• Author / Uploaded
• Airton Alcalde Curay

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIER´IA CIVIL, ARQUITECTURA Y URBANISMO ´ ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS F´ISICO MATEMATICAS

Segunda Pr´ actica-Preprofesional Informe Responsable: Est. Arturo Flores Condori

Asesor: Lic. M´ aximo Roberto Pari Coila PUNO 2010

´ PERU

Z

Universidad Nacional del Altiplano Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

AL

:

DE ASUNTO FECHA

: : :

Y X

Lic. Juan Carlos Benavides Huanca Director de Estudios de la Escuela Profesional Cs. F´ısico Matem´aticas Lic. M´aximo Roberto Pari Coila Informe de las Pr´acticas Pre Profesionales 25 de Enero del 2010

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las pr´acticas realizadas por el Estudiante ARTURO FLORES CONDORI, el cual detallo a continuaci´on: 1. Mediante MEMORANDO N-034-2009-DE-EPCFM–FICA-UNA. Se designa Al estudiante ARTURO FLORES CONDORI, para que realice pr´acticas pre-profesionales en la escuela profesional de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica en la asignatura de FISICA III la misma que realizo bajo mi asesor´ıa. 2. El estudiante realizo la pr´actica a partir de la fecha 04 de Mayo del 2009 y culminando el 17 de Agosto del 2009, acumulando un total de 30 horas acad´emicas, que consiste en desarrollar la parte practica de la asignatura de FISICA III, correspondiente al II semestre de la E.P. de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica. 3. Durante la realizaci´on de la pr´actica pre-profesional del estudiante en menci´on demostr´o, responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparaci´on de sus sesiones, como en su desenvolvimiento ante los estudiantes y dem´as tareas asignadas. 4. Concluida la practica pre-profesional el estudiante alcanzo los objetivos establecidos, siendo as´ı; solicito a Ud. se˜ nor Director ha realizar los tr´amites necesarios para la expedici´on de la respectiva Resoluci´on. Es cuanto informo a Ud. para los fines que el interesado tenga por conveniente.

Atentamente,

Lic. MAXIMO ROBERTO PARI COILA Asesor

Z

Universidad Nacional del Altiplano Facultad de Ingeniería Civil y Arquitectura Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

Y X

INFORME N ◦ 001 − 2010−EPFM AL

:

DE ASUNTO FECHA

: : :

Lic. M´aximo Roberto Pari Coila Asesor de Pr´acticas Est. Arturo Flores Condori Informe de las Pr´acticas Pre Profesionales 25 de Enero del 2010

Es grato dirigirme a Ud. sobre las pr´acticas que realice el cual detallo a continuaci´on: 1. Mediante el MEMORANDO N-034-2009-DE-EPCFM–FICA-UNA.de fecha, Puno C.U, Abril 27 del 2009, se me designa a su persona como asesor, para que realice las pr´acticas pre-profesionales en la Escuela Profesional de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica en la asignatura de F´ısica III. 2. Inicie la pr´actica el d´ıa 04 de Mayo del 2009, terminando el 17 de Agosto del 2009, acumulando satisfactoriamente las 30 horas acad´emicas pedidas. 3. Los detalles de la pr´actica pre-profesional se encuentran en la documentaci´on adjunta en este informe. En cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

Atentamente,

Est. ARTURO FLORES CONDORI UNA-Puno

´ PRESENTACION Estas notas se originan por las practicas pre-profesionales realizada del 04 de Abril del 2009, terminando el 17 de Agosto del 2009 en la asignatura de F´ISICA III en la Escuela Profesional de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica de la Universidad Nacional del AltiplanoPuno. En el Primer capitulo contiene todos los datos personales, del lugar donde se realizo las practicas pre-profesionales y los datos de la asignatura. En el Segundo capitulo justifica la realizaci´on de las pr´acticas pre-profesionales. Y en el Tercer capitulo menciona los objetivos de la pr´actica pre-profesional. Como una segunda parte de estas notas menciono el contenido de la asignatura de F´ısica III estos lo conforman del Cuarto capitulo al D´ecimo cap´ıtulo, donde en su primera parte del contenido (Electrost´atica), se estudia los fen´omenos relacionados con la carga en reposo (es decir; Fuerza, Campo potencial, Potencial el´ectrico y condensadores). En su segunda parte del contenido de la asignatura (Magnetismo), se estudia los efectos que produce la carga en movimiento (es decir, comprende los cap´ıtulos: Corriente el´ectrica, Campo magn´etico y Inducci´on electromagn´etica). Finalmente, en el Onceavo capitulo se˜ nalo la metodolog´ıa usada para el curso de F´ısica III, en el Doceavo capitulo presento un cronograma de actividades de acuerdo a los temas realizados y en Treceavo capitulo presento la relaci´on de Estudiantes y sus asistencias a la asignatura de F´ısica III. Al final se especifica la bibliograf´ıa usada para el desarrollo de estas notas. Espero que este informe sirva como referencia para futuras pr´acticas pre-profesionales que se realicen referentes a la Asignatura.

.

ARTURO FLORES CONDORI

´Indice general Presentaci´ on

III

Indice General

IV

1. Datos Informativos

2

2. Justificaci´ on

3

3. Objetivos

6

4. Electrost´ atica 4.1. Carga El´ectrica . . . 4.2. Ley de Coulomb . . . ~ 4.3. Campo El´ectrico (E) 4.4. Problemas Resueltos

. . . .

. . . .

5. Ley de Gauss 5.1. Flujo El´ectrico . . . . . 5.2. Ley de Gauss . . . . . . 5.2.1. Aplicaciones de la 5.3. Problemas Resueltos . .

. . . .

. . . .

. . . . ley . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . de Gauss . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

6. Potencial El´ ectrico 6.1. Energ´ıa potencial el´ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Potencial el´ectrico y Diferencia de potenciales . . . . . . . . 6.2.1. Potencial el´ectrico debido a una carga puntual . . . . 6.2.2. Potencial debido a un sistema de cargas puntuales . . 6.2.3. potencial debido a una distribuci´on continua de carga 6.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Capacitancia y Capacitores 7.1. Capacitores en serie y en paralelo . . 7.1.1. Capacitores en serie . . . . . . 7.1.2. Capacitores en paralelo . . . . 7.2. Energ´ıa Almacenada en un Capacitor 7.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . .

iv

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

7 7 7 9 10

. . . .

15 15 16 17 18

. . . . . .

23 23 25 26 27 28 28

. . . . .

34 35 35 36 36 37

´INDICE GENERAL

1

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua 8.1. Corriente El´ectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Resistividad y la Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Resistividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Resistores en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Resistores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Resistores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Reglas de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1. Carga de un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2. Descarga de un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

43 43 44 44 45 46 46 46 47 47 48 48 50 51

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico 9.1. Campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Flujo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Movimiento de part´ıcula con carga en un campo magn´etico . . 9.4. Fuerza magn´etica sobre un conductor que transporta corriente 9.5. Fuerza y momento de torsion en una espira de corriente . . . . 9.6. La Ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

59 59 60 61 62 63 65 66 67

. . . . .

73 73 74 75 76 76

10.Inducci´ on Electromagn´ etica 10.1. F EM Inducida y la ley de Faraday 10.2. Ley de Lenz . . . . . . . . . . . . . 10.3. Fuerza electromotriz de movimiento 10.4. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . 10.5. Problemas Resueltos . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

11.Metodolog´ıa 80 11.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.2. T´ecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.3. M´etodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 12.Temas y Cronograma de Actividades

81

13.Relaci´ on de Estudiantes y Asistencia 83 13.1. Relaci´on de Estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 13.2. Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Bibliograf´ıa

85

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 1 Datos Informativos Responsable DNI C´ odigo Nivel Semestre Duraci´ on

Asesor Condici´ on Categor´ıa

: : : : : :

Arturo Flores Condori 42221680 040706 Quinto D´ecimo Del 04 de Mayo del 2009 al 17 de Agosto del 2009

: Lic. M´aximo Roberto Pari Coila : Nombrado : Asociado a D.E.

Instituci´ on Lugar Facultad Escuela Profesional

: : : :

Universidad Nacional del Altiplano Puno Ingenier´ıa .. Ing. Mec´anica El´ectrica

Asignatura Naturaleza de la Asignatura N´ umero de Horas Cr´ editos Prerrequisito A˜ no Acad´ emico Semestre ´ Area Condici´ on Grupo

: : : : : : : : : :

F´ısica III Obligatorio 3T.(Teor´ıa)+2P.(Pr´acticas)=5 Hrs. 5 F´ısica II 2008 2008-II Formaci´on General Flexible ´ Unico

2

Cap´ıtulo 2 Justificaci´ on Las practicas pre-profesionales en la escuela profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas, son de mucha importancia para poner en practica los conocimientos y experiencias adquiridas durante nuestra permanencia como estudiante, en la din´amica del proceso ense˜ nanzaaprendizaje y la experimentaci´on te´orica; as´ı mismo construimos una solida base adquiriendo destreza y habilidad para nuestro buen desempe˜ no como profesionales. Por otro lado, las practicas pre-profesionales es para dar cumplimiento a uno de los requisitos exigidos dentro del Programa Acad´emico de la Facultad de Ingenier´ıa Civil y Arquitectura de Nuestra Universidad Nacional del Altiplano para la obtenci´on del grado acad´emico de Bachiller, el cual tiene sustento legal en:

1. Constituci´ on Pol´ıtica del Per´ u ´ La Constituci´on Pol´ıtica del Per´ u de 1993, es la actual constituci´on del Per´ u. Esta es considerada como la norma jur´ıdica suprema y v´ertice de todo el ordenamiento jur´ıdico que regula la vida dentro del pa´ıs. Art. 14 La educaci´on promueve el conocimiento, el aprendizaje y la pr´actica de las humanidades, la ciencia, la t´ecnica, las artes, la educaci´on f´ısica y el deporte; prepara para la vida, el trabajo y fomenta la solidaridad. Art. 18 La educaci´on universitaria tiene como fines la formaci´on profesional, la difusi´on cultural, la creaci´on intelectual y art´ıstica y la investigaci´on cient´ıfica y tecnol´ogica. El estado garantiza la libertad de c´atedra y rechaza la intolerancia. Las universidades son promovidas por entidades privadas o p´ ublicas. La ley fija las condiciones para autorizar su funcionamiento. La universidad es la comunidad de profesores, alumnos y graduados. Participan en el ella los representantes de los promotores, de acuerdo a ley. Cada universidad es aut´onoma en su r´egimen normativo, de gobierno, acad´emico, administrativo y econ´omico. Las universidades se rigen por sus propios estatutos en el marco de la Constituci´on y de las leyes.

3

2. Justificaci´ on

4

2. Ley Universitaria No 23733 Dado en la casa de gobierno en Lima, a los nueve d´ıas del mes de diciembre de mil novecientos ochenta y tres. En el gobierno de: FERNANDO BELAUNDE TERRY, y siendo PATRICIO REY DE CASTRO, Ministro de Educaci´on. Art. 9 Cada universidad organiza y establece su r´egimen acad´emico por facultades a sus necesidades y caracter´ısticas. Art. 18 Cada universidad se˜ nala los requisitos para la obtenci´on de los grados acad´emicos y de los t´ıtulos profesionales correspondientes y las carreras que ofrece. Art. 23 Los t´ıtulos profesionales de licenciado o su equivalente requieren de estudios de una duraci´on no menor de diez semestres acad´emicos o la aprobaci´on de los a˜ nos o cr´editos correspondientes, incluidos los de cultura general que los preceden. Adem´as son requisitos la obtenci´on previa del Bachillerato respectivo y, cuando sea aplicable, el haber efectuado pr´actica profesional calificada. Para obtener el t´ıtulo de licenciado o sus equivalentes, se requiere de una tesis o de un examen profesional. La segunda especialidad requiere la licenciatura u otro t´ıtulo profesional equivalente previo. Da acceso al t´ıtulo, o a la certificaci´on o menci´on correspondientes.

3. Estatuto de la Universidad Nacional del Altiplano Aprobado en asamblea universitaria del 06 al 19 de enero de 2005. Art. 19 La universidad se integra por unidades acad´emicas fundamentales denominadas facultades estos organizan y desarrollan actividades de investigaci´on, proyecci´on social y presentaci´on de servicios. Art. 122 La actividad acad´emica en una escuela profesional comprende: - Formaci´on general. - Formaci´on b´asica profesional. - Formaci´on profesional. - Investigaci´on. - Orientaci´on profesional. - Proyecci´on y extensi´on universitaria. Su dise˜ no involucra la programaci´on curricular te´orico-pr´actica de cada asignatura; proyectos de investigaci´on sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades de proyecci´on y extensi´on universitaria; y un plan de pr´acticas preprofesionales.

Arturo

Flores

Condori

2. Justificaci´ on

5

4. Curricula de la Escuela Profesional Ciencias F´ısico Matem´ aticas Art. 40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realizaci´on de pr´acticas pre profesionales en la formaci´on de todos los estudiantes de la universidad. Art. 41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matem´aticas est´an obligados a realizar pr´acticas pre profesionales pudiendo efectuarse despu´es de haber logrado un m´ınimo de 170 cr´editos. Art. 42 Las pr´acticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matem´aticas ser´an pr´acticas productivas y pr´acticas de investigaci´on. Art. 43 Las pr´acticas productivas comprender´an pr´acticas pedag´ogicas en centros de ense˜ nanza de nivel medio superior y universidades; pr´acticas en centros productivos, convenio, proyectos y otros que requieran la participaci´on de F´ısicos Matem´aticos. Art. 44 Las pr´acticas de investigaci´on se realizan en la U.N.A. bajo la direcci´on de un profesor designado espec´ıficamente con este fin. Art. 45 Las pr´acticas productivas de investigaci´on tendr´an una duraci´on de un semestre acad´emico. Art. 46 Los estudiantes, despu´es de haber cumplido con sus pr´acticas productivas y/o de investigaci´on presentar´an el informe a la instituci´on donde se realiz´o y esta a su vez informar´a de su desarrollo a la Direcci´on de Carrera quien lo remitir´a a la comisi´on de pr´acticas pre profesionales para su aprobaci´on o desaprobaci´on. Art. 47 En el caso de que la pr´actica productiva y/o pr´acticas de investigaci´on se realice en la Universidad Nacional del Altiplano el practicante presentar´a el informe al docente a cargo, ´este a su vez informar´a su desarrollo a la Direcci´on de la Carrera para el visto bueno de la comisi´on de pr´acticas Pre profesionales. Art. 48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento ser´an absueltos por la Comisi´on de pr´acticas pre profesionales.

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 3 Objetivos Objetivos Generales Al concluir la pr´actica pre profesional, el estudiante de la Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas, ser´a capaz de: • Desarrollar, aplicar y facilitar el uso de las relaciones cuantitativas y cualitativas de las diversas disciplinas de la ciencia, la tecnolog´ıa, la gesti´on y la producci´on. • Complementar nuestra formaci´on profesional, a trav´es del contacto con el mundo laboral, antes de terminar nuestros estudios.

Objetivos Espec´ıficos Los objetivos espec´ıficos que se tiene para la pr´actica desarrollada en la respectiva asignatura designada son: • Poner en practica los conocimientos adquiridos previamente en las aulas, en la ense˜ nanza de la F´ısica. • Realizar labores participativas que nos coadyuven al perfeccionamiento profesional y a la formaci´on cient´ıfica y del conocimiento de la F´ısica, adecu´andonos a los requerimientos de la regi´on y del pa´ıs para contribuir a su desarrollo y transformaci´on socio-econ´omica. nanza que se empleen • Identificar y aplicar los casos, t´ecnicas y procedimientos de ense˜ en la asignatura de F´ısica III. • Promover el intercambio acad´emico con las escuelas profesionales, experimentado y mostr´andoles que la F´ısica es la ciencia mas b´asica para la descripci´on de fen´omenos naturales, y as´ı mismo adquiriendo destreza y habilidad en la din´amica de ense˜ nanzaaprendizaje.

