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• Flavio Cesar Gonsales Rondon

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA INDUSTRIAL

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA QUÍMICA

MODELO MATEMÁTICO PARA EL TIEMPO DE VACIADO DE UN TANQUE CILINDRICO

Presentado a : Ing. GUEVARA YANQUI, Pascual Víctor

Curso

: ¨ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS ¨.

Presentado por: SALVATIERRA HUAMAN JEFFREY ANDRE

Estudiante del IX Ciclo de la Carrera Profesional de Ingeniería Química Industrial

Huancayo, Setiembre 2016

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

1

CONTENIDO INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 3 RESUMEN ...................................................................................................................... 4 I.

OBJETIVOS ............................................................................................................ 5 OBJETIVO GENERAL: ............................................................................................. 5 OBJETIVOS ESPECIFICOS:................................................................................... 5

NOMENCLATURA......................................................................................................... 6 II.

MARCO TEÓRICO ................................................................................................ 7 1.

2.

3.

Fluido: ............................................................................................................... 7 1.1.

Propiedades de los fluidos: .................................................................... 7

1.2.

Tipos de Fluidos. ...................................................................................... 7

Vaciado de tanques ........................................................................................ 9 2.1.

Vaciado de un tanque abierto. ............................................................... 9

2.2.

Vaciado de un tanque cerrado herméticamente. .............................. 10

2.3.

Vaciado de un tanque unflow............................................................... 11

2.4.

Chorro descargando a la atmósfera ................................................... 12

2.5.

Teoría de Orificios ................................................................................. 12

Ecuaciones matemáticas ............................................................................. 14 3.1.

MODELOS MATEMÁTICOS ............................................................... 16

DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO .......................................... 25 DISEÑO DEL TANQUE ...................................................................................... 26 III.

PARTE EXPERIMENTAL ................................................................................ 29

IV.

CALCULOS REALIZADOS ............................................................................. 31

CONCLUSIONES. ....................................................................................................... 39 RECOMENDACIONES. .............................................................................................. 40 REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA............................................................................... 41 ANEXOS ........................................................................ Error! Bookmark not defined.

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

2

INTRODUCCIÓN En las labores diarias de una industria, fábricas, empresas mineras, etc. el vaciado de tanques es realizado con frecuencia de ahí nuestro interés de determinar el tiempo de vaciado de un tanque y la forma de los tanques pueden variar, entre ellos tenemos: cilindros, cubos, piramidales, cónicos, trapezoidales, etc.

En el presente informe se estudiará el tiempo de vaciado de un tanque cilíndrico, para realizar las pruebas y tomar los datos el tanque estará en su forma vertical.

Para poder determinar el tiempo de vaciado se utilizará diferentes principios como son: balance de movimiento, balance de masa y balance de energía. También necesitaremos de ecuaciones auxiliares para hallar los coeficientes de velocidad, de contracción y de descarga entre otros.

Los datos serán tratados en Excel para una mayor facilidad y comprensión de los resultados, finalmente se hará una comparación de resultados teóricos y prácticos, con estos resultados haremos una breve discusión de los mismos.

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

3

RESUMEN Para la realización del laboratorio se diseñó un módulo para un vaciado de tanques de forma cilíndrica. A este recipiente cilíndrico se le adjunto pequeña tubería de descarga, el diámetro de esta tubería influirá en el tipo de flujo con el que se desee trabajar, es por ello que en este laboratorio se consideró un diámetro de 1.5 cm, una vez armado el modulo se ubicó en un nivel de referencia, y se procedió a hacer las respectivas corridas en donde se controló el tiempo de descarga y se midieron las variaciones de altura que se presentaban, estos se dan en la tabla. Con los datos registrados, las mediciones del módulo y datos proporcionados de fuentes bibliográficas, se determinaron los caudales en cada tiempo. La variación de los valores de tiempo de descarga experimental y teórico, pueden deberse al tipo de flujo que se trabajó en la experimentación, debiendo variar entonces el diámetro de la tubería de descarga. Así como también la altura del recipiente puede influenciar en el tipo de flujo que presentara.

