n} el unitario normal a S que apunta al semiespacio donde se halla P + . Por otra parte, si en una región τ la función que de ne al campo eléctrico es continua y derivable se tendrá que, en general, existe una distribución volumétrica de carga eléctrica que veri ca…

Las expresiones matemáticas que constituyen la función de campo toman valores reales en todos los puntos del espacio en que están de nidas, por tanto no hay ni cargas puntuales ni distribuciones lineales de carga que actúen como fuentes de dicho campo eléctrico. Como para r = a + y r = a − , y para r = b + y r = b − , el campo eléctrico se de ne de forma distinta, cabe la posibilidad de que en las super cies dados por r = a y r = b (super cies esféricas de radios a y b, respectivamente, y centro en O) existan sendas distribuciones super ciales de carga eléctrica. Puesto que tanto r = a como r = b son super cies coordenadas en esféricas para r constante, tendrán como vector normal , por lo que se obtiene… En la super cie r = a no hay carga eléctrica:         En la super cie esférica r = b la componente normal del campo veri ca una discontinuidad (la misma en todos los puntos); por tanto, habrá carga eléctrica distribuida uniformemente:        

Estas super cies esféricas dividen el espacio en tres regiones, en cada una de las cuáles el campo eléctrico es continuo y derivable. Aplicando la ley de Gauss en forma diferencial se obtiene cómo son las distribuciones volumétricas de carga:

       

Es decir, en el interior de la esfera delimitada por la super cie r = a la carga eléctrica se distribuye uniformemente; entre ésta y la super cie r = b la densidad volumétrica de carga eléctrica es inversamente proporcional a la distancia al punto O, y en el exterior de la super cie r = b no hay carga eléctrica. laplace.us.es/wiki/index.php/Carga,_potencial_y_energía_de_un_campo_dado

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Carga, potencial y energía de un campo dado

2.2 Carga total La cantidad total de carga eléctrica puede obtenerse integrando las distribuciones calculadas en el apartado anterior. Sin embargo, existe un procedimiento mucho más simple mediante la ley de Gauss en su forma integral. Puesto que, como se ha comprobado anteriormente, toda la carga eléctrica está dentro de la esfera de radio b y sobre la super cie esférica que la delimita, la carga eléctrica total puede obtenerse a partir del ujo del campo eléctrico a través de cualquier super cie cerrada que contenga a la esfera de radio b y centro O. Dada la simetría esférica del campo, tomaremos una super cie esférica de radio R > b:

       

2.3 Potencial eléctrico en el origen Puesto que el campo eléctrico es irrotacional en todo el espacio, existe un campo escalar llamado potencial electrostático tal que…         En consecuencia,la diferencia entre los valores del potencial en dos puntos cualesquiera del espacio, A y B, se puede calcular como la circulación del campo eléctrico a lo largo del cualquier trayectoria cuyos extremos sean dichos puntos:

Puesto que en el enunciado se proporciona la expresión del campo eléctrico en todo el espacio, la expresión anterior puede utilizarse para calcular el valor del potencial en el centro de la distribución de carga, O, siempre que se conozca el valor de esta magnitud en algún punto. Y como el campo eléctrico decae con la ley del cuadrado de la distancia al punto O o, lo que es lo mismo, como toda la carga está localizada en un entorno próximo de O, se considera que dicha carga eléctrica no va a producir efectos en puntos in nitamente alejados de O; es decir,

Como el camino de integración puede ser elegido arbitrariamente, con la única condición de que vaya desde un punto in nitamente alejado hasta el centro O, tomaremos como elemento de vector posición . Por otra parte, como el campo eléctrico sólo tiene componente radial y presenta diferentes de niciones en función del rango de valores de r, se tendrá…

Un método alternativo para hallar el potencial en el centro de la esfera es mediante la integración directa. El potencial en un punto del espacio es laplace.us.es/wiki/index.php/Carga,_potencial_y_energía_de_un_campo_dado