6

Cap´ıtulo 4 Electrost´ atica 4.1.

Carga El´ ectrica

La carga el´ectrica es una propiedad fundamental independiente propia de la materia y su unidad de medida es el coulomb(C) y se denota con la letra(q, Q).

4.2.

Ley de Coulomb

La ley de Coulomb a que se subordina la fuerza de interacci´on de las cargas puntuales. Se llama carga puntual un cuerpo cargado cuyas dimensiones son despreciables en comparaci´on con la distancia de este cuerpo a otros tambi´en portadores de carga el´ectrica. La fuerza con que interaccionan dos cargas puntuales en reposo es proporcional a la magnitud de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entre ellas. la ley de Coulomb se puede expresar con la f´ormula: F =k

|q1 q2 | r2

(4.1)

Donde: k es una coeficiente de proporcionalidad (constante de Coulomb). q1 y q2 son las magnitudes de las cargas que interaccionan. r es la distancia entre las cargas. k = 8,9875 × 109 N · m2 C −2 en la pr´actica k ≈ 9 × 109 N · m2 C −2 Para un sistema de cargas puntuales, supongamos que hay una carga qa y, adem´as, N cargas q1 , q2 , ..., qw . De lo dicho anteriormente se refiere que la fuerza resultante F con que act´ uan sobre qa las N cargas qi se determina por la f´ormula: ~ = F

N X i=1

~ ai F

(4.2)

4. Electrost´ atica

8

en la que Fai es la fuerza con que act´ ua sobre qa la carga qi en ausencia de las dem´as N − 1 cargas.

1 . EnNota: El coeficiente de proporcionalidad de la ley de Coulomb se supone igual 4π² 0 tonces la expresi´ on de la ley para las cargas que se encuentran en el vac´ıo toma la forma:

F =

1 |q1 q2 | 4π²0 r2

(4.3)

donde: k=8,9875 × 109 N m2 /C −2 ²0 : recibe el nombre de permitividad en el vacio, ²0 =8,8542 × 10−12 N −1 · m−2 C 2

Distribuci´ on de Cargas Continuas Ahora vamos a generalizar pasando de cargas puntuales a una distribuci´on continua de carga. La distribuci´on de carga est´a caracterizada por una funci´on de la posici´on ρ(x, y, z) llamada densidad de carga volum´etrica y tiene dimensiones de [carga/volumen]. Seg´ un las dimensiones del cuerpo que se considera, la carga el´ectrica puede distribuirse,como se tiene:

Q er

dV

r

dq

dF~ = k recordando que, ρ =

dq dV

q +

+

dF

qdq ebr r2

, entonces, dF~ = k

la fuerza total es:

qρdV ebr r2

Z

ρ(r)dV ebr r2 Z dV ~ ebr F = kρq r2

F~ = kq

(4.4) (4.5)

Arturo

Flores

Condori

4. Electrost´ atica

9

las ecuaciones anteriores son para cuerpos con densidades de carga no uniformes y uniforme respectivamente.

4.3.

~ Campo El´ ectrico (E)

La intensidad de las cargas en reposo se efect´ ua por medio del campo el´ectrico. Todo carga hace que var´ıen las propiedades del espacio que la rodea: Crea en ´el un campo el´ectrico. Este campo se manifiesta en que una carga el´ectrica, situada en un punto cualquiera de ´el, se encuentra bajo ´a acci´on de una fuerza. Por consiguiente, para saber si en un lugar dado existe campo hay que colocar en el un cuerpo cargado y determinar si ´este experimenta la acci´on de una fuerza el´ectrica o no. Estudiaremos con la ayuda de una carga puntual de ensayo qens el campo creado por una carga puntual q en reposo. Situando la carga de ensayo en el punto cuya posesi´on respecto a la carga q est´a determinada por el radio vector r (Fig.), descubriremos que sobre la carga de ensayo act´ ua la fuerza: µ ¶ 1 q F~ = qens ebr (4.6) 4π²0 r2 q ens

F

r er q 0

00

Si se toman cargas de ensayos de distintos magnitudes qens , qens y as´ı sucesivamente, 0 00 las fuerzas F~ , F~ , .., que ellas experimentan en el punto dado del campo ser´an distintas. ~ F Pero en (4.6)se ve que la relaci´on qens en la misma para todas las cargas de ensayo y s´olo depende de las magnitudes q y r que definen el campo en el punto dado. Por eso es natural tomar esta relaci´on como magnitud caracter´ıstica del campo el´ectrico: ~ ~ = F E (4.7) qens Esta magnitud vectorial se llama Intensidad del campo el´ectrico en el punto dado (es decir, en el punto en que la carga de ensayo qens experimenta la acci´on de la fuerza F~ ). De las f´ormulas (4.6)(4.7) se deduce que la intensidad del campo de una carga puntual es proporcional a la magnitud de la carga q e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r desde dicha carga hasta el punto dado del campo: ~ = E

1 q ebr 4π²0 r2

(4.8)

~ y es evidente Seg´ un (4.7), la fuerza que act´ ua sobre la carga de ensayo es: F~ = qens E, ~ que sobre toda carga puntual q, en un punto del campo de intensidad E, actuar´a la fuerza:

Arturo

Flores

Condori

4. Electrost´ atica

10

~ F~ = q E

(4.9)

El campo el´ectrico se puede describir conociendo la magnitud la magnitud y la direcci´on ~ para cada punto. El conjunto de estos vectores forma el campo del vector del vector E intensidad de campo el´ectrico. El campo de vector velocidad se puede representar muy intuitivamente por medio de las lineas de intensidad. An´alogamente, el campo el´ectrico se puede describir vali´endose de las lineas de intensidad, que abreviadamente llamaremos ~ l´ıneas E(tambi´ en se le denomina l´ıneas de fuerza). Las l´ıneas de intensidad se trazan de ~ tal modo que la tangente a ella en cada punto coincida con la direcci´on del vector E. ~ del campo de una carga puntual son un conjunto de rectas radiales que Las l´ıneas E parten de la carga, si ´esta es positiva, y que inciden en ella si es negativa, as´ı en la figura.

+q

-

+

4.4.

-q

+

+

Problemas Resueltos

Problema 4.1 ~ debido a un anillo cuyo radio es a tiene una carga total Q disHalle el campo el´ectrico E tribuida uniformemente en toda su circunferencia en el punto P , (Fig.)la cual est´a situado sobre el eje del anillo a una distancia R de su centro. Soluci´ on:

Z

dEsen q i

Q q o

R

q

dE q

p dEcos q j

Y

2

ds

2 a R+ r=Ö

dq

X

Arturo

Flores

Condori

4. Electrost´ atica

11

las componentes en la direcci´on bi y b k se anulan, luego; ~ = dE sin θb dE k + dE cos θb j ~ b dE = dE cos θj dq = k 2 cos θb j r Z 1 ~ E = k 2 cos θ dqb j r ~ = k 1 cos θQb E j r2 √ pero cos θ = Rr , adem´as r = R2 + a2 , entonces kR b Qj r2 r R j = kQ 3 b r

(4.10)

~ = E

~ = kQ ⇒E

(R2

R

+

3

a2 ) 2

b j

~ debido a un anillo es:E ~ = kQ entonces el campo el´ectrico E

R

3

(R2 +a2 ) 2

b j

Problema 4.2 El disco mostrado en la figura, est´a cargado con una densidad de carga superficial ρs el cu´al est´a en funci´on de la distancia s, de acuerdo a la relaci´on ρs = As donde A es una constante. Determine la intensidad de campo el´ectrico en un punto M del eje del disco tal como se muestra en la fig. Z dE

M a r

z

s

o a

dq

ds

Y

q

X

Soluci´ on: El campo creado por el diferencial de carga dQ = ρs sdθds; es decir,

Arturo

Flores

Condori

4. Electrost´ atica ρs =

Q A

=

dQ dA

=

dθ , dsdθ

12 ~ es: entonces el E dQ ρs sdθds = 2 4π²0 r 4π²0 (Z 2 + s2 )

~ = dE

Por simetr´ıa solo la componente Z b k de la intensidad del campo el´ectrico va a contribuir a la intensidad total del campo en M , luego, ~ z = dE cos α = dE como, ρs = As, adem´as si cos α =

ρs Zsdθds 4π²0

(Z 2

+

3

s2 ) 2

b k

√ Z Z 2 +s2

~z = ⇒ dE

As2 Zdθds 3

4π²0 (Z 2 + s2 ) 2

b k

~ z hay que sumar todas las contribuciones diferenciales, entonces: Para hallar E Z 2π Z a Z AZ As a s2 dθds s2 ds ~ Ez = = 3 2 2 4π²0 0 2²0 0 (Z 2 + s2 ) 32 0 (Z + s ) 2

(4.11)

integrando por partes, obtenemos: sea, u = s; dv = 2 sds2 3 , luego: (z +s ) 2

Z ⇒

Z

a

udv =

Z

s2 ds

vdu 3 = uv − (Z 2 + s2 ) 2 ¯a ¯ h i¯a s ¯ 2 2 12 ¯ = − + ln s + (Z + s ) ¯ ¯ 1 0 (Z 2 + s2 ) 2 ¯ 0

0

entonces; la intensidad de campo el´ectrico en un punto M del eje del disco es: " # 2 2 12 AZ a + (Z + a ) a ~z = E ln − 1 2²0 Z (Z 2 + a2 ) 2 Problema 4.3 Un hemisferio hueco de radio a est´a cargado uniformemente sobre su superficie con una carga total Q. Determine la intensidad del campo el´ectrico en el centro de la esfera a la cual pertenece el hemisferio.

Arturo

Flores

Condori

4. Electrost´ atica

13

Soluci´ on:

Q dQ

asen a

a da

dE

a

acos a

o

Z

dE

Si tomamos un anillo de carga diferencial dQ, genera un campo el´ectrico en el eje z, las componentes en el eje x y y se anulan, por ´el se obtiene a partir del resultado del problema anterior(prob. del anillo), tenemos: ~ z = dE cos θb dE k ~ z = dQ(a cos α) b k dE 4π²0 a3 ² (dQ) cos α b = k 4π²0 a2 ²

(4.12)

sabiendo que; dQ = σdS ; dl = adα; Q luego calculando dQ: Si la carga por unidad de superficie = 2πa 2; Ahora; ¶ µ Q ∗ (2πa sen α)(adα) = Q sen αdα dQ = 2πa2

(4.13)

luego; la ec.4.13 en la ec.4.12, se tiene: (Q sen αdα) cos α b k 4π²0 a2 Z π 2 Q sen α (cos αdα) b k = 4π²0 a2 0 µ 2 ¶¯ π2 Q sen α ¯¯ = ¯ 4π²0 a2 2

~z = dE

0

Q b = k 8π²0 a2 ~z = por lo tanto, la intensidad del campo el´ectrico en el centro de la esfera es: E

Q b k 8π²0 a2

Problema 4.4 La carga positiva Q est´a distribuida uniformemente alrededor de un semic´ırculo de radio a (Figura). Halle el campo el´ectrico (magnitud y direcci´on) en el centro de curvatura P .

Arturo

Flores

Condori

4. Electrost´ atica

14

Soluci´ on:

Y

dq

Q dq

q q

P

a

X

dE

las componentes en la direcci´on bi se anula, luego se tiene: ~ = dE sen θ(−b dE j) dq = k 2 sen θ(−b j) r sabiendo que; λ =

Q πa

(4.14)

y adem´as dE = k λdl =k λdθ ; ahora en la ec.4.14, tenemos: a2 a dEy = dE sen θ kλ sen θ = dθ a Z π 2kλ 2 sen θdθ ⇒ Ey = a 0 π 2kλ = (− cos θ)|02 a i π 2kλ h − cos( ) + cos(0) = a 2 2kλ = a 2kQ = a2

por consiguiente el campo el´ectrico en el centro de curvatura P es: ~ y = 2kQ b E j a2

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 5 Ley de Gauss 5.1.

Flujo El´ ectrico

~ r) en el espacio, y en ese espacio cierta suConsideremos cierto campo vectorial E(~ ~ a trav´es de esa superficie perficie cerrada S arbitraria. Podemos definir el flujo de E como: Z Z ~ ~ ΦE = E · dS = E cos φdS (5.1) S

Se define el flujo el´ectrico de un campo el´ectrico uniforme como el producto de la magnitud del campo E por la superficie S; es decir: ΦE = ES

(5.2)

La unidad SI de flujo el´ectrico es 1 N · m2 /C Observaciones: ~ yS ~ el ´angulo entre E ~ yS ~ es φ = 0, entonces 1. superficie de frente al campo el´ectrico E ~ ~ el flujo ΦE = E · S = ES. 2. superficie inclinada respecto a la orientaci´on de cara en un ´angulo φ, el ´angulo entre ~ yS ~ es φ,entonces ΦE = E ~ ·S ~ = ES cos φ. E ~ yS ~ perpendiculares, el ´angulo 3. la superficie presenta su borde al campo el´ectrico E o ~ ~ ~ ~ entre E y S es φ = 90 , entonces el flujo ΦE = E · S = ES cos 90o = 0. ~ mediante un vector unitario 4. podemos representar la direcci´on de un vector ´area S, ~ perpendicular n ~ = Sb n b perpendicular al ´area; S b significa normal, entonces: S n. ~ no es uniforme, sino que varia de un punto a otro en el ´area S, o si S es Si sucede, si el E parte de una superficie curva; En tales casos se divide S en muchos elementos peque˜ nos dS, cada una de los cuales tiene un vector unitario n b perpendicular a ´el y un vector ~ ´area dS = n bdS, se calcula el flujo el´ectrico a trav´es de cada elemento y se integran los resultados para obtener el flujo total, as´ı: Z ~ · dS ~ definici´on de flujo el´ectrico ΦE = E (5.3) S

15

5. Ley de Gauss

16

~ · dS. ~ A esto se le llama la integral de superficie de E

5.2.

Ley de Gauss

La ley de Gauss establece que el flujo el´ectrico total de cualquier superficie cerrada(una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga el´ectrica total(neta)dentro de la superficie. I ~ · dS ~= q ΦE = E (5.4) ²o La ecuaci´on 5.4 es v´alida para una superficie de cualquier forma o tama˜ no, con la condici´on de que se trate de una superficie cerrada que encierra la carga q. Sup´ongase que la superficie encierra no s´olo una carga puntual q, sino varias cargas ~ en cualquier punto es la suma vectorial q1 , q2 , ... El campo el´ectrico total(resultante) E ~ de las cargas individuales. Sea Qenc la carga total encerrada por la de los campos E ~ el campo total en la posesi´on del elemento superficie:Qenc = q1 + q2 + q3 ..., sea adem´as E ~ de ´area superficial dS, y sea E⊥ su componente perpendicular al plano de ese elemento(es ~ En estas condiciones se puede escribir una ecuaci´on como la ecuaci´on decir, paralelo a dS). (5.4) con respecto a cada carga y su campo correspondiente y sumar los resultados. Al hacerlo, se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss: I ~ · dS ~ = Qenc ley de Gauss ΦE = E (5.5) ²o El flujo total a trav´es de una superficie cerrada es igual a la carga el´ectrica total(neta) presente en el interior de la superficie, dividida entre ²o . Observaciones: Hemos visto que hay una relaci´on entre la cantidad de carga neta en el interior de una superficie cerrada y el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie, hemos hallado que: 1. El hecho de que haya o no un flujo el´ectrico saliente o entrante neto a trav´es de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada. 2. Las cargas que est´an afuera de la superficie no proporcionan un flujo el´ectrico neto a trav´es de la superficie.

