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• Carlos Viteri

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HORMIGON PRESFORZADO

CAPITULO 3 RESISTENCIA A LA FLEXION DE VIGAS ISOSTATICAS

3.1. CARACTERÍSTICAS DE LA SECCIÓN, SOLICITACIONES, ESFUERZOS Como se estudió en el capítulo 1, en la ecuación 1.2, para el cálculo de la fuerzo de presfuerzo, se requiere encontrar las características geométricas de la sección transversal del elemento estructural que se va a presforzar, así se tiene de manera general para una sección transversal: G: y1: y2: h: Ic: Ac:

Baricentro. Distancia desde el baricentro de la fibra extrema superior. Distancia desde el baricentro de la fibra extrema inferior. Altura de la sección. Momento de inercia baricéntrico de la sección de hormigón. Área de la sección de hormigón.

i:

Radio de giro. i = √ ⁄

P: T: eo : qo: qd: qD: qL: M P: M0: Md: MD: ML: MT:

Fuerza de presfuerzo (resultante de compresión interna). Fuerza de tensado de cables de presfuerzo. Excentricidad de la fuerza de Presfuerzo P. Carga por peso propio. Carga muerta sobreimpuesta. Carga muerta total. qD = qo + qd Carga viva sobreimpuesta. Momento de presfuerzo. MP = P eo Momento por peso propio. Momento por carga muerta sobreimpuesta. Momento por carga muerta. MD = M0 + Md Momento por carga viva. Momento total. MT = MD + ML

y1 eo (-) G h

eo (+) y2

De la ecuación 1.2 se tiene los esfuerzos producidos por la fuerza de presfuerzo, donde:

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[

]

[

]

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Los esfuerzos producidos por el momento por carga muerta se determinan por:

Los esfuerzos producidos por el momento por carga viva se determinan por:

La convención de signos fue definida en el capítulo 1: Esfuerzos de tracción Esfuerzos de compresión

+ -

Momento positivo si se produce tracciones en la fibra inferior En flexión positiva: Distancias bajo G Distancias sobre G

+ -

Si se tiene el caso de una sección rectangular, se tiene lo siguiente: Ac = b h b y1 = y2 = h/2 3 Ic = b h / 12 i2 = Ic / Ac = (b h3/12) / (bh) = h2/12 ⁄

y1

⁄ ⁄

h

⁄

eo y2

[

⁄ ⁄

]

[

]

Esfuerzos de flexión En una viga que está siendo sometida a cargas gravitacionales, debido al momento flector se generan esfuerzos internos de flexión. Dichos esfuerzos en una viga, en el estado de cargas de servicio, como se definió en el capítulo 1, se determinan según las ecuaciones 3.2 a 3.3. En la figura 3.1 se muestra la distribución de los esfuerzos de flexión en la sección de una viga simplemente apoyada, trazando el diagrama de esfuerzos, el mismo que es una variación lineal.

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f1 C

compresión compresión

z tracción

tracción

T

f2 Figura 3.1. Diagrama de esfuerzos y fuerzas internas por flexión. En el diagrama lineal del lado derecho, aparentemente se tiene una mayor área de tracción, pero las resultantes de tracción y compresión son iguales. El volumen formado tanto para compresión como tracción se reparten en la figura (sección lado izquierdo). El eje baricéntrico es el punto de cambio de compresión a tracción.

3.2. FUERZAS INTERNAS. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRESFORZADO En el sistema autoequilibrado mostrado en la Figura 3.2, de un elemento de hormigón presforzado con un cable curvo, el equilibrio se tiene según: El equilibro del cable se satisface por la acción de las fuerzas interna (PA y PB) en el tensado y por las suma de las fuerzas de desvío f. El equilibro en el hormigón se establece por las reacciones a las fuerzas del cable, P’A en el anclaje A, f’ en el cable, la fuerza P’B en las sección BB’, esta última que produce flexocompresión en la sección. En toda sección presforzada, la acción de cada cable equivale a una fuerza de compresión dirigida según la tangente al eje del cable en el sitio de cruce con la sección donde está aplicada y tiene una intensidad igual a la tensión del cable en ese punto. PA B f f' f f' f P'A

f'

f

f'

f

f'

f

f'

f

f'

P'B

PB B'

Figura 3.2. Acciones y reacciones cable-hormigón.

