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• Carmen Rojas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS APLICADAS ESCUELA ACADÉMICO

@

PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

I Abril

TEORIA DE LAPROBABILIDAD

F A C A P

CONTENIDOS

A I T

   

Conceptos de probabilidad Reglas y axiomas de la probabilidad Análisis Combinatorio Relaciones entre eventos

orma:

Competencia:

Conceptúan la teoría de probabilidad, identificando sus definiciones, axiomas, análisis combinatorio y aplicaciones, para resolver problemas casos y obtener conclusiones de problemas agroindustriales. Docente:

ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________

MSc.

CARHUALLANQUI

AVILA,

Shalin

TARMA –2017

La probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre. En cualquier situación en la que puede ocurrir uno de varios resultados, la teoría de probabilidad proporciona métodos para cuantificar las oportunidades, o probabilidades, que están asociados con los diversos resultados. Ejm: Es probable que el índice inflacionario se mantenga durante los próximos dos meses. ¿Qué es un Modelo? Si enfrentamos un problema de física, química, ingeniería u otro tipo, estamos analizando e investigando un aspecto de la realidad que nos rodea. Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, ecuaciones matemáticas que permitan calcular sus efectos. El modelo de fuerza gravitatoria que permite estudiar la caída de un cuerpo en el vació. El modelo representa la realidad. Los modelos matemáticos, después de efectuar los cálculos nos dan un resultado numérico preciso, por ejemplo: Podemos calcular la corriente eléctrica que circula por un cable con la ley de Ohm, por ejemplo un resultado de 5,7 Amperes. I 

V  5,7 A . Este tipo de modelos R

matemáticos se denominan DETERMINISTICOS. Hay fenómenos que necesitan otro tipo de modelos matemáticos, que se denominan NO DETERMINISTICOS, PROBABILISTICOS o ESTOCASTICOS. Ejemplo: Un agricultor necesita saber cuanta lluvia va a caer en los próximos meses, antes de decidir si le conviene sembrar o no esta temporada. Aquí el resultado es la probabilidad (un valor). En muchas oportunidades nos encontramos con afirmaciones donde no existe 100% de certeza sobre la aparición de un fenómeno, ejemplos de fenómenos o experimentos para los cuales es conveniente utilizar un modelo probabilistico. Experimentos que se pueden apreciar que el resultado final no se conoce con exactitud y existe incertidumbre. La cuantificación de la incertidumbre por parte de la teoría de la probabilidad, arriba a principios o leyes científicas. CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD 1. VARIABLES ALEATORIAS Una variable aleatoria es aquella que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio. Se representa por las últimas letras del alfabeto: X, Y o Z. Una variable aleatoria X es una función cuyo dominio es la colección de eventos del espacio muestral S y cuyo rango Rx, es un subconjunto de los números reales. Ejemplos: X: La suma que aparece al lanzar un par de dados. 2

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Y: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas S= {0,1,2,3,4….N} Donde N es el número máximo que pudo ser producido en 24 horas Para cada experimento, se define el ESPACIO MUESTRAL como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento. 2. EXPERIMENTO ALEATORIO: Es todo proceso que consiste en la ejecución de un acto (o prueba) una o más veces y cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza. (Un experimento es de AZAR si no se puede predecir su resultado). Ejemplo: Experimento 1: "Numero de productos defectuosos y no defectuosos de conservas de pescado en una línea de producción” Resultado: Antes de la producción del producto, el resultado no se conoce con exactitud; es decir, no sabemos si el producto saldrá defectuoso o no defectuoso. Luego, el experimento es aleatorio. 3. ESPACIO MUESTRAL (E.M. S ó Ω.): Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: Numero de productos defectuosos y no defectuosos en una línea de producción. El espacio muestral es: EM = S = {DEFECTUOSO, NO DEFECTUOSO} Experimento: Si se observan los sexos de tres niños recién nacidos, el espacio muestral será E.M=S={MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF} 4. SUCESO O EVENTO: Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se representan por letras A, B, C, etc. Se dice que un evento es simple si está formado exactamente por un resultado y compuesto si consta de más de un resultado. Ejemplo: en el experimento: Si se observan los sexos de tres niños recién nacidos, hay 8 eventos simples como: A {MMF} y B {FMF} y algunos eventos compuestos son: C= {MFF, FMF, FFM} = {exactamente un bebe es de sexo masculino} y D = {MMM, FFF} = {los tres bebes son del mismo sexo}. 5. EVENTO IMPOSIBLE: Es el evento que no va a ocurrir. Ejemplo: Que deje de salir el sol.

