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FÍSICA III    

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FÍSICA III Gustavo Mauricio Bastién Montoya Hugo Sergio Becerril Hernández Nicolás Falcón Hernández Juan Domingo Pérez López Alejandro Raymundo Pérez Ricárdez Abelardo Luis Rodríguez Soria

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA Casa abierta al tiempo

Azcapotzalco

División de Ciencias Básicas e Ingeniería Departamento de Ciencias Básicas

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CONTENIDO   

PREFACIO…………………………………………………………………………………….…………..……….ix   

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ………………………………………………………..…………..….xi   

CAPÍTULO 1. CAMPO ELÉCTRICO DE CARGAS PUNTUALES  1.1. CARGA ELÉCTRICA. CONDUCTORES Y AISLADORES. …………………………………………………………..1.1 1.2. LA LEY DE COULOMB…………………………………………………………………………………………...1.5 1.3. DEFINICIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO……………………………………………………………………………1.12 1.4. CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL………………………………………………………………….1.15 1.5. CAMPO ELÉCTRICO DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES……………………………………………...1.18  1.6. EL DIPOLO ELÉCTRICO………………………………………………………………………………………….1.25  1.7. TORCA SOBRE UN DIPOLO ELÉCTRICO EN EL SENO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME…………………...1.32 1.8. PROBLEMAS……………………………………………………………………………………………………..1.34  

CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉCTRICO DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA  2.1. DENSIDAD DE CARGA ELÉCTRICA…………………………………………………………………………….….2.1 2.2. DENSIDAD LINEAL DE CARGA ELÉCTRICA…………………………………………………………………….….2.1 2.3. DENSIDADES SUPERFICIAL Y VOLUMÉTRICA DE CARGA ELÉCTRICA……………………………………………2.4 2.4. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA CALCULAR EL CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA………………………………………………………………..2.8 2.5. CAMPO ELÉCTRICO GENERADO POR UN TROZO DE ALAMBRE RECTO DE LONGITUD L Y CARGA ELÉCTRICA TOTAL Q DISTRIBUÍDA UNIFORMEMENTE……………………………………………………….2.11 2.5. CAMPO ELÉCTRICO DE UNA ESPIRA CIRCULAR DE RADIO “a”, CARGADA UNIFORMEMENTE CON CARGA TOTAL “Q”, EN UN PUNTO CUALQUIERA SOBRE SU EJE DE SIMETRÍA PERPENDICULAR……………………2.19 2.6. CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA LÁMINA DELGADA PLANA CIRCULAR DE RADIO “a” Y CARGA ELÉCTRICA TOTAL Q DISTRIBUÍDA UNIFORMEMENTE

………………………………………….2.25

2.7. SUPERPOSICIÓN VECTORIAL DE CAMPOS ELÉCTRICOS………………………………………………………….2.29 2.7. ROBLEMAS…………………………………………….………………………………………………………...2.32  

CAPÍTULO 3. LA LEY DE GAUSS  3.1. FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE………………………………………………3.1 3.2. FLUJO DE UN CAMPO ELÉCTRICO CONSTANTE A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE PLANA (RECTÁNGULO)……………………………………………………………………………3.1 3.3. INTERPRETACIÓN DEL FLUJO DEL CAMPO DE VELOCIDADES DE UN FLUIDO…………………………………..3.2 3.4. DEFINICIÓN DEL FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO EN EL CASO GENERAL………………………………………..3.5 3.5. FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA CENTRADA EN LA CARGA………………………………………………………..3.6 3.6. FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE ARBITRARIA S. …………………………………………………………………………..3.7 3.7. LEY DE GAUSS PARA UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES…………………………………………………..3.8 3.8. LEY DE GAUSS EN GENERAL, VÁLIDA PARA CUALQUIER DISTRIBUCIÓN DE CARGA. …………………………….3.9

vi

3.9. CONDUCTORES Y LEY DE GAUSS………………………………………………………………………………..3.10 3.10. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS AL CÁLCULO DE CAMPOS ELÉCTRICOS CON SIMETRÍA ESFÉRICA.…………………………………………………………………………………….3.12 3.11. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS AL CÁLCULO DE CAMPOS ELÉCTRICOS CON SIMETRÍA CILÍNDRICA…………………………………………………………………………………..3.18 3.12. CÁLCULO DE CAMPOS CON SIMETRÍA PLANA…………………………………………………………………3.20 3.13. PROOBLEMAS………………………………………………………………………………………………….3.22  

CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELÉCTRICO, ENERGÍA Y VOLTAJE  4.1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………………...4.1 4.2. POTENCIAL ELÉCTRICO DEL CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS………………………………………………4.1 4.3. VOLTAJE O TENSIÓN ELÉCTRICA A TRAVÉS DEL CAPACITOR…………………………………………………..4.4 4.4. MOVIMIENTO DE CARGAS ELÉCTRICAS DENTRO DEL CAMPO DE UN CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS……………………………………………………………………….………..………4.5 4.5. DEFINICIÓN GENERAL DEL POTENCIAL ELÉCTRICO……………………………………………….…………….4.8 4.6. VOLTAJE O TENSIÓN ELÉCTRICA………………………………………………………………………………..4.11 4.6. INTEGRAL DE LÍNEA DEL CAMPO ELÉCTRICO A LO LARGO DE UNA CURVA CERRADA………………………4.13 4.7. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL. 4.14 4.8. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES……………………………………………..4.16 4.9. UNA CARGA PUNTUAL MÓVIL EN EL CAMPO DE VARIAS CARGAS PUNTUALES FIJAS…………………………4.21 4.10. SOBRE EL CÁLCULO DE POTENCIALES ELÉCTRICOS. …………………………………………………………..4.23 4.11. CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO A PARTIR DE LA CARGA.  …………………………………………...4.28  4.12. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES…………………………………………………………………………….4.30  4.13. RELACIÓN ENTRE EL POTENCIAL (O VOLTAJE) Y EL CAMPO ELÉCTRICO. ……………………………………4.33 4.14. AUTOENERGÍA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA……………………………………………………………...4.37 4.15. AUTOENERGÍA DE UN CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS…………………………………………………..4.42 4.16. CONDUCTORES Y POTENCIAL ELÉCTRICO…………………………………………………………………….4.44 4.17. FUENTES DE VOLTAJE Y BATERÍAS……………………………………………………………………………4.45 4.18. PROBLEMAS……………………………………………………………………………………………………4.47  

CAPÍTULO 5. CAPACITORES Y DIELÉCTRICOS.  5.1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………………..5.1 5.2. DEFINICIÓN DE CAPACITOR Y CAPACITANCIA. …………………………………………………………………..5.1 5.3. EL CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS………………………………………………………………………….5.3 5.4. EL CAPACITOR ESFÉRICO…………………………………………………………………………………………5.5 5.5. EL CAPACITOR CILÍNDRICO……………………………………………………………………………………….5.6 5.6. CAPACITORES EN SERIE O EN PARALELO…………………………………………………………………………5.7 5.7. CAPACITOR CON DIELÉCTRICO. …………………………………………………………………………………5.14 5.8. PROBLEMAS……………………………………………………………………………………………………..5.21  

CAPÍTULO 6. CORRIENTE ELÉCTRICA Y RESISTIVIDAD.  6.1. DEFINICIÓN DE CORRIENTE ELÉCTRICA……………………………………………………………………….6.1  6.2. CORRIENTE ELÉCTRICA EN UN CONDUCTOR………………………………………………………………….6.1  6.3. VISIÓN MICROSCÓPICA DE LA CORRIENTE EN UN ALAMBRE CONDUCTOR…………………………..……6.8 

vii   6.4. CORRIENTE Y RESISTENCIA EN UN CIRCUITO SIMPLE……………………………………………………….6.10  6.5. RESISTENCIA EQUIVALENTE DE VARIOS RESISTORES. LEYES DE KIRCHHOFF………………………….…6.12  6.6. CONSIDERACIONES DE ENERGÍA EN CIRCUITOS CON FUENTES DE FEM Y RESISTORES……………….….6.17  6.7. FUENTES DE FEM REALES………………………………………………………………………………………6.19  6.8. PROBLEMAS………………………………………………………………………………………………….6.20 