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3.2.1. Resistencia a la flexión. Si se considera una viga de hormigón presforzado simplemente apoyada con un cable curvo (Figura 3.3.a), donde las fuerzas que equilibran al hormigón, mostradas en la Figura 3.3.b, se tendría que: La fuerza F del cable actuando sobre el hormigón en el anclaje, Las fuerzas N que el cable ejerce sobre el hormigón debido a su curvatura, y La fuerza P, resultante de los esfuerzos normales de compresión que actúan en esa sección. CL

Centroide del hormigón

y1 eo Centroide del acero

y2 (a)

F

f1 P

N P

N

F f2

(b)

(c)

P

(F+N) = T

(d) q f1

P z T f2 (e) R

Figura 3.3. Fuerzas que actúan en una viga de hormigón presforzado típica Se tendría un sistema de autoequilibrio debido al polígono cerrado formado por las fuerzas F, P y N, (Figura 3.3.c). Esto indica que cuando sólo actúa el presfuerzo en una viga estáticamente determinada, las reacciones externas son nulas. En la figura 3.3.d, se representa la tensión T del cable (resultante de las fuerzas F y N), que tiene la misma magnitud pero opuesto sentido de la fuerza P. Ambas fuerzas T y P actúan en el centroide del cable. Para una viga con cable curvo, la resultante de los esfuerzos de compresión en cualquier sección, es tangente a la dirección del cable en esa sección, con su componente horizontal igual a la suma de los esfuerzos normales y su componente vertical igual a la suma de los esfuerzos de corte.

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Al actuar un sistema de cargas externas q, debido al equilibro estático, se genera una reacción en cada apoyo R. Cuando se aplica la carga q gradualmente, la fuerza de presfuerzo P permanece esencialmente constante en magnitud y posición. Los esfuerzos de flexión crecientes al aumentar q, se superponen a los debidos al presfuerzo, lo que trae como consecuencia que la resultante P, de todos los esfuerzos de compresión, se mueva hacia arriba generando así un momento interno resistente que equilibra exactamente al momento exterior, con fuerzas iguales y de sentido contrario P, T, separadas por un brazo de palanca z. La diferencia con una viga de hormigón armado convencional radica en que, al incrementar gradualmente la carga externa q, la distancia z permanece básicamente constante y el momento resistente se incrementa al aumentar las fuerzas internas. En el caso de una viga de hormigón presforzado, el momento resistente aumenta al ampliarse el brazo de palanca z, cuando se desplaza hacia arriba la resultante de los esfuerzos de compresión (las fuerzas internas permanecen constantes).

3.3. NÚCLEO CENTRAL DE INERCIA. CENTRO DE PRESIÓN. 3.3.1. Núcleo Central de inercia. Los esfuerzos que se generen en un elemento de hormigón presforzado dependen de la magnitud y ubicación de la fuerza P (Figura 3.4). El núcleo central de inercia de la sección es el área alrededor del centro de gravedad en la que se puede ubicar la resultante P, sin que se produzcan esfuerzos de tracción en el hormigón. Las posiciones extremas superior e inferior al centro de gravedad definen esfuerzos nulos en las fibras extremas inferior y superior respectivamente. Para la sección rectangular de la Figura 3.4, los límites k1 y k2 definen diagramas de esfuerzos a compresión con tracciones nulas. b f1 = 0

f1

Nucleo Central de Inercia P

k1

h

k2

k1 k2

P

f2

f2 = 0

Figura 3.4. Esfuerzos y excentricidades del núcleo central de inercia, para una sección rectangular Caso f2 = 0, donde el esfuerzo en la fibra extrema inferior es nulo se logra cuando P está ubicado en el límite superior del núcleo y la excentricidad respecto al centro de gravedad es k1, el mismo que se define: [

]

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Caso f1 = 0, donde el esfuerzo nulo se da en la fibra extrema superior debido a que P se encuentra ubicado en el límite inferior del núcleo y su excentricidad es k2, el mismo que sería: [

]

Si la fuerza P se aplica más abajo del límite k2 se producirían tracciones en la fibra extrema superior y de manera análoga, si se aplica P más arriba de k1 se tendría tracciones en la fibra extrema inferior. En el caso de la sección rectangular, los límites serían: Ac = bh i2 = h2/12 k1 = - h/6

Ic = bh3/12 k2 = h/6

En la Figura 3.5 se tiene secciones típicas de vigas metálicas y de hormigón presforzado, donde se aprecia que los límites del núcleo central de inercia son mayores. Esto se debe a que la sección, por sus características geométricas tiene mayor rendimiento. Se observa que mientras más alejado del centroide se encuentren las concentraciones de masa, mas altura tendría el núcleo.

k1

k1 k2

k2

(a)

(b)

Figura 3.5. Núcleos límites en secciones de vigas metálicas y de hormigón presforzado La altura del núcleo está dado por: (

)

(

)

Donde el rendimiento geométrico de la sección, que es una medida de la eficiencia a flexión de la viga, sería:

Altura del núcleo: ρ h En vigas de sección T, I o cajón, el valor del rendimiento geométrico es mayor que secciones rectangulares, es por su geometría. ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO

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3.3.2. Centro de presión. Como se estudió en el artículo 3.2, para una sección de una viga sometida a una fuerza de precompresión, debido a la aplicación de fuerzas externas se genera una distribución de esfuerzos internos de compresión en el hormigón, cuya resultante P, que es igual en magnitud a la fuerza de tensión del cable (Fuerza de presfuerzo) T, se desplaza verticalmente respecto al cable una distancia z = M/T. este desplazamiento permite generar el par interno y el respectivo momento resistente. Cabe indicar que para que la fuerza de compresión P se desplace según el momento debido a las cargas externas, la sección de la viga es no agrietada y el trabajo de la misma es en su rango elástico. El centro de presión se define como el lugar geométrico del punto de aplicación de la resultante de compresión en la sección del elemento estructural. Si se considera una viga de hormigón presforzado, con una fuerza de tensión del cable T aplicada con una excentricidad eo (Figura 3.6), en el momento de la transferencia de dicha fuerza se tendría la Fuerza de compresión P en el hormigón, de manera simultánea e inmediata actúa el peso propio y la fuerza P se desplaza hacia arriba una distancia M0/P, como se muestra en la Figura 3.6.b. Cuando se construya los elementos adicionales (losas, vigas secundarias, aceras, barandas, sobrepisos, etc.) estos incluyen una carga muerta adicional (qd) y un momento flector Md, por lo que el centro de presión se desplaza una distancia Md/P. Una vez la viga entra en servicio, se aplica la carga viva (qL), con un desplazamiento del centro de presiones de ML/P. Las distancias que se desplaza la excentricidad inicial son: z1 = M0/P z2 = M0/P + Md/P = (M0 + Md)/P = MD/P z3 = M0/P + Md/P + ML/P = (M0 + Md + ML)/P = MT/P Dónde: M0: Md: ML: MD: MT:

Momento por peso propio Momento por carga muerta sobreimpuesta Momento por carga viva Momento por carga muerta Momento total f1 = 0

f1

f1

P

P centroide viga

k1 k2

centroide cable

P P

z3

P

P

eo

z2

z1 T

f2 (a)

f2 (b)

(c)

f2 = 0 (d)

Figura 3.6. Desplazamiento del centro de presión

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Se debe procurar que los desplazamientos que sufre el centro de presiones no exceda los límites del núcleo central, de esta manera se controla que no se generen esfuerzos de tracción en el hormigón. Cuando se tiene esta condición se estaría en el caso de vigas completamente presforzadas. Para el caso de que la viga esté sometida a la carga de servicio, Figura 3.6.d, el brazo de palanca entre la fuerza de tensión de T y la fuerza de compresión P, es igual a la suma de las excentricidades de cada una de estas fuerzas del centro de gravedad de la sección, así: z = eo + k1 = eo + i2/y2 Además, los momentos internos y externos deben ser iguales en magnitud y opuestos en cada sección de la viga. Por lo tanto, el momento externo total que la viga resiste en la sección considerada para esfuerzos f2 = 0, sería: MT = MD + ML = P z = P (eo + i2/y2) La sucesión de los centros de presión definen las líneas y huso de presiones, tal como se muestra en la Figura 3.7. Línea de presión para momento máximo

Huso de presión

Línea de presión para mínimo momento

Cable

Figura 3.7. Huso de presión El cable considerado en el análisis es teórico, el mismo que representa la suma o resultante de cables reales que se tiene en la viga. En el caso de vigas pretensadas (Figura 3.8.a) el cable teórico se ubica en el centroide de la resultante de los torones distribuidos en la sección, mientras que para el postensado, debido a que los torones se concentran en los ductos, el cable teórico se ubicaría en la resultante de los ductos.

eo

eo

(a)

(b)

Figura 3.8. Cables resultantes en vigas pretensadas y postensadas

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El “cable resultante” que representa la aplicación de la fuerza de presfuerzo, debido a que la flexión en vigas simplemente apoyadas varía a cero en los apoyos, cambia su posición o se reduce su magnitud a lo largo de la viga. En el caso de vigas postensadas, el cable cambia de posición con el desvío de los ductos que llevan los torones; para reducir la magnitud de la fuerza estos ductos se anclan antes de llegar a los extremos, tal como se muestra en la Figura 3.9a. En la Figura 3.9.b se tiene el cable teórico que resulta de anclar los ductos de la viga postensada. Para vigas pretensadas, se logra reducir la magnitud de la fuerza aislando los torones antes de llegar a los extremos. De esta manera se evita la transferencia de los torones aislados. C L

Ductos

(a)

Cable teórico

(b)

(c)

Figura 3.9. Cambio de posición del cable en vigas pretensadas y postensadas.

3.4. NÚCLEO LÍMITE EN UNA VIGA PRESFORZADA. Línea de presión para momento máximoel núcleo central de inercia controla que no se generen esfuerzos de Como se estudió anteriormente, tracción en el hormigón bajo las cargas de servicio, pero no se puede controlar excesos de compresiones que superen la resistencia del hormigón. Huso de presión El núcleo límite controla tanto las tracciones como las compresiones excesivas en la sección de una viga de hormigón presforzado.

