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MATEMÁTICA APLICADA MANTENIMIENTO DE MAQUINARIA PESADA TEMA: CÓDIGO: SEMESTRE:

1 MM3090 3

TEMA DE LA UNIDAD DE CLASE:

DOCENTE: ING. JONATHAN SÁNCHEZ P. AREQUIPA – FEBRERO DEL 2015

1

Matemáticas en diseño

3

Matemáticas en minería

4

5

Matemáticas en electrónica

6

7

Objetivos de la sesión:  Seleccionar, formular, desarrollar y utilizar herramientas de matemática aplicada para soluciones de problemas de tecnología mecánica.  Formular y utilizar derivadas e integrales en la solución de problemas de tecnología mecánica y de ingeniería.

APORTA A:

 Los estudiantes aplican conocimientos actuales emergentes de ciencia, matemática y tecnología.

y

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1. CONCEPTOS BÁSICOS FUNCIÓN: “Relación entre dos variables”

El concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto

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Orígenes Dominio

Imágenes Rango

F= F(x)=Núm. De lados 11

DIFERENCIA ENTRE FUNCIÓN Y RELACIÓN:

Función

Relación

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Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f (x), de un conjunto E.

Conjunto D x

Conjunto E F(x)

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¿Como se representa una función?

Destacamos que una función puede representarse de diferentes maneras: mediante una ecuación, una tabla, una gráfica o en palabras.

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MODELOS MATEMÁTICOS: “Catálogo de funciones esenciales”

Un modelo matemático es una descripción matemática (a menudo por medio de una función o una ecuación) de un fenómeno real, como el tamaño de población, la velocidad de un objeto que cae, la vida útil de una maquina, el funcionamiento de un motor, etc.

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El propósito del modelo es comprender el fenómeno y tal vez hacer predicciones sobre su comportamiento futuro.

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MODELOS MATEMÁTICOS:

Prueba

Problema en el Mundo Real

Predicción en el mundo real Interpretar

Formular

Modelo Matemático

Conclusiones Matemáticas

Resolver

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MODELO LINEAL:

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EJEMPLO 1: Cuando el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20 °C, y la temperatura a 1 km de altura es de 10 °C. a) Exprese la temperatura T (en °C) en función de la altura h (en kilómetros), suponiendo que un modelo lineal es adecuado. b) Dibuje la gráfica de la función del inciso a). ¿Qué representa la pendiente? c) ¿Cuál es la temperatura a 2.5 km de altura?

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Solución:

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a)

21

b)

c)

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Ejercicio:

¿En función de qué parámetros podemos definir el rendimiento de esta máquina?

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LÍMITES DE UNA FUNCIÓN: Los límites surgen cuando queremos encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto.

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El limite de f (x), cuando x tiende a a, es igual a L.

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Dada la función:

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DERIVADA: El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la velocidad de un objeto involucran encontrar el mismo tipo de límite. Este tipo especial de límite se denomina derivada y en las ciencias e ingeniería puede ser interpretada como una razón de cambio.

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2. DERIVADAS Y RAZÓN DE CAMBIO La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo. Pendiente en un punto determinado.

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Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto.

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DEFINICIÓN FORMAL DE DERIVADA La derivada de una función f en un número x = a, denotada por f ‘(a), es:

Si este limite existe.

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¿Por qué la derivada se define en base a un límite?

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RAZÓN DE CAMBIO Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y lo expresamos como y = f (x). Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x (también conocido como incremento de x) es

∆𝐱 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

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Al cambiar x, también provoca un cambio en y:

∆𝐲 = 𝒇 𝒙𝟐 − 𝒇 𝒙𝟏 El cociente de diferencias:

∆𝐲 𝒇 𝒙𝟐 − 𝒇 𝒙𝟏 = ∆𝐱 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 Se llama razón de cambio promedio de y respecto a x sobre el intervalo [x1, x2]. 33

Puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la figura:

∆𝐲 𝒇 𝒙𝟐 − 𝒇 𝒙𝟏 = ∆𝐱 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

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Razón de cambio instantánea:

La derivada f ‘(a) es la razón de cambio instantánea de y = f (x) respecto a x cuando x = a.