I. CONCEPTO DE PROBABILIDAD La probabilidad de que ocurra un suceso A, asociado a un espacio muestral Ω, esta dado por: N º de casos favorables de..ocurrencia..del..evento A #A O P( A)  P ( A) 

N º total

de

casos

posibles

#S

Observaciones sobre esta definición: Es válida solo para espacios muestrales finitos, es válida solo para el supuesto de equiprobabilidad y se cumple cuando el experimento se realiza un gran número de veces. Ejemplo: 1. Hallar la probabilidad de obtener en número 2 en el lanzamiento de un dado. Solución: 2. En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de cada 10 atracos. ¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al menos una de estas alarmas? P ( A )  0, 7 P( B )  0,8 P( A �B )  0, 6 P ( A U B )  P ( A ) + P ( B ) - P ( A �B )  0, 7 + 0,8 - 0, 6  0,9 3

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1.1. PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA El cálculo de este tipo de probabilidad se basa en la repetición de la ocurrencia de un evento, al realizar una gran cantidad de pruebas o experimentos. Se halla a través de: p ( A) 

Numero..de..veces..que..ocurrio..el..evento. A Numero..Total ..de..veces..que..se..repitio..el ..exp erimento

La probabilidad de frecuencia relativa, es llamada también probabilidad empírica o a posteriori, debido a que se obtiene el resultado después de llevar a cabo el experimento un gran número de veces. Ejemplo: En una encuesta realizada a 500 vendedores ambulantes de Tarma, se encontró que 325 de ellos se dedicaban a esta actividad porque habían sido despedidos de empresas fabriles. Hallar la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un vendedor ambulante, éste haya sido despedido de una empresa fabril. Solución: Sea el evento: B = Vendedor ambulante despedido # de veces en qué ocurrió B = 325 # total de veces que se repitió el experimento = 500   

II. PROPIEDADES DE PROBABILIDAD p ( A)  0 La probabilidad de un evento cualquiera, es siempre positiva. Es decir: Para cualquier evento A, P(A) =1- P(Ac), además A y Ac son mutuamente excluyentes. La probabilidad del suceso seguro es 1, es la probabilidad del espacio muestral, que equivale a la unidad. Es decir p ( EM )  1



La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. Es decir:

 

p (f )  0 La probabilidad de un evento nulo o imposible, es cero. Es decir: Los eventos A y A son mutuamente excluyentes, y se debe cumplir:

0  p ( A)  1

p ( A  A)  p ( A) + p ( A)  1

III. TECNICAS DE CONTEO 1. Permutaciones: Cualquier secuencia ordenada de “n” objetos tomados de un conjunto de N objetos distintos se llama permutación de tamaño n de los objetos: PnN  N ( N - 1)( N - 2).....( N - n - 2)( N - n + 1) � PnN 

N! ( N - n)!

Ejemplo 1: En un campeonato de futbol de la empresa “FRESQUITOS”, participan 12 equipos ¿De cuantas maneras se pueden ocupar los tres primeros puestos? Solución: A= {Numero de maneras que puede ocupar los 3 primeros puestos} N ( A)  P312 

12! 12!   12 x11x10  1320 (12 - 3)! (12 - 3)!

Combinaciones: Dado un conjunto de N objetos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño n de los objetos se llama combinación y se denota: N! N Ejemplo 2: Al poco tiempo de ser puestos en servicio, algunos tanques Cn  n !( N - n)! cisternas para leche fabricados por cierta compañía presenta grietas en la parte inferior del bastidor principal. Suponga que una ciudad tiene 18 de estos tanques cisternas, y que han aparecido grietas en 5 de ellos. A ¿De cuántas formas se puede seleccionar una muestra de 7 tanques de los 18 para 18! una inspección completa? 18

C7 

7!(18 - 7)! 4

 31824

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B ¿En cuántas formas puede una muestra de 7 tanques contener exactamente 3 con grietas visibles? Sea el evento A = {una muestra de 7 tanques contiene exactamente 3 con grietas} N ( A)  C35 xC413 

5! 13! x  7150 3!(5 - 3)! 4!(13 - 4)!

