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Capitulo I

Estructura cristalina

1. Calcule el radio atómico en centímetros para lo siguiente: a). Metal BCC con a0 = 0.3294 nm y con un átomo por punto de red b). Metal FCC con a0 = 4.086 Ǻ y con un átomo por punto de red. Solución a ).

aBCC =

4r 3

a 3 4 (3.294 x 10−8 cm)( 3 ) r = = 1.4263 x 10−8 cm 4 r =

b). aFCC = r =

a ).

4r ; 4

r =

a 2 4

(4.086 x 10 −8 cm)( 2 ) = 1.446 x 10−8 cm 4 a BCC =

4r 3

a 3 4 (3.294 x 10−8 cm)( 3 ) r = = 1.4263 x 10−8 cm 4 r =

b). aFCC = r =

4r ; 4

r =

a 2 4

(4.086 x 10−8 cm)( 2 ) = 1.446 x 10 −8 cm 4

2. Determine la estructura cristalina del siguiente: a). Un metal con a = 4.9489 Ǻ, r = 1.75 Ǻ y un átomo por punto de red. b). Un metal con a = 0.4206 nm, r = 0.1858 nm y un átomo por punto de red. Solución a ).

FAC =

( Núm. átomos / celda unitaria )(vol . átomo ) volumen de la celda

4 4 (2 átomos / celda unit ) π (r 3 ) (2 átomos / celda unit ) π (1.75) 3 3 3 FAC = = = 0.74 a3 (4.9489)3 4 (2 átomos / celda unit ) π (0.1858)3 3 b). FAC = = 0.68 (0.4206) 3

Capitulo I

Estructura cristalina

3. La densidad del potasio que tiene una estructura BCC y un átomo por punto de red es 0.855 gr/cm 3. El peso atómico del potasio es 39.09 gr/mol; calcule: a). El parámetro de red b). El radio atómico del potasio Solución Densidad = 0.855 g/cm3 Peso atómico = 39.09 g/mol Número átomos/celda unitaria = 2 Núm. Avogadro = 6.02 x 1023g/g-mol

a ). Densidad =

( Núm. átomos / celda unitaria )(Masa atómica ) (volumen dela celda)( Núm. avogadro)

4 (2 átomos / celda unit ) π (1.75)3 (2 átomos / celda unit )(39.09 g / mol ) 3 0.855 g / cm3 = = = 0.74 a 3 (6.02 x 1023 g / g − mol ) (4.9489)3 Si a 3 =

4r (2)(39.09 g / mol ) = = 1.5189 x 10− 22 23 (0.855)(6.02 x 10 g / g − mol ) 3

a = 3 1.5189 x 1022 = 5.3355 amstrons b). r =

a 3 (5.3355 amstrons )( 3) = = 2.31 amstrons 4 4

4. La densidad del torio que tiene una estructura FCC y un átomo por punto de red es de 11.72 g/cm 3. El peso atómico del torio es de 232 g/mol, calcule: a). El parámetro de red b). El radio atómico del torio Solución a). Densidad = 11.72 g/cm3

Capitulo I

Estructura cristalina

Peso Atómico = 232 g/mol Número de átomos/celda unitaria. = 4 Número de Avogadro = 6.02 x 1023 gr/gr-mol

a ).

Densidad =

11.72 g / cm3 =

Si a 3 =

( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen de la celda )( Núm. avogadro)

(4 átomos / celda unit )(232 g / mol ) a 3 (6.02 x 1023 g / g .mol )

(4)(232 g / mol ) = 1.3152 x 10− 22 3 23 (11.72 g / cm )(6.02 x 10 g / g − mol )

a = 3 1.3152 x 10− 22 = 5.0854 amstrons b). a =

4r a 2 (5.0854 amstrons )( 2) ; r= = = 3.60 amstrons 4 4 2

5. Un metal con una estructura cúbica tiene una densidad de 1.892 g/cm 3, un peso atómico de 132.91 gr/mol y un parámetro de red de 6.13 Ǻ. Un átomo esta asociado con cada punto de la red. Determine la estructura cristalina del metal. Solución Densidad = 1.892 g/cm3 Peso atómico = 132.91g/mol a = 6.13 Ǻ = 6.13 x 10- 8 cm

Densidad =

( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen dela celda )( Núm. avogadro)

(2 átomos / celda unit )(132.91 g / mol ) = 1.90 (6.13)3 (6.02 x 1023 g / g .mol ) La estructura cristalina es BCC