Generalmente el hormigón usado es de alta resistencia, con esfuerzos de rotura a la compresión de una Línea de presión probeta ensayada para a losmomento 28 días de f’c ≥ 300 kg/cm2,Cable de esta manera se logra aplicar grandes fuerzas de mínimo presfuerzo.

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Por otro lado, debido al acortamiento elástico que sufre el hormigón al momento de la transferencia, los cables de presfuerzo sufren una pérdida de tensión y en consecuencia una pérdida de la fuerza de presfuerzo. Hormigones de alta resistencia ayudan a reducir este efecto ya que el modulo elástico del hormigón es proporcional a la resistencia a la compresión, Ec = 15100 √ , y la deformación unitaria está determinada por ε = f / E, por lo tanto a mayor resistencia, mayor módulo de elasticidad y menores deformaciones en el hormigón. El esfuerzo de trabajo del hormigón (esfuerzo admisible) es aquel que limita el esfuerzo de compresión en un elemento de hormigón presforzado y está dado como una fracción de la resistencia del hormigón a la rotura. En el capítulo 5 se estudian los esfuerzos límites dados por los reglamentos. Con un factor de seguridad de 2.5, que garantice el comportamiento elástico del elemento, se puede considerar el esfuerzo de compresión admisible (fc) como un porcentaje del esfuerzo de rotura del hormigón, con un coeficiente de 1 / 2.5 = 0.40, se tendría que fc = 0.40 f’c. Se tendría, por tanto, cuatro límites para los esfuerzos en una sección de una viga de hormigón presforzado, en la Figura 3.9.a se tienen los esfuerzos limites en el estado de vacío (cargas muertas) y en la Figura 3.9.b se aprecia los límites en el estado de servicio (carga de servicio). R1i = f 1 = 0

R1s = f 1 = fc

P

Donde se debe cumplir: R1i ≤ f1 ≤ R1s R2i ≥ f2 ≥ R2s

P

R2i = f 2 = fc (a)

R2s = f 2 = 0 (b)

f 1Figura = R1i 3.9. Límites de esfuerzos. f 1 = R1s

ft

Las ecuaciones 3.1 y 3.2, se las replantean en función del esfuerzo baricéntrico del presfuerzo P

[ a2' P

f2

]

[

]

]

[

]

P a1'

a1''

a2''

[P

f2 =fcc R2iel esfuerzo baricéntrico f2 f 2 = R2s Siendo debido al presfuerzo.

El núcleo límite estará determinado por las excentricidades límites a1 y a2, las mismas que controlan que los esfuerzos en las fibras extremas superior e inferior no excedan el rango admisible de trabajo, tanto en estado de vacío como en estado de servicio. Por tanto se tendría que verificar los máximos y mínimos esfuerzos permisibles, en cada estado, donde las excentricidades límites estarían dadas por:

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P

HORMIGON PRESFORZADO R2i = f 2 = fc (a)

Para el estado de vacío: R1i = f 1 = 0 f 1 = R1i

R2s = f 2 = 0 (b) R1s = f 1 = fc

f 1 = R1i

ft

f 1 = R1s

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema superior se igual alPlímite R1i (f1 = R1i), a2’ es: P

[

R2i = f 2 = fc (a) f 2

] P R2s = f 2 = 0 f2 = R2i (b)

f 2 = R2s

f2

ft f 1 = R1s La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema inferior se igual al límite R2i (f2 = R2i), a2’’ es: R1s = f 1 = fc

f 1 = R1i

f1 = 0

P

[

P a2'

a2''

PP

a1''

a2''

[

P

R1i

a1'

]

aP2'

P

P a1' ]

[

a1''

]

P f2 = R2i

f2

= fc

R2s = f 2 = 0 (b)

R1s = f 1 = fc

f 2 = R2s

f2

Para el estado de servicio: ft

f 1 = R1s

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema superior se igual al límite R1s (f1 = R1s), a1’ es:

P

P

P a1'

a1''

[

]

a2''

[

P

R2s = f 2 = 0 (b)

= R2i

f 2 = R2s

f2

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema inferior se igual al límite R2s (f2 = R2s), a1’’ es:

f1

R1s

P

]

P a1'

[

a1''

[

] ]

f 2 = R2s

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a1 a1'

a1''

G a2'

a2

Las excentricidades a2’ y a2’’ definen los límites inferiores para el centro de presión, mientras que las a1’ y a1’’ son los límites superiores. Estas excentricidades varían en función de la fuerza de presfuerzo y de la geometría de la sección, por lo que pueden variar por cada caso.

a2''