Permutaciones Combinaciones Interesa la posición de los elementos en Nos interesa la presencia de los el grupo formado elementos en el grupo formado no interesa la posición EJERCICIOS DE PERMUTACION Permutaciones: Interesa la posición de los elementos en el grupo formado. Se tiene Se tiene 4 equipos de futbol y se quiere asignar a los equipos campeones hay y subcampeones. ¿De cuantas maneras pueden quedar asignados los títulos de CAMPEÓN Y DE SUBCAMPEON? Rpta 12 2. ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición? Solución:

.

EJERCICIOS DE COMBINACIONES Combinaciones: Nos interesa la presencia de los elementos en el grupo formado no interesa la posición (las posiciones le interesa a las permutaciones) Se tiene 4 equipos de futbol A, B, C y D ¿Cuántos son los posibles partidos para definir los grupos de CAMPEON y SUBCAMPEON? Rpta: 6 posibilidades partidos para definir campeón y sub campeón De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité? Solución: Esta es una combinación porque el orden no importa.

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Permutaciones: Interesa la posición de los elementos en el grupo formado. Se tiene Se tiene 4 equipos de futbol y se quiere asignar a los equipos campeones hay y subcampeones ¿De cuantas maneras pueden quedar asignados los títulos de CAMPEÓN Y DE SUBCAMPEON? Rpta 12 ABCD AB BA CA DA AC BC CB DB AD CD CD DC nPr = 4P2 = 4 factorial / 2 factorial = 12 respuesta interesándola posición de los elementos en el subconjunto formado A campeón y B sub campeos A campeón y C sub campeón 12 manera diferentes de asignar campeón y subcampeón _________________ Combinaciones: Nos interesa la presencia de los elementos en el grupo formado no interesa la posición (las posiciones le interesa a las permutaciones) Se tiene 4 equipos A, B C y D ¿Cuantos son los posibles partidos para definir los grupos de CAMPEON y SUBCAMPEON? Rpta: 6 posibilidades partidos para definir campeón y sub campeón aplicando la formula sale 6 ABCD Partido de la final AB AC AD BC BD CD Numero de posibles partido

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enga utobuses de una empresa carnica

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Permutaciones: Interesa la posición de los elementos en el grupo formado. Se tiene Se tiene 4 equipos de futbol y se quiere asignar a los equipos campeones hay y subcampeones ¿De cuantas maneras pueden quedar asignados los títulos de CAMPEÓN Y DE SUBCAMPEON? Rpta 12 ABCD AB BA CA DA AC BC CB DB AD CD CD DC nPr = 4P2 = 4 factorial / 2 factorial = 12 respuesta interesándola posición de los elementos en el subconjunto formado A campeón y B sub campeos A campeón y C sub campeón 12 manera diferentes de asignar campeón y subcampeón Combinaciones: Nos interesa la presencia delos elementos en el grupo formado no interesa la posición (las posiciones le interesa a las permutaciones) Partido de la final AB=BA AD= DA DC=

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enga utobuses de una empresa carnica

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EJEMPLOS: A) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición? Solución:

. B) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repetición? Solución:

.

. C) De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité? Solución: Esta es una combinación porque el orden no importa.

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Un experimento es de AZAR si no se puede predecir su resultado. Se llaman EXPERIMENTOS ALEATORIOS los que dan lugar a experimentos de azar. 3. En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de cada 10 atracos. ¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al menos una de estas alarmas? Solución: Se definen los sucesos A:”El sistema A funciona” B:”El sistema B funciona” P ( A )  0, 7

P( B )  0,8 P( A �B )  0, 6

P ( A U B )  0,7 + 0,8 - 0, 6  0,9

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Cada vez que realizamos un cálculo matemático para resolver un problema, lo que estamos haciendo es aplicar un modelo matemático a un fenómeno de la realidad. Ejemlo: Este fenómeno puede ser la caída de un objeto desde una altura, y acá se usa el modelo que es la Ley de la gravedad. ¿Qué es un Modelo? Si enfrentamos un problema de física, química, ingeniería u otro tipo, estamos analizando e investigando un aspecto de la realidad que nos rodea. Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una representación en la mente de cómo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que permitan calcular los efectos de los mismos. El modelo de fuerza gravitatoria que permite estudiar la caída de un cuerpo en el vació. En ningún caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es solo una representación de la realidad, utilizando para estudiar y analizar dicha realidad. Los modelos matemáticos que mencionamos hasta ahora, después de efectuar los cálculos nos dan un resultado numérico preciso, por ejemplo, que la velocidad de un automóvil es de 75,5 Km/Hr. Podemos calcular la corriente eléctrica que circula por un cable con la ley de Ohm, por ejemplo un resultado de 5,7 Amperes. I 