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

4

I.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:  Realizar el modelamiento del fenómeno de descarga en un recipiente cilíndrico.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Construir un tanque cilíndrico para el trabajo práctico. 

Hallar el modelo matemático de este fenómeno.



Aprender cómo afectan algunas variables al fenómeno de descarga.



Determinar el coeficiente de descarga teórico.



Comparar los datos experimentales respecto de los datos teóricos

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

5

NOMENCLATURA

Cd

Coeficiente de descarga

d1

Diámetro del tubo

(cm)

D

Diámetro del recipiente

(cm)



Densidad del fluido

(g / cm 3)

g

Aceleración de la gravedad

(cm 2/s)

H

Altura del recipiente

(cm)

P1 y P 2

Presiones de los puntos 1 y 2 respectivamente (cm3/s)

Q

Caudal

Re

Numero de Reynolds

S1

Área del espejo del agua

S2

Área del orificio de fuga

tv

Tiempo de vaciado

(s)



Viscosidad del fluido

(kg/m.s)

(cm2) (cm 2)

v1 y v2 Velocidades del fluido en los puntos 1 y 2 respectivamente

v

velocidad del fluido

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

(m/s)

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II.

MARCO TEÓRICO

1. Fluido: Los fluidos, como todos los materiales, tienen propiedades físicas que permiten caracterizar y cuantificar su comportamiento así como distinguirlos de otros. Algunas de estas propiedades son exclusivas de los fluidos y otras son típicas de todas las sustancias. Propiedades como la viscosidad, tensión superficial y presión de vapor solo se pueden definir en los líquidos y gases. Sin embargo la masa específica, el peso específico y la densidad son atributos de cualquier materia. 1.1.

Propiedades de los fluidos: 

Viscosidad: es una propiedad de los fluidos que se refiera el grado de fricción interna; se asocia con la resistencia que presentan dos capas adyacentes moviéndose dentro del fluido. Debido a esta propiedad parte de la energía cinética del fluido se convierte en energía interna.



Densidad: es la relación entre la masa y el volumen que ocupa, es decir la masa de unidad de volumen.



Volumen específico: es el volumen que ocupa un fluido por unidad de peso.



Peso específico: corresponde a la fuerza con que la tierra atrae a una unidad de volumen.



Gravedad específica: indica la densidad de un fluido respecto a la densidad del agua a temperatura estándar. Esta propiedad es dimensional.

1.2.

Tipos de Fluidos. 

Fluido newtoniano: Un fluido newtoniano es un fluido cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. La curva que muestra la relación entre el esfuerzo o cizalla contra su tasa de deformación es lineal y pasa por el origen. El mejor ejemplo de este

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

7

tipo de fluidos es el agua en contraposición al pegamento, la miel o los geles que son ejemplos de fluido no newtoniano. Un buen número de fluidos comunes se comportan como fluidos newtonianos bajo condiciones normales de presión y temperatura: el aire, el agua, la gasolina, el vino y algunos aceites minerales. 

Fluido no newtoniano: Es aquél cuya viscosidad varía con la temperatura y presión, pero no con la variación de la velocidad. Estos fluidos se pueden caracterizar mejor mediante otras propiedades que tienen que ver con la relación entre el esfuerzo y los tensores de esfuerzos bajo diferentes condiciones de flujo, tales como condiciones de esfuerzo cortante oscilatorio.



Flujo. Es todo desplazamiento de un fluido que se conduce por una tubería, canal, etc.

Los tipos de flujos son 

Flujo laminar: Se llama flujo laminar al tipo de movimiento de un fluido cuando éste es perfectamente ordenado, estratificado, suave, de manera que el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse. Las capas adyacentes del fluido se deslizan suavemente entre sí.



Flujo en transición: Es el estado mixto entre los estados laminar y turbulento.



Flujo turbulento: Es cuando se hace más irregular, caótico e impredecible, las partículas se mueven desordenadamente y las

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

8

trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos aperiódicos. Aparece a velocidades altas o cuando aparecen obstáculos abruptos en el movimiento del fluido.