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Carga, potencial y energía de un campo dado

más términos debidos a distribuciones lineales y puntuales si los hubiera, lo que no es el caso. En este sistema tenemos una densidad de carga de volumen dividida en dos regiones con expresiones, y una densidad super cial en la esfera r = b. Separando las integrales resulta (teniendo en cuenta que

)

donde dΩ' es el diferencial de ángulo sólido

Las integrales angulares dan todas un factor 4π, ya que los integrandos sólo dependen de r, por lo que el cálculo se reduce a hallar las integrales radiales (en la super cial ni siquiera eso)

2.4 Energía electrostática del sistema Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Carga,_potencial_y_energ%C3%ADa_de_un_campo_dado" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Campo eléctrico con simetría cilíndrica

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Campo eléctrico con simetría cilíndrica De Laplace

Contenido [ocultar] 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Distribuciones de carga 2.1.1 Distribución volumétrica 2.1.2 Distribución superficial 2.1.3 Carga total 2.2 Potencial eléctrico 2.3 Energía electrostática 2.3.1 A partir del campo eléctrico 2.3.2 A partir de las cargas y el potencial

1 Enunciado Un campo eléctrico con simetría cilíndrica está definido por la siguiente expresión, expresada en coordenadas cilíndricas:

1. Determine las distribuciones de carga que producen este campo eléctrico, así como la carga eléctrica total. 2. Obtenga la expresión del potencial electrostático creado por esas distribuciones. 3. Halle la energía electrostática almacenada entre dos planos z = 0 y z = h.

2 Solución 2.1 Distribuciones de carga En este sistema podemos tener distribuciones de carga de volumen y de superficie. 2.1.1 Distribución volumétrica La densidad de carga de volumen, ρ, la podemos calcular aplicando la ley de Gauss en forma diferencial laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_eléctrico_con_simetría_cilíndrica

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Campo eléctrico con simetría cilíndrica

Tenemos tres regiones, en cada una de las cuales la densidad tiene una expresión diferente Para 0 < ρ < a, calculamos la divergencia empleando coordenadas cilíndricas

Para a < ρ < b, empleando el mismo procedimiento

Para b < ρ el campo es nulo, y su divergencia, también

2.1.2 Distribución superficial Además de las cargas en el volumen, podemos tener densidades superficiales de carga en las superficies en que el campo sea discontinuo. Esta densidad la da el salto en las componentes normales del campo eléctrico

Tenemos dos posibilidades En ρ = a, el vector normal es

, y la densidad de carga

En ρ = b, operando del mismo modo,

Reuniendo todos los resultados, tenemos las densidades de carga

2.1.3 Carga total La carga total de la distribución es nula, ya que lo es el campo exterior a la distribución. Por aplicación de la ley de Gauss a una superficie exterior al cilindro

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Campo eléctrico con simetría cilíndrica

Podemos obtener también este resultado integrando las densidades de carga calculadas en el apartado anterior (lo que, en esencia, consiste en reobtener el campo que derivamos para hallarlas). Puesto que la longitud de la distribución es infinita, la cantidad de carga almacenada en cada región también lo es. Lo que se anula es la carga neta. Para evitar singularidades, hallaremos la carga por unidad de longitud, considerando la porción de cilindro contenida entre dos planos paralelos z = 0 y z = h. Calculando cada una de las contribuciones En

En ρ = a

En a < ρ < b

En ρ = b

En b < ρ

Sumando las cinco contribuciones

en completo acuerdo con el resultado anterior. De hecho, este segundo método sirve como test para ver que las densidades de carga no fueran calculadas incorrectamente.

2.2 Potencial eléctrico Este segundo apartado es completamente independiente del anterior, ya que no se trata de hallar el potencial eléctrico por integración directa a partir de las densidades de carga obtenidas (lo que sería una tarea hercúlea), sino a partir del campo eléctrico, mediante la integral de camino

Tomamos como origen de potencial el infinito y como camino de integración uno radial horizontal, de forma que

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Campo eléctrico con simetría cilíndrica