V  5,7 A . Este tipo de modelos R

matemáticos se denominan DETERMINISTICOS. Hay fenómenos que necesitan otro tipo de modelos matemáticos, que se denominan NO DETERMINISTICOS, PROBABILISTICOS o ESTOCASTICOS. Por ejemplo, supongamos que un agricultor necesita saber cuanta lluvia va a caer en los próximos meses, antes de decidir si le conviene sembrar o no esta temporada. Aquí el resultado no es un valor determinado sino la probabilidad de un valor. En muchas oportunidades nos encontramos con afirmaciones donde no existe 100% de certeza sobre la aparición de un fenómeno, ejemplos de fenómenos o experimentos para los cuales es apropiado o conveniente utilizar un modelo probabilistico. En los experimentos que se muestra, se puede apreciar que el resultado final no se conoce con exactitud, existe por lo tanto Incertidumbre. La necesidad de tener suficiente poder para manejar la incertidumbre obliga a estudiar y usar la teoría de la probabilidad. La cuantificación de la incertidumbre por parte de la teoría de la probabilidad, es posible arribar a los principios o leyes científicas. La probabilidad, nos proporciona la base para el estudio de la inferencia estadística. Se introducirá el concepto de variable aleatoria, cuya importancia radica en introducir modelos matemáticos en el cálculo de probabilidades. Variables Aleatorias Una variable aleatoria es aquella que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio. Usualmente se representa por las últimas letras del alfabeto: X, Y o Z. Una variable aleatoria X es una función cuyo dominio es la colección de eventos del espacio muestral S y cuyo rango Rx, es un subconjunto de los números reales. Ejemplos de variables aleatorias: 13

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X: La suma que aparece al lanzar un par de dados. Y: El número de caras que aparecen al lanzar una moneda tres veces. Z: El número de errores que se encuentran en la página de un libro. W: El número de yogures defectuosos que se encuentran en una producción.

Experimento 1: Se lanza un dado y se anota el numero que aparece en la cara superior Experimento 2: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas S= {0,1,2,3,4….N} Donde N es el número máximo que pudo ser producido en 24 horas Para cada experimento, se define el ESPACIO MUESTRAL como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento. Experimento 3: Se arroja una moneda cuatro veces y se anota a sucesión de caras ( C) y sellos (S) obtenidas: E.M=S={…………………………………………………………………………………..} 1. EXPERIMENTO ALEATORIO: Es un proceso de observación, donde el resultado exacto no se conoce, permaneciendo cierto margen de duda. Ejemplo: Experimento: "Numero de productos defectuosos y no defectuosos en una línea de producción” Resultado: Antes de la producción del producto, el resultado no se conoce con exactitud; es decir, no sabemos si el producto saldrá defectuoso o no defectuoso. Luego, el experimento es aleatorio. 2. ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: Numero de productos defectuosos y no defectuosos en una línea de producción. El espacio muestral es: EM = S = {DEFECTUOSO, NO DEFECTUOSO} 3. SUCESO O EVENTO: Es cada resultado del experimento aleatorio o una combinación de resultados. Un suceso o evento, es un subconjunto del espacio muestral. Los eventos son representados por letras mayúsculas: A, B, C, ...... Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: "Selección de un alumno de acuerdo a su rendimiento académico". EM = Evento A = Evento C = Evento B = Evento D = 4. EVENTO SEGURO O SUCESO UNIVERSAL: Se llama así al evento que de todas maneras debe ocurrir. Ejemplo: Sea el experimento: Selección de un propietario de inmueble con ingresos medio-alto, en la zona de Surco en Lima. 5. EVENTO IMPOSIBLE: Es el evento que no va a ocurrir. Ejemplo: 6. EVENTO COMPLEMENTARIOS: El complemento del evento A, se denota por él símbolo A (se lee: no A), y significa que el Evento A no ocurre. Ejemplo: 7. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dos o más eventos son mutuamente excluyentes, si la ocurrencia de uno de ellos, anula la ocurrencia de los demás. Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: Selección de un profesor de la Universidad “X” según categoría docente. El espacio muestral es: EM = 14

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Siendo los Eventos:

A= C= B= D = Los cuatro eventos son mutuamente excluyentes, porque..................................... 8. EVENTOS INDEPENDIENTES: Dos eventos son independientes si ambos no tienen ninguna relación entre si, es decir, si la ocurrencia de uno de ellos, no influye en la ocurrencia del otro. Ejemplo: Sean los eventos: X = Primer alumno apruebe el examen de Estadística Y = Segundo alumno apruebe el examen de Estadística X e Y son......................porque........................................................................................