1.892 g / cm3 =

Capitulo I

Estructura cristalina

6. El indio tiene una estructura tetragonal, con a o = 0.32517 nm y co = 0.49459 nm; la densidad es 7.286 g/cm3 y el peso atómico es de 114.82 g/mol. ¿Tiene el indio una estructura tetragonal simple o una estructura tetragonal centrada en el cuerpo? Solución Densidad = 7.286 g/cm3 Peso atómico = 114.82 g/mol a0 = 0.32517 nm = 3.2517 x 10- 8 cm c0 = 0.49459 nm = 4.9459 x 10- 8 cm Densidad =

( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen dela celda )( Núm. avogadro)

7.286 g / cm3 =

( Núm. átomos / celda unit )(114.82 g / mol ) (3.2517 x 10− 8 cm) 2 (4.9459 x 10− 8 cm) (6.02 x 10 23 g / g .mol )

Núm. átomos / celda unitaria =

(7.286 g / cm3 )(3.2517 x 10− 8 )(4.9459 x 10 − 8 )(6.02 x 10 23 ) 114.82 g / mol

Núm. átomos / celda unitaria = 1.31 ( BCC )

7. El bismuto tiene una estructura hexagonal, con a = 0.4546 nm y c = 1.186nm; la densidad es 9.808 g/cm3 y el peso atómico es de 208.98 g/mol, determine: a). El volumen de la celda unitaria b). Cuantos átomos existen en cada celda unitaria Solución a). a0 = 0.4546 nm = 4.546 x 10- 8 cm c0 = 1.186 nm =1.186 x 10- 8 cm Densidad = 9.808 g/cm3 Masa atómica = 208.98 g/mol

a3 = (4.546 x 10- 8 cm)2(1.186 x 10- 8) = 2.451 x 10- 22 cm3

Capitulo I Densidad =

Estructura cristalina ( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen dela celda )( Núm. avogadro)

9.808 g / cm3 =

( Núm. átomos / celda unit )(208.98 g / mol ) (2.461 x 10− 22 cm) 2 (6.02 x 10 23 g / g .mol )

(9.808 g / cm3 )(2.451 x 10− 22 )(6.02 x 1023 ) Núm. átomos / celda unitaria = 208.98 g / mol Núm. átomos / celda unitaria = 6.92 (7 átomos / celda unitaria)

8. El galio tiene una estructura ortorrómbica, con a = 0.45258 nm, b = 0.45186 nm y c = 0.76570 nm. El radio atómico es 0.1218 nm, la masa atómica es de 69.72 g/mol y la densidad es 5.904 g/cm 3; Determine: a). El número de átomos en cada celda unitaria b). El factor de empaquetamiento de la celda unitaria

Solución a = 0.5258 nm = 4.5258 x 10- 8 cm b = 0.45186 nm = 4.5186 x 10- 8 cm c = 0.76570 nm = 7.6580 x 10- 8 cm rGa = 0.1218 nm = 1.218Ǻ Densidad = 5.904 g/cm3 M. atómica = 69.72 g/mol

Capitulo I Densidad =

Estructura cristalina ( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen dela celda )( Núm. avogadro)

5.904 g / cm3 =

( Núm. átomos / celda unit )(69.72 g / mol ) (4.5258 x 10 cm)(4.5186 x 10− 8 )(7.6570 x 10− 8 )(6.02 x 1023 g / g .mol ) −8

Núm. átomos / celda unitaria = 7.98 (8 átomos / celda unitaria ) ( Núm. átomos / celda unitaria )(vol . del átomo) Volumen de la celda 4 (8 átomos / celda unitaria ) π (1.218)3 3 FAC = = 0.3868, (38.68%) −8 −8 (4.5258 x 10 )(4.5186 x 10 )(7.6570 x 10− 8 )

b). FAC =

9. El berilio tiene una estructura cristalina hexagonal, con a = 0.22858 nm, c = 0.35842 nm, el radio atómico es de 0.1143 nm. La densidad es de 1.848 g/cm 3 y el peso atómico es de 9.01 g/mol; determine: a). El número de átomos en cada celda unitaria b). El factor de empaquetamiento de la celda unitaria

Solución a = 0.22858 nm = 2.2858 x 10- 8 cm c = 0.35842 nm = 3.5842 x 10- 8 cm M. atómica = 9.01 g/mol rBe = 0.1143 nm = 1.143 Ǻ Densidad = 1.848 g/cm3