Al hacer la integral debemos distinguir tres regiones, Para ρ > b, debemos integrar un campo que es nulo en todos los puntos del camino de integración Para b > ρ > a, la integral se compone de dos tramos: uno por el exterior del cilindro, en el que el campo es nulo, y uno en la corona cilíndrica Para , debemos incluir tres tramos: uno por el exterior del cilindro, en el que el campo es nulo; uno en la corona cilíndrica; y otro en el cilindro interior Reuniendo los tres resultados

2.3 Energía electrostática Este apartado también se puede realizar independientemente de los dos anteriores, calculando la energía electrostática a partir del campo eléctrico como No obstante, también se puede hacer, aunque es más complicado, combinando los dos apartados anteriores y hallando la energía como Veremos los dos métodos, comenzando por el más sencillo. 2.3.1 A partir del campo eléctrico debemos integrar la densidad de energía electrostática en todo el espacio comprendido entre los dos planos z =0yz=h Esta integral se compone de tres términos: uno para el cilindro interior, uno para la corona cilíndrica y uno para el exterior. En el cilindro interior (

)

En la corona cilíndrica (a < ρ < b) En el exterior (b < ρ) Sumando las tres contribuciones 2.3.2 A partir de las cargas y el potencial Esta misma energía se puede calcular a partir de la integral Por este método tenemos cuatro contribuciones De la carga de volumen en el cilindro (

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)

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Campo eléctrico con simetría cilíndrica

De la carga superficial en la superficie ρ = a. En esta superficie

y la contribución a la energía es De la carga de volumen en la corona cilíndrica (a < ρ < b) De la carga superficial en la superficie ρ = b. En esta superficie

y la contribución a la energía es Sumando los cuatro términos El resultado es, naturalmente, el mismo que antes, pese a que las contibuciones individuales de cada región del espacio sean diferentes en uno y otro método. Esto ilustra la idea de que la energía electrostática no está realmente localizada en un punto concreto, sino que solo su total tiene sentido. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_el%C3%A9ctrico_con_simetr%C3%ADa_cil%C3%ADndrica" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Campo eléctrico con simetría cilíndrica

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Campo y carga de un potencial conocido

Campo y carga de un potencial conocido De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Campo eléctrico 2.2 Densidad de carga 2.2.1 Volumétrica 2.2.2 Super cial

1 Enunciado El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuación

con k y V0 constantes. 1. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. 2. Calcule la densidad de carga que crea este campo eléctrico.

2 Solución 2.1 Campo eléctrico Para calcular el campo debemos hallar el gradiente del potencial, cambiado de signo.

Para esto es conveniente separa el potencial en dos regiones

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Campo y carga de un potencial conocido

Hallando ahora el gradiente en cada región tenemos,

o, agrupando los dos casos

2.2 Densidad de carga 2.2.1 Volumétrica La densidad de carga de volumen la obtenemos por aplicación de la ley de Gauss en forma diferencial

Para hallar esta cantidad volvemos a descomponer en los dos semiespacios. Para y > 0 tenemos

y para y < 0

Por tanto, la densidad de carga de volumen es nula en todos los puntos del espacio. Puesto que el campo no es nulo, y además se anula en el in nito, es claro que debe haber alguna densidad de carga adicional. Esta densidad es la super cial, que se encuentra en las super cies donde el campo es discontinuo. 2.2.2 Superficial La densidad de carga super cial sólo puede estar presente en las super cies de discontinuidad, siendo su valor laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_y_carga_de_un_potencial_conocido

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Campo y carga de un potencial conocido

En nuestro caso, el único salto en el campo eléctrico se da en y = 0, a cuyos lados el campo vale

Vemos que la componente tangencial (en la dirección de ) es continua, mientras que la normal (en la dirección de ) cambia de signo. La densidad super cial de carga vale

La distribución de carga a lo largo del plano y = 0 es sinusoidal, con zonas donde la carga es positiva y zonas donde los es negativa. Las líneas de campo re ejan este hecho, descirbiendo arcos que van desde las zonas cargadas positivamente a las de signo opuesto.

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Campo y carga de un potencial conocido

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Modelo de campo atómico

Modelo de campo atómico De Laplace

1 Enunciado El potencial medio temporal de un átomo de hidrógeno neutro viene dado por

en donde q es la carga electrónica, y α − 1 = a0 / 2. Halle la distribución de carga (continua y discreta) que dará lugar a este potencial e interprete este resultado físicamente.