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REPRESENTACIÓN DE DERIVADA ′

𝒇 𝒙

= 𝑫𝒙 𝒇 𝒙

𝒅𝒚 = 𝒅𝒙

REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

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Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se denomina razón de cambio con respecto al tiempo, o sólo razón de cambio. Por supuesto, si y mide la distancia, entonces esta razón de cambio también se llama velocidad.

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Estamos interesados en una amplia variedad de razones de cambio: la razón a la que fluye agua al interior de un depósito, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, la razón a la cual el valor de una propiedad está aumentando, etc.

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EJEMPLOS: Derivar las siguientes funciones:  Derivación explícita:

1) 𝑦 = 2𝑥 2) 𝑦 = 𝑥 5 3) 𝑦 = 3𝑥 4 4) 𝑦 = 5𝑥 2 + 7𝑥 − 6 5) 𝑦 = 4𝑥 6 − 10𝑥 2 + 5𝑥 + 16

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Consejos:  Si y se da de manera explícita en términos de t, el problema es sencillo; sólo derivamos y luego evaluamos la derivada en el instante requerido.  Si y depende de otra variable x, que a su vez depende de t, tendremos que aplicar derivación implícita.

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EJEMPLOS: Derivación Implícita: Encuentre

𝑑𝑦

𝟐 𝒚 − 𝟑𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟏 , 𝑠𝑖 𝟒𝒙 𝑑𝑥

Solución: Método 1: Podemos despejar la y para que quede explícita: 𝑦 4𝑥 2 − 3 = 𝑥 3 − 1 𝑥3 − 1 𝑦= 4𝑥 2 − 3 𝑑𝑦 4𝑥 2 − 3 3𝑥 2 − 𝑥 3 − 1 8𝑥 = 𝑑𝑥 4𝑥 2 − 3 2 𝑑𝑦 4𝑥 4 − 9𝑥 2 + 8𝑥 = 𝑑𝑥 4𝑥 2 − 3 2

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Método 2: Derivación Implícita: 𝑑 𝑑 3 2 4𝑥 𝑦 − 3𝑦 = 𝑥 −1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Regla del producto para el primer término: 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2 4𝑥 ∙ + 𝑦 ∙ 8𝑥 − 3 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 4𝑥 2 − 3 = 3𝑥 2 − 8𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3𝑥 2 − 8𝑥𝑦 = Reemplazamos el 𝑑𝑥 4𝑥 2 − 3 valor de y:

𝑑𝑦 4𝑥 4 − 9𝑥 2 + 8𝑥 = 𝑑𝑥 4𝑥 2 − 3 2 46

EJEMPLO 1 de razón de cambio: Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies alejado de un observador, quien se encuentra en el nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies por segundo, ¿qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando éste se encuentra a 50 pies de altura?

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Solución:

48

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo:

Pasamos al instante específico cuando h = 50. Con base en el Teorema de Pitágoras, vemos que, cuando h = 50

pies/seg 49

Razón de cambio en movimiento de partículas

50

EJEMPLO 2 de razón de cambio: La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación:

x = t3 - 6t2 - 15t + 40 donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine a) el tiempo al cual la velocidad será cero, b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo, c) la aceleración de la partícula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la partícula desde t = 4s hasta t= 6s.

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Solución:

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Las ecuaciones del movimiento son:

Tiempo en el cual v=0:

Al reemplazar en la fórmula, se obtienen dos respuestas, (-1) y (+5). a) Elegimos 5 s por ser mayor que cero. 53

b) Posición y distancia recorrida en t=5s.

Cuando t = 0, x vale 40 ft. Por lo tanto

c) Aceleración cuando t=5s.

54

d) Distancia recorrida desde t = 4s hasta t=6s.

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Siguiente Sesión: Máximos y Mínimos

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Bibliografía: Stewart, J (2012). Cálculo de una variable (7ª. ed.). México D.F.: Cengage Learning. Purcell, E. & Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e Integral (9ª. ed.). México D.F.: Prentice Hall. Beer, F. & Johnston, R. & Cornwell, P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica (9ª. ed.). México D.F.: McGraw Hill. GRACIAS POR SU ATENCIÓN