Arturo

Flores

Condori

5. Ley de Gauss

5.2.1.

17

Aplicaciones de la ley de Gauss

Sea q una carga puntual situada en el centro de una esfera; el flujo del campo el´ectrico a trav´es de esta superficie, es: E ds

q

r

I ~ · dS ~ E

ΦE = I =

E cos θdS I

=

EdS = ES

sabiendo que S = 4πr2 , superficie de la esfera, adem´as E = kq/r2 , entonces se tiene: ³ q ´¡ ¢ = k 2 4πr2 r ¢ q ¡ 2 4πr = 4π²o r2 q ⇒ ΦE = (N m2 /C) ²o Para una carga q, que est´a en superficie cerrada arbitraria, el flujo, es: E

ds

ds’

ds

ds

q

q

ds

r

ds¢=dsCosq

q

dW

I

I ~ · dS ~= E

ΦE =

E cos θdS

I

q k 2 cos θdS r I cos θ dS = kq r2 =

Arturo

Flores

Condori

5. Ley de Gauss

18

sabiendo que: dΩ =

cos θ dS, r2

entonces se tiene: I = kq dΩ

⇒ ΦE

= kq (4π) q = (N m2 /C). ²o

Para una carga q, que est´a fuera de una superficie cerrada, el flujo, es: ds2 ds1 r1

q2 q1

r2

E2

q s1

s2

I ~ · dS ~ E

ΦE = Z

Z ~ 1 · dS ~1 + E

~ 2 · dS ~2 E Z Z = E1 cos αdS1 + E2 cos θ2 dS2 =

S1

S2

S1

si, α = π − θ1 , entonces: ΦE =

S2

Z

Z

E1 cos(π − θ1 )dS1 + E2 cos θ2 dS2 S2 Z Z − E1 cos θ1 dS1 + E2 cos θ2 dS2 S1 S2 Z Z kq kq cos θ1 dS1 + cos θ2 dS2 − 2 2 S2 r2 S1 r1 Z Z cos θ2 dS2 cos θ1 dS1 + kq −kq 2 r1 r2 2 S2 ZS1 Z −kq dΩ1 + kq dΩ2 S1

= = = =

S1

S2

⇒ ΦE = 0

5.3.

Problemas Resueltos

Problema 5.1 Una varilla de longitud 2L, tiene una densidad de carga uniforme λ. Determine el campo el´ectrico(por el m´etodo de Gauss) en el punto P a una distancia R a lo largo de la mediatriz.

Arturo

Flores

Condori

5. Ley de Gauss

19

Soluci´ on: ds 2

E2

s2 l R

ds 3

R

s =-d s d 1

ds 1

z

E3

E1

La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida. C´alculo del campo el´ectrico: ~ r) = E(R)R b con R el radio de Suponemos el campo el´ectrico con la siguiente forma E(~ las coordenadas cil´ındricas. La Ley de Gauss nos dice: I ~ · dS ~ ΦE = E Z Z Z ~ 1 · dS ~1 + ~ 2 · dS ~2 + ~ 3 · dS ~3 = E E E S1

por simetr´ıa, la

R S1

~ 1 · dS ~1 y E

R S2

S2

S3

~ 2 · dS ~2 se anulan, entonces se tiene: E Z

Z ~ 3 · dS ~3 = E3 E

=

dS3

S3

= E3 S3 = E3 (2πR)(2L) Q ⇒ ΦE = 4πRLE3 = ²o Q Q 2kλ E3 = = 2k = 4πRL²o 2RL R 2λk b R ∴E = R Problema 5.2 Determinar el campo el´ectrico de una l´amina plana infinita cargada con una densidad superficial uniforme.

Arturo

Flores

Condori

5. Ley de Gauss

20

d

ds3

s2

s1

A

E2 ds2

ds1

E1

s3 Q

Soluci´ on: La figura muestra la secci´ on del plano que define el cilindro al atravesarlo. C´ alculo del campo el´ ectrico. Suponemos el campo el´ectrico con la siguiente forma: ½ E+ zb ; Z > 0 ~ E (~r) = E− zb ; Z < 0 La Ley de Gauss nos dice:

I ΦE =

(5.6)

~ · dS ~ = Qenc E ²o

La carga encerrada, en este caso, corresponde a σA, luego I ~ · dS ~ ΦE = E Z Z Z ~ ~ ~ ~ ~ 3 · dS ~3 = E1 · dS1 + E2 · dS2 + E S1 S2 S3 Z Z b = 2 ±Eb z · (±b z ) dS + Eb z · RdS tapas

= 2SE =

manto

Q ²o

Q 2S²o σ ∴E = 2²o

⇒E =

Problema 5.3 Un carga de 10,0 − µC localizado en el origen de las coordenadas de un sistema cartesiano est´a rodeado de una esfera del nicho de poco condctor de radio 10,0cm. Un taladro con un radio de 1,00mm es alineado a lo largo del eje z , y un hueco es taladrado en la esfera. Calcule el flujo el´ectrico a trav´es del hueco. Soluci´ on: ΦE,hueco = E · Ahueco

Arturo

Flores

Condori

5. Ley de Gauss

21

luego se obtiene: µ

ΦE,hueco

¶ kQ ¡ 2 ¢ = πr R2 µ (8,99 × 109 =

N · m2 /C 2 ) (10,0 × 10−6 C) (0,100m)2 = 28,2 N · m2 /C.

¶

¡ ¢2 π 1,00 × 10−3

entonces, el flujo el´ectrico a trav´es del hueco es: ΦE,hueco = 28,2 N · m2 /C. Problema 5.4 Un carga Q est´a ubicado en el eje de un disco de radio R en una distancia b del plano del disco (en la figura).√Demostrar que si un cuarto del flujo el´ectrico del carga atraviesa el disco, cuando R = 3b.

R

b

Q

Soluci´ on: q R

s ds b q

El flujo total a trav´es de una superficie incluyendo la carga Q es Q/²o . El flujo a trav´es del disco es: Z ~ · dS ~ Φdisco = E

Arturo

Flores

Condori

5. Ley de Gauss

22

Donde la integraci´on cubre el ´area del disco. Debemos evaluar este integral y debemos colocar eso igual a 14 Q/²o para encontrar c´omo se relacionan la b y R. En la figura, tomar dS el ´area de un anillo anular de s del radio y los ds de ancho. El flujo a trav´es de dS es: ~ · dS ~ = EdS cos θ = E (2πsds) cos θ E La magnitud del campo el´ectrico tiene el mismo valor en todos los puntos dentro del anillo anular, entonces E =

1 Q 1 Q = 2 2 4π²o r 4π²o s + b2

y

cos θ =

b b = r (s2 + b2 )1/2

Integrando de s = 0 para s = R para hacer el que flujo pase a trav´es del disco entero. Z Qb R sds ΦE,disco = 2²o 0 (s2 + b2 )3/2 ¢ i¯R Qb h ¡ 2 2 1/2 ¯ = − s +b ¯ 2²o 0 # " Qb b = 1− 2²o (R2 + b2 )1/2 El flujo a trav´es del disco es igual a Q/4²o provisto que √ Esto queda satisfecho si R = 3b.

b (R2 +b2 )1/2

= 12 .

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 6 Potencial El´ ectrico Al desplazarse las cargas por un campo electrost´atico, las fuerzas aplicadas a las cargas realizan un trabajo. Las fuerzas del campo electrost´atico poseen la propiedad de que el trabajo realizado por ellas al trasladar una carga no depende de la trayectoria de desplazamiento de la carga, sino que depende s´olo de la magnitud de la carga y de las posesiones inicial y final de a misma. Esta propiedad del campo permite caracterizar cualquier punto del mismo por medio de una funci´on especial denominada potencial en un punto del campo. En otras palabras, cuando una part´ıcula con carga se desplaza en un campo el´ectrico, el campo ejerce una fuerza que puede realizar trabajo sobre la part´ıcula.

6.1.

Energ´ıa potencial el´ ectrica

Para determinar energ´ıa potencial de una carga de un campo el´ectrico arbitrario, iniciemos con un repaso de algunos puntos fundamentales. ua sobre una part´ıcula que se desplaza del punto a Primero, cuando una fuerza F~ act´ al punto b, el trabajo Wa→b realizado por la fuerza est´a dado por una integral de linea: Z b Z b ~ ~ Wa→b = F · dl = F cos φdl (trabajo realizado por una fuerza) (6.1) a

a

Donde: d~l es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la part´ıcula y φ es el ´angulo entre F~ y d~l en cada punto a lo largo de la trayectoria. Segundo, si la fuerza F~ es conservativa, el trabajo realizado por F~ siempre se puede expresar en t´erminos de una energ´ıa potencial U . Cuando la part´ıcula se desplaza de un punto donde la energ´ıa potencial es Ua a un punto donde es Ub , el cambio de energ´ıa

23

6. Potencial El´ ectrico

24

potencial es ∆U = Ub − Ua y el trabajo Wa→b realizado por la fuerza es: Z b Wa→b = F~ · d~l a Z b ~ · d~l si F~ = qo E ~ = qo E a

= Ua − Ub = − (Ub − Ua ) = −∆U

(6.2)

dl q0

b E

E

Es decir, Z

b

Ub − Ua = −qo Z

~ · d~l E

a b

U = −qo

~ · d~l E

(6.3)

a

Energ´ıa potencial para dos cargas puntuales Consideremos en primer t´ermino un desplazamiento a lo largo de la linea radial de la figura, del punto a al punto b. q

q +

q

Þ 0Þ

b

E

rq r rb

La fuerza sobre q0 est´a dada por la ley de Coulomb y su componente radial es: Fr =

1 qq0 4π²o r2

(6.4)

Si q y q0 tienen el mismo signo(+ o -), la fuerza de repulsi´on y Fr es positiva; si las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracci´on y Fr es negativa. La fuerza no es constante durante el desplazamiento y es necesario integrar para calcular el trabajo Wa→b realizado sobre q0 por esta fuerza conforme q0 se desplaza de a a b. Resulta que: µ ¶ Z rb Z rb qq0 1 1 1 qq0 dr = − (6.5) Wa→b = Fr dr = 2 4π²o ra rb ra ra 4π²o r

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

25

El trabajo realizado por la fuerza el´ectrica en el caso de esta trayectoria en particular depende s´olo de los puntos extremos. De hecho, el trabajo es el mismo en todas las trayectorias posibles de a a b. Para probarlo, consideremos un desplazamiento m´as general en la figura, E

{

F dr

b

dl

ds q0 f

rb

i r

a

ra

+q

en el que a y b no se encuentran sobre la misma linea radial. De la ecuaci´on (6.1), el trabajo realizado sobre q0 durante este desplazamiento est´a dado por: Z rb Z rb 1 qq0 Wa→b = F cos φdl = cos φdl 2 ra ra 4π²o r Pero la figura muestra que cos φdl = dr. Es decir, el trabajo realizado durante un desplazamiento peque˜ no dl depende u ´nicamente del cambio dr de la distancia r entre las cargas, que es la componente radial del desplazamiento. Vemos que las ecuaciones (6.2) y (6.5) son consistentes si definimos qq0 /4π²o ra como la energ´ıa potencial Ua cuando q0 est´a en el punto a, a una distancia ra de q, y definimos qq0 /4π²o rb como la energ´ıa potencial Ub cuando q0 est´a en el punto b, a una distancia rb desde q. Por tanto, la energ´ıa potencial U cuando la carga de prueba q0 est´a a cualquier distancia r de la carga q es: U=

6.2.

1 qq0 4π²o r

(energ´ıa potencial el´ectrica de dos cargas q y q0 )

(6.6)

Potencial el´ ectrico y Diferencia de potenciales

Un potencial es energ´ıa potencial por unidad de carga. Se define el potencial V en cualquier punto de un campo el´ectrico como la energ´ıa potencial U por unidad de carga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto: V =

U qo

o U = q0 V

(6.7)

La energ´ıa potencial y la carga son escalares; por consiguiente, el potencial es una cantidad escalar. Sus unidades se hallan, con base en la ecuaci´on(6.7), dividiendo las unidades de

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

26

energ´ıa entre las de carga. La unidad SI de potencial, llamada un volt(1V ), es igual a 1 joule por coulomb: 1V

= 1volt = 1J/C = 1loule/coulomb

Expresemos la expresi´on (6.2), que iguala el trabajo realizado por la fuerza el´ectrica durante un desplazamiento de a a b con la cantidad −∆U = −(Ub − Ua ), sobre una base de ”trabajo por unidad de carga”. Al dividir esta ecuaci´on entre q0 se obtiene: µ ¶ Wa→b ∆U Ub Ua =− =− − = − (Vb − Va ) = Va − Vb (6.8) q0 q0 q0 q0 Donde: Va = Ua /q0 es la energ´ıa potencial por unidad de carga en el punto a. Va y Vb llamamos el potencial en el punto a y potencial en el punto b, respectivamente. A la diferencia Va − Vb se le llama el potencial de a con respecto a b; a veces se abrevia esta diferencia como Vab = Va − Vb . A esto se le suele llamar la diferencia de potencial entre a y b. La ecuaci´on (6.8) establece, por tanto, que Vab , el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo realizado por la fuerza el´ ectrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza de a a b.

6.2.1.

Potencial el´ ectrico debido a una carga puntual

Considerando una carga puntual positiva aislada q,esta carga produce un campo ~ que apunta radialmente hacia afuera de la carga. Para determinar el potencial el´ectrico E el´ectrico V en un punto del campo localizado a una distancia r de la carga, empezamos con la expresi´on general de la diferencia de potenciales. V dl

q r

b

dr

E

a

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

27 Z

b

Vb − Va = − Z

~ · d~l E

a b

kq E cos θdl ; E = 2 r a Z b cos θdl −kq r2 a Z b dr −kq ; dr = cos θdl 2 a r · ¸¯rb 1 ¯ −kq − ¯¯ r ra kq kq − rb ra

= − = = = ∴ Vb − Va =

Si el punto a est´a en el infinito; entonces q ;(potencial en el punto b) Vb = k rb Si b es un punto arbitrario, en general el potencial debido a una carga puntual, a una distancia r es: q 1 q V =k = (6.9) r 4π²o r Donde: r es la distancia desde la carga puntual q al punto en el que se eval´ ua el potencial.

6.2.2.

Potencial debido a un sistema de cargas puntuales

~ en el que se desplaza la carga q0 se debe a varias cargas Sup´ongase que el campo E puntuales q1 , q2 , q3 , ... a distancias r1 , r2 , r3 , ... de q0 , como en la figura. q

1

q

2

r1 r2 q

n

a q

rn

0

El campo el´ectrico total en cada punto es la suma vectorial de los campos debidos a las cargas individuales, y el trabajo total que se realiza sobre q0 durante cualquier desplazamiento es la suma de las contribuciones de las cargas individuales. De la ecuaci´on (6.6) se concluye que la energ´ıa potencial asociada con la carga de prueba q0 en el punto a de la figura, es la suma algebraica (no la suma vectorial) µ ¶ q1 q2 q0 X qi q0 + + ... = (6.10) U= 4π²0 r1 r2 4π²0 i ri

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

28

Para hallar el potencial debido a un conjunto de cargas puntuales, se divide la ecuaci´on anterior entre q0 : U 1 X qi V = = (6.11) q0 4π²0 i ri En esta expresi´on. donde: ri es la distancia de la i´esima carga, qi , al punto que se eval´ ua V .