El núcleo límite, por tanto, estaría definido por las excentricidades más cercanas al centroide de la sección. Excentricidades fuera de este rango podría producir máximos o mínimos esfuerzos excesivos en las fibras extremas superior o inferior. El límite superior, a1, será el menor valor entre a1’ y a1’’. El límite inferior, a2, sería el menor valor entre a2’ y a2’’. Se debe tener cuidado, ya que por la convención de signos, las excentricidades medidas sobre el centroide son negativos y los medidos bajo este son positivos. El núcleo límite se definiría como la zona de la sección de una viga presforzada, dentro de la cual debe permanecer el centro de presiones, para que en cualquier condición de carga, los esfuerzos en las fibras extremas (superior e inferior) cumplan con los esfuerzos límites establecidos en cada caso. El Huso Límite es la sucesión de los núcleos límites en la longitud de la viga (Figura 3.10). Límite superior

a1 a1'

a1''

G a2'

Huso Límite a2

a2''

Límite inferior

Figura 3.10. Huso Límite. Ejemplo 3.1. En una viga simplemente apoyada de sección rectangular de 30x80 cm, sometida a una fuerza de presfuerzo efectiva de 200 t con un cable a 10 cm por debajo del centroide, definir el núcleo límite. El hormigón usado para la viga es de f’c = 300 kg/cm2; el esfuerzo límite de compresión es de 0.4 f’c y el mínimo esfuerzo 5 kg/cm2. b = 30 cm h = 80 cm y1 = - h/2 = - 40 cm y2 = h/2 = 40 cm e = 10 cm P = - T = - 200 t Ac = b h = 30 x 80 = 2400 cm2

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HORMIGON PRESFORZADO Ic = b h3 / 12 = 30 x 803 / 12 = 1280000 cm4 i2 = Ic / Ac = 533.33 cm2 fcc = P/Ac = - 200000 / 2400 = - 83.33 kg/cm2 fc = 0.4 x 300 = 120 kg/cm2

30

Los límites de esfuerzos serían: - 120 ≤ f1 ≤ - 5 - 120 ≤ f2 ≤ - 5 [

]

-12.53 80

[

]

[

]

[

]

5.87

-5.87 12.53

eo

Los límites que definen el núcleo límite son: a1 = - 5.87 cm a2 = 5.87 cm

3.5. DETERMINACIÓN DEL NÚCLEO DE PASO Y HUSO DE PASO. En el diseño de una viga presforzada, se debe procurar que el centro de presiones este siempre ubicado dentro del núcleo límite, así se garantiza que los esfuerzos producidos sean admisibles. De tal manera que la ubicación inicial del cable de presfuerzo es muy importante, ya que al someter el elemento a flexión, el centro de presión se desplaza. La posición inferior en la que debe estar ubicado el cable de presfuerzo estaría determinado por: Mmin/P, mientras que la posición superior en la que debe estar ubicado el cable sería: Mmax/P (ver Figura 3.11), donde: Mmin = M0 Mmax = MD + ML La carga mínima a la que estará sometida la viga de hormigón presforzado se dará en el estado de transferencia, cuando el elemento se encuentra en el banco de presfuerzo, sin que haya recibido aún otras cargas. En el estado de transferencia, debido a la flexo-compresión del presfuerzo, el elemento sufre una deflexión hacia arriba, apoyándose en sus extremos. Generalmente la carga en este estado será la del peso propio, el que genera el mínimo momento flector, desplazando al centro de presión hacia arriba. El núcleo de paso, por tanto, se define como el espacio en la sección de la viga, entre la posición inferior y la posición superior en la que debe ubicarse el cable de presfuerzo, de tal manera que cuando el elemento esté sometido a flexión debido a la mínima y máxima carga, el centro de presión se ubique siempre dentro del núcleo límite.

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a1

M P e''o a2 nucleo de paso

e'o

M P

Figura 3.11. Núcleo de paso. La distancia inferior del cable desde el baricentro estaría determinado por:

La distancia superior del cable desde el baricentro estaría determinado por:

El núcleo de paso estaría definido por el intervalo: e’o – e’’o En una viga simplemente apoyada, los límites del núcleo de paso en la sección central (máximos momentos) están más cerca entre sí, mientras que en los extremos (momento cero) el núcleo de paso coincide con el huso límite, tal como se aprecia en la Figura 3.12. Huso límite

Huso de paso

Figura 3.12. Huso de paso. Para la determinación del trazado del cable de presfuerzo, el diseñador deberá colocar el cable resultante dentro del huso de paso, de esta manera se garantiza que, debido a las mínimas y máximas flexiones por cargas externas, no se generen esfuerzos fuera de rango admisible.