Capitulo I

Estructura cristalina a ). Densidad =

1.848 g / cm3 =

( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen de la celda )( Núm. avogadro)

( Núm. átomos / celda unit )(9.01 g / mol ) (2.2858 x 10 −8 cm) 2 (3.5842 x 10 −8 )(6.02 x 10 23 g / g .mol )

Núm. átomos / celda unitaria = 2.3 (2 átomos / celda unitaria ) ( Núm. átomos / celda unitaria )(vol . del átomo) Volumen de la celda 4 (2 átomos / celda unitaria ) π (1.143)3 3 FAC = = 0.729, (72.9%) −8 (2.2858 x 10 )(3.5842 x 10−8 )

b). FAC =

10. Por encima de 882ºC, el titanio tiene una estructura cristalina BCC es a = 0.332 nm. Por debajo de esta temperatura tiene una estructura HC con a = 0.2978 nm y c = 0.4735 nm. Determine el porcentaje de cambio en volumen cuando el titanio BCC se transforma en titanio HC. ¿Se trata de una contracción o de una expansión? Solución VHC = a3 = (0.2978)2(0.4735) = 0.0125 nm3 (ocupado 2 átomos) VBCC = a3 = (0.332)3 = 0.0365 nm3

0.0125 - 0.0365 Cambio de volumen =

= 0.657 se contrae al calentarse 0.0365

11. El cromo tiene un parámetro de red de 2.8844 Ǻ y una densidad de 7.19 g/cm 3. Determinar si el cromo es CS, BCC ó FCC. Solución a = 2.8844 Ǻ Densidad = 7.19 g/cm3 M. atómica = 51.996 g/mol

Capitulo I Densidad =

Estructura cristalina ( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen de la celda )( Núm. avogadro )

7.19 g / cm3 =

( Núm. átomos / celda unit )(51.996 g / mol ) (2.8844 x 10−8 cm)3 (6.02 x 10 23 g / g .mol )

Núm. átomos / celda unitaria =

(7.19 g / cm 3 )(2.8844 x 10−8 )3 (6.02 x 1023 ) 51.996 g / mol

Núm. átomos / celda unitaria =

103.92 = 1.99 (2 átomos / celda unitaria) 51.996

Por lo tan to es una BCC

12. Una de las formas del manganeso tiene una estructura cubica, con un parámetro de red de 6.326 Ǻ. La densidad es de 7.26 g/cm3 y el radio atómico 1.12 Ǻ. Determinar el número de átomos por celda unitaria. Solución a = 6.326 Ǻ Densidad = 7.26 g/cm3 Radio atómico = 1.12 Ǻ M. atómica = 54.938 g/mol

Densidad =

( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen de la celda )( Núm. avogadro)

7.26 g / cm3 =

( Núm. átomos / celda unit )(54.938 g / mol ) (6.326 x 10− 8 cm)3 (6.02 x 10 23 g / g .mol )

Núm. átomos / celda unitaria =

(7.26 g / cm3 )(6.326 x 10− 8 )3 (6.02 x 1023 ) 54.938 g / mol

Núm. átomos / celda unitaria = 20 átomos / celda unitaria

13. Demuestre que el MgO tiene la estructura cristalina del cloruro de sodio; calcule su densidad si; r Mg = 0.066 nm, rO = 0.132 nm, sus pesos atómicos son 24.312 Mg y 16.0 O2 en g/mol.

Capitulo I

Estructura cristalina

Solución ao = 2rMg + 2rO2 = 2(0.066) + 2(0.132) = 0.396 nm = 3.96 x 10 − 8 cm Densidad =

( Núm. átomos / celda unitaria )( Masa atómica ) (volumen dela celda )( Núm. avogadro)

Densidad =

(4 iones Mg )(24.312) + (4 iones O2 )(16) (3.96 x 10− 8 cm)3 (6.02 x 1023 g / g .mol )

Densidad = 4.31 g / cm3

14. Calcule la densidad el aluminio. A continuación describiremos por que la industria aeroespacial prefiere aleaciones a base de aluminio frente a las aleaciones ferrosas, y por que las aleaciones ferrosas se prefieren que a las de aluminio en estructuras de puentes y edificios. Solución Densidad =

masa del alu min io volumen alu min io

 cantidad de átomos   masa  3 M alu min io =  ÷ ÷ = a = volumen alu min io  celda unitaria   átomo  Para el alu min io ( FCC ), tenemos :  4 átomos de Al.    1 mol de Al M Al =  ÷(26.98 g / mol de Al )  ÷ 23  celda unitaria FCC   6.02 x 10 átomos de Al  M Al = 1.79 x 10− 22 g / celda unitaria 3