I. CONCEPTO DE PROBABILIDAD? La probabilidad es una disciplina abstracta que se usa como modelo para hacer deducciones relativas a eventos que posiblemente pueden ocurrir. 1. 1. TIPOS DE PROHABILIDAD Existen tres enfoques para el estudio de la probabilidad. 1.1.1. PROBABILIDAD CLÁSICA Llamada también probabilidad a priori debido a que es posible conocer el resultado con anterioridad, es decir, sin llevar a cabo el experimento y sólo basado en un razonamiento lógico. Se calcula a través de: p ( A) 

Casos..Favorables..de..Ocurrencia..del ..evento ( A) Total..de..casos.. posibles

Ejemplo: Hallar la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda. Solución: Hallar la probabilidad de obtener en numero 2 en el lanzamiento de un dado Solución: La probabilidad clásica, se utiliza para experimentos simples, corno los mencionados. En la vida real, se presentan situaciones más complejas que requieren el cálculo de probabilidad desde otro enfoque. 1.1.2. PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA El cálculo de este tipo de probabilidad se basa en la repetición de la ocurrencia de un evento, al realizar una gran cantidad de pruebas o experimentos. Se halla a través de: p ( A) 

Numero..de..veces..que..ocurrio..el..evento. A Numero..Total ..de..veces..que..se..repitio..el ..exp erimento

La probabilidad de frecuencia relativa, es llamada también probabilidad empírica o a posteriori, debido a que se obtiene el resultado después de llevar a cabo el experimento un gran número de veces. Ejemplo: En una encuesta realizada a 500 vendedores ambulantes de Lima cuadrada, se encontró que 325 de ellos se dedicaban a esta actividad porque habían sido despedidos de empresas fabriles. Hallar la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un vendedor ambulante, éste haya sido despedido de una empresa fabril. Solución: Sea el evento: B = Vendedor ambulante despedido # de veces en qué ocurrió B = 325 # total de veces que se repitió el experimento = 500 II. AXIOMAS DE PROBABILIDAD 15

p ( A)  0

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5.1. La probabilidad de un evento cualquiera, es siempre positiva. Es decir: 5.2. La probabilidad de un evento cierto o seguro, es la probabilidad del espacio muestral, que equivale a la unidad. Es decir p( EM )  1 III. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS 6.1. La probabilidad de un evento, toma valores entre cero y uno. Es decir: 0  p ( A)  1

p (f )  0 6.2. La probabilidad de un evento nulo o imposible, es cero. Es decir: 6.3. Los eventos A y A son mutuamente excluyentes, y se debe cumplir: p ( A  A)  p ( A) + p ( A)  1

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¿Qué es un Modelo?. Representa un fenómeno con ecuaciones matemáticas Si enfrentamos un problema de física, química, ingeniería u otro tipo, estamos analizando e investigando un aspecto de la realidad que nos rodea. Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una representación en la mente de cómo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que permitan calcular los efectos de los mismos. El modelo de fuerza gravitatoria que permite estudiar la caida de un cuerpo en el vacio. Experimento 3: Se arroja una moneda cuatro veces y se anota a sucesión de caras ( C) y sellos (S) obtenidas: E.M=S={cccc, sccc, cscc, ccsc, cccs, sscc, scsc, sccs, cssc, cscs, ccss, sssc, sscs, csss, scss, ssss}

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ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________ Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso

seguro,

E,

está

formado

por

todos

los

posibles

resultados

(es

decir, por el espacio muestral).

Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

Suceso imposible

Suceso imposible,

, es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

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ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________ Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos,

A y

B, son

independientes cuando

la probabilidad de

que

suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por

.