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Ejemplo 3.2. De la viga del ejemplo 3.1, con una sobrecarga (qS = qd + qL) de 1000 kg/m, trazar el huso de paso. Considerar que la viga tiene una luz de apoyo de 12.00 m. Los límites del núcleo límite son: a1 = - 5.87 cm a2 = 5.87 cm Peso propio: qo = 0.30 x 0.80 x 2400 = 576.00 kg/m En el centro de la viga: Mmin = M0 = 576.00 x 122 / 8 = 10368.00 kg-m = 1036800 kg-cm MS = 1000.00 x 122 / 8 = 18000.00 kg-m = 1800000 kg-cm Mmax = Mmin + MS = 10368.00 + 18000.00 = 28368.00 kg-m = 2836800 kg-cm Los límites están dados por las ecuaciones 4.11 y 4.12: eo’ = a2 + Mmin/P = 5.87 + 1036800 / 200000 = 5.87 + 5.18 = 11.05 cm eo’’ = a1 + Mmax/P = - 5.87 + 2836800 / 200000 = - 5.87 + 14.18 = 8.31 cm En L/4 = 3.00 m: R0 = 576.00 x 12 / 2 = 3456.00 kg Mmin = M0 = 3456.00 x 3 - 576.00 x 3.002 / 2 = 7776.00 kg-m = 777600 kg-cm RS = 1000.00 x 12 / 2 = 6000.00 kg MS = 6000.00 x 3 - 1000.00 x 3.002 / 2 = 13500.00 kg-m = 1350000 kg-cm Mmax = Mmin + MS = 7776.00 + 13500.00 = 21276.00 kg-m = 2127600 kg-cm eo’ = a2 + Mmin/P = 5.87 + 777600 / 200000 = 5.87 + 3.89 = 9.76 cm eo’’ = a1 + Mmax/P = - 5.87 + 2127600 / 200000 = - 5.87 + 10.64 = 4.77 cm En los apoyos, debido a que los momentos son nulos, el huso de paso coincide con los bordes del núcleo límite. eo’ = a2 = 5.87 cm eo’’ = a1 = - 5.87 cm L/2=6.00

Huso de paso L=12.00

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3.6. MOMENTO DE AGRIETAMIENTO: El momento de agrietamiento es aquel que produce las primeras grietas capilares en una viga presforzada, la misma que sería una medida de la suficiencia de la viga en cargas de servicio. Se supone que el agrietamiento comienza una vez que la fibra extrema (para momentos positivos la fibra extrema inferior) alcance un valor de esfuerzo de tracción igual al módulo de ruptura del hormigón fr. El esfuerzo de agrietamiento fr, debido al presfuerzo y a las cargas de servicio está dado por: [

] b

[

(

f1

)]

P

y1

[

]

h

y2 T f 2 = fr

Dónde: Mcr: Momento de agrietamiento fr Ic/y2: Momento resistente debido al módulo de ruptura P i2/ y2: Momento resistente debido a la compresión directa del presfuerzo P eo: Momento resistente debido a la excentricidad del presfuerzo En el caso de que el centro de presión esté en el borde superior del núcleo límite, el esfuerzo en la fibra inferior es nulo, donde el momento resistente sería: (

)

(

)

Para que en la fibra inferior, que está con esfuerzos cero, se genere el esfuerzo fr, es necesario un momento adicional M2, el mismo que se define como:

(

)

La ecuaciones 3.7 y 3.8 son equivalentes

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HORMIGON PRESFORZADO

Ejemplo 3.3. De la viga del ejemplo 3.2, si se coloca el cable de presfuerzo 11 cm por debajo del centro de gravedad, determinar la carga uniforme total máxima que puede soportar la viga. Considerar 20 % de pérdidas de la fuerza de presfuerzo. La máxima carga que puede soportar una viga se da en la condición de tracciones nulas en la fibra extrema inferior, esto es cuando la resultante de compresión (línea de presión) está en el borde superior del núcleo límite de la sección (k1), donde: T = 200 t; Pe = 0.80 x (- 200) = - 160 t Te = - Pe = 160 t eo = 11 cm L = 12.00 m y1 = - 40 cm y2 = 40 cm Ac = 2400 cm2 Ic = 1280000 cm4 i2 = 533.33 cm2 k1 = - i2 / y2 = -533.33 / 40 = - 13.33 cm k2 = - i2 / y1 = - 533.33 / - 40 = 13.33 cm M1 = T (eo + k1) = 160000 (11 + 13.33) = 3892800.00 kg-cm = 38928.00 kg-m La carga, para la viga simplemente apoyada, debida al momento M1 se determina como: q1 = 8 M1/L2 = 8 x 38928.00 / 12.002 = 2162.67 kg/m Para que se dé el estado de agrietamiento en la fibra extrema inferior, el esfuerzo debe llegar a ser igual a fr, donde: M2 = fr Ic / y2 = 37.42 x 1280000 / 40 = 1197440.00 kg-cm = 11974.40 kg-m Mcr = M1 + M2 = 38928.00 + 11974.40 = 50902.40 kg-m qcr = 8 Mcr / L2 = 8 x 50902.40 / 12.002 = 2827.91 kg/m