6.2.3.

potencial debido a una distribuci´ on continua de carga

Cuando se tiene una distribuci´on continua de carga a lo largo de una linea, en una superficie o en todo un volumen, se divide la carga en elementos dq, y la suma de la ecuaci´on (6.11) se transforma en una integral: Z 1 dq V = (6.12) 4π²0 r Donde: r es la distancia del elemento de carga dq al punto del campo donde se eval´ ua V .

6.3.

Problemas Resueltos

Problema 6.1 Una varilla delgada de longitud L, colocada en el eje x, tiene una carga Q y est´a distribuida uniformemente. Calcule el potencial a una distancia R en los puntos A, B, C. A

B

R

R R

o

Q

C

X

Soluci´ on:

i) En el punto A: A dV R o

r X x dx

Q

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

29

Sabiendo que: dQ r √ Si, λ = dQ/dx de aqu´ı dQ = λdx a dem´as r = x2 + R2 , luego dV

dV

= k

= k√

integrando se tiene: V

⇒V

(6.13)

λdx x2 + R 2

Z

L

dx x2 + R 2 0 h ³ ´iL √ = λk ln x + x2 + R2 h ³ ´0 i √ 2 2 = λk ln L + L + R − ln R √ L + L2 + R2 = λk ln R = λk

√

ii) En el punto B:

B dV R

r

x

Q

dx

An´alogamente, se obtiene: Si dV dV

=

V

= = =

⇒V

dQ , entonces : r λdx k√ x2 + R 2 Z L/2 dx √ 2λk 2 x + R2 0 h ³ ´iL/2 √ 2 2 2λk ln x + x + R 0 # ! " Ã r 2 L L 2λk ln + + R2 − ln R 2 4 √ L + L2 + 4R2 2λk ln 2R

= k

=

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

30

iii) En el punto C

L x

R dV C

r

X

dx

dV

= k

dQ r

(6.14)

sabiendo que: dQ = λdx adem´as, de la figura: r = L+R−x. Reemplazando en la ecuaci´on (6.14) se obtiene: dV V

λdx L+R−x Z L −dx = −λk 0 L+R−x = k

sea u = L + R − x entonces du = −dx, luego se tiene: Z R du = −λk L+R u = −λk [ln u]R L+R = −λk [ln R − ln (L + R)] L+R = λk ln R

∴V

Problema 6.2 Se tiene una placa de espesor despreciable, la cual posee una distribuci´on continua de carga σ, de radio a y que tiene un ´angulo central θ como se indica en la figura. Determine el potencial en el punto 0. Q

a

q O

Soluci´ on: dr dr dV o

da a

r

dQ

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

31 Sabiendo que, dV

= k

dQ r

(6.15)

Luego, si dQ = σds, de la figura se tiene: ds = rdαdr, entonces dV V

σrdαdr r Z θ Z = kσ dα = k

0

V

a

dr 0

= kσθa

por lo tanto, el potencial en el punto 0 es: V = kσθa Problema 6.3 Una esfera peque˜ na con una masa de 1,50g cuelga de un cordel entre dos placas verticales paralelas separadas por una distancia de 5,0cm. Las placas son aisladoras y tienen densidades de carga superficiales uniformes −σ y +σ. La carga de la esfera es q = 8,90×10−6 C. ¿Qu´e diferencia de potencial entre las placas har´a que el cordel adopte un ´angulo de 30o con respecto a la vertical (figura)?. Soluci´ on: 30°

q

5.00cm

La fuerza de equilibrio en las direcciones x y y es: Fe = mg tan θ ¡ ¢¡ ¢ = 1,50 × 10−3 kg 9,8m/s2 tan 30o = 0,0085N. Sabiendo que: ~ = Vq F~e = Eq d ~ de aqu´ı: E ~ = V /d. Si V = Ed, ⇒V V

(0,0085N ) (0,050m) Fd = q 8,90 × 10−6 C = 47,8V =

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

32

Problema 6.4 Una hoja infinita con una densidad de carga superficie de 25,0 nC/m2 est´a en el plano yz, atraviesa por el origen, y est´a en un potencial de 1,00 kV en el punto y = 0, z = 0. Un alambre largo con una densidad lineal de carga de 80,0 nC/m paralelo al eje y e intersecta el eje de las abscisas en x = 3,00 m. (A) Determine, en funci´on de x, el potencial a lo largo del eje de las abscisas entre alambre y hoja. (B) ¿Cu´al es la energ´ıa potencial de un 2,00 nC carga colocado en x = 0,800 m?. Soluci´ on: ~1 = La hoja crea un campo E de cargo crea un campo: ~2 = E

σ b i 2²0

para x > 0. A lo largo del eje de las abscisas, la l´ınea

³ ´ λ λ = −bi 2πr²0 2π²0 (3,00 − x)

para x¡3.00m

El campo total a lo largo del eje x en la regi´on 0 < x < 3,00m, es entonces: · ¸ σ λ ~ ~ ~ bi E = E1 + E2 = − 2²0 2π²0 (3,00 − x) (a)El potencial en el punto x, luego ¸ Z x· Z x σ λ E · idx = − V − V0 = − − dx 2²0 2π²0 (3,00 − x) 0 0 µ ¶ σx λ x V = V0 − − ln 1 − 2²0 2π²0 3,00 µ ¶ −9 (25,0 × 10 C/m2 ) x 80,0 × 10−9 C/m x = 1,00kV − − ln 1 − 2 (8,85 × 10−12 C 2 /N · m2 ) 2π (8,85 × 10−12 C 2 /N · m2 ) 3,00 µ ¶ µ ¶ kV x ∴ V = 1,00kV − 1,41 x − (1,44kV ) ln 1,00 − m 3,00m (b) En x = 0,800m, V = 316V , si tiene: ¡ ¢ U = QV = 2,00 × 10−9 C (316J/C) = 633 × 10−7 J ∴ U = 633 nJ Problema 6.5 Un alambre de longitud finita que tiene una densidad lineal uniforme de la cargo λ le son doblado en la forma mostrado en la figura. Encuentre el potencial el´ectrico en el punto O. R 2R

2R o

Soluci´ on:

Z V

= k cargatotal

dq r

(6.16)

Arturo

Flores

Condori

6. Potencial El´ ectrico

33

De la figura se tiene: Z V

−R

= k −3R

λdx +k −x

Z semicirculo

= −kλ ln (−x)|−R −3R +

λds +k R

Z

3R R

λdx x

kλ πR + kλ ln x|3R R R

3R + kλπ + kλ ln 3 R = kλ (π + 2 ln 3)

= −kλ ln ⇒V

por consiguiente, el potencial el´ectrico en el punto O, es: V = kλ (π + 2 ln 3).

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 7 Capacitancia y Capacitores Dos conductores cualesquiera separados por un aislador (o un vac´ıo) forman un capacitor o condensador (Figura). Cada conductor tiene inicialmente una carga neta de cero y se transfieren electrones de un conductor al otro; a esto se le denomina cargar el capacitor. La experiencia nos dice que diferentes conductores, habiendo sido cargados de la misma cantidad de electricidad, adquieren distintos potenciales. Esto indica que se diferencian unos de otros por la propiedad f´ısica que caracteriza una magnitud denominada capacidad.

Conductor a

+Q

-Q Conductor b

El campo el´ectrico en cualquier punto de la regi´on entre los conductores es proporcional a la magnitud Q de la carga de cada conductor. Se sigue que la diferencia de potencial Vab entre los conductores tambi´en es proporcional a Q. Sin embargo, la relaci´ on de carga respecto a la diferencia de potencial no cambia. Esta relaci´on se conoce como capacitancia C del capacitor: Q (definici´on de capacitancia) (7.1) C= Vab La unidad SI de la capacitancia es un farad (1F). De acuerdo con la ecuaci´on (7.1), un farad es igual a un coulomb por volt (1 C/V): 1F = 1farad = 1C/V = 1coulomb/volt Cuando mayor es la capacitancia C de un capacitor, tanto m´as grande es la magnitud Q de la carga en cualquiera de los conductores con una diferencia de potencial determinada Vab 34

7. Capacitancia y Capacitores

35

y, en consecuencia, es mayor la cantidad de energ´ıa almacenada. As´ı que, la capacitancia es una medida del alcance de un capacitor para almacenar energ´ıa.

7.1.

Capacitores en serie y en paralelo

Para obtener los valores necesarios se combinan capacitores. Son muchas las combinaciones posibles, pero las m´as sencillas son la conexi´on en serie y la conexi´on en paralelo.

7.1.1.

Capacitores en serie

Se asocia los capacitores (usaremos n-capacitores), como se indica en la figura. Se aplica una diferencial de potencial entre los puntos a y b. Se carga los capacitores, por estar en serie la carga es la misma en todo ellos. -Q

C1 V1

+Q

C2

C3

Cn

V2

V3

Vn

- + V

V

V

= V1 + V2 + V3 + ... + Vn Q Q Q Q + + + ... + = C C2 C3 Cn µ1 ¶ 1 1 1 1 = + + + ... + Q C1 C2 C3 Cn µ ¶ 1 Q Q ; ∴ Ceq = = Ceq V

(7.2)

La capacitancia equivalente Ceq de la combinaci´on en serie se define como la capacitancia de un solo capacitor cuya carga Q es la misma que la de la combinaci´on, cuando la diferencia de potencial V es la misma, entonces se tiene: 1 1 1 1 1 = + + + ... + Ceq C1 C2 C3 Cn

(capacitores en serie)

(7.3)

El rec´ıproco de la capacitancia equivalente de una combinaci´ on en serie es igual a la suma de los rec´ıprocos de las capacitancias individuales.

Arturo

Flores

Condori

7. Capacitancia y Capacitores

7.1.2.

36

Capacitores en paralelo

El arreglo que se muestra en la figura, se conoce como una conexi´ on en paralelo.

V

+

-

C1 Q1

C2 Q2

C3 Q3

Cn

Nuevamente, se aplica una diferencial de potencial V para cargar los capacitores. Por estar en paralelo, la diferencial de potencial de todos los capacitores individuales es la misma V . Q = = = Q =

Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn C1 V + C2 V + C3 V + ... + Cn V (C1 + C2 + C3 + ... + Cn ) V Ceq V

(7.4)

De igual modo se demuestra que, con respecto a cualquier n´ umero de capacitores en paralelo, es: Ceq = C1 + C2 + C3 + ... + Cn

(capacitores en paralelo)

(7.5)

La capacitancia equivalente de una combinaci´ on en paralelo es igual a la suma de las capacitancias individuales.

7.2.

Energ´ıa Almacenada en un Capacitor

Las aplicaciones m´as importantes de los capacitores dependen de su alcance para almacenar energ´ıa. La energ´ıa potencial el´ectrica almacenada en un capacitor cargado es simplemente igual a la cantidad de trabajo que se necesit´o para cargarlo, es decir, para separar cargas opuestas y colocarlas en conductores diferentes. Cuando se descarga el capacitor, esta energ´ıa almacenada se recupera en forma de trabajo realizado por fuerzas el´ectricas. La energ´ıa potencial U de un capacitor cargado se halla calculando el trabajo W que se necesit´o para cargarlo. Sup´ongase que al terminar de cargar el capacitor la carga final es Q y la diferencia de potencial final es V . De acuerdo con la ecuaci´on (7.1), estas cantidades se relacionan como sigue: V

=

Q C

Sean q y v la carga y la diferencia de potencial, respectivamente, en una etapa intermedia del proceso de carga; entonces v = q/C. En esta etapa, el trabajo dW que se requiere

Arturo

Flores

Condori

7. Capacitancia y Capacitores

37

para transferir un elemento de carga adicional dq es: dW = vdq =

qdq C

El trabajo total W que se necesita para aumentar la carga q del capacitor de cero a un valor final Q es: Z W Z Q2 1 Q (7.6) W = qdq = dW = C 0 2C 0 Si se define como cero la energ´ıa potencial de un capacitor sin carga, entonces W de la ecuaci´on (7.6) es igual a la energ´ıa potencial U del capacitor cargado. La carga almacenada final es Q = CV ; por tanto, se puede expresar U (que es igual a W ) como: U=

Q2 1 1 = CV 2 = QV 2C 2 2

(7.7)

La forma final de la ecuaci´on (7.7) U = 12 QV , muestra que el trabajo total que se requiere para cargar el capacitor es igual a la carga total multiplicada por la diferencia de potencial promrdio 12 V durante el proceso de carga.

7.3.

Problemas Resueltos

Problema 7.1 Cierto capacitor consiste en dos cilindros coaxiales huecos de hierro, uno dentro del otro. El cilindro interior tiene una carga negativa, y el exterior, carga positiva; la magnitud de la carga en cada uno es de 10P c. El radio del cilindro interior es de 0,50mm, el del cilindro exterior, de 5,00mm, y la longitud de cada cilindro es de 18cm. a)¿Cu´al es la capacitancia? b)¿Qu´e diferencia de potencial es necesario aplicar para tener estas cargas en los cilindros? Soluci´ on:

ds '0

+Q

ra -Q

r rb

L

Tomemos una superficie Gaussiana de radio r y de longitud L, para hallar el campo el´ectrico en la regi´on: ra < r < rb , se tiene: I ~ · dS ~ = Qenc E (7.8) ²0

Arturo

Flores

Condori

7. Capacitancia y Capacitores

38

De la figura, se tiene: ⇒ E (2πrL) = E =

Q ²0 Q 2π²0 Lr

Luego, Z

rb

~ · d~r = − E ra µ ¶ Q rb = − ln 2π²0 L r µ ¶a Q rb = ln 2π²0 L ra

Z

rb

Vab = −

Vba

ra

Qdr 2π²0 Lr

Por definici´on de capacitancia, se tiene: a) Q 2π²0 L = ¡b¢ Vba ln a (0,18m) 2π²0 ³ ´ ⇒C = ln 5,00 0,05 C =

= 4,35 × 10−12 F b) V

Q 10,0 × 10−12 C = C 4,35 × 10−12 F = 2,30V =

Problema 7.2 Un capacitor esf´erico consta de dos corazas conductoras esf´ericas conc´entricas separadas por un vaci´o. La esfera interior tiene un radio de 15,0cm y la capacitancia es de 116pF . a)¿Cu´al es el radio de la esfera exterior? b)si la diferencia de potencial entre las dos esferas es de 220V , ¿Cu´al es la magnitud de la carga de cada esfera?

Arturo

Flores

Condori

7. Capacitancia y Capacitores

39

Soluci´ on:

+Q

+ + +

+

+

+

'0 ra Q

E

----

r

rb

ds

Hallemos primero el campo entre las placas, luego el potencial entre las placas, tenemos: I ~ · dS ~ = Qenc E ²0 ¡ ¢ Q −E 4πr2 = − ²0 Q ⇒E = 4π²0 r2 Ahora, de la figura:

Z

rb

~ · d~r = − Vab = − E ra Z rb Q dr = 2 ra 4π²0 r Q (rb − ra ) = . 4π²0 ra rb

Z

rb

Edr cos π ra

Luego, aplicando la definici´on de capacitancia, se tiene: a) Q 4π²0 ra rb = Vab (rb − ra ) = ra rb kCra = kC − ra

C = ⇒ kCrb − kCra rb

; Si k =

1 4π²0

Reemplazando los valores, se tiene: k (116 × 10−12 F ) (0,15m) k (116 × 10−12 F ) − 0,15m = 0,175m

rb =

b) Si V = 220V ,entonces: Q = CV ¡ ¢ ⇒ Q = 116 × 10−12 F (220V ) = 2,55 × 10−8 C.