2. Vaciado de tanques En muchas industrias existe en un momento dado la necesidad de vaciar sus tanques sea con fines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar producto de un equipo a otro provechando las diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea su disposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente. En ambos casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estos efectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo de bombeo, evitando de esta forma también el gasto energético que su empleo requiere. Como ya expresáramos, se busca pues eliminar actividades que generen costos y no agreguen valor a o los productos elaborados. El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistema

2.1.

Vaciado de un tanque abierto.

Imaginemos un tanque lleno de agua, abierto en su parte superior y con una válvula colocada a ras del fondo (podría ser, por ejemplo, un tanque de agua domiciliario). Si abrimos la canilla observaremos que al principio el agua sale con fuerza (el chorro cae lejos) y la va perdiendo a medida que se vacía, como se muestra en la Fig. 1. VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

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Esto se debe a la presión del agua en el punto de salida (Ps) (válvula), la que es igual a la suma de la presión atmosférica (Pat) que recibe la superficie el agua, más la presión que recibe el líquido (Pl) (llamada "presión hidrostática" en física). En consecuencia, Ps = Pat + Pl La presión atmosférica se mantiene constante durante el vaciado del agua, pero la presión que ejerce el líquido va disminuyendo a medida que se vacía y en consecuencia, la presión de salida también va disminuyendo con el vaciado del tanque. Es por esto que la fuerza de salida del agua es cada vez menor.

2.2.

Vaciado de un tanque cerrado herméticamente.

Ahora imaginemos el mismo tanque lleno de agua, pero cerrado herméticamente. Cuando abrimos la válvula observamos que al principio el líquido sale con fuerza, pero rápidamente disminuye, y en determinado momento, deja de salir agua a pesar que el tanque aún tiene líquido en su interior (Fig. 3).

Esto es lo que pasa si llenamos una botella de agua y la invertimos dejándola vertical: sale agua y luego se detiene la salida a pesar que aún queda agua en la botella. Esto se debe a que por estar el tanque herméticamente cerrado, al bajar el nivel del agua, sobre su superficie superior se genera un VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

10

vacío que se opone a la presión que ejerce el líquido sobre el caño de salida. Cuando el vacío se hace igual a la presión del líquido en este punto, éste no sale más del tanque. Para llevar esta experiencia a nuestro modelo de UControl, solo debemos tapar los dos tubos de venteo en el tanque convencional y veremos que el motor arranca normalmente, aumenta sus RPM's rápidamente y se detiene abruptamente (cuando el vacío generado en el interior del tanque iguala a la succión del motor).

2.3.

Vaciado de un tanque unflow

El mismo tanque de agua cerrado herméticamente del ejemplo anterior lo transformaremos en "uniflow" de manera muy sencilla: colocamos un caño a través de la tapa con su extremo inferior apenas por encima del tubo de salida y lo llenamos totalmente de agua como se muestra en la Fig. 4.. Este tubo de "venteo" se llenaré de agua hasta el mismo nivel del agua dentro del tanque y sobre esa superficie del agua dentro del caño actuará la presión atmosférica (Pat).

Si ahora abrimos el grifo de salida inferior, el agua bajará por el tubo de venteo hasta su extremo inferior. Cerraremos la válvula en este punto y analicemos que ocurrió: Como en el caso anterior, la salida de agua provocó un vacío en la parte superior del tanque que fué compensado por la presión atmosférica que hizo bajar el nivel del agua en el caño de venteo. En este punto, la presión de salida es (Fig.5), la siguiente: Ps = Pat + Pl + Ph - V Como vimos en el caso anterior que cuando están en equilibrio Ph y V se igualan, resulta entonces que Ps = Pat + Pl = Constante

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

11

Cuanto más cerca esté el extremo del tubo de venteo del nivel de salida, menor será Pl, y siempre será constante mientras el líquido esté por encima del extremo del tubo de venteo. Si abrimos nuevamente la válvula veremos que el chorro de agua sale con la misma intensidad "casi" hasta el final (Fig. 6).