2 Solución Tenemos que el potencial posee simetría de rotación, por lo que todas las derivadas e integrales van a ser sobre la coordenada esférica radial r

Para la densidad de carga de volumen

Calculamos esta derivada. Multiplicando por r

la derivada de este producto es igual a

Sustituyendo f(r)

y la densidad de carga de volumen es laplace.us.es/wiki/index.php/Modelo_de_campo_atómico

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Modelo de campo atómico

Queda la carga del núcleo, que es una carga puntual. Esta la sacamos de que el sistema es neutro, (ya que el ujo del campo eléctrico tiende a 0 para ). La carga de volumen podemos escribirla también como

así que la carga total de volumen es

y este límite es

Por tanto la carga del núcleo es simplemente + q. Así pues, tenemos Una carga puntual + q situada en el núcleo Una carga − q distribuida de forma exponencial en todo el espacio

o, juntándolo todo en una sola distribución

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Energía de esferas concéntricas

Energía de esferas concéntricas De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Energía de una super cie esférica 2.2 Energía de dos esferas concéntricas 2.3 Cálculo empleando el campo eléctrico 2.3.1 Caso de una sola esfera 2.3.2 Caso de dos esferas concéntricas

1 Enunciado Halle la energía electrostática almacenada en una super cie esférica de radio a, que almacena una carga Q, distribuida uniformemente sobre ella. Calcule la energía electrostática almacenada en un sistema de dos super cies esféricas concéntricas de radios a y b, cargadas, respectivamente con cargas + Q y − Q, distribuidas uniformemente. ¿Se veri ca el principio de superposición, esto es, es la energía de las dos esferas la suma de las energías de cada esfera por separado?

2 Solución 2.1 Energía de una superficie esférica La energía electrostática de una distribución de carga super cial viene dada por

siendo el potencial en los puntos en que se encuentran las cargas. En el caso de una super cie esférica cargada uniformemente, el potencial que crea en todos los puntos del espacio, tal como se ve en otro problema es laplace.us.es/wiki/index.php/Energía_de_esferas_concéntricas

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Energía de esferas concéntricas

En los puntos de la super cie esférica r = a vale tanto la expresión interior como la exterior por ser el potencial una función continua

y por ello la energía electrostática almacenada por la esfera es

dado que el potencial tiene el mismo valor en todos los puntos de la super cie, puede salir de la integral. El resultado es una función cuadrática de la carga. Esto quiere decir que, tanto si la super cie esférica esta cargada positivamente, como si lo está negativamente, la energía es siempre positiva.

2.2 Energía de dos esferas concéntricas Para dos super cies esféricas la energía será de la forma

donde el potencial que aparece en cada integral es el total de la distribución (esto es, incluye tanto la contribución de la propia esfera como la de la otra). Obtenemos este potencial por el principio de superposición

        

        

Sumando, resultan tres regiones,

Los potenciales a los que se encuentran las super cies son, respectivamente: laplace.us.es/wiki/index.php/Energía_de_esferas_concéntricas

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Energía de esferas concéntricas

         y la energía electrostática almacenada

Podría parecer, en una primera inspección, que el resultado es la suma de las energía de cada esfera por separado, siendo negativa la de la esfera cargada negativamente, pero esto es erróneo. Según dijimos en el apartado anterior, la energía de una esfera cargada, sea su carga positiva o negativa, es siempre positiva, por lo que la suma de energías individuales debería aparecer con un signo positivo. No se veri ca el principio de superposición. Podemos desarrollar esto matemáticamente, aplicando el principio de superposición a los potenciales, de forma que queda

Los términos          sí representan las energías individuales de cada esfera y son ambos positivos. No obstante, la energía total incluye además dos términos cruzados, correspondientes a la interacción entre las dos esferas          Estos dos términos son negativos, como corresponde a la interacción de cargas de signo opuesto, son iguales entre sí (lo que constituye una relación de reciprocidad, que es una propiedad general de la energía electrostática), y son responsables de que en la expresión completa de la energía aparezca un signo negativo.