 4r   4(1.43 x 10− 8 cm  − 23 3 VAl = a =   = 6.62 x 10 cm / celda unitaria ÷=  2  2   − 22 1.79 x 10 g / celda unitaria Densidad = = 2.70 g / cm3 − 23 6.62 x 10 g / celda unitaria 3

Comentario: La densidad medida del aluminio es 2.70 g/cm 3, al comparar esta densidad con la del fierro que es 7.70 g/cm3, se explica parcialmente por que se prefieren las aleaciones de aluminio a las aleaciones ferrosas en la industria aeroespacial y otras más, en las que un parámetro crítico de diseño es minimizar el peso de las estructuras.

Capitulo I

Estructura cristalina

15. Si el peso molecular del fierro es 55.85 g/mol, y el radio atómico del fierro es 1.24 x 10 - 8 cm (0.124 nm), calcule la densidad del Fierro BCC. Solución Peso molecular = 55.85 g/mol rFe =1.24 x 10- 8 cm (0.124 nm) Núm. Avogadro = 6.02 x 1023 átomos/mol

Capitulo I

Estructura cristalina M Fe =

cantidad de átomo masa x celda unitaria átomo

 2 átomos de Fe     1 mol de Fe M Fe =  ÷ (55.85 g Fe / mol Fe)  ÷ 23  celda unitaria    6.023 x 10 átomos de Fe   M Fe = 1.85 x 10− 22 g / celda unitaria 3

3

 4r   4 (1.24 x 10− 8 cm  − 23 3 VFe = a =   = 2.35 x 10 cm / celda unitaria ÷ = 3  3   La densidad del fierro es 3 BCC

Densidad Fe =

M Fe =

1.85 x 10− 22 g / celda unitaria = 7.87 g / cm3 2.35 x 10− 22 cm3 / celda unitaria

cantidad de átomo masa x celda unitaria átomo

 2 átomos de Fe     1 mol de Fe M Fe =  ÷ (55.85 g Fe / mol Fe)  ÷ 23  celda unitaria    6.023 x 10 átomos de Fe   M Fe = 1.85 x 10− 22 g / celda unitaria 3

3

 4r   4 (1.24 x 10− 8 cm  − 23 3 VFe = a =   = 2.35 x 10 cm / celda unitaria ÷ = 3  3   La densidad del fierro es 3 BCC

Densidad Fe =

1.85 x 10− 22 g / celda unitaria = 7.87 g / cm3 2.35 x 10− 22 cm3 / celda unitaria

16. Dibuje las siguientes direcciones en cada celda cúbica. −  − −  a ). [ 100] y [ 110] ; b).[ 112 ] ; c). 110  ; d ). 321 .     Solución

Capitulo I

Estructura cristalina

a).

Z

[100] [110]

Y (100)

[110] X

b). [112]

Las coordenadas de posición para la dirección [100] son (100). Las coordenadas de posición para la dirección [110] son (110).

Z

½ ½

Y ½

X

½

Las coordenadas de posición para la dirección [112] se obtienen dividiendo los índices de la dirección por (2) de

Capitulo I

Estructura cristalina modo que puedan estar dentro del cubo, son por lo tanto: (½, ½, 1).

c).

−  110 

Z

Y

nuevo origen

X

d). [321]

Las coordenadas de posición para la dirección [110] son [-110]. Obsérvese que el origen del vector de dirección tiene que llevarse al vértice inferior derecho de la parte de delante del cubo.

Z 2/3 1/3 z

Capitulo I

Estructura cristalina

Y

(100)

Las coordenadas de posición para la dirección [3 2 1], se obtienen dividiendo todos los índices por (3), que es el índice mayor. Así, se obtiene – 1, 2/3, - 1/3 para las coordenadas de posición del extremo de salida del vector de la dirección [3 2 1].