2.4.

Chorro descargando a la atmósfera

Utilizando la ecuación de balance de energía entre una sección cualquiera del chorro libre y la boquilla se puede demostrar que la trayectoria del chorro (representada por el eje del chorro) cumple la ecuación de una parábola de la forma: Y=g .x2/ 2v2 donde Y es la coordenada vertical del chorro medida a partir del eje de la boquilla y en dirección hacia el centro de la tierra, X es la coordenada horizontal del chorro medida a partir de la boquilla y en la dirección de avance del chorro; y V0 es la velocidad media de salida del chorro (en la boquilla). Hacer el cambio de variable Z = X 2 de modo que la ecuación (7) se transforme en la ecuación de una recta sin intercepto. Con la nueva variable, hacer un ajuste lineal sin intercepto con los pares de puntos (Q, Z). La pendiente de este ajuste se utiliza para estimar el valor del coeficiente de contracción del chorro de la siguiente manera:

Donde m es la pendiente obtenida del ajuste lineal Y = m X 2.

2.5.

Teoría de Orificios

En el cálculo de orificios intervienen tres coeficientes: los coeficientes de descarga, de velocidad y de contracción. En un orificio la dirección de las venas liquidas tiende hacia el centro del orificio causando una contracción poco después de la salida del chorro esto sucede a una distancia que es aproximadamente la mitad del diámetro del orificio siendo por lo tanto en este caso el orificio circular siendo otro valor si la geometría es diferente: VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

12

Si no se considerara la sección contraída al aplicar Bernoulli se consideraría que B esta a la misma presión atmosférica que en el punto A pero esto no es así si se aplicara Bernoulli en los puntos B y C considerando que la presión en C si es igual a la atmosférica debido a que en C esta en contacto con ella y además el liquido esta en régimen normal, además la velocidad en B es menor que en A debido a que la sección es mayor y se tiene el mismo caudal, encontraríamos que la presión en B es mayor que en A, por lo tanto para poder aplicar Bernoulli este tendría que aplicarse en A y en C con esto tendríamos una velocidad y un gasto de salida teóricos. Esta teoría es general y funciona en toda clase de orificios, con algunas reservas pero en orificios de pared delgada esta teoría queda sin cambios en cuanto a las fórmulas ya que esta teoría en realidad no cambia en su deducción.

2.1.3 Con aditamento (tubo corto)

El comportamiento de un orificio con un tubo corto de arista viva las venas liquidas presentan contracción tal como en una pared delgada esta contracción se presenta dentro del tubo pero después de la contracción el líquido llena el tubo , el aire que llena la región A alrededor de la zona contraída como se ve en la figura es arrastrado por la presión del agua originándose por eso una presión menor que la atmosférica por eso aumenta la carga de velocidad y al aumentar la carga de velocidad aumenta el gasto por lo regular en un 30% mayor

que

en un orificio de pared delgada para las mismas dimensiones. Una consideración que se debe hacer para considerar que un tubo corto es verdaderamente un tubo corto, es que este sea de un tamaño de 2 a 3 veces más

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

grande

que

el

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diámetro del orificio y el coeficiente de gasto va de 0.78 a

0.83 en la fórmula

de velocidad real.

El modo de obtener el gasto en un orificio con un tubo corto tiene la formula igual a la de un orificio de pared delgada pero el coeficiente de gasto o C d cambia y es obtenido mediante tablas y la relación entre longitud del tubo corto y el diámetro del orificio. A este tipo de tubo corto se le denomina tubo corto normalizado y es en el que más fácilmente podemos calcular el coeficiente de gasto ya que existe otro llamado tubo convergente en el cual las variables para obtener el coeficiente de gasto son más por ejemplo tenemos que tomar en cuenta si es de arista viva o redondeada y el ángulo de las paredes del tubo.

3. Ecuaciones matemáticas Se presentan los modelos matemáticos para determinar los Coeficientes de descarga, velocidad y contracción, y también para determinar el porcentaje de error.