2.3 Cálculo empleando el campo eléctrico La energía electrostática de un sistema también se puede calcular a partir de la densidad de energía, como función del campo eléctrico

donde esta integral de volumen se extiende a todo el espacio. 2.3.1 Caso de una sola esfera

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Energía de esferas concéntricas

Si tenemos una sola esfera cargada, el campo que produce es,

de modo que la densidad de energía electrostática vale

La integral de esta densidad, extendida a todo el espacio, se compone de dos partes

La contribución del campo interior es evidentemente nula. La contribución debida al campo exterior es

2.3.2 Caso de dos esferas concéntricas Para el caso de dos esferas concéntricasl, hallamos el campo por superposición. La única diferencia con el de una esfera es que, en el exterior de las dos esferas, el campo de la esfera negativa cancela exactmante el campo de la positiva 8ambos son como el de una carga puntual), anulando el campo en el exterior

        

        

Sumando, quedan de nuevo tres regiones para el campo y la densidad de energía

        

Vemos que la densidad de energía entre las esferas es la misma que en el caso de una sola esfera (porque el campo es el mismo), mientras que en el exterior ha pasado de tener un cierto valor a ser nula. Por tanto, la energía electrostática total es la integral de la misma densidad de energía que en el apartado anterior pero solo en la región entre las esferas, esto es laplace.us.es/wiki/index.php/Energía_de_esferas_concéntricas

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Energía de esferas concéntricas

Podemos entender este resultado como que la energía en el sistema de las dos esferas es la energía almacenada en el exterior de una sola esfera de radio a (calculada antes) menos la energía almacenada en el exterior de la esfera de radio b, porque para r > b la densidad de energía es ahora nula. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Energ%C3%ADa_de_esferas_conc%C3%A9ntricas" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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Fuerza entre un anillo y un dipolo

Fuerza entre un anillo y un dipolo De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Fuerza del dipolo sobre la espira 2.2 Energía potencial del dipolo 2.3 Fuerza de la espira sobre el dipolo 2.4 Par sobre el dipolo

1 Enunciado Un anillo circular de radio a, almacena una carga Q distribuida uniformemente. En el centro del anillo se encuentra un dipolo puntual , alineado según el eje de la espira. 1. Determine la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira. 2. Halle la energía que tiene el dipolo por encontrarse en el campo de la espira. 3. Calcule la fuerza que la espira produce sobre el dipolo. ¿Se veri ca la tercera ley de Newton? 4. Calcule el par que la espira ejerce sobre el dipolo.

2 Solución 2.1 Fuerza del dipolo sobre la espira La fuerza sobre una distribución de carga lineal es

siendo el campo externos en los puntos de la distribución. En este caso, este campo es el del dipolo situado en su centro.

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Fuerza entre un anillo y un dipolo

Situando el origen de coordenadas en el centro del anillo y el eje Z como el del anillo, el campo del dipolo es

El campo debe evaluarse en los puntos del anillo. Empleando coordenadas cilíndricas     r = a         

esto es, en todos los puntos del anillo, el campo del dipolo vale lo mismo. Esto es consecuencia de la simetría acimutal del campo de un dipolo. La fuerza es entonces

El anillo es empujado hacia abajo por el campo del dipolo, que en todos los puntos del anillo va en la dirección de

2.2 Energía potencial del dipolo La energía del anillo por hallarse en el centro de la espira es

siendo el campo del anillo en la posición del dipolo. Este valor lo obtenemos particularizando el campo de un anillo en los puntos de su eje (calculado en otro problema):

que en el centro se reduce a

por lo que

2.3 Fuerza de la espira sobre el dipolo laplace.us.es/wiki/index.php/Fuerza_entre_un_anillo_y_un_dipolo

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Fuerza entre un anillo y un dipolo