X

17. Determinar los índices de miller para las direcciones mostradas

Z ¼

A

B

2/3

C

Y

Capitulo I

Estructura cristalina X

2/3

Solución PLANO (A)

PLANO (B)

PLANO (C)

x=0

x=0

x=0

y=0

(001)

z=1

y=¼

(0,1/4,0)4

y=1

(0,1,2/3)3

z=0

(010)

z = 2/3

(032)

18. Determinar los índices de miller de los planos

Z

B

A

Y

C

X

Solución PLANO (A)

PLANO (B)

PLANO (C)

x=-1

x=0

x=1

−  y = 0  100 ÷   z=0

y=1 z=-1

 −  011 ÷  

y=1 z=¾

 −   110 ÷  

Capitulo I

Estructura cristalina

19. Dibujar los siguientes planos cristalográficos en una celda cúbica: a). (101), b). (1 -1 0), c). (221), d). Dibujar un plano (110) en una red BCC, situando los átomos y enumerar las coordenadas de posición de los átomos cuyos centros están intersectados por este plano. Solución

Z

(101) Y

X

Z

 −   110 ÷  

Y

x

Capitulo I

Estructura cristalina Z

(221)

Y

X

Z

(110)

Y

X

20. Dibujar los planos, direcciones y sus familias: a). Posición: (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) b). Direcciones: [100], [110], [111] c). Planos: (100), (110), (111) Solución:

Capitulo I

Estructura cristalina

a). Posición (1,0,0) −

−

−

Familia: (0,1,0); (0,0,1); ( (1, 0, 0); (0,1, 0); (0, 0,1)

Posición (1,1,0) Familia: (1,1,0); (1,0,1);(0,1,1); (0,1,1); (0,1,1); (1, 0,1); (1,1, 0); (1, 0,1), (1, 0,1); (1,1, 0); (1,1, 0); (0,1,1)

Capitulo I

Estructura cristalina

Capitulo I

Posición (1,1,1) (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1)

Estructura cristalina

Capitulo I

Estructura cristalina

Direcciones [100] Familia: [ 0,1, 0] ; [ 0, 0,1] ; 0,1, 0  ; 0, 0,1 ; 1, 0, 0 

Dirección [110] Familia: [ 110] ; [ 101] ; [ 011] ; 011 ; 011 ; 101 ; 110  ; 101 ; 101 ; 110  ; 110 ;  011

Capitulo I

Dirección [111] Familia: [ 111] ; 111 ; 111 ; 111 ; 111 ; 111 ; 111 ; 111

Estructura cristalina

Capitulo I

Plano (100) Familia: (010); (001); (100); (100); (010); (001)

Estructura cristalina

Capitulo I

Plano (110); (111) Familia: [101]; [011]; 110  ; 101

(110)

Estructura cristalina

Capitulo I

Estructura cristalina

Familia [111]

21. Trazar los siguientes planos dentro de una celda cúbica. Puede ser necesario desplazar el origen del sistema de coordenadas, para asegurar que las intersecciones queden dentro de la celda. Solución

Capitulo I

Estructura cristalina

Capitulo I

Estructura cristalina

22. Determinar los planos de la familia {1 1 0} que contienen a la dirección [1 1 1] Solución

23. Obtener las 4 direcciones de la familia que están conectados en el plano

.

Capitulo I

Estructura cristalina

Solución

24. Comparar las densidades planares en los planos (1 0 0), (2 0 0) y (1 1 0) en las celdas unitarias. Solución Para (1 0 0)

Para (2 0 0) = (1/2,0,0)

Para (1 1 0)

Capitulo I

Estructura cristalina

25. Calcular las densidades planares en los planos (1 0 0), (2 0 0) y (1 1 1) en la celda FCC. Solución

26. Determinar la distancia entre los planos adyacentes (121) en el cobre, el cual tiene un parámetro de red de 3.615Å. Solución a0 = 3.615 Å

27. Cuál es la distancia interplanar correspondiente a los siguientes planos en el hierro con un parámetro de red de 2.886Å: a). (1 1 1), b). (2 1 2), c). (4 2 3) y d). (2 0 1) Solución a0 = 2.886Å

Capitulo I

Estructura cristalina

28. ¿Cuál es la distancia interplanar correspondiente a los siguientes planos en el hierro con un parámetro de red de 2.886Å?. a). ( 1 1 1); b). (2 1 2); c). (4 2 3); d). ( 2 0 1) Solución a0 = 2.886Å

a)

b)

c)

d)