  CAPÍTULO 7. CAMPO MAGNÉTICO.  7.1. FENÓMENOS MAGNÉTICOS………………………………………………………………………………………7.1  7.2. INTERACCIÓN ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS PUNTUALES………………………………………………….….7.2  7.3. DEFINICIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO………………………………………………………………………….7.4  7.4. MOVIMIENTO DE CARGAS DENTRO DE UN CAMPO MAGNÉTICO. FUERZA DE LORENTZ………………….7.8  7.5. EL EFECTO HALL…………………………………………………………………………………………………7.9  7.6. LA LEY DE BIOT‐SAVART……………………………………………………………………………………….7.11  7.7. CAMPO MAGNÉTICO GENERADO POR UN HILO RECTO INFINITO DE CORRIENTE…………………….….7.13  7.8. CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A UNA ESPIRA CIRCULAR……………………………………………………7.17  7.9. CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE………………………………………………………………..……7.20  7.10. CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE INFINITO………………………………………………….…….7.22  7.11. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN ALAMBRE RECTO QUE TRANSPORTA CORRIENTE ELÉCTRICA    DENTRO DE UN CAMPO MAGNÉTICO CONSTANTE……………………………………………………….7.24  7.12. DEFINICIÓN DEL AMPERIO, UNIDAD ELECTROMAGNÉTICA BÁSICA    EN EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES…………………………………………………………7.28  7.13. ESPIRA RECTANGULAR DE CORRIENTE DENTRO DE UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME……….…..…7.30  7.14. LA LEY DE AMPERE……………………………………………………………………………………………7.32  7.15. PROBLEMAS……………………………………………………………………………………..…………….7.35   

viii  

ix

  PREFACIO    El  primer  curso  sobre  electricidad  y  magnetismo,  correspondiente  al  Tronco  General  de  Asignaturas  de  las  carreras  de  ingeniería  en  la  Universidad  Autónoma  Metropolitana  en  Azcapotzalco,  denominado “FÍSICA III”, comprende los temas esenciales de electrostática y magnétostática, es decir, el  estudio  de  fenómenos  eléctricos  y  magnéticos  que  no  dependen  del  tiempo.  Este  libro  está  dedicado  a  dicha materia.    La  materia  de  FÍSICA  III  requiere  gran  dedicación,  dada  la  extensión  del  programa  y  las  dificultades matemáticas que algunos alumnos encuentran en el camino.    Es por ello que el presente texto tiene como objetivos principales los siguientes:  • Presentar la teoría en una forma lo más resumida posible, consistente con el logro de una adecuada  comprensión de los fenómenos eléctricos y magnéticos.  • Presentar  un  número  suficiente  de  ejemplos  resueltos  con  todo  detalle,  así  como  problemas  ajustados  al  nivel  académico  de  este  curso  introductorio.  Se  han  incluído  las  respuestas  a  la  mayoría de los problemas.  • Explicar con detalle el significado y aplicación de los principales cálculos matemáticos propios de la  materia.    Los prerrequisitos matemáticos que la materia exige del estudiante son los siguientes:  i) Conocimiento del álgebra vectorial: suma y resta de vectores; productos escalar y vectorial de vectores;  expresión de vectores en la base vectorial cartesiana  {i, j, k} y en la base polar en el plano; representación  paramétrica de curvas en el plano.  ii)  Conocimiento  del  cálculo  diferencial  e  integral:  derivada;  integral  de  una  sóla  variable;  integral  definida.    En la materia de FÍSICA III trataremos con varios tipos de integrales vectoriales. Si bien este tipo de  integrales  son  una  novedad  para  el  estudiante,  para  la  clase  de  campos  eléctricos  y  magnéticos  que  consideraremos  en  este  curso  introductorio,  y  además  para  las  clases  simples  de  geometría  que  estudiaremos  (rectas,  planos,  círculos,  esferas,  cilindros  regulares),  las  integrales  se  pueden  reducir  fácilmente a las familiares integrales escalares de una sola variable (integral de Riemann). Para ello, claro  está,  el  estudiante  debe  entender  perfectamente  el  concepto  de  integral  mismo  y  la  deducción  de  la  expresión integral, así como también.el significado de cada símbolo que figura en la integral.    A  tal  fin  hemos  adoptado  una  notación  consistente  a  lo  largo  de  todo  el  texto.  Para  evaluar  las  integrales hemos tratado de evitar trucos particulares (muy populares en otros libros de texto), partiendo  directamente de la forma del integrando.    El  libro  presupone  del  estudiante  conocimientos  elementales  sobre  estructura  de  la  materia,  así  como de las propiedades fundamentales del átomo, como son la masa y la carga eléctrica. 