3.7. MOMENTO DE AGOTAMIENTO: El mecanismo resistente de una viga de hormigón presforzado, en nivel de servicio, se debe al incremento del brazo del par interno de fuerzas cuando se incrementan las cargas, manteniéndose las fuerzas internas esencialmente constantes. Este comportamiento elástico se mantiene hasta que se alcance el momento de agrietamiento. Una vez se alcance el momento de agrietamiento, donde se comienza a evidenciar las primeras grietas, se genera un incremento súbito del esfuerzo del acero junto con un aumento en los esfuerzos de compresión del hormigón. Con incrementos de carga adicional la viga de hormigón presforzado presenta un comportamiento muy similar al de una viga de hormigón armado ordinario, donde el brazo de palanca permanece casi constante y se tiene incrementos de esfuerzos y deformaciones tanto en el acero como en el hormigón.

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A grandes deformaciones el hormigón sufre aplastamiento al llegar a su deformación última εu en la fibra extrema a compresión. Por tanto, el comportamiento a la falla de una viga de hormigón presforzado es muy similar a una de hormigón armado ordinario. Para cargas normales de uso, el momento de agotamiento de una viga es independiente de la historia de carga, es decir se romperá aproximadamente a la misma solicitación en ensayos de larga o corta duración. Esto es de fundamental importancia al evaluar estructuras existentes. Tipos de falla en el agotamiento resistente a flexión: 1.- En vigas subreforzadas: Con grandes deformaciones en el acero se inicia la falla, seguida con el aplastamiento del hormigón cuando alcanza εu, en la fibra extrema. En este tipo de fallas se generan grandes deformaciones y agrietamientos que se propagan hacia el eje neutro. 2.- En vigas sobrerreforzadas: Cuando el hormigón alcanza la deformación unitaria última εcu, el acero está aún por debajo del esfuerzo de cedencia (fpy). En esta condición el eje neutro se desplaza hacia abajo, debido a que el incremento casi lineal de esfuerzos en el acero debe equilibrarse con un aumento del área comprimida y con el incremento de los esfuerzos de compresión en el hormigón. Esta falla es súbita y con poca deformación. En las vigas de hormigón armado ordinario, que una viga sea subreforzadas o sobrerreforzadas depende de las propiedades de la curva esfuerzo-deformación (fp – εs) del acero y así como de la cuantía de refuerzo ρ = As/bd. En vigas de hormigón presforzado, ya sean subreforzadas o sobrerreforzadas, además de la cuantía de refuerzo y de la curva esfuerzo-deformación, depende del nivel de esfuerzos del acero de presfuerzo. Esto quiere decir que una viga sobrerreforzada puede ser transformada a una subreforzada al incrementar el nivel de presfuerzo en el acero, situándolo más cerca de la zona plástica y asegurando así un comportamiento subreforzado cuando las cargas externas se incrementen hasta la falla. En cuanto a la cuantía de acero de presfuerzo ρ, no hay un valor claro que señale el límite entre los dos tipos de falla. Existe una transición gradual a medida que se aumenta el ρ de presfuerzo. Sin embargo, para los materiales de uso corriente en la actualidad, se puede considerar lo siguiente, para las secciones que son resistentemente rectangulares: 1.- Secciones subreforzadas: 0.3< ρ < 0.8% ; 0.15 < ω < 0.4 2.- Secciones sobrereforzadas: ρ > 1% ; ω > 0.5 3.- Rotura de hilos ó torones: ρ < 0.15% ; ω< 0.08 Determinación del momento de agotamiento: 1.- Vigas subreforzadas: La resistencia a flexión de una sección de hormigón armado o presforzado se establece a partir de las condiciones de equilibrio y de la hipótesis de que las secciones planas de una sección antes de la deformación, permanecen planas luego de su ocurrencia. Las condiciones de esfuerzo y deformación del hormigón en el agotamiento resistente se presentan en la Figura 3.13, tanto para secciones presforzadas como para las de hormigón armado ordinario. ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO

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HORMIGON PRESFORZADO 3 f'c

cu

b

2 c u d

c˜ 0

C = 1 3 f'c bc

c

d Deformación en el hormigón debido al presfuerzo

T = Ap fpu

s Acero de presfuerzo (a) Condición de momento último en hormigón presforzado

3 f'c

cu

b

2 c u d

c

C = 1 3 f'c bc

d

T = As fsu

s Acero de resfuerzo (b) Condición de momento último en hormigón armado ordinario

Figura 3.13. Condiciones de momento último para vigas de hormigón armado y presforzado. Las figuras ilustran que la importancia del presfuerzo es menor ya que apenas modifica el diagrama de deformaciones. Secciones rectangulares de hormigón presforzado con falla a tracción. Ecuaciones de equilibrio: T=C

Ec. 3.9

Ap fpu = β1 β3 f'c b c

Ec. 3.10

Mu = Ap fpu (d – β2 c)