29. La densidad planar el plano (112) en el FeBCC es 9.4 x 1014 átomos/cm2. Calcule: a). la densidad planar del plano (110) b). los espaciamientos interplanares tanto para los plano (112) como (110). ¿En cuál de los planos ocurrirá normalmente el deslizamiento? Solución aFebcc = 0.2866 nm = 2.866 x 10- 8 cm

ao

Densidad planar (110)

Capitulo I

Estructura cristalina átomos = área

Densidad planar (110) =

Densidad planar (112) = 0.994 x 1015

2 átomos

( 2 ) ( 2.866 x10

−8

cm )

2

= 1.72 x 1015 átomos / cm 2

átomos ( anunciado del problema ) cm 2

Los espaciamientos interplanares serán: a

d hkl =

h2 + k 2 + l 2

d (111) =

d 200 =

d 220 =

0.35236 nm 1 +1 +1 2

2

2

0.35236 nm 2 +0 +0 2

2

2

0.35236 nm 22 + 22 + 02

= 0.203 nm d (110) =

= 0.176 nm d (112) =

2.866 x 10− 8 cm 1 +2 +0 2

2

2

2.866 x 10− 8 cm 1 +1 + 2 2

2

2

= 2.0266 x 10− 8 cm

= 1.17 x 10− 8 cm

= 0.125 nm

NOTA: La densidad planar y el espaciamiento interplanar del plano (110), son más grandes que los correspondientes al plano (112); por tanto, el plano (110) será el de desplazamiento preferido.

30. El espaciamiento interplanar d(321) en un metal BCC es 0.08416 nm; determinar: a). Cuál es la constante de red b). Cuál es el radio atómico del metal c). que metal podría Solución Masa atómica = 55.847 gr/mol aBCC = 0.08416 nm d hkl =

a h +k +l 2

2

a ). a = 0.08416

(

2

;

a = d hkl h 2 + k 2 + l 2

)

32 + 22 + 12 = 0.08416 14 = 0.315

b). Es una estructura BCC, entonces:

Capitulo I a=

Estructura cristalina

4r a 3 0.315 3 ; r= = = 0.136 nm 4 4 3

c). De tablas r = 0.140 nm r = 1.40 Ǻ a = 0.315 nm; BCC a = 1,363 Ǻ Se trata del molibdeno

31. El espaciamiento interplanar d(222) en un metal FCC es 0.11327 nm, determine: a). cuál es la constante de red b). cuál es el radio atómico del metal c). que metal podría ser Solución d222 = 0.11327 nm d hkl =

a h + k2 + l2 2

a ). a = d 222 h 2 + k 2 + l 2 = 0.11327 nm 22 + 22 + 22 a = 0.11327 nm 12 = 0.392 nm

b). a =

4r a 2 0.392 2 ; r= = = 0.139 nm 4 4 2

c). De tablas: r = 0.139 nm; a = 0.39239 nm; Se trata del platino 32. El níquel es FCC y tiene una constante de red (a) es 0.35236 nm. Calcular los siguientes espaciamientos interplanares en nm. a). d(111), b). d(200) y c). d(220). Solución a = 0.35236 nm d hkl =

d (111) =

d 200 =

d 220 =

a h2 + k 2 + l 2 0.35236 nm 12 + 12 + 12 0.35236 nm 2 2 + 02 + 0 2 0.35236 nm 22 + 22 + 02

= 0.203 nm

= 0.176 nm

= 0.125 nm

Capitulo I

Estructura cristalina

33. El molibdeno es BCC y tiene una constante de red (a) de 0.31468 nm. Calcule los siguientes espaciamientos interplanares en nm. Solución a0 = 0.31468 nm a). d110 d110 =

d 220 =

d310 =

a h2 + k 2 + l 2 0.31468 22 + 2 2 + 0 2 0.31468 32 + 12 + 02

0.31468

=

12 + 12 + 02

=

0.31468 = 0.222 nm 2

=

0.31468 = 0.111 nm 8

=

0.31468 = 0.099 nm 10

34. El espaciamiento interplanar d321 en un metal BCC es 0.084165 nm. a). Cuál es la constante o parámetro de red b). Cuál es el radio atómico del metal c). Que metal podría ser. Solución a0 = 0.084165 nm a). Cuál es la constante o parámetro de red a = d321

h2 + k2 + l2

a = 0.084165

32 + 22 + 12

= 0.084165

14

= 0.315 nm BCC

b). Cuál es el radio atómico del metal 4r a= 3 r=

a 3 0.315 nm 3 = = 0.136 nm 4 4

c). Que metal podría ser. De tablas: r = 0.140 nm, a = 0.31468 nm Se trata del Molibdeno