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

14

Para hallar estos coeficientes se requiere determinar el área del orificio, el área del chorro contraído, la velocidad real, la velocidad teórica, el caudal real y el caudal teórico.

a) Teorema de Bernoulli

Una forma especial de la ecuación de Euler derivada por una corriente natural se llama la ecuación de Bernoulli.

p1  gy1 

1 2 1 v1  p 2  gy 2  v 22  perdidas 2 2

(1)

Donde: p  la presión (N/M2)

  Densidad (kg/m3) g  Constante de gravitación (m/s2) y  La elevación (m) v  Velocidad (m/s)

b) Ecuación de continuidad

Si dentro de un tubo el caudal o flujo de un fluido que va a una velocidad media

v1 es:

Q  A1v1 Donde: A= Área de la sección transversal del tubo El principio de conservación de la masa en dinámica de fluidos, para flujo en una dirección es:

1v1 A1   2 v 2 A2  A

 ( v) t

(2)

En estado estacionario el término de la derivada respecto del tiempo es cero. Un fluido de densidad constante (como los líquidos) se denomina incompresible.

1v1 A1   2 v2 A2 VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

(3)

15

3.1.

MODELOS MATEMÁTICOS MODELO FÍSICO:

A) BALANCE DE MATERIA EN EL TANQUE Ecuación general de Balance de Materia:

0 =

Rapidez de Acumulación de Masa

Rapidez de Ingreso de Masa

-

Rapidez de Generación de Masa

+

+

-

Rapidez de Salida de Masa

Rapidez de Consumo de Masa

Para las condiciones de problema: -

Generación de masa = 0

-

Consumo de masa = 0

Aplicando la expresión integral de la conservación de la masa:

    v . n dA     C.S   t   V .C dV  0

Considerando que:

 t

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

(1)



V .C

dV  0

(2)

16

    C.S  v . n dA  0

Remplazando (11) en (10):

(3)

Dónde:

       v . n dA   v . n dA        C.S    A1    A2  v . n dA  0

(4)

De acuerdo al sentido del fluido:

    C.S  v . n dA   A1 vdA   A2 vdA  0

(5)

1 .v1 . A1   2 .v2 . A2

Integrando:

(6)

Como es un fluido incompresible:

1   2

(7)

v1 . A1  v2 . A2

Remplazando (7) en (6):

v1  v2 .

Despejando

A2 A1

(8) (9)

B) BALANCE DE ENERGÍA EN EL TANQUE:

W  Q W p          e    v . n dA     edV  C .S C .V t t   t t  

(10)

Considerando que:  t



W t

V .C

0

edV  0

(Por ser permanente)

(Por no tener fricción)

(11)

(12)

Remplazando (11) y (12) en (10):

 Q W p         e    v . n dA C .S t t    

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

(13)

17

Dónde:

e

p





v2 p  gy    2 

(14)

Remplazando (14) en (13):    p    p    p         e   v . n dA  e   v . n dA  e       C .S       A1       A2     v . n dA  v 22  v12 p2  p1   p     C .S  e     v . n dA   2  gy 2   2   2  2 v 2 A2    2  gy1  1   1 1v1 A1 

Remplazando en (13):  v12 p2  p1  Q W  v 22     gy 2   2   2 v 2 A2     gy1  1  1v1 A1  t t 2  1  2 2

(15)

Asumiendo las siguientes condiciones: No existe transferencia de calor: El sistema no realiza trabajo:

Q 0 t

(16)

W 0 t

(17)

Remplazando (17), (16) en (15):  v22  v12 p2  p1    0    gy 2   2    2 v2 A2    gy1  1    v A  2  1  1 1 1 2 2

(18)

Quedando:  v22  v12 p2  p1     gy     v A    2 2 2   gy1  1    v A  2 2 2  1  1 1 1 2 2

(19)

Como el flujo másico es constante:  2 v2 A2   2 v2 A2  m

(20)