Ec. 3.11

Compatibilidad de deformaciones:

(

)

Resolviendo (3.10) para c y sustituyendo en (3.11): Ap fpu = β1 β3 f'c b c ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO

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HORMIGON PRESFORZADO

Sean:

(

)( )

(

)

(

)

Experimentalmente, el ACI determinó que para secciones rectangulares, la relación entre β1 β2 y β3 sería:

Donde la ecuación de momento último quedaría: Mu = Aps fpu d [ 1 - 0.59 ω ]

Ec. 3.13

También: (

)

(

)

Mu = f'c b d2 ω [ 1 - 0.59 ω]

Ec. 3.14

De acuerdo al ACI, las ecuaciones 3.13 y 3.14 deberán ser afectadas por el factor reductor de resistencia Ø = 0.9. Secciones "T" presforzadas fallando en tracción con el eje neutro en el nervio: B = Ancho total del ala bw = Ancho del alma t = Espesor del ala Fuerzas en el nervio: Cw = β1 β3 f'c bw c;

Tw = Apw fpu

Fuerzas en las alas: Cf = 0.85 f'c (B – bw) t; Tf = Apf fpu Área de acero que equilibra a las alas:

Apf = 0.85 f'c (B – bw) t / fpu

Área de acero que equilibra al nervio:

Apw = Ap – Apf

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Determinación del eje neutro usando el nervio: Tw = Cw Ap fpu = β1 β3 f'c bw c

Considerando que ρw = Apw / (bw d), donde, ωw = ρw fpu / f'c, para incluir “d” en la ecuación anterior, se tiene:

El momento último sería: (

)

(

)

Reemplazando c: (

)

(

(

)

)

(

)

Si, ωw ≤ 0.4, la sección es seguramente subreforzada y en ese caso, las ecuaciones 3.13 y 3.14 dan valores del momento de agotamiento, que se corresponden muy bien con los resultados experimentales. 2.- Vigas sobrerreforzadas: Para una viga de sección sobrerreforzada, el Eje Neutro se encuentra profundo y la falla de compresión en el hormigón ocurrirá antes de que se desarrolle en el acero la resistencia a la ruptura. En este caso para determinar el esfuerzo en el acero a la falla de la sección fpu, se requiere conocer la deformación del acero εse, por el presfuerzo efectivo fpe, es decir luego de ocurridas todas las pérdidas. εse = fpe/Ep fpe = Pe/Ap Se requiere además tener las relaciones de deformación de la sección y la curva fp – εs del acero. Un proceso iterativo permite hallar la solución así: 1.- Calcular 2.- Con c, se calculan las deformaciones: εsu = εu (d - c)/c; donde εu = 0.003 3.- Se determina: εse = fpe/Ep 4.- Se determina: εstot = εsu + εse 5.- Con εstot se determina en el diagrama fp – εs el valor de fp Si fp está cerca de fpu, la sección no es sobrerreforzada y puede usarse en los cálculos fp = fpu. Si fp es apreciablemente menor que fpu, el valor real de fp se establece repitiendo el proceso hasta que los valores supuestos y calculados de fp concuerden.

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Ecuaciones del ACI para el momento de agotamiento: Como alternativa a los procedimientos más exactos basados en la compatibilidad de deformaciones, el ACI permite determinar el valor del esfuerzo del acero a la falla de manera aproximada usando la expresión 18-3, siempre que los alambres o torones estén adheridos y además que: fpe ≥ 0.5 fpu [

(

(

))]

Dónde:

ω y ω’ incluyen en la ecuación ACI 18-3 la colaboración del acero de refuerzo ordinario. γp es un factor que depende del tipo de acero de presfuerzo. EL tipo de acero estándar usado en la actualidad es el acero de baja relajación y para este tipo de acero la relación de esfuerzos es: γp = 0.55 para fpy/fpu ≥ 0.8, γp = 0.40 para fpy/fpu ≥ 0.85, γp = 0.28 para fpy/fpu ≥ 0.90, β1 = 0.85 para f'c ≥ 280 kg/cm2, disminuyendo 0.05 cada 7 kg/cm2 sobre 280 kg/cm2, con un valor mínimo de 0.65. La resistencia estándar del hormigón para elementos presforzados es de f'c = 350 a 420 kg/cm2, por lo tanto. β1 = 0.8 a 0.75 γp/β1 = 0.35 a 0.37. Sin considerar el acero ordinario en la resistencia y para torones o alambres de acero de baja relajación y hormigón con f'c = 350 kg/cm2, la ecuación ACI 18-3 quedaría: [

(

)]

Sin considerar el acero ordinario en la resistencia y para torones o alambres de acero de baja relajación y hormigón de f'c = 420 kg/cm2, la ecuación ACI 18-3 quedaría: [

(

)]

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