35. El espaciamiento interplanar d222 en un metal FCC es 0.11327 nm. a). Cuál es la constante o parámetro de red

Capitulo I

Estructura cristalina

b). Cuál es el radio atómico del metal c). Que metal podría ser Solución a0 = 0.11327 nm a

d hkl =

h2 + k 2 + l 2

a). Cuál es la constante o parámetro de red a = d 222 h 2 + k 2 + l 2 a = 0.11327 nm 22 + 22 + 22 = 0.11327 nm 12 a = 0.392 nm BCC b). Cuál es el radio atómico del metal 4r a= 2 r=

a 2 0.392 nm 2 = = 0.139 nm 4 4

c). Que metal podría ser De tablas: Se trata del platino 36. Rayos X de longitud de onda desconocida son difractados por una muestra de níquel, el ángulo 2θ era 102.072° para los planos (220). Cual es la longitud de onda de los rayos X utilizados. Solución De tablas: a = 0.35236 nm n=1 2θ = 102.072° θ =51.036° nλ = 2d hkl senθ sen θ = d hkl = d hkl =

nλ 2d hkl a h + k2 +l2 2

0.35236 nm 2 2 + 22 + 02

=

0.35236 = 0.12458 nm 8

λ = sen θ 2d hkl = sen 51.036 (2) (0.12458 nm) λ = 0.19373 nm 37. Se realiza un experimento de rayos X, de longitud d onda desconocida son difractados por una muestra de níquel, el ángulo de 2θ era 102.072º para los planos (220). Cuál es la longitud de onda de los rayos X. Solución 2θ = 102.072° θ = 51.036°

Capitulo I

Estructura cristalina

n=1

nλ 2d hkl

sen θ =

λ = sen θ 2d hkl = sen 51.036 (2)(0.12458 nm) = 0.19373 de tablas a = 0.35256 nm d hkl =

0.35236 nm 22 + 22 + 02

=

0.35236 = 0.12458 nm 8

38. Un difractograma de rayo X, para un elemento que tiene una estructura BCC ó FCC, muestra picos de difracción a los siguientes valores de 2θ = 40, 58, 73, 86.8, 100.4 y 114.7. La longitud de onda de los rayos X utilizados fue 0.174 nm. Determinar: a). La estructura cúbica del elemento b). La constante de red del elemento (parámetro de red) c). Identificar el elemento Solución a). Determinación de la estructura cristalina del elemento; calcular primero los valores de sen 2θ para los ángulos de difracción 2θ. Picos

Grado 2θ

1 2 3 4 5 6

40 58 73 86.8 100.4 114.7

Grado θ 20 29 36.5 43.4 50.2 57.35

sen θ

sen2θ

0.3420 0.4848 0.5948 0.6871 0.7683 0.8420

0.1170 (A) 0.2350 (B) 0.3550 0.4721 0.5903 0.7090

A continuación se calcula la relación de los valores de sen2θ del primero y segundo ángulo: Sen2θA

0.1170 =

Sen2θB

= 0.4978 (0.50) - BCC 0.2350

b). La estructura cristalina es BCC, puesto que la relación es aproximadamente igual a 0.5. Si hubiera sido 0.75 la estructura sería FCC. Determinaremos la constante de red ó parámetro de red; usando la ecuación: λ

h2 + k2 + l2

a = 2

sen2θ

Si, h =1, k =1, l = 0; para los índices de Miller (hkl), de la primera serie de los planos principales de difracción para la estructura cristalina BCC; el correspondiente valor para sen2θ, que es 0.117 y 0.154 nm para (λ), la radiación incidente, se obtiene: 0.174 nm a =

12 + 12 + 02 = 0.318 nm.