x  

xi   REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS    FÍSICA UNIVERSITARIA con FÍSICA MODERNA  Volumen 2, Undécima edición  SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN  Editorial PEARSON/ADDISON WESLEY 

  FÍSICA  Volumen 2, Versión Ampliada, Cuarta edición  HALLIDAY, RESNICK, KRANE  Editorial CECSA 

  FÍSICA Para ciencias e ingeniería  Volumen II, Sexta edición  SERWAY, JEWETT JR.  Editorial THOMSON 

         

1‐1   

  CAPÍTULO 1        CAMPO ELÉCTRICO DE CARGAS PUNTUALES        1.1. CARGA ELÉCTRICA. CONDUCTORES Y AISLANTES.    La  gran  diversidad  de  fenómenos  electromagnéticos  a  nuestro  alrededor  están  esencialmente  relacionados con unas propiedades fundamentales de la materia, denominadas la carga eléctrica y el spin.   A  nivel  atómico,  la  materia  física  está  constituída  por  protones,  neutrones  y  electrones.  Los  protones  y  neutrones forman el núcleo del átomo, y los electrones circundan el núcleo en capas.    El protón y el electrón poseen carga eléctrica, no así el neutrón. La carga eléctrica está cuantizada, es  decir,  se  observa  siempre  en  múltiplos  de  un  valor  fundamental  cuyo  valor  es  e  =  1.60  (10–19)  C.  El  protón posee carga positiva igual a “e”, y el electrón carga negativa “–  e”. La siguiente tabla da valores  aproximados de la masa y carga de ambas partículas.    

Masa 

Carga eléctrica 

Protón 

1.67 (10–27) kg 

1.60 (10–19) C 

Electrón 

9.11 (10–31) kg 

–1.60 (10–19) C 

 

    La  unidad  S.I.  de  carga  eléctrica  es  el  coulombio  (abreviado  “C”).  Ésta  se  define  en  términos  de  la  unidad de corriente, el amperio “A”, en la forma  1 C = 1 A ⋅ s. En el Capítulo VII definiremos el amperio.  Por lo pronto, podemos definir el coulombio grosso modo como la carga total de 6.25 (1018) electrones.    La  teoría  moderna  de  las  partículas  elementales  sostiene  que  el  protón,  neutrón  y  electrón  están  constituídos por otras subpartículas llamadas “quarks”, cuyas cargas eléctricas son fracciones de “e”. Así, 

2 1 e ,  y  el  tercero  con  carga  − e .  El  3 3 1 2 neutrón,  cuya  carga  es  nula,  está  formado  por  dos  quarks  de  carga  − e   y un quark  de  carga  e .  Sin  3 3