Remplazando (20) en (19):  v 22 p 2   v12 p1    gy 2   2      gy1  1   2   2 1  2

Sabemos que:

Remplazando (22) en (21):

hi   i 

(21)

pi i

(22)

v22 v12  gy 2  h2   gy1  h1 2 2

(23)

h1  h2

(24)

v1  0

(25)

Del sistema, tenemos: La entalpía es constante La velocidad inicial VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

18

y2  0

Respecto al nivel de referencia:

(26)

Remplazando (24), (25) y (26) en (23):

v22  gy1 2

(27)

v2  2gy1

Despejando

(28)

C) HALLANDO EL TIEMPO DE DESCARGA: Del gráfico:

dy  v1 dt

Remplazando (28) en (9):

v1  2 gy .Cd.

yf 1 A 1 dz  2  A1 2 g .Cd y0 y yf

2 y 2 g .Cd

y0





2 g .Cd

tf

t0

  A t A 2

tf A dy   2 dt 2 gy .Cd t0 A1

yf

y0

dt

f

 t0 

1

td 

Remplazando las áreas:

td

(31)

0

Despejando:

 

(30)

tf

A  2t A1 t

2 y f  y0



A2 A1

A dy  2 gy .Cd. 2 dt A1

Remplazando (30) en (29):

Ordenando e integrando:

(29)

2





y f  y 0 . A1

(32)

2 g .Cd . A2

td 





2 y f  y 0 . .D 2 4 2 g .Cd . A0



y f  y 0 . .D 2 2 2 g .Cd . A0

Finalmente: si yo=0; tiempo de vaciado del tanque completo: td 

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

 .D 2 y

(33)

8.Cd. A0 g 19

D) CALCULO DE Cd EXPERIMENTALMENTE: 𝐶𝑑 = 𝐶𝑐 𝐶𝑣 =

𝑄𝑟

(34)

𝑄𝑡

Se formulara la relación de 𝑄𝑟 con 𝐶𝑑 . Sabemos: 𝜋∙𝑑2

𝑣𝑡 = √2𝑔ℎ

𝑄𝑡 =

𝑣𝑟 = 𝐶𝑣 ∙ 𝑣𝑡

𝑄𝑟 = 𝐶𝑄

𝑣𝑡

4

𝜋∙𝑑2 4

𝑣𝑡 = 𝐶𝑑

𝜋∙𝑑2 4

√2𝑔ℎ

De la última igualdad podemos decir que para un modelo ideal de 𝐶𝑑 , la raíz sería igual a 2.

Teniendo la ecuación anterior para un modelo general: 𝑛

𝑄𝑟 = √ℎ ∙ 𝐶𝑑

𝜋 ∙ 𝑑2 𝑛 √2𝑔 4

Aplicamos el “ln” a ambos miembros: 𝑛

ln(𝑄𝑟 ) = ln( √ℎ ∙ 𝐶𝑑

𝜋 ∙ 𝑑2 𝑛 √2𝑔) 4

Ordenando nos resulta: 1

ln(𝑄𝑟 ) = 𝑛 ln(ℎ) + ln(𝐶𝑑

𝜋∙𝑑2 𝑛 √2𝑔) 4

(35)

Que puede ser llevada a la forma de la ecuación de una recta, para la determinación de Cd: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Para el Tanque; evaluamos Cd con datos de caudal y alturas para construir la gráfica siguiente. Ln Q Gráfica: Ln Q vs Ln h m: pendiente

b Ln H

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

20

n

De donde definimos:

1 m

Para la recta realizamos un ajuste lineal:

(36) y  m.x  b

(37) Ln Q = m. Ln h + b

(38)

Q  10 b.n h

(39)

Q  Cd.A2 .n 2gh

(40)

Despejando Q:

Sabemos:

Evaluamos el caudal (Q):

IDEAL:

Q  Cd I .A2 .n 2gh

(41)

Dónde: CdI = coeficiente de descarga ideal = 1 Remplazando (37) en (39)

10 b Cd I  A2 .n 2 g

(42)

Qe  Cde .A2 .n 2gh

(43)

EXPERIMENTAL:

Donde: Cde= coeficiente de descarga experimental Reemplazando (37) en la ec. (41):

Qe  10b.n he  Cde .A2 .n 2 ghe Despejando:

Cde 

10b A2 .n 2 g

(44) (45)

Se presentan los modelos matemáticos para determinar los Coeficientes de descarga, velocidad y contracción, y también para determinar el porcentaje de error.