Capitulo I

Estructura cristalina 2

0.1170

c).Identificación del elemento. El elemento que se trata es el tungsteno, ya que este elemento tiene una constante o parámetro de red de 0.316 nm y es BCC. 39. Un difractometro de rayos X recoge un gráfico para un elemento, con una estructura BCC o FCC y muestra picos de difracción en los siguientes ángulos 2θ: 38.184º, 44.392º, 64.576º, y 77.57º; a longitud de onda de la radiación incidente es de 0.154056 nm; determine: a). La estructura cristalina del elemento b). La constante de red del elemento c). Identifique el elemento

Solución Picos 1 2 3 4

Grado 2θ

Grado θ

38.184 44.392 64.576 77.547

19.092 22.196 32.288 38.773

sen θ 0.3271 0.3777 0.5343 0.6262

sen2θ

hkl

0.1070 0.1427 0.2853 0.3922

111 (A) 200 (B) 220 311

a). Calculando relación de valores de sen2θ del primer y segundo Sen2θA

0.1070 =

Sen2θB

= 0.7498 (0.75) - FCC 0.1427

b). La constante de la red del elemento

a =

a =

λ 2

h + k +l2 sen 2 θ

0.15056 2

12 + 12 + 0 2 = 0.318 nm 0.1070

c). De tablas: FCC: a = 0.4080, se trata del oro (0.40788 nm) 40. Un difractometro de rayos X, recoge un gráfico para un elemento con estructura BCC ó FCC y muestra picos de difracción en los siguientes ángulos 2θ: 25.062º, 35.698º, 44.116º y 51.405º; la longitud de onda e la radiación incidente es de 0.154056 nm. a). Determine la estructura cristalina del elemento

Capitulo I

Estructura cristalina

b). Determine la constante de red del elemento c). Identifique el elemento Solución Picos

Grado 2θ

Grado θ

sen θ

sen2θ

hkl

1 2 3 4

25.062 35.698 44.116 51.405

12.531 17.849 22.058 25.702

0.2170 0.3065 0.3755 0.4337

0.0470 0.0940 0.1410 0.1881

110 200 211 220

a). Calculando relación de valores sen2θ del primer y segundo Sen2θA

0.0470 =

Sen2θB

= 0.50 (0.50) - BCC 0.0940

b). Determine la constante de la red del elemento λ

h2 + k2 + l2

a = 2 0.154056 nm

sen2θ 22 + 22 + 02

a =

= 0.5023 nm. 4

0.1881

c). De tablas: a = 0.5019 nm;

a = 0.5023 nm ;

Se trata del bario.

41. Un difractometro de rayos X recoge un gráfico para un elemento con estructura BCC ó FCC y muestra picos de difracción en los siguientes ángulos 2θ = 38.116º, 44.277º, 64.426º y 77.472; la longitud de onda e la radiación incidente es de 0.154056 nm. a). Determine la estructura cristalina del elemento b). Determine la constante de red del elemento c). Identifique el elemento Solución Picos

Grado 2θ

Grado θ

1 2 3 4

38.116 44.277 64.426 77.472

19.058 22.138 32.213 38.736

sen θ

sen2θ

hkl

0.3265 0.3768 0.5331 0.6257

0.1066 0.1420 0.2842 0.3915

111 200 220 311

a). Determine la estructura cristalina del elemento

Capitulo I

Estructura cristalina

Sen2θA

0.1066 =

2

Sen θB

= 0.75 - FCC 0.1420

b). Determine la constante de red del elemento h2 + k2 + l2

λ a =

sen2θ

2

12 + 12 + 12

0.154056 nm a =

= 0.4086 nm. 4

0.1066

c). Identifique el elemento De tablas: a = 0.40856 nm Se trata de la Plata 42. Un difractometro de rayos X recoge un gráfico para un elemento con estructura BCC ó FCC y muestra picos de difracción en los siguientes ángulos 2θ: 40.113°, 46.659°, 68.080° y 82.090°, la longitud de onda de la radiación incidente es de 0.154056 nm. a). Determine la estructura cristalina del elemento b). Determine la constante o parámetro de red del elemento c). Identifique el elemento. Solución Picos

Grado 2θ

1 2 3 4

Grado θ

40.113 46.659 68.080 82.090

20.056 23.330 34.040 41.045

sen θ

sen2θ

hkl

0.3430 0.3960 0.5600 0.6566

0.1176 0.1569 0.3133 0.4312

111 200 220 311

a). Determine la estructura cristalina del elemento Sen2θA

0.1176 =

Sen2θB

= 0.75 - FCC 0.1569

b). Determine la constante o parámetro de red del elemento λ

h2 + k2 + l2

a = 2

sen2θ

Capitulo I

Estructura cristalina

0.154056 nm

32 + 12 + 12

a =

= 0.3891 nm. 4

0.4312

c). Identifique el elemento. De tablas: Se trata del Paladio