el  protón  está  formado  por  tres  quarks;  dos  de  ellos  con  carga 

embargo, aunque la existencia de los quarks posee evidencia experimental sólida, no ha sido posible hasta  la fecha observar quarks libres, quizás porque los aceleradores modernos no alcanzan la energía necesaria  para vencer la energía de ligadura de los quarks.    En su estado natural, el átomo es neutro: el número de protones en el núcleo iguala el número de  electrones circundantes, de tal manera que la carga total del átomo es nula. Un átomo ionizado, al que le  falta  uno  o  más  electrones,  posee  una  carga  neta  positiva  igual  a    “Ne”,  donde  N  es  el  número  de  electrones  faltantes.  En  las  interacciones  atómicas  (colisiones,  reacciones  químicas,  etc.)  siempre  se  observa  que  la  carga  eléctrica  se  conserva.  Esto  constituye  una  ley  fundamental  de  la  naturaleza  en  cualquier circunstancia.    La existencia de carga eléctrica de un trozo de material se explica mediante una deficiencia o exceso  de  carga,  usualmente  negativa.  Una  deficiencia  de  electrones  significa  una  carga  neta  positiva  del  material, un exceso una carga negativa. Tal deficiencia o exceso es regularmente una fracción mucho muy  pequeña de la carga positiva o negativa total contenida en el trozo. 

1‐2   

  EJEMPLO 1.1. ¿Cuánta carga positiva (o negativa) posee un trozo de cobre neutro cuya masa es de 1 g?  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    El átomo de cobre contiene Z protones y Z electrones en su estado neutro, donde Z es el número  atómico del cobre, igual a 29. Entonces la carga positiva de cada átomo es “Ze”.    Debemos  calcular  entonces  cuántos  átomos  de  cobre  constituyen  1  g  de  cobre.  Para  ello  primeramente calcularemos el número “N” de moles de cobre equivalentes a 1 g. La masa molar “M” del  cobre (también nombrada “peso atómico” o “peso molecular”) es      

 

M = 63.5

g   mol

  de tal manera que un gramo de cobre equivale a los siguientes moles de cobre:     

 

N=

1g m = =  0.01575 mol  M 63.5 g mol

  Cada  mol  de  cobre  contiene  un  número  de  átomos  igual  al  número  de  Avogadro,  NA,  de  modo  que  el  número de átomos contenidos en 1 g de cobre es    número de átomos = número de moles × número de Avogadro =     

  = N ⋅ NA = 0.01575 mol⋅ 6.02 (1023) 

1  = 0.09482 (1023)  mol

 

 

     

Ahora multiplicamos el número de átomos por la carga positiva de cada uno, igual a 

 

 

Z e = 29 ⋅ 1.6 (10–19) C = 46.4 (10–19) C 

  Obtenemos     

 

Carga = 46.4 (10–19) ⋅ 0.09482 (1023) = 4.4 (104) C 

  Este  valor  de  la  carga  positiva  contenida  en  un  gramo  de  cobre  es  enorme.  Como  podemos  demostrar  después  de  estudiar  la  siguiente  sección,  la  fuerza  con  que  se  atraerían  dos  cargas  eléctricas  tales,  separadas un metro, sería de     

 

1.74 (1019) newton 

  la cual equivale a un peso de ¡más de 1018 toneladas!    Esto  indica  que  la  carga  en  exceso  contenida  en  un  material  es  regularmente  una  fracción  muchísimo muy pequeña de la carga total del material. Si bien un material en su estado neutro posee una  gran cantidad de carga positiva y negativa, existe un balance muy preciso de ambos tipos de carga.  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 