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

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ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________ Axiomas de la probabilidad

1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabilidad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3.Si A y B son incompatibles, es decir A

p(A

B =

entonces:

B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

2 Probabilidad del suceso imposible es cero.

3

La

probabilidad

de

la

unión

de

dos

sucesos

es

la

suma

de

sus

probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

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ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________ 5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x 1, x2, ..., xn} entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

P(par) = P(1) + P(2) + P(3)

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ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________

Problemas de probabilidad 1Hallar

la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1Dos caras. 2Dos cruces. 3Dos caras y una cruz.

2Hallar

la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga

un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

3Un

dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las

distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. 2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

4Se

lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos.

Se pide:

1La probabilidad de que salga el 7. 2La probabilidad de que el número obtenido sea par. 3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

5Se

lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1Salga 6 en todos. 2Los puntos obtenidos sumen 7.

6Busca

la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1Un número par.

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ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________ 2Un múltiplo de tres. 3Mayor que cuatro.

7Se

sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra

roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:

1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. 1La primera bola no se devuelve

8Una

urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una

al azar de que:

1Sea roja. 2Sea verde. 3Sea amarilla. 4No sea roja. 5No sea amarilla.

9Una

urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas

al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:

1Extraer las dos bolas con reemplazamiento. 2Sin reemplazamiento.

10Se

extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6

negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

11En

una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y

10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:

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ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________ 1Sea hombre. 2Sea mujer morena. 3Sea hombre o mujer.

12En

un

sobre

hay

20

papeletas,

ocho

llevan

dibujado

un

coche

las

restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

1Si se saca una papeleta. 2Si se extraen dos papeletas. 3Si se extraen tres papeletas.

13Los de

estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5

suspender

un

examen.

La

probabilidad

de

que

suspendan

el

examen

simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

14Dos

hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas

cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

15Una

clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y

la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

16La

probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su

mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1De que ambos vivan 20 años. 2De que el hombre viva 20 años y su mujer no. 3De que ambos mueran antes de los 20 años.

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17Calcular

la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una

moneda cuatro veces.

18Un

grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad

de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas

19Se

extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de

extraer:

1 4 ases. 24 ases y un rey. 33 cincos y 2 sotas. 4Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden. 53 de un palo cualquiera y 2 de otro. 6Al menos un as.

Solucion

1 Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1Dos caras.

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2Dos cruces.

3Dos caras y una cruz.

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2 Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

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3 Un

dado

está

trucado,

de

forma

que

las

probabilidades

de

obtener

las

distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

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4 Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1La probabilidad de que salga el 7.

2La probabilidad de que el número obtenido sea par.

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3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

P r o bl e m a s r e s u e l t o s d e p r o b a b i l i d a d

5 Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1Salga 6 en todos.

2Los puntos obtenidos sumen 7.

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6 Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1Un número par. 29

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2Un múltiplo de tres.

3Mayor que cuatro.

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7 Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:

1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}

1La primera bola no se devuelve

E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

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8 Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que:

1Sea roja.

2Sea verde.

3Sea amarilla.

4No sea roja.

5No sea amarilla.

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9 Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:

1Extraer las dos bolas con reemplazamiento.

2Sin reemplazamiento.

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10 Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

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11 En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:

1Sea hombre.

2Sea mujer morena.

3Sea hombre o mujer.

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12 En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

1Si se saca una papeleta.

2Si se extraen dos papeletas. 33

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3Si se extraen tres papeletas.

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13 Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender

un

examen.

La

probabilidad

de

que

suspendan

el

examen

simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

P r o bl e m a s r e s u e l t o s d e p r o b a b i l i d a d

14 Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

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15 Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

P r o bl e m a s r e s u e l t o s d e p r o b a b i l i d a d

16 La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1De que ambos vivan 20 años.

2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3De que ambos mueran antes de los 20 años.

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17 Calcular

la

probabilidad

de

sacar

exactamente

dos

cruces

al

tirar

una

moneda cuatro veces.

P r o bl e m a s r e s u e l t o s d e p r o b a b i l i d a d

18 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas

P r o bl e m a s r e s u e l t o s d e p r o b a b i l i d a d

19 Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

1 4 ases.

24 ases y un rey.

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ESTADISTICA II Msc. Shalin Carhuallanqui Avila ________________________________________________________________________________ 33 cincos y 2 sotas.

4Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

53 de un palo cualquiera y 2 de otro.

6Al menos un as.

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