Para hallar la fuerza que el anillo ejerce sobre el dipolo aplicamos que

Para aplicar el operador debemos poder derivar el campo creado por el anillo. Sin embargo, sólo conocemos la expresión del campo en los puntos de su eje (para todo z, con x = y = 0), indicada en el apartado anterior, por lo que podemos derivar respecto a z pero no respecto a x e y. Afortunadamente, esto es todo lo que necesitamos, ya que el dipolo se encuentra alineado con el eje ( ), por lo que

y la fuerza sobre el dipolo es

Derivando y sustituyendo $z$ por 0 (la posición del dipolo) queda

El dipolo es empujado hacia arriba por el campo del anillo. Podemos entender esto observando que la carga positiva del dipolo, que está ligeramente por encima del plano del anillo es repelida hacia arriba, mientras que la carga negativa, situada ligeramente por debajo, es atraída por el anillo (de nuevo hacia arriba). Nótese que no hay contradicción alguna entre que la energía del dipolo sea nula, y que esté sometido a una cierta fuerza. Lo primero requiere el valor del campo en el centro mientras que lo segundo requiere su derivada en el mismo punto, por lo que se trata de cantidades independientes. Como era de esperar resulta una fuerza que veri ca la tercera ley de Newton respecto a la calculada en el apartado anterior

2.4 Par sobre el dipolo El par que puede ejercer el anillo sobre el dipolo es

ya que, como hemos visto en el segundo apartado, el campo en el centro del anillo es nulo, por lo que el anillo no ejerce momento alguno sobre el dipolo. laplace.us.es/wiki/index.php/Fuerza_entre_un_anillo_y_un_dipolo

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Fuerza entre un anillo y un dipolo

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Potencial y campo en el centro de una semicorona esférica

Potencial y campo en el centro de una semicorona esférica De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Potencial en el punto O 3 Trabajo para llevar una carga desde A hasta B 4 Campo eléctrico en el punto O 5 Potencial en zonas alejadas

1 Enunciado Se tiene el sistema de la gura, formado por una semicorona esférica de radios R y 2R, con una densidad volumétrica de carga uniforme ρ0. Se pide 1. Calcular el potencial eléctrico en el punto O. 2. Calcular el trabajo necesario para trasladar una carga q desde el punto A hasta el punto B. 3. Calcular el campo eléctrico en el punto O. 4. Calcular, hasta el segundo orden de aproximación, la expresión aproximada del potencial en puntos alejados del sistema.

2 Potencial en el punto O Escogemos un sistema de coordenadas esféricas, de modo que el origen está en el punto O y el plano XY contiene a los puntos A y B. De este modo el volumen cargado esta de nido por las coordenadas

El sistema tiene simetría en , pero no en θ. Por tanto no se puede usar la ley de Gauss con super cies esféricas para calcular el campo eléctrico. Hay que recurrir a la integración directa. El potencial eléctrico creado por una distibución con densidad de carga ρ en un punto es

En este caso queremos calcular el potencial en el punto O, esto es, en la densidad de carga es uniforme, la expresión queda

En coordenadas esféricas más arriba, el potencial en O es

. Por tanto, teniendo en cuenta que

. Teniendo en cuenta los límites de integración expresados

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Potencial y campo en el centro de una semicorona esférica

3 Trabajo para llevar una carga desde A hasta B El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos en el eseno del campo producido por la semicorona es

Si elegimos el eje X de modo que pase por el punto A las coordenadas esféricas de estos puntos son

es decir, sólo se diferencian en el valor de la coordenada . Pero, por simetría, el potencial no depende de . Por tanto Φ(A) = Φ(B) y el trabajo pedido es

4 Campo eléctrico en el punto O De nuevo hay que calcular el campo por integración directa. El campo producido en un punto es

En el punto O tenemos

y el campo vale, teniendo en cuenta que la densidad de carga es uniforme

Expresando el vector de posición en coordenadas esféricas tenemos

y el campo en O es

El vector depende de las coordenadas angulares, por lo que no se puede sacar de la integral. Para poder hacerla expresamos el vector en la base cartesiana, cuyos vectores unitarios no dependen de las coordenadas. De este modo la integral queda

Teniendo en cuenta los límites de integración, las integrales en X e Y se anulan. El campo nal es

Este resultado es razonable pues, suponiendo que la densidad de carga es positiva, el campo eléctrico debe apuntar hacia abajo.