1‐3   

    La  deficiencia  o  exceso  de  carga  eléctrica  dentro  en  un  material  se  comporta  de  distinta  forma  dependiendo de si el material es lo que se llama un aislante o un conductor.    El vidrio es un material aislante. Si se frota una barra de vidrio con un pañuelo de seda, la barra se  carga eléctricamente (en este proceso la barra adquiere típicamente una carga del orden de 10–18  C). Esta  carga así adquirida permanece en la superficie donde se crea. Si se toca con un dedo dicha superficie cargada,  la carga alojada en la porción de superficie tocada fluye por el dedo a través del cuerpo hasta tierra, y el  lugar  que  ocupaba  esta  carga  ya  no  queda  cargado.  En  los  materiales  aislantes,  la  carga  eléctrica  no  balanceada no puede moverse libremente a través del material, sino que permanece en el lugar donde ha  sido creada.    En  cambio,  en  los  materiales  conductores  cualquier  carga  eléctrica  en  exceso  (típicamente  electrones)  inmediatamente  se  disemina  a  través  del  conductor,  hasta  llegar  a  la  superficie  del  mismo,  donde  eventualmente  llega  al  reposo.  Las  cargas  eléctricas  en  exceso  son  libres  de  moverse  por  todo  el  conductor.  Si  se  deposita  cierta  carga  eléctrica  (digamos  electrones)  en  el  interior  de  un  conductor,  la  repulsión mutua entre estas cargas motiva que se alejen mutuamente, lo cual pueden hacer dado que nada  les  impide  moverse  a  través  del  material.  Las  cargas  se  siguen  moviendo  hasta  llegar  a  la  superficie  y  desarrollarse allí una situación de equilibrio.    Consideremos por ejemplo un trozo de cobre, el cual es un conductor excelente. El número atómico  del cobre es Z = 29 (posee 29 protones en el núcleo, y 29 electrones en su estado neutro). El átomo de cobre  posee  2  electrones  en  su  primera  capa,  8  en  la  segunda  y  18  en  la  tercera.  En  su  última  capa  posee  solamente 1 electrón. Este electrón se denomina electrón libre o electrón de conducción, debido a que está  muy  débilmente  ligado  al  resto  del  átomo  (prácticamente  libre)  y  bajo  la  influencia  de  algún  campo  eléctrico en el interior del conductor, incluso muy débil, es capaz de desligarse del átomo y viajar por todo  el conductor.    Mediante  un  mango  aislante  sostengamos  una  barra  de  cobre  cargada  eléctricamente.  Al  tocar  la  barra de cobre con un dedo, la barra pierde inmediatamente toda su carga.    Una propiedad importante de los conductores es la denominada densidad de electrones libres que,  como  su  nombre  lo  indica,  es  el  número  de  electrones  libres  por  unidad  de  volumen  que  contiene  el  material. El aluminio, cuyo número atómico es Z = 13, posee tres electrones libres en su última capa, de tal  manera  que  la  densidad  de  electrones  libres  del  aluminio  es  (muy  aproximadamente)  tres  veces  la  densidad de átomos del mismo. La densidad de electrones libres de una sustancia se puede medir en el  laboratorio usando el Efecto Hall (El cual discutiremos en el Capítulo VII).   

1‐4   

  EJEMPLO 1.2.  La densidad de electrones libres del cobre es  n = 8.5 (1028) / m3. Calcular la masa de un  trozo de cobre que posee 18 (1029) electrones libres.  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    Dado que cada átomo de cobre contribuye un electrón libre, tenemos que el trozo posee un número  de átomos de cobre igual al número de electrones libres.    Calculemos  primeramente  el  número  de  moles  de  cobre  que  tenemos,  dividiendo  el  número  de  átomos de cobre por el número de Avogadro:   

18(10 24 ) = 30 mol   6(10 23 ) / mol

 

 

     

Ahora bien, la masa molar del cobre es 

 

 

M = 63.5(10 −3 )

kg   mol

  Multiplicando el número de moles por la masa molar M obtenemos la masa que representan estos moles:     

 

m = 30 mol ⋅ M = 30 mol ⋅ 63.5(10−3 )

kg  = 1.9 kg  mol

  EJEMPLO  1.3.    Se  tiene  un  trozo  de  material  con  las  siguientes  propiedades:  densidad  de  masa  ρm,  volumen “V” y masa molar “M”. Calcular el número de átomos (o entidades) contenidos en el trozo.  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐   

Sabemos  que  un  mol  del  material  contiene  6.02  (1023)  átomos  o  entidades  (este  es  el  número  de 

Avogadro, NA, cuyas unidades son “1/mol”). Calculemos entonces cuántos moles “N” representa el trozo.  Primeramente obtenemos la masa del trozo, “m”, usando la densidad de masa ρm y el volumen V:     

 

m = ρm V 

  Ahora obtenemos el número de moles N dividiendo la masa m por la masa molar M:     

 

N=

m ρm V   = M M

 

(Balance de unidades:     mol =

 

kg = mol )  kg / mol

  Multiplicando el número de moles por el número de Avogadro obtenemos el número de átomos):   

 

 

n átomos = N ⋅ N A =

ρm V ⋅ NA   M

 

kg / m 3 ) ⋅ m 3 ( ⋅ Note aquí el balance de unidades:   1 = kg / mol

1 .  mol

1‐5   

  1.2. LA LEY DE COULOMB.   

Sean q1 y q2 dos cargas eléctricas puntuales de cualquier signo. 