Arturo

Flores

Condori

7. Capacitancia y Capacitores

40

Problema 7.3 En la figura, cada capacitor tiene C = 4,0µF y V = +28V . Calcule a)la carga de cada capacitor, b)la diferencia de potencial entre los bornes de cada capacitor; c)la diferencia de potencial entre los puntos a y d. C1

C2

a C3

d C4

b

Soluci´ on: a) Sabiendo que la capacitancia equivalente de la combinaci´on de capacitores es: 1 = ³ Ceq =

1 1 C1

+

1 C2

´ + C3

+

1 C4

1 1 + = 240µF. (2,00µF + 4,0µF ) 4,0µF

Luego, Q12 + Q3 = Q4 = Qtotal = Ceq Q ¡ ¢ ⇒ Ceq Q = 2,40 × 10−6 F (28,0V ) = 6,72 × 10−5 C Y adem´as: 2Q12 = Q3

⇒

Qtotal 3 6,72 × 10−5 C = = 2,24 × 10−5 C 3 = 4,48 × 10−5 C ; pero tambi´en, = 2,24 × 10−5 C.

Q12 =

∴ y Q3 Q1 = Q2 = Q12 b)

Q1 2,24 × 10−5 C = = 5,60V = V2 C1 4,00 × 10−6 F Q3 4,48 × 10−5 C V3 = = = 11,2V Q3 4,00 × 10−6 F 6,72 × 10−5 Q4 = = 16,8V V4 = Q4 4,00 × 10−6 F V1 =

c) Vad = Vab − V4 = 248V − 16,8V = 11,2 V.

Arturo

Flores

Condori

7. Capacitancia y Capacitores

41

Problema 7.4 Un capacitor de 4F y otro de 6F se conectan en paralelo entre los bornes de una toma de corriente de 600V . a)halle la carga de cada capacitor y el voltaje entre los bornes de cada uno. b)Los capacitores cargados se desconectan de toma de corriente y uno de otro, y luego se conectan de nuevo uno con el otro con los bornes de signo diferente justos. Halle la carga final y el voltaje entre los bornes de cada uno. Soluci´ on: a) Si,

y

⇒

Ceq = 4,00µF + 6,00µF = 10,00µF Qtotal = Ceq V = (10,00µF ) (660V ) = 6,6 × 10−3 C

El voltaje sobre cada uno es 660, desde que est´an dentro paralelamente. As´ı: Q1 = C1 V1 = (4,00µF ) (660V ) = 2,64 × 10−3 C Q2 = C2 V2 = (6,00µF ) (660V ) = 3,96 × 10−3 C b) Qtotal = 3,96 × 10−3 C − 2,64 × 10−3 C = 1,32 × 10−3 C y adem´as

Ceq = 10,00µF , As´ı es que el voltaje es: V

Q Ceq 1,32 × 10−3 C = = 132V 10,00µF

=

Ahora, los nuevos cambios, se tiene: Q1 = C1 V1 = (4,00µF ) (132V ) = 5,28 × 10−4 C Q2 = C2 V2 = (6,00µF ) (132V ) = 7,92 × 10−4 C Problema 7.5 Considere dos longitudes, paralelos, y opuestamente cargados alambres de radiod con sus centros separados por una distancia D. Asumiendo la carga que es distribuido uniformemente en la superficie de cada alambre, muestre que la capacitancia por unidad de longitud de este par de alambres es: C `

=

ln

π²0 ¡ D−d ¢ d

Arturo

Flores

Condori

7. Capacitancia y Capacitores

42

Soluci´ on: El campo el´ectrico debido a la carga en el alambre positivo es perpendicular para el alambre, hacia el lado radial, y de magnitud, es decir: E+ =

λ 2π²0 r

(7.9)

La diferencia potencial entre alambres debido a la presencia de este carga es: ¶ µ Z alam(+) Z d λ λ dr D−d ~ ∆V1 = − E · d~r = − = ln 2π²0 D−d r 2π²0 r d alam(−) La presencia de la densidad lineal de carga λ en el alambre negativo hace una contribuci´on id´entica para la diferencia potencial entre los alambres. Por consiguiente, la diferencia potencial total es: ¶ µ λ D−d ∆V = 2 (∆V1 ) = ln π²0 d Y la capacitancia de este sistema de dos alambres, cada uno de longitud `, es: C = =

Q λ` = =³ ∆V ∆V ln

λ π²0

´

λ` ¡ ¢ ln D−d d

π²0 ` ¡ D−d ¢ d

∴ La capacitancia por longitud de la unidad es: C `

=

ln

π²0 ¡ D−d ¢ d

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 8 Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua 8.1.

Corriente El´ ectrica

Una corriente es todo movimiento de carga de una regi´on a otra. Si a trav´es de una superficie imaginaria se traslada una carga total distinta de cero, se dice que a trav´es de esta superficie pasa corriente el´ectrica. La corriente se produce a condici´on de que dentro del cuerpo exista un campo el´ectrico. Definimos la corriente a trav´es del ´area de secci´on transversal A como la carga neta que fluye a trav´es del ´area por unidad de tiempo.Esta magnitud se llama intensidad de la corriente. Por consiguiente, si una carga neta dQ fluye a trav´es de un ´area en un tiempo dt, la intensidad de la corriente I a trav´es del ´area es: I=

dQ dt

(definici´on de corriente) vdt

VA +

VB +

+

(8.1)

+ +

+ +

+

A

+

E +

+

+

+

dl L

Sea L la longitud de una porci´on conductor met´alico, en el cual est´a presente un campo ~ gracias a la diferencia de potencial (VBA = VB − VA ) los electrones se mueven el´ectrico E, de izquierda a derecha con una velocidad ~v . En un tiempo dt cada electron avanza una distancia dl = vdt en este tiempo, el n´ umero de electrones que cruzan el ´area A, es el n´ umero contenido es, una porci´on del conductor

43

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

44

de longitud dl, es decir de volumen dV = vAdt. Si n es el n´ umero de electrones por unidad de volumen (concentraci´on), entonces el n´ umero de electrones en el elemento de volumen dV o el n´ umero de electrones que cruzan el ´area en el tiempo dt es: N = ndV = nvAdt Si e es la carga de cada electron, entonces la carga presente en el elemento de volumen de dV es dQ; es decir, dQ = N e = nevAdt. Y la corriente es I=

dQ = n|q|vA (expresi´on general de la corriente) dt

(8.2)

Donde q es la carga de la part´ıcula. La corriente por unidad de ´area de secci´ on transversal se denomina la densidad de corriente J: J =

I = nev A

(densidad de corriente)

(8.3)

La densidad de corriente es en general una magnitud vectorial J~ que incluye la direcci´on de la velocidad de deriva: J~ = −ne~v

(densidad de corriente vectorial)

(8.4)

Para una part´ıcula: J~ = ne~v

8.2.

Resistividad y la Ley de Ohm

8.2.1.

Resistividad

(8.5)

Definimos la resistividad ρ de un material como la relaci´on de las magnitudes del campo el´ectrico y de la densidad de corriente: ρ=

E J

(definici´on de resistividad)

(8.6)

De acuerdo con la ecuaci´on (8.6), las unidades de ρ son (V /m)/(A/m2 ) = V · m/A.

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

8.2.2.

45

Ley de Ohm

~ o un Para mantener corriente en un conductor debe existir un campo el´ectrico E gradiente de potencial V dentro del conductor; es decir, ~ = −gradV E dV E = − dx

(En una direcci´on)

Sabiendo, que: ~ J~ = σ E Donde, σ es la conductividad del conductor, luego: ¶ µ dV J = σ − dx µ ¶ I dV = σ A dx dV I = −σA dx Z L Z VB dV I dx = −σA VA

0

IL = σA (VA − VB ) µ ¶ σA ⇒I = V L Donde:

¡ σA ¢ L

(8.7)

se llama conductancia del conductor.

La inversa de la conductancia se denomina Resistencia del conductor se denota generalmente con la letra R R =

L σA

(Resistencia del conductor)

(8.8)

Se ve que la resistencia R de un conductor en particular est´a relacionada con la resistividad ρ de un material como sigue: R=

ρL A

relaci´on entre resistencia y resistividad

(8.9)

Si ρ es constante, como en el caso de los materiales ´ohmicos, entonces tambi´en lo es R. La ecuaci´on V = IR

(8.10)

suele identificarse con la ley de Ohm, pero es importante que el verdadero contenido de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa de V con respecto a I o de J con respecto a E. Cuando R es constante es correcto llamar ley de Ohm a esta relaci´on.

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

8.3.

46

Fuerza electromotriz

Las fuentes de energ´ıa el´ectrica que hacen que las cargas se muevan en los circuitos el´ectricos, hist´oricamente, se han llamado fuentes de Fuerza Electromotriz en realidad son fuentes de energ´ıa y no de fuerza y para evitar el empleo de la palabra fuerza, con frecuencia se usan la palabra de F EM o f em. Cuando pensamos en las fuentes de f em, por lo general tenemos en mente a acumuladores, pero hay una variedades de fuentes de energ´ıa el´ectrica, tales como: Un acumulador o una Bater´ıa que convierte energ´ıa el´ectrica a una F EM . Una celda solar convierte la energ´ıa solar en una F EM . Un termopar produce un F EM , etc. En general una fuente de F EM es cualquier dispositivo (una bater´ıa o generador) que produce un campo el´ectrico y por lo tanto puede originar el movimiento de las cargas en un circuito.

8.4.

Resistores en serie y en paralelo

8.4.1.

Resistores en serie I

+

-

R1

R2

R3

Rn

V3

V3

V3

Vn

V

Si los resistores est´an en serie, como en la figura, la corriente I debe ser la misma en todo ellos. Aplicando V = IR a cada resistor. La diferencia de potencial V entre los extremos de la combinaci´on en su totalidad es la suma de estas diferencias de potencial individuales, se tiene: V

⇒V

= = = =

V1 + V2 + V3 + ... + Vn IR1 + IR2 + IR3 + ... + IRn I (R1 + R2 + R3 + ... + Rn ) IReq

∴ Req = R1 + R2 + R3 + ... + Rn

(8.11)

(resistores en serie)

(8.12)

La resistencia equivalente de cualquier n´ umero de resistores en serie es igual a la suma de sus resistencias individuales.

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

8.4.2.

47

Resistores en paralelo I

+

V -

R1

R2

R3

Rn

Si los resistores est´an en paralelo, como en la figura, la corriente a trav´es de cada resistor no es necesariamente la misma. Pero la diferencia de potencial entre los bornes de cada resistor debe ser la misma e igual a Vab . Sean las n-corrientes I1 , I2 I,3 .... Entonces dado que I = V /R. I = I1 + I2 + I3 + ... + In V V V V = + + + ... + R1 R2 R3 Rn µ ¶ 1 1 1 1 + + + ... + = V R1 R2 R3 Rn µ ¶ 1 ⇒I = V Req

∴

1 1 1 1 1 = + + + ... + Req R1 R2 R3 Rn

(8.13)

(resistores en paralelo)

(8.14)

En el caso de cualquier n´ umero de resistores en paralelo, el rec´ıproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los rec´ıprocos de sus resistencias individuales.

8.5.

Reglas de Kirchoff

El calculo de los circuitos derivados se simplifica mucho si se utilizan las reglas o Leyes enunciados por Kirchoff. Estas reglas son dos. La primera de ellas se refiere a los nudos de un circuito. Se llama nudo el punto en el cual concurren m´as de dos conductores. La primera Regla de Kirchoff de las uniones dice que la suma algebraica de las corrientes en cualquier uni´on es cero: X Ii = 0 (8.15) i

La segunda Regla de Kirchoff de las espiras dice que la suma algebraica de las diferencias de potenciales en cualquier espira o en una malla debe ser igual a cero. Es decir: X Vi = 0 (8.16) i

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

8.6.

48

Circuito RC

En los circuitos que hemos analizado hasta aqu´ı, hemos supuesto que todas las f em y resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que todos los potenciales, corrientes y potencias tambi´en son independientes de tiempo. Pero en el simple acto de cargar o descargar un capacitor nos topamos con una situaci´on en la que las corrientes, voltajes y potencias cambian con el tiempo.

8.6.1.

Carga de un capacitor e

e

S

+ -

S

+ -

®

i

i=0 a

R

i

q=0 b

C

-q +q

®

a

c

(a) Capacitor inicialmente sin carga

R

b

C

c

(b) Carga del capacitor

La figura muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito como ´este, con un resistor y un capacitor en serie, se denomina circuito RC. Inicialmente, el capacitor est´a descargado (Fig.a); despu´es, la diferencia de potencial vbc entre los extremos es cero en cierto tiempo inicial t = 0 se cierra el interruptor para completar el circuito y permitir que la corriente alrededor de la malla comience a cargar el capacitor (Fig.b). La corriente inicial (t = 0) a trav´es del resistor, a la que llamaremos I0 , est´a dada por la ley de Ohm: I0 = vab /R = ε/R. Sea q la carga del capacitor e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo t despu´es de cerrar el interruptor. Asignaremos el sentido positivo a la corriente en correspondencia al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor, como en la figurab. Las diferencias de potencial instant´aneas vab y vbc son: vab = iR

vbc =

q C

Utilizando ´estas en la regla de Kirchoff de las mallas, se obtiene: ε − iR −

q C

= 0

(8.17)

1 ε dq + q = dt RC R

(8.18)

Pero,i = dq/dt, entonces

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

49

Teorema 8.6.1 Supongamos que dY + p (x) Y = q (x) dx Esta definido en un intervalo I, entonces la soluci´on general de esta ecuaci´on es: · ¸ R Z R p(x)dx Y (x) = C + q (x) e dx e− p(x)dx

(8.19)

(8.20)

Donde C es constante arbitraria.

Comparando: p(x) ∼ 1/RC

q(x) ∼ ε/R Y (x) ∼ q(t), luego se tiene: ¸ R · Z 1 ε R 1 dt q (t) = C + e RC dt e− RC dt R · ¸ Z t t ε dt RC = C+ e e− RC R h i t t ε = C + RCe RC e− RC R t − RC q (t) = Ce + εC

Analizando: En t = 0, q(t) = q(0) = 0

(8.21)

⇒ C = −εC, entonces t

q (t) = −εCe RC + εC ¡ ¢ = εC 1 − e−t/RC Donde εC = Q (carga total) ¡ ¢ q (t) = Qf 1 − e−t/RC

(capacitor en carga)

(8.22)

Ahora, sabiendo que i = dq/dt, adem´as de la ecuaci´on (8.22) se tiene: µ ¶ 1 −t/RC i = −Qe − RC Q −t/RC = e ; ε = Q/C RC ε −t/RC = e R ⇒ i = I0 e−t/RC (capacitor en carga)

Arturo

(8.23)

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

8.6.2.

50

Descarga de un capacitor S

S ®

i

i=0 a

R

+Q0 -Q0 b

C

i

a

c

(a) Capacitor inicialmente cargado

+q -q

®

R

b

C

c

(b) Descarga del capacitor

Sup´ongase ahora que, cuando el capacitor de la figuracb ya ha adquirido una carga Q0 , quitamos la bater´ıa del circuito RC y conectamos los puntos a y c a un interruptor abierto (Figda). En seguida cerramos el interruptor y en el mismo instante reajustamos nuestro cron´ometro a t = 0; en ese momento, q = Q0 . Por lo que el capacitor se descarga a trav´es del resistor, y su carga disminuye finalmente a cero. Sean una vez m´as i y q la corriente y la carga que var´ıan con el tiempo, en cierto instante despu´es de efectuar la conexi´on. En la figuradb se asigna el mismo sentido positivo a la corriente. En estas condiciones la regla de Kirchoff de las mallas, se tiene, aunque con ε = 0; es decir, q − iR = 0 (8.24) C En el tiempo t = 0, cuando q = Q0 , la corriente inicial es I0 = −Q/RC y adem´as i = −dq/dt ; (−)porque desminuye la corriente, tenemos: q dr + R C dt dq 1 + q dt RC dq q Z q dq Q q ln q|qQ ⇒ q (t) = Q0 e−t/RC

= 0 = 0 1 dt RC Z t 1 = − dt RC 0 t = − RC = −

(capacitor en descarga)

(8.25)

La corriente instant´anea i es la derivada de esto con respecto al tiempo: µ ¶ 1 dq −t/RC = −Q0 e − i=− dt RC V Q0 −t/RC e = e−t/RC = RC R Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua ⇒ i = I0 e−t/RC

8.7.