5 Potencial en zonas alejadas Para una distribución de carga, el potencial en puntos alejados de ellas se expresa de manera aproximada usando el desarrollo multipolar.

donde Q y

son la carga total y el momento dipolar, respectivamente. En este caso ambos son no nulos:

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Dado que, usando esféricas

Potencial y campo en el centro de una semicorona esférica

el potencial en puntos alejados es

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Sistema electrostático de tres cargas puntuales

Sistema electrostático de tres cargas puntuales De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Punto de campo eléctrico y potencial nulos 2.2 Energía electrostática del sistema 2.3 Trabajo y fuerza sobre otra carga 2.4 Desarrollo multipolar 2.4.1 Momentos monopolar y dipolar del sistema 2.4.2 Potencial exacto y aproximado en un punto

1 Enunciado Un sistema electrostático está formado por tres cargas eléctricas puntuales. Dos de ellas tienen idéntico valor y se hallan en los puntos P1 y P2, dados por los vectores de posición y , respectivamente. La tercera carga tiene un valor Q y se halla en el punto P3, dado por . 1. Determine, si es posible, el valor que debe tener la carga Q y la posición de un punto del eje OY en el cuál se anulen simultáneamente el potencial y el campo eléctrico creado por el sistema de tres cargas. 2. ¿Cuál es la energía electrostática del sistema descrito en el caso particular ? 3. En la situación particular del apartado anterior, ¿qué trabajo hay que realizar para traer una carga q desde el in nito hasta el punto de posición . ¿Cuánto vale la fuerza electrostática ejercida sobre dicha carga este punto? 4. Determine los momentos monopolar y dipolar de la distribución correspondiente al apartado 2. Halle el potencial exacto y el aproximado por el desarrollo multipolar, para el punto . Calcule el error relativo cometido en la aproximación, según la fórmula

2 Solución 2.1 Punto de campo eléctrico y potencial nulos Sean tres cargas puntuales q1, q2 y q3, situadas en los puntos P1, P2 y P3, cuyas posiciones respecto de un punto jo O (origen de un sistema de referencia), están determiandas por sendos vectores , y El campo eléctrico y el potencial electrostático creado por el sistema en un punto P, descrito por el radiovector , responden a las siguientes expresiones: laplace.us.es/wiki/index.php/Sistema_electrostático_de_tres_cargas_puntuales

.

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donde el valor de la constante ke en el Sistema Internacional (SI) es,     

.

En el sistema bajo estudio hay dos cargas de valor conocido, alineadas en la dirección que de niremos como eje OX del sistema de referencia cartesiano que utilizaremos para la descripción analítica de las magnitudes vectoriales. La tercera carga, de valor no determinado inicialmente, se encuentra en la recta perpendicular al segmento (cuyos extremos son las otras dos cargas), y que corta a éste en su punto medio O. Tomaremos este punto como origen del sistema de refencia, y a la tercera carga situada en el semieje negativo de OY. De esta forma se tendrá,

Para determinar el valor de Q se pide que éste debe ser tal que haya un P0 del eje OY en que se anulen simultáneamente el campo eléctrico y el potencial creados por el sistema electrostático de tres cargas. La posición de dicho punto vendrá dada por una radiovector , de componente desconocida. Para calcular los valores de estas incógnitas resolvemos las ecuaciones algebraicas que se obtienen de las siguientes expresiones:

Este sistema de ecuaciones se resuelve fácilmente sin mas que dividir la primera ecuación entre la segunda:      ... y sustituyendo este resultado en la segunda de las ecuaciones algebraicas anteriores...     