 

Sean:  R el vector separación entre las cargas, (Fig. 1),  R = |R| su magnitud (es decir, la distancia 

ˆ  el vector unitario en la dirección de R.  entre las cargas), y  R  

Sea F la fuerza eléctrica que ejerce q1 sobre q2. 

  Fig. 1       

La Ley de Coulomb establece que esta fuerza viene dada por la expresión  Ley de Coulomb (Forma vectorial)  Fuerza que ejerce la carga q1 sobre la carga q2. 

  (3) 

 

1 q1q 2 R F=   4πε0 R 3

El vector separación R va desde la carga q1 hasta 

     

la carga q2.  Si ambas cargas son del mismo signo, la fuerza eléctrica entre ellas tiene la misma dirección que R y 

por tanto es de repulsión (caso representado en la Fig. 1). Las cargas se atraen si son de signos opuestos.    La fuerza eléctrica (3) obedece la tercera ley de Newton (al intercambiar en ella los indices 1 y 2, y  cambiar R por –R, la fuerza cambia de signo).     

La magnitud de la fuerza es 

(4) 

 

F=

1 q 1q 2     4 πε0 R 2

 

Ley de Coulomb.  Magnitud de la fuerza entre dos cargas q1 y q2. 

  (Esta expresión se saca de (3) tomando magnitudes. Note que 

R R 1 R = 3 = 3 = 2 ).  3 R R R R

Como  vemos  en  (3)  o  (4),  la  fuerza  eléctrica  entre  dos  cargas  puntuales  es  proporcional  a  las  cargas  e  inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.    El factor de proporcionalidad, “1/4πε0”, se suele abreviar así:  (5) 

 

k=

1          4 πε0

 

9 (Valor experimental:  k = 8.988(10 )

 

En los cálculos usaremos el valor aproximado   

(6) 

 

k = 9(109 )

N ⋅ m2 C2  

N ⋅ m2 )  C2

1‐6   

     

Así pues, las expresiones (3) y (4) se pueden escribir también: 

(7) 

 

F=k

q 1q 2 R R

3

F=k

q1q 2 R2

 

    La fórmula (3) es una expresión vectorial, es decir, válida en cualquier sistema de coordenadas. Para  efectuar un cálculo es necesario ya definir un sistema de coordenadas.    EJEMPLO  1.4.  ¿Qué  cargas  (iguales)  deberían  tener  la  Tierra  y  la  Luna  para  que  la  fuerza  eléctrica  de  atracción entre ellas fuese igual a su fuerza gravitatoria?  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    Sea  Q  la  carga  de  la  Tierra  y  –Q  la  de  la  Luna.  La  fuerza  eléctrica  entre  ellas,  consideradas  como  cargas puntuales dado la gran distancia que las separa, es     

 

Fe = −k

Q2   d2

  donde “d” es la distancia Tierra‐Luna.    Por otra parte, la fuerza gravitatoria es     

 

Fg = −G

MT m L   d2

  donde MT y mL son las masas de la Tierra y la Luna, respectivamente.     