51

(capacitor en descarga)

(8.26)

Problemas Resueltos

Problema 8.1 Un alambre met´alico de 12Ω, se corta en tres pedazos iguales y luego se conectan los extremos para formar un nuevo alambre, cuya longitud igual a la tercera parte de la longitud original. ¿cu´al es la resistencia de este nuevo alambre?. Soluci´ on:Del problema, sabiendo que la resistencia del alambre es: R = ρL/A = 12Ω. Luego la resistencia del nuevo alambre formado, cuando L = L/3 se tiene: µ ¶ L/3 1 L ρ R = ρ = A 3 A De aqu´ı, sea que R0 = 13 R; es decir, R¢

A

B

º

R¢ A

B

R¢

De la figura, tenemos la resistencia equivalente: 1 3 = Req R0 µ ¶ 1 0 1 1 1 ⇒ Req = R = R = R 3 3 3 9 12 = Ω. 9 Problema 8.2 Un alambre con resistencia de R se alarga hasta 1,25 veces su longitud original jal´andola a trav´es de peque˜ no agujero. Encuentre la resistencia del alambre despu´es de alargado. Soluci´ on: En primer lugar, el volumen del alambre es: V = AL, luego de alargar 1,25L del alambre original, el volumen del alambre ser´a: V 0 = A0 (1,25L), entonces la resistencia despu´es del alargado se tiene: 1,25L (8.27) R0 = ρ A0 Por la conservaci´on de la masa, se tiene: V = V0 AL = A0 (1,25L) A ⇒ A0 = 1,25

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

52

Ahora, reemplazando en la ecuaci´on (8.27), se tiene: R0 = (1,25)2 ρ ∴ R0 = 1,56R.

L A

Problema 8.3 Un alambre de oro que transporta corriente que tiene un di´ametro de 0,84mm. El campo el´ectrico en el alambre es de 0,49 V /m. ¿Cu´al es a) la corriente que el alambre transporta? b) la diferencia de potencial entre dos puntos del alambre a 6,4m de diferencia uno del otro? c) la resistencia de un tramo de 6,4m de largo de este alambre?. Soluci´ on: a) Recordando la densidad de corriente: J = I/A, entonces se tiene: I = JA = =

EA ρ

(0,49V /m)

³

π 4

2

(0,84 × 10−3 m)

´

(2,44 × 10−8 Ω · m)2 I = 11,1A. b) Si, V = IR, adem´as R = ρL/A, luego se tiene: V

IρL A (11,1A) (2,44 × 10−8 Ω · m) (6,4m) ¡π¢ = = 3,13V −3 m)2 (0,84 × 10 4

=

c) R =

V 3,13V = = 0,28Ω. I 11,1A

Problema 8.4 A un material de resistividad ρ se le d´a la forma de un cono truncado s´olido de altura h y de radio r1 y r2 en los extremos (Fig.) a) Calcule la resistencia del cono entre las dos caras planas. (Sugerencia: suponga que rebana el cono en muchos discos delgados y calcule la resistencia de uno de esos discos) b) Demuestre que su resultado concuerda con

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

53

la ecuaci´on: R = ρL/A; cuando r1 = r2 . r1

h

r2

Soluci´ on: a) x=h

r1

r

r dx

h

r2

x=0

ρL ρdx = 2 A πr De la figura, por semejanza de tri´angulos, se tiene: dR =

(8.28)

r − r2 r1 − r2 = ; donde x hµ ¶ r1 − r2 r = r2 + x h

(8.29)

Luego reemplazando la ecuaci´on (8.28) en (8.29): ρdx ¡ ¢ ¢2 2 π r2 + r1 −r x h

dR =

¡

Integrando tenemos: Z

h

R =

ρdx ¡ ¢ ¢2 2 π r2 + r1 −r x h ¡

0

Haciendo el cambio de variable, sea u = r2 +

(r1 − r2 ) x h

⇒

du =

r1 + r2 dx h Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

54

Y luego para x = 0, u = r2 , x = h y u = r1 entonces tenemos: Z r1 ρh du = π (r1 − r2 ) r2 u2 r2 · ¸r1 · ¸ ρh 1 ρh 1 1 = − =− − π (r1 − r2 ) u r2 π (r1 − r2 ) r1 r2 µ ¶ ρh r2 − r1 = − π (r1 − r2 ) r1 r2 ρh R = π (r1 r2 )

ρ R = π

Z

h du r1 −r2 u2

r1

b) Donde r1 = r2 = r; entonces: R =

ρh ρh = . 2 πr A

Problema 8.5 En el circuito de la figura. a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b. b) Encuentre i1 , i2 y i3 . 10V

a i1

I1 5V

b

+ -

5W

I2

i2

7W

+

-

i2 i1

i3

Soluci´ on: Para la malla I: +5 − 3I1 − 5 (I1 + I2 ) = 0 5 − 3I1 − 5I1 − 5I2 = 0 −8I1 − 5I2 = −5

(8.30)

10 − 5 (I1 + I2 ) − 7I2 = 0 −5I1 − 12I2 = 10

(8.31)

Y luego para la malla II:

De las ecuaciones (8.30) y (8.31), se tiene: I1 = 0,14A y I2 = 0,77A. a) Vab = V1 + 10, si V1 = I1 (3) = 0,14 (3) = 0,42V

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

55

⇒ Vab = 0,42V + 10V = 10,42V b) De la figura, se tiene: i1 = I1 = 0,14A i2 = I1 + I2 = 0,14A + 0,77A = 0,91A i3 = I2 = 0,77A. Problema 8.6 Hallar las resistencias equivalentes en los puntos a y b. R/ 2

a

R/ 2

R/ 2

R

R

R/ 2

R

R

b R/ 2

R/ 2

R/ 2

R/ 2

Soluci´ on: R/ 2

a

R

R eq

b R/ 2

De la figura, sea que,

RReq R + Req

(8.32)

R R + R0 + = R + R0 2 2

(8.33)

R0 = y luego entre los puntos a y b se tiene: Req =

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

56

Ahora reemplazando R0 en la ecuaci´on anterior, tenemos: RReq R + Req RReq Req − R = R + Req (Req − R) (R + Req ) = RReq 2 Req − R2 = RReq Req = R +

2 Req − RReq − R2 = 0

Req

p

R2 − 4 (−R2 ) √ ¢ 2 ¡ 1− 5 R = . 2

Req =

+R ±

Problema 8.7 En el circuito de la figura, halle a) la corriente en el resistor de 3Ω, b) las f em desconocidas ε1 y ε2 y c) la resistencia R. Advierta que se dan tres corrientes. 2A R

III e1 + -

4W 3A

I

e2 - +

3W

II

6W 5A

Soluci´ on: a) La suma de las corrientes que entran en el resistor de 3Ω es igual a 3A + 5A = 8A. b) Usando la segunda regla de Kirchoff para la malla I: ε1 − (4Ω) (3A) − (3Ω) (8Ω) = 0 ε1 = 36V. Igual manera para la malla II: ε2 (6Ω) (5A) − (3Ω) (8A) = 0 ε2 = 54V. c) Usando la segunda regla de Kirchoff para malla III, se tiene: ε2 − R (2A) − ε1 = 0 ⇒ 54V − R (2A) − 36V = 0 18V = 9Ω. ∴R = 2A

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua

57

Problema 8.8 a) Determinar el voltaje a trav´es del condensador de la figura. b) Si la bater´ıa se desconecta, expresar la corriente en funci´on del tiempo. c) Cuando tiempo tardar´a en descargarse el condensador, hasta que la diferencia de potencial en sus terminales sean 1volteo. Soluci´ on:

10W

36V +-

40W

A

I1

B 10mF

}

80W V1

}

20W

I2

V2

Aplicando la segunda regla de Kirchoff para las mallas I y II, tenemos: Para la malla I: 36 − 10I1 − 80I1 = 0;

⇒

I1 =

4 A 10

36 − 40I2 − 20I2 = 0

⇒

I2 =

6 A 10

Para la malla II:

a) VC =?, si: V1 = I1 R = (4/10) (80) = 32V V2 = I2 R = (6/10) (20) = 12V ⇒ VC = V1 − V2 = 32 − 12 = 20V. b) 10mF

10W

40W Vc=20V

A

B 10mF

80W

»

20W R¢= 100 W 3

Aplicando la formula de la corriente instant´anea es decir, −t

i (t) = I0 e RC V −t/RC = e R

Arturo

Flores

Condori

8. Corriente, Resistencia y Circuitos de Corriente Continua Si RC =

100 3

58

(10 × 10−6 ) = 1/3000 i (t) =

3 −3000t e . 5

c) Utilizando la ecuaci´on (8.25), se tiene: q (t) = Q0 e−t/RC q = e−t/RC Q q t ln = − Q RC q ⇒ t = −RC ln Q

(8.34)

Si Q = CV = C20 adem´as q = C1 = −C1 entonces q/Q = 1/20, luego reemplazando en la ecuaci´on anterior, se tiene: µ ¶ 1 10−3 t = − ln 3 20 = −9,985 × 10−4 .

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 9 Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico 9.1.

Campo magn´ etico

Un im´an o una corriente el´ectrica establece campo magn´etico en el espacio. Podemos describir las interacciones magn´eticas de manera similar a las interacciones el´ectricas: 1. Una carga en movimiento o una corriente genera un campo magn´ etico en el espacio circundante (adem´as de su campo el´ectrico). 2. El campo magn´etico ejerce una fuerza F~ sobre cualquier otra carga en movimiento o corriente presente en el campo. Al igual que el campo el´ectrico, el campo magn´etico es un campo vectorial, esto es, ~ una cantidad vectorial asociada con cada punto del espacio. Utilizaremos el s´ımbolo B ~ para representar el campo magn´etico. En cualquier posici´on se define la direcci´on de B como aquella en la que tiende a apuntar el polo norte de una br´ ujula. Tambi´en la fuerza magn´etica depende de la velocidad de la part´ıcula. En esto se distingue claramente de la fuerza de campo el´ectrico, que es la misma ya sea que la carga se mueva o no. Una part´ıcula con carga en reposo no experimenta fuerza magn´etica alguna. Adem´as, se encuentra que la fuerza magn´etica F~ no tiene la misma direcci´on que ~ sino que es siempre es perpendicular tanto a B ~ como a la velocidad ~v . Su el campo B, magnitud se proporciona por: F = |q|v⊥ B = |q|vB sen φ

(9.1)

Donde |q| es la magnitud de la carga y φ es el ´angulo medido de la direcci´on de ~v a la ~ como se muestra en la figura. direcci´on de B,

59

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

60

B B q

q

+

v

q

+

v

Lo antes expuesto muestra que la fuerza sobre una carga q que se desplaza con veloci~ se proporciona, tanto en t´erminos de magnitud como de dad ~v en un campo magn´etico B direcci´on, por: ~ F~ = q~v × B (9.2) (fuerza magn´etica sobre una part´ıcula con carga en movimiento) La unidad SI de B es equivalente a 1N · s/C · m, o bien, puesto que un ampere es un coulomb por segundo (1A = 1C/s), 1N/A · m. Esta unidad se llama tesla (T ): 1tesla = 1T = 1N/A · m Cuando una part´ıcula con carga se traslada a trav´es de una regi´on del espacio donde est´an presentes tanto un campo el´ectrico como uno magn´etico, ambos campos ejercen fuerzas sobre la part´ıcula. La fuerza total F~ es la suma vectorial de las fuerzas el´ectrica y magn´etica: ³ ´ ~ + ~v × B ~ F~ = q E (9.3)

9.2.

Flujo magn´ etico

Definiremos ahora el flujo magn´ etico ΦB a trav´es de una superficie del mismo modo como definimos el flujo el´ectrico en relaci´on con la ley de Gauss. Cualquier superficie se puede dividir en elementos de ´area dA. con respecto a cada elemento se determina B⊥ , ~ normal a la superficie en la posici´on de este elemento. Definimos el la componente de B flujo magn´etico dΦB a trav´es de esta ´area como: ~ · dA ~ dΦB = B⊥ dA = B cos φdA = B

(9.4)

El flujo magn´etico total a trav´es de la superficie es la suma de las contribuciones de los elementos de ´area individuales: Z Z Z ~ · dA ~ ΦB = B⊥ dA = B cos φdA = B (9.5)

(flujo magn´etico a trav´es de una superficie)

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

61

La unidad SI de flujo magn´etico es igual a la unidad de campo magn´etico (1T ) multiplicada por la unidad de ´area (1m2 ). Esta unidad se llama weber: 1W b = 1T · m2 Adem´as, 1T = 1N/A · m; por esto, 1W b = 1T · m2 = 1N · m/A Se concluye que el flujo magn´ etico total a trav´ es de una superficie cerrada siempre es cero. De forma simb´olica, I ~ · dA ~=0 B (9.6)

9.3.

Movimiento de part´ıcula con carga en un campo magn´ etico

Cuando una part´ıcula con carga se traslada en un campo magn´etico, act´ ua sobre ella la fuerza magn´etica, y el movimiento est´a determinado por la ley de Newton. Consideremos una part´ıcula con carga positiva q se encuentra en el punto 0, desplaz´andose con una ~ dirigido hacia el plano de la figura. Los velocidad ~v en un campo magn´etico uniforme B ~ ~ tiene vectores ~v y B son perpendiculares; por lo tanto, la fuerza magn´etica F~ = q~v × B magnitud F = qvB y su direcci´on es como se muestra en la figura. La fuerza siempre es perpendicular a v, por lo que no puede alterar la magnitud de la velocidad; s´olo su direcci´on.

´

´

´v ´ ´ s ´ ´ ´ ´ ´ +´ ´ ´ R´ F ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ v ´ ´ ´ F´ ´ ´ ´ ´ F´ ´+ p ´ B ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ o+ ´ v ´ ´

´

´

´

´

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´

Vemos que la trayectoria de la part´ıcula es un circulo, trazado con rapidez constante v. La aceleraci´on centr´ıpeta es v 2 /R y la u ´nica fuerza que act´ ua es la fuerza magn´etica; por lo tanto, de acuerdo con la segunda ley de Newton, F = |q|vB = m

v2 R

(9.7)

Donde m es la masa de la part´ıcula. Resolviendo la ecuaci´on (9.7) para el radio R de la trayectoria circular se obtiene: mv (radio de la ´orbita circular en un campo magn´etico) (9.8) R= |q|B

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

62

La rapidez angular w de la part´ıcula se halla a partir de la ecuaci´on: v = Rw. Combinando esto con la ecuaci´on anterior, se obtiene: v |q|B |q|B =v = (9.9) R mv m El n´ umero de revoluciones por unidad de tiempo es f = w/2π. Esta frecuencia f es independiente de radio R de la trayectoria. Se le conoce como frecuencia de ciclotr´ on. w=

9.4.