2.2 Energía electrostática del sistema Una vez obtenido el valor de la carga Q que, no por casualidad, coincide con el nuevo dato de proporcionado en este apartado, continuamos con el análisis del sistema electrostático bajo estudio, calculando su energía electrostática que, por de nición, es la suma de los trabajos externos Wi que es necesario realizar para traer cada una de las cargas puntuales desde el in nito hasta sus correspondientes posiciones en el sistema. En el caso que nos ocupa,

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Obsérvese que para calcular dichos trabajos externos aplicamos el concepto de potencial electrostático en un punto como el trabajo que es necesario realizar por unidad de carga, para traer una carga puntual desde dicho el in nito hasta dicho punto. De esta forma, el Wi para cada carga está determinado por la propia carga y la superposición de los potenciales creados por las que se trajeron previamente. Por otra parte, sería un posible campo potencial existente en la región, previamente a que se trajesen las cargas y, por tanto, creado por otras distribuciones. En el sistema bajo estudio, se considera que no hay distribuciones previas, de manera que el proceso para traer la primera carga al sistema se lleva a cabo sin necesidad de realizar trabajo alguno:

El trabajo para traer la segunda carga hasta el punto P2, enpresencia de la traída anteriormente es:

Finalmente, el trabajo que ha de realizarse para traer la carga q3 contra el campo creado por q1 y q2, es:

Por tanto, la energía electrostática del sistema es:

  Puede seguirse otro procedimiento para obtener el valor de la energía electrostática del sistema. Al ser ésta una función de estado y, por tanto, su valor no puede depender del orden seguido para reunir las cargas, se puede desmostrar que la energía electrostática del sistema es igual a la mitad de la suma de las energías potenciales de cada una de las cargas al encontrarse sometidas al campo eléctrico creado por las otras dos:

Puede comprobarse que el resultado que se obtiene es el mismo que con el procedimiento empleado anteriormente.

2.3 Trabajo y fuerza sobre otra carga Una nueva carga puntual de valor q se trae desde el in nito hasta una posición P4 en el eje OY, en presencia de las tres cargas consideradas en los apartados anteriores. El trabajo externo que es necesario realizar para llevar a cabo tal operación, y la fuerza que actúa sobre la carga en su posición nal, estarán determinados por las siguientes expresiones:

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Obsérvese que la posición del punto P4 viene dada por el radiovector , con . En consecuencia, dicho punto coincide con el P0 que se determinó en el primer apartado, donde se anularían el potencial y el campo eléctrico creado por las tres primeras cargas si . En el enunciado se indica explícitamente que se veri can dichas condiciones. Por tanto,

    

2.4 Desarrollo multipolar Para cada distribución estática de carga eléctrica existe un sistema equivalente, en el sentido de que crean idéntico campo y potencial eléctrico. Dicho sistema está formado por una secuencia de entes puntales (ideales) situados en un mismo punto arbitrario (centro de reducción), y que contribuyen al potencial con funciones de la posición de alcance decreciente. 2.4.1 Momentos monopolar y dipolar del sistema Son los dos primeros elementos de dicha secuencia. Si tomamos el origen O del sistema de referencia como centro de reducción, estos entes son equivalentes a una carga Q0 y a un dipolo puntual colocados en aquél punto. Aplicando su de nición en el sistema bajo estudio tendremos:           2.4.2 Potencial exacto y aproximado en un punto Consideramos el punto P5 situado en el eje OX, cuya posición respecto del origen O viene dada por el radiovector

, siendo

. El valor exacto del potencial en dicho punto es:     

Pero también podemos obtener un valor aproximado del potencial utilizando las contribuciones de los dos momentos calculados:     

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En consecuencia, el error relativo que se comete si se utiliza la aproximación en lugar del valor exacto es:

     Este resultado nos indica que la contribución de los dos primeros términos del desarrollo multipolar (incluso a distancias mayores que el tamaño del sistema) no proporciona una buena aproximación para el valor del potencial, al menos en los puntos P del plano OXZ. Esto se debe a que, para estos puntos, el vector posición es perpendicular al momento dipolar y, por tanto, éste no contribuye al valor aproximado del potencial. Para obtener una mejor aproximación con el desarrollo multipolar habrían de incluirse alguno de los términos siguientes; al menos, la contribución de un cuadrupolo (momento cuadrupolar de la distribución) colocado en el punto O. Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Sistema_electrost%C3%A1tico_de_tres_cargas_puntuales" Categoría: Problemas de electrostática en el vacío

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