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

21

Para hallar estos coeficientes se requiere determinar el área del orificio, el área del chorro contraído, la velocidad real, la velocidad teórica, el caudal real y el caudal teórico.

Área Del Orificio (B)

 D 2  B   B   4 

(4)

Donde: B = Área del orificio (m2). DB: Diámetro del orificio (m).

Área Del Chorro Contraído (B0)

 DB20 B0    4 

   

(5)

Donde: B0 = Área sección contraída del chorro (m2 ). DBo: Diámetro del chorro (m). Velocidad Teórica (Vt)

Vt  2gh

1/ 2

(6)

Donde: Vt: Velocidad teórica (m/s) g: Gravedad (m/s2). h: Altura piezométrica (m).

Velocidad Real (VR)

VR  X g / 2Y 1 / 2

(7)

Donde: VR: Velocidad real (m/s) X: Alcance del chorro (m). Y: Distancia vertical (m). g: Gravedad (m/s2). VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

22

Caudal Real (Qr)

V Qr   t

   B0  vr 

(8)

Donde: Qr : Caudal real (m3/s). V: volumen experimental (m3). t: tiempo experimental(s).

Caudal Teórico (Qt)

Qt  B2gh

1/ 2

(9)

Donde: Qt: Caudal teórico (m3/s). B: Área (m2). g: gravedad (m/s2). h: Altura piezométrica (m).

Coeficiente De Descarga (CD)

Q  CD   r   Qt 

(10)

Donde: CD: Coeficiente de descarga Qr: Caudal real (m3). Qt: Caudal teórico (m3). Coeficiente De Velocidad (CV)

V Cv   r  Vt

  

(11)

Donde: CV: Coeficiente de velocidad Vr: Velocidad real (m/s). Vt: Velocidad teórica (m/s).

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

23

Coeficiente De Contracción (CC)

B  Cc   0   B

(12)

Donde: CC: Coeficiente de contracción B0: Área del chorro contraído (m2). B : Área del orificio (m2).

Porcentaje De Error (%E)

% E   X 0  Xi  / X 0 100

(13)

Donde: Xo

: Parámetro tomado como patrón

Xi

: Parámetro que se pretende comparar

TIEMPO DE EVACUACIÓN DE UN RECIPIENTE

Si se desea estimar el tiempo de vaciado de un recipiente, tv , por un abertura S1: Suponiendo que durante el vaciado del tanque Cd es aproximadamente constante, el flujo saliente de líquido Q1 , será: Q1 = S1. v1 = S2. v2 = S1 .Cd . 2gh Dado que v2 = dh/dt, tenemos que:

dh S1  C d . . 2 gh dt S 2 Por lo tanto, integrando esta última expresión tenemos: h

dh



h

hh



0

 t

S1 C d . . 2 g dt S2



2 h  h0  h  h0  

S1 C d . . 2 g .(0  t v ) S2 1 S1 C d . . 2 g . t v 2 S2

Dado que el tiempo de vaciado tv se da cuando h = 0

VACIADO DE TANQUE- FORMA CILINDRICA

24

 h0   tv 

h0 1 S1 C d . . 2 g 2 S2

tv  2 tv 

1 S1 C d . . 2 g . t v 2 S2

h0 S2 S1 C d . . 2 g

S2 1 S1 C d .

4h0 2g

Aquí, h0 = h1 – h2. De donde el tiempo de vaciado tv, vendrá dado por: tv 

S2 1 S1 C d .

2h0 g

La ecuación anterior, se simplifica de acuerdo a la siguiente afirmación: Suponer la siguiente aproximación: d1