Fuerza magn´ etica sobre un conductor que transporta corriente

Las fuerzas magn´eticas sobre las cargas en movimiento del interior del conductor se transmiten al material del conductor, y el conductor en conjunto experimenta una fuerza distribuida a todo lo largo de ´el. Podemos calcular la fuerza sobre un conductor portador ~ sobre una sola carga en movimiende corriente a partir de la fuerza magn´etica F~ = q~v × B to. La figura muestra un segmento recto de un alambre conductor, de longitud l y de ´area de secci´on transversal A; la corriente es de abajo hacia arriba. El alambre se encuentra en ~ perpendicular al plano del diagrama y dirigido hacia el un campo magn´etico uniforme B, plano. J A

v

F

+

L

q

B J

Ahora empleando la definici´on de la densidad de corriente. El n´ umero de cargas por unidad de volumen es n; un segmento del conductor de longitud l tiene un volumen Al y contiene un n´ umero de cargas igual a nAl. La fuerza total F~ sobre todas las cargas en movimiento de este segmento tiene magnitud F = (nAl) (qvB) = (nqvA) (lB)

(9.10)

La densidad de corriente es J = nqv. El producto JA es la corriente total I, de modo que podemos reformular la ecuaci´on anterior como F = IlB

(9.11)

~ no es perpendicular al alambre, sino que forma un ´angulo φ con ´el, de este Si el campo B modo la fuerza magn´etica sobre el segmento de alambre es: F = IlB⊥ = IlB sen φ

(9.12)

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

63

La fuerza siempre es perpendicular tanto al conductor como al campo, con la direcci´on determinada por la misma regla de la mano derecha a una carga positiva en movimiento. Si representamos el segmento de alambre mediante el vector ~l a lo largo del alambre en el sentido de la corriente, entonces la fuerza F~ sobre este segmento es: ~ F~ = I~l × B

(fuerza magn´etica sobre un segm. recto de alambre)

(9.13)

Si el conductor no es recto, podemos dividirlo en segmentos infinitesimales d~l. La fuerza dF~ sobre cada segmento es: ~ dF~ = Id~l × B

9.5.

(fuerza magn´etica sobre una secci´on infinitesimal de alambre)

(9.14)

Fuerza y momento de torsion en una espira de corriente

consideremos y examinemos una espira rectangular que conduce una corriente I en un campo magn´etico uniforme en direcci´on paralela al plano de la espira como se muestra en la figura. Hallaremos que la fuerza total sobre la espira es cero, pero que se puede haber un momento de torsi´on neto que act´ ue sobre la espira, con algunas propiedades interesantes. a B F2

r B

B

b

r

F1

o

I

* La fuerza sobre el lado a, en este caso es nula. * La fuerza sobre el lado b, es: F1 = F2 = IbB F2

b=a/2

b=a/2 o

F1

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

64

El momento o torque total sobre la espira, es: τ = F1 b + F2 b ;brazo: b ³a´ ³a´ = IbB + IbB 2 2 τ = IabB ⇒ τ = IAB ; A = ab

(9.15)

~ forma un ´angulo θ con la Ahora supongamos que el campo magn´etico uniforme B linea perpendicular al plano de la espira, como se muestra en la figura: F1

r B F4

r F3

r

r F2

B

* La fuerza sobre el lado a (superior) est´a dirigido hacia arriba, similar en lado inferior existe una fuerza de igual magnitud, opuestas y estas fuerzas se cancelan. F4 b¢ q

a/ 2

a/ 2

o q

B F3

rn

* La fuerza sobre el lado b, es: F3 = F4 = IbB El momento o torque total sobre la espira, es: τ = F1 b0 + F2 b0 ; brazo: b0 ³a ´ ³a ´ = IbB sen θ + IbB sen θ 2 2 = IabB sen θ ⇒ τ = IAB sen θ.

(9.16)

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

65

El producto IA se denomina momento dipolar magn´ etico (magnitud del momento de torsi´on sobre una espira de corriente) o momento magn´ etico de la espira, y se representa mediante el s´ımbolo µ: µ = IA La magnitud del momento de torsi´on sobre una espira de corriente es: τ = µB sen θ

(9.17)

~ y B. ~ Donde θ es el ´angulo entre la normal a la espira (la direcci´on del ´area vectorial A) Por u ´ltimo, podemos expresar esta interacci´on en t´erminos del vector de momento de torsi´on ~τ . De acuerdo con la ecuaci´on (9.17) la magnitud de ~τ es igual a la magnitud de ~ tenemos: ~µ × B, ~ ~τ = ~µ × B (9.18)

9.6.

La Ley de Biot y Savart r r

I

dl r P

Vamos a aclarar el car´acter del campo magn´etico que crea un conductor delgado arbitrario por el cual pasa corriente. Consideremos un elemento peque˜ no del conductor cuya longitud sea dl, como se muestra en la figura. El volumen de este elemento es Adl, donde A es el ´area de secci´on transversal del conductor. Este elemento contendr´a nAdl portadores de corriente (n es el n´ umero de portadores por unidad de volumen), cada una con una carga q, la carga total dQ en movimiento en el segmento es: dQ = nqAdl Las cargas en movimiento en este segmento equivale a una sola carga dQ que viaja con una velocidad igual a la velocidad de deriva v~d . De acuerdo con la ecuaci´on de la magnitud del campo magn´etico en el punto P est´a dada por: B=

µ0 |q|v sen φ 4π r2

(9.19)

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

66

~ en cualquier punto de campo P es: Entonces la magnitud del campo resultante dB µ0 n|q|vd Adl sen φ µ0 |dQ|vd sen φ dB = = 2 4π r 4π r2 Pero seg´ un la ecuaci´on (8.2) n|q|vA es igual a la corriente I en el elemento. Por tanto, µ0 Idl sen φ (9.20) dB = 4π r2 En forma vectorial, utilizando el vector unitario rb, se tiene lo siguiente: ~ ~ = µ0 Idl × rb dB (9.21) 4π r2 donde d~l es el vector de longitud dl, en la misma direcci´on de la corriente en el conductor. Las ecuaciones (9.20) y (9.21) se conoce como la ley de Biot y Savart. Esta ley ~ debido a la corriente en un circuito completo, permite hallar el campo magn´etico total B en cualquier punto del espacio. Para ello, se integra la ecuaci´on (9.21) con respecto a todos los segmentos d~l que transportan corriente en alg´ un punto por un conductor de longitud finita, se tiene: Z µ0 Id~l × rb ~ B= (9.22) 4π r2

9.7.

Ley de Ampere

Si un conductor, por el que pasa corriente I, se encuentra en un campo magn´etico, sobre cada uno de los portadores de corriente act´ ua la fuerza. La ley de Ampere no se formula en t´erminos de flujo magn´etico, sino m´as bien en ~ alrededor de un trayecto cerrado, que se denota con t´erminos de la integral de linea de B I ~ · d~l B Se sabe que la magnitud del campo a una distancia r del conductor es: µ0 I B = 2πr y que las l´ıneas de campo magn´etico son c´ırculos centrados en el conductor. Obtengamos ~ alrededor de uno de estos c´ırculos de radio r. En todos os puntos la integral de linea de B ~ y d~l son paralelas y, por tanto, B ~ · d~l = Bdl; puesto que r es constante del c´ırculo B alrededor del c´ırculo, B tambi´en es constante; por tanto, I I I µ0 I ~ ~ (2πr) = µ0 I B · dl = Bk dl = B dl = 2πr De este modo se puede sustituir I por Ienc , la suma de las corrientes encerradas o enlazadas por el trayecto de integraci´on, con la suma evaluada con base en la regla de signos ya descrita. Por lo tanto nuestro enunciado de la ley de Ampere es: I ~ · d~l = µ0 Ienc (ley de Ampere) B (9.23)

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

9.8.

67

Problemas Resueltos

Problema 9.1 ~ creado por un conductor rectilineal infinita que conduce Hallar el campo magn´etico B una corriente I (constante) y a una distancia R. Soluci´ on: Z ut q dl

ur 180°-q

r

l Y

R X

I

~ generado por el eleAplicando la ley de Biot-Savart (9.20) para encontrar el campo dB mento de conductor de longitud dl, se tiene: µ0 Idl sen θ 4π Z r2 µ0 I sen θdl B = 4π r2

dB =

De acuerdo con la figura, sen θ = sen (π − θ), luego sabiendo que: csc (π − θ) = r/R

⇒

r = R csc (π − θ) r = R csc θ

adem´as, cot (π − θ) = l/R

⇒

l = R cot (π − θ) l = −R cot θ ; de aqu´ı: dl = R csc2 θdθ

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

68

luego,

Z µ0 I π sen θR csc2 θdθ B = 4π 0 R2 csc2 θ Z π µ0 I sen θdθ = 4πR 0 µ0 I = − (cos π − cos 0) 4πR µ0 I = 2 4πR µ0 I B = 2πR Por consiguiente, el campo magn´etico creado por conductor rectilineal infinita es: ~ = − µ0 I bi. B 2πR Problema 9.2 ~ de una espira creado por una corriente circular, a una Hallar el campo magn´etico B distancia R del punto 0. Soluci´ on: dl

ur

a

ur T

a

R

dB1

dB

a dB2

Y

X I

Se observa que todas las componentes perpendiculares se anulan, es decir; Bz = Bx = 0. Aplicando la ley de Biot-Savart (9.21) luego, dB = dB2 = dB cos α µ0 I cos αdl dB = 4π r2 I µ0 I cos α 2π dl B = 4π r2 0 µ0 I cos α = (2πa) 4π r2 Si, cos α = a/r entonces µ0 I a (2πa) 4π r3 √ µ0 Ia2 ; r = = a2 + R2 2r3

B =

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

69

~ creado por una corriente circular es: Por consiguiente, el campo magn´etico B ~ = ⇒B

µ0 Ia2 2 (a2 + R2 )3/2

b j.

Problema 9.3 ~ producido por un solenoide. Hallar el campo magn´etico B Soluci´ on: L

dR

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

r

a2

a

p

N

a p

0

a1

Eje p

1

2

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

R

El solenoide tiene N vueltas (espiras), donde, L es la longitud del solenoide y (N/L)dR es el n´ umero de vueltas en dR. Usaremos el valor del campo de cada espira en el punto P del eje y luego el campo debido a las espiras contenidas en la longitud dR, ser´a: " #µ ¶ N µ0 Ia2 dB = dR L 2 (a2 + R2 )3/2 es el campo producido por dR, entonces dB =

µ0 IN a2 dR 2L (a2 + R2 )3/2

de la figura: cot α =

R a

⇒

R = a cot α dR = −a csc2 αdα

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

70

Luego, ¡ ¢ µ0 IN a2 2 −a csc αdα 2L (a2 + a2 cot2 α)3/2 µ0 IN a3 csc2 αdα = − 2L (a2 (1 + cot2 α))3/2

dB =

= B = B = B =

µ0 IN csc3 αdα − 2L Zcsc3 α µ0 IN α2 sen αdα − 2L α1 µ0 IN − (− cos α)|αα21 2L µ0 IN (cos α2 − cos α1 ) 2L

(9.24)

Casos : i. En punto P1 : α1 ≈ π2 , y α2 ≈ 0, entonces el campo magn´etico producido en la entrada en el punto P1 del solenoide es: B=

µ0 N I . 2L

(9.25)

ii. En el punto P2 : Si L À r, α1 ≈ π, y α2 ≈ 0, entonces el campo magn´etico producido en el centro P2 de la longitud del solenoide, es: B=

µ0 N I . L

(9.26)

Problema 9.4 ³ ´ Un prot´on se mueve con una velocidad de ~v = 2bi − 4b j+b k m/s en una regi´on donde el ³ ´ b ~ b b campo magn´etico es B = i + 2j − 3k T . ¿Cu´al es la magnitud de la fuerza magn´etica que este carga experimenta? Soluci´ on: Sabiendo que la fuerza magn´etica es: ~ F~B = q~v × B Ahora, ¯ ¯ ¯ ¯ i j k ¯ ¯ ~ = ¯ +2 −4 +1 ¯ = (12 − 2) i + (1 + 6) j + (4 + 4) k = 10i + 7j + 8k ~v × B ¯ ¯ ¯ +1 +2 −3 ¯ √ ~ = |~v × B| 102 + 72 + 82 = 14,6T · m/s

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

71

Por consiguiente, la magnitud de la fuerza magn´etica es: ¡ ¢ |FB | = q|v × B| = 1,60 × 10−19 C (14,6T · m/s) = 2,34 × 10−18 N Problema 9.5 Un alambre se forma en un cuadrado de longitud del borde L (Fig.). Muestre que cuando la corriente en el lazo es I, el campo magn´etico en el punto P , una distancia x del centro del cuadrado a lo largo de su eje, es: µ0 IL2 p 2π (x2 + L2 /4) x2 + L2 /2

B =

L

x P

L

I

Soluci´ on: z q

f

dB

L

x

P

Por la simetr´ıa de la disposici´on, la magnitud del campo magn´etico neto en punto P es B = 8B0x donde B0 es la contribuci´on para el campo debido a corriente en una longitud del borde igual para L/2. Para hacer c´alculos B0 , usamos la ley de Biot-Savart y consideramos que el plano del cuadrado es el yz-plano con el punto P sobre el eje de las abscisas. La contribuci´on para el campo magn´etico en punto P debido a un elemento actual de longitud dz y localizadas a una distancia z a lo largo del eje, que son dadas por la Ecuaci´on 9.22. Z ~ dl × rb µ I 0 ~ = B 4π r2 De la figura tenemos: r=

p

s x2 + (L2 /4) + z 2

y |d~l × rb| = dz sen θ = dz

L2 /4 + x2 L2 /4 + x2 + z 2

Arturo

Flores

Condori

9. Campo Magn´ etico y Fuentes de Campo Magn´ etico

72

~ en P cancele excepto los componentes Por la simetr´ıa todos los componentes del campo B a lo largo de eje x (la perpendicular para el plano del cuadrado); Y B0x = B0 cos φ donde

L/2

cos φ = p

L2 /4 + x2

Por consiguiente, B0x

µ0 I = 4π

Z

L/2 0

sen θ cos φdz r2

y B = 8B0x .

Usando las expresiones dadas anteriormente citadas para sen θ cos φ, y de r, encontramos: µ0 IL2 B = ¡ ¢q L2 2 2π x + 4 x2 +

L2 2

Problema 9.6 Un alambre largo, descansa sobre una mesa horizontal y lleva una corriente de 1,20µA. En un vac´ıo, un prot´on se mueve paralelamente al alambre (al frente de la corriente) con un velocidad uniforme de 2,30×104 m/s a una distancia d por encima del alambre. Determine el valor de d. ignore el campo magn´etico debido a la Tierra. Soluci´ on: Deje que la corriente I fluye a la derecha. Crea un campo B = µ0 I/2πd en la posici´on del prot´on. Y tenemos un balance entre el peso del prot´on y la fuerza magn´etica; es decir, mg (−j) + qv (−i) ×

µ0 I (k) = 0 2πd

A una distancia d del alambre, de aqu´ı tenemos: qvµ0 I 2πmg (1,60 × 10−19 C) (2,30 × 104 m/s) (4π × 10−7 T · m/A) (1,20 × 10−6 A) = 2π (1,67 × 10−27 kg) (9,8m/s2 ) = 5,40cm.

d =

Por consiguiente, el valor de la distancia d es: d = 5,40cm.

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 10 Inducci´ on Electromagn´ etica 10.1.

F EM Inducida y la ley de Faraday

La inducci´on electromagn´etica es el principio sobre al que se basa el funcionamiento el generador el´ectrico, transformador, etc. Si supongamos que se coloca un conductor el´ectrico, enforma de circuito cerrado dentro de un campo magn´etico, si el flujo magn´etico ΦB a trav´es del conductor cerrado var´ıa con el tiempo, se puede observar una corriente en el circuito ( mientras el ΦB est´a variando) la presencia de una corriente el´ectrica indica que existencia o inducci´on de una F EM actuando en el circuito. Cuando mayor sea la rapidez de variaci´on del flujo, mayor ser´a la f em inducida. El sentido en que act´ ua la f em inducida, cambia seg´ un que el campo magn´etico aumente o disminuye. Cuando ΦB (flujo magn´etico) aumenta; dΦB /dt es positivo, la f em inducida ε o f em act´ ua en sentido negativo. Cuando ΦB disminuye, dΦB /dt es negativo, la f em inducida ε act´ ua en sentido positivo. Por lo tanto, el signo de la f em inducida ε siempre es opuesto a dΦB /dt. En consecuencia se puede escribir, la ley de Faraday de la inducci´ on establece lo siguiente: La f em inducida en una espira cerrada es igual al negativo de la relaci´ on de cambio con respecto al tiempo del flujo magn´ eticos a trav´ es de la espira. En s´ımbolos, la ley de Faraday es ε=−

dΦB dt

(la ley de Faraday de la inducci´on)

(10.1)

Que expresa la ley de Faraday-Henry para la inducci´on electromagn´etica, referi´endonos a la figura.

73

10. Inducci´ on Electromagn´ etica

74

A uN

B B dA=uN dA

dA

E dl

Si el circuito cerrado es una bobina de N vueltas, todas de la misma ´area y si el flujo circunda todas las vueltas, la f em inducida es: ε = −N

dΦB dt

(10.2)

Supongamos ahora que el campo magn´etico es uniforme sobre un lazo de ´area A, en este caso el flujo magn´etico es: Z Z ~ ~ ~ ·u ΦB = B · dA = B bN dA Z ~ = B·u bN dA = AB cos θ Seg´ un la ley de Faraday, la f em inducida se puede expresarse como: ε = −

d (AB cos θ) dt

i. ε = −A cos θ dB dt ii. ε = −B cos θ dA dt θ iii. ε = −AB d cos dt

iv. combinando las posibilidades anteriores, tambi´en se puede generar una f em, es θ − B cos θ dA decir: ε = −BA d cos dt dt

10.2.

Ley de Lenz

La ley de Lenz es otro m´etodo conveniente para hallar la direcci´on de una corriente o f em inducida. La ley Lenz establece lo siguiente: La direcci´ on de todo efecto de inducci´ on magn´ etica es la que se opone a la causa del efecto. La polaridad de una f em inducida es tal que tiende a producir una corriente que crear´a un flujo magn´etico que se opone al cambio del flujo magn´etico a trav´es del lazo.

Arturo

Flores

Condori

10. Inducci´ on Electromagn´ etica

10.3.

75

Fuerza electromotriz de movimiento Y

Q t

X

q

B

e

v Fm

S

x

u P

La ley de inducci´on electromagn´etica, expresada por la ecuaci´on: I Z d ~ ~ ~ · dA ~ = − dΦB ε = E · dl = − B dt dt implica la existencia de un campo el´ectrico local, siempre que el campo magn´etico en ese punto est´e variando en el tiempo. Consideremos la figura anterior, el conductor P Q se mueve paralelamente as´ı mismo con velocidad ~v manteniendo contacto con los conductores RT y SU . El sistema P Q RS forma un circuito cerrado. Supongamos tambi´en que existe un campo magn´etico uniforme ~ perpendicular al plano del sistema. B cada carga q del conductor m´ovil P Q est´a sujeta a una fuerza magn´etica ~ F~m = q~v × B la misma fuerza sobre la carga se podr´ıa suponer debido a un campo el´ectrico equivalente, ~ eq de aqu´ı F~e = F~m , luego F~e = q E F~e = F~m ~ qEeq = q~v × B ~ = vB Eeq = ~v × B Entre QP existe una diferencia de potencial: VQP = Eeq L De aqu´ı se tiene. V = vBL

(10.3)

Sobre las secciones QR, RS y SP no se ejercen ninguna fuerza, porque estas no se mueven; en consecuencia la circulaci´on V , Eeq a lo largo de lazo QRSP es simplemente: ε = vBL

(10.4)

Arturo

Flores

Condori

10. Inducci´ on Electromagn´ etica

10.4.

76

Ecuaciones de Maxwell

Ahora estamos listos para reunir en un solo paquete todas las relaciones entre los campos el´ectricos y magn´eticos y sus fuentes. Este paquete se compone de cuatro ecuaciones, conocidas como las ecuaciones de Maxwell. ~ o B ~ sobre una En dos de las ecuaciones de Maxwell interviene una integral de E superficie cerrada. La primera es simplemente la ley de Gauss de los campos el´ectricos, la cual establece que la integral de superficie de E⊥ sobre cualquier superficie cerrada es igual al producto de 1/²0 por la carga total Qenc encerrada dentro de la superficie: I ~ · dA ~ = Qenc (ley de Gauss de E) ~ E (10.5) ²0 La segunda es la relaci´on an´aloga correspondiente a campos magn´eticos, la cual establece que la integral de superficie de B⊥ sobre cualquier superficie cerrada siempre es cero: I ~ · dA ~ = 0 (ley de Gauss de B) ~ B (10.6) La tercera ecuaci´on es la ley de Ampere que incluye la corriente de desplazamiento. Esta ley establece que tanto la corriente de conducci´on iC como la corriente de desplazamiento ²0 dΦE /dt, donde ΦE es el flujo el´ectrico, act´ uan como fuente de campo magn´etico: ¶ µ I dΦ E ~ · d~l = µ0 iC + ²0 (ley de Ampere) (10.7) B dt enc La cuarta y u ´ltima ecuaci´on es la ley de Faraday; establece que un campo magn´etico cambiante o un flujo magn´etico induce un campo el´ectrico: I ~ · d~l = − dΦB (ley de Faraday) E (10.8) dt Si hay un flujo magn´etico cambiante, la integral de linea de la ecuaci´on(10.8) no es cero, ~ originado por un flujo magn´etico cambiante no es conservalo que indica que el campo E tivo. Recuerde que esta integral de linea se debe llevar a cabo sobre un trayecto cerrado constante.

10.5.

Problemas Resueltos

Problema 10.1 Se coloca una bobina de 4,00cm de radio con 500 espiras en un campo magn´etico uniforme que varia con el tiempo seg´ un B = (0,0120T /s) t + (3,00 × 10−5 T /s4 ) t4 . La bobina esta conectada a un resistor de 600Ω, y su plano es perpendicular al campo magn´etico. No tenga en cuenta la resistencia de la bobina. a) Halle la magnitud de la f em inducida en la bobina en funci´on del tiempo. b) ¿cu´al es la corriente en el resistor en el tiempo t = 5,00s?

Arturo

Flores

Condori

10. Inducci´ on Electromagn´ etica

77

Soluci´ on: a)seg´ un la ecuaci´on (10.2) se tiene: N dΦB d = N A (B) dt dt ¡ ¢ ¢ d ¡ (0,012T /s) t + 3,00 × 10−5 T /s4 t4 = NA dt ¡ ¡ ¢ ¢ ⇒ ε = N A (0,012T /s) + 1,2 × 10−4 T /s4 t4 ¡ ¢ = 0,0302V + 3,02 × 10−4 V /s3 t3 . ε = −

la magnitud de la f em inducida en la bobina en funci´on del tiempo es: ε = 0,0302V + (3,02 × 10−4 V /s3 ) t3 . b) En el tiempo t = 5,00s, entonces se tiene: ¡ ¢ ε = 0,0302V + 3,02 × 10−4 V /s2 (5,00s)3 = +0,0680V ε 0,0680V ⇒I = = = 1,13 × 10−4 A. R 600Ω ε R

luego, la corriente en el resistor en el tiempo t = 5,00s es: I =

=

0,0680V 600Ω

= 1,13 × 10−4 A.

Problema 10.2 Un largo solenoide tiene 400 vueltas por el metro y lleva una corriente I = (30,0A) (1 − e−1,60t ). Dentro del solenoide y coaxial esta una bobina que tiene un radio de 6,00cm y consiste en un total de 250 vueltas de alambre fino (Fig.). ¿Qu´e f em es inducido en la bobina por la corriente cambiante? Soluci´ on: n vueltas m

I

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

R

h

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

N vueltas

Si, B = µ0 nI, entonces B = µ0 n (30,0A) (1 − e−1,60t ), luego: Z Z ¡ ¢ −1,60t ΦB = BdA = µ0 n (30,0A) 1 − e dA ¢ ¡ = µ0 n (30,0A) 1 − e−1,60t πR2

Arturo

Flores

Condori

10. Inducci´ on Electromagn´ etica

78

Adem´as, dΦB = −N µ0 n (30,0A) πR2 (1,60) e−1,60t dt ¡ £ ¤ ¢¡ ¢ = − (250) 4π × 10−7 N/A2 400m−1 (30,0A) π (0,0600m)2 1,60s−1 e−1,60t ⇒ ε = (68,2mV ) e−1,60t en sentido contrario a las manecillas del reloj ε = −N

luego, la f em inducido en la bobina por la corriente cambiante, es: ε = (68,2mV ) e−1,60t . Problema 10.3 En la figura, una barra conductora de longitud L = 30,0cm se traslada en un campo magn´etico vecB con una magnitud de 0,450T y dirigido hacia el plano de la figura. La barra se traslada con rapidez v = 5,00m/s en la direcci´on que se indica. a) ¿cu´al es la f em de movimiento que se induce en la barra? b) ¿cu´al es la diferencia de potencial entre los extremos de la barra? c) cuando las cargas de la barra est´an en equilibrio, ¿cu´ales son la magnitud y direcci´on del campo el´ectrico en el interior de la barra?

L a

b

B

v

Soluci´ on: a) sabiendo que, ε = vBL, tenemos: ε = vBL = (5,00m/s) (0,450T ) (0,300m) = 0,675V b)la diferencia de potencial entre los extremos de la barra es simplemente la f em; es decir V = 0,675V . c)cuando las cargas de la barra est´an en equilibrio, entonces: E =

V 0,675V = = 2,25V /m. L 0,300m

Problema 10.4 Un solenoide tiene un radio de 2,00cm y 1000 vueltas por el metro. Durante un cierto intervalo de tiempo la corriente var´ıa con el tiempo seg´ un la expresi´on I = 3e0,2t , donde I est´a en amperios y t est´a en los segundos. Calcule el campo el´ectrico 5,00cm del eje del solenoide en t = 10,0s Soluci´ on:

Arturo

Flores

Condori

10. Inducci´ on Electromagn´ etica

79

Seg´ un la ecuaci´on de Faraday, se tiene: dΦB ε = = πr2 dt

µ

dB dt

¶

I =

~ · d~l E

Ahora de aqu´ı, tenemos: E (2πR) = πr

2 dB

dt

B = µ0 nI I = 3,00e0,200t

µ

¶ πr2 dB o E= 2πR dt dB dI ; = µ0 n dt dt dI ; 0,600e0,200t dt

En tiempo t = 10,0s, entonces E =

¡ ¢ πr2 (µ0 n) 0,600e0,200t 2πR

De aqu´ı el campo el´ectrico 5,00cm del eje del solenoide en t = 10,0s, evaluando se tiene: ¢ (0,0200m)2 ¡ 4π × 10−7 N/A2 (1000vuetas/m) (0,600) e2,00 2 (0,0500m) = 2,23 × 10−5 N/C.

E =

Arturo

Flores

Condori

Cap´ıtulo 11 Metodolog´ıa 11.1.

Estrategias

El desarrollo del curso, se realiz´o primeramente utilizando la estrategia del aprendizaje significativo en la parte te´orica, brindando fundamento te´orico de los temas a desarrollar y posteriormente resolviendo problemas correspondiente al mismo tema.

11.2.

T´ ecnicas

Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son: • Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana. • Visual: empleo de pizarra, plum´on, tiza y mota.

11.3.

M´ etodos

El m´etodo a utilizar en el desarrollo del curso es el m´etodo inductivo en la resoluci´on de los ejercicios, deductivo para la explicaci´on te´orica.

80

Cap´ıtulo 12 Temas y Cronograma de Actividades 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Carga el´ectrica Ley de Coulomb Campo el´ectrico Problemas Resueltos Flujo el´ectrico Ley de gauss Problemas Resueltos Energ´ıa potencial el´ectrico Potencial el´ectrico y Diferencia de potenciales Problemas Resueltos Capacitores en serie y en paralelo Energ´ıa almacenada en un capacitor Problemas Resueltos Corriente el´ectrica Resistividad y la de Ohm Fuerza electromotriz Resistores en serie y en paralelo Regla de Kirchoff Circuito RC Problemas Resueltos Campo magn´etico Flujo magn´etico Movimiento de part´ıcula con carga en un campo magn´etico Fuerza magn´etica sobre un conductor que transporta corriente Fuerza y momento de torsi´on en una espira de corriente La ley de Biot y Savart Ley de Ampere Problemas Resueltos F EM inducida y la ley de Faraday Ley de Lenz Fuerza electromotriz de movimiento Ecuaciones de Maxwell Problemas Resueltos

81

Cronograma de Actividades Fecha Tema 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

4 • • • •

Mayo 11 18 25

• • • •

1

Junio 8 15 22

6

Julio 13 20

27

Agosto 3 10 17

• • • •

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • • • •

•

Cap´ıtulo 13 Relaci´ on de Estudiantes y Asistencia 13.1.

Relaci´ on de Estudiantes No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Apellidos y Nombres ALANOCA CRUZ Gerber Leandro ANARA CURASI Ronald ANCHAPURI MAMANI Luis Alfredo CALSIN CHARCA Mart´ın CHOQUE LEON Antony CHOQUE MANSANARES Romulo COAQUIRA CONDORI Wilber COLCA QUISPE Angel CHURA CHURA Yunier GUERRA MAMANI Willian HURTADO ARHUATA Huber LUNA TURPO Joel Paul PARI SUCA Omar Ra´ ul POMA FLORES Ronald Juan QUISPE PARRA Lucas RIVERA HUACCASI Howard RODRIGUES CALLO Alexander SALGUERO LUNA Rub´en SURCO CCAJIA Juan Dario TICONA APAZA Fredy

83

C´ odigo 080897 074059 081622 074065 074071 081625 055008 071352 074096 074077 074080 080902 074087 074088 011313 074091 064739 074092 071378 074096

13.2. No Ord. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Asistencia Mayo 04 11 18 25 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Junio 01 08 15 22 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Julio 06 13 20 27 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Asesor: Lic. M´aximo Roberto Pari Coila

Agosto 03 10 17 • • • • • • • • • • • •

• • • •

• •

• • •

• • • • • • •

•

• • •

Bibliograf´ıa [1] Sears, F. & Zemansky, M. & Young, H. & Freedman, R.(2004) F´ısica Universitaria, Cap 21 al 29, (11va ed.), Pearson Educacion Mexico,Tomo II. [2] Serway, Raymond.(1997) Fisica,(4a ed.), Mc Graw Hill, Mexico,Tomo II. [3] Alonso, M & Finn, E.(1986) Electrost´ atica y Electromagnetismo, (1a ed.), AddisonWesley Iberoamericana, Mexico,Vol. II. ´ ´ [4] I. V. SAVELIEV.(1984) Curso de F´ısica General, Editorial MIR, MOSCU,Tomo II. [5] S. FRISH, A. TIMOREVA.(1968) Curso de F´ısica General, Editorial MIR, ´ MOSCU,Tomo II. [6] V. D. Rodriguez. Introducci´ on Axiomatica al Electromagnetismo, Universidad de la Laguna, XII-2002.

85