Igualando ambas fuerzas, 

 

 

     

De aquí sacamos 

 

 

−k

Q2 M m = −G T 2 L   2 d d

Q=

GMT m L   k

  Sustituyendo valores:   

 

 

G = 6.67 (10–11) N‐m2/kg2 

 

 k = 8.988 (109) N‐m2/C2 

 

 

MT = 5.98 (1024) kg 

 

 mL = 7.36 (1022) kg 

  Se encuentra  

Q = 5.71 (1013) C 

 

1‐7   

  EJEMPLO  1.5.  Dos  esferitas  metálicas  que  portan  la  misma  carga  eléctrica  negativa,  y  cuya  distancia  mutua  d = 2 m es mucho mayor que sus radios, se repelen con una fuerza  F = 12 mN (Véase la Fig. 2).  ¿Cuántos electrones en exceso tiene cada esferita?    Sea  “q”  la  carga  de  cada  esferita.  Según  la    Ley de Coulomb, la fuerza de repulsión entre ellas  tiene magnitud     

 

F=

kq 2 d2

    Fig. 2 

 

  donde     

 

k=

1 N ⋅ m2   ≈ 9(10 9 ) 4 πε0 C2

  Despejando la carga “q” tenemos     

 

q=d

F = 2m k

12(10 −3 )N = 2.31(10 −6 )C   2 N⋅m 9(109 ) C2

  Dividiendo  “q”  por  la  carga  del  electrón,  e  =  1.6  ×  10–19  C,  obtenemos  el  número  N  de  electrones  en  exceso que posee cada esferita:         

 

N=

q 2.31(10 −6 )C = = 1.44(1013 ) = 14.4(1012 )   −19 e 1.6(10 )C

1‐8   

  EJEMPLO 1.6. Una carga positiva de 8 μC y una negativa de – 5 μC se hallan en los puntos indicados en  la cuadrícula mostrada en la Fig. 3. Suponer que el    lado de la cuadrícula mide  1  m y calcular la fuerza  eléctrica  F  que  ejerce  la  carga  positiva  sobre  la  negativa.    Emplearemos la expresión (3), o sea     

 

F=

1 q1q 2 R  4πε0 R 3

  Debemos tomar     q1 = 8 μC       

q2 = – 5 μC 

 

 

   

Recordemos que el vector  R se dirige hacia la carga que sufre la fuerza a calcular,  F. Obtengamos 

Fig. 3 

los vectores de posición de ambas cargas:   

 

 

r’1 = (11, 5) m 

 

r’2 = (2, 10) m 

 

 

Ahora obtengamos el vector separación R: 

 

 

 

R = r’2 – r’1 = (2, 10) m – (11, 5) m = (–9, 5) m 

 

(Estas componentes podrían haberse obtenido también gráficamente de la Fig. 3, contando cuadritos).    El cubo de su magnitud es (en metros)   

 

 

R3 =

(

9 2 + 52

)

3

=  1091.33 

 

   

Sustituyendo valores (en unidades S.I.): 

 

 

F=

 

F = (2.97 ⋅ 10– 3   , 1.65 ⋅ 10– 3) N = (2.97 , 1.65) mN 

−6 −6 1 q 1q 2 9 8(10 ) ⋅ ( −5(10 )) 9(10 ) ( −9,5) = 0.33(10 −3 ) ⋅ ( −9,5) R = 4 πε0 R 3 1091.33  

 

⇒  

1‐9   

  EJEMPLO 1.7. Dado el arreglo de cargas puntuales mostrado en la Fig. 4, ¿Dónde debe estar situada la  carga “q” para que la fuerza eléctrica sobre ella debida a las otras dos cargas sea nula?   

    Fig. 4  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    Tomemos un Eje X con su origen en la carga  4q y su dirección hacia la derecha. Está claro que la  carga  “q”  debe  encontrarse  a  la  derecha  de  la  carga  “–q”,  donde  las  fuerzas  eléctricas  sobre  ella  tienen  sentidos opuestos y pueden anularse.    Para resolver el problema obtendremos las magnitudes de las fuerzas (opuestas) sobre “q” debidas  a las otras dos cargas y luego las igualaremos. La magnitud de la fuerza que ejerce la carga “4q” es   

 

 

F1 = k

4q ⋅ q x2

=k

4q 2 x2

 

 

y la magnitud de la fuerza que ejerce la carga “–q” es   

 

 

F2 = k

q ⋅ ( −q) (x − a)2

=k

q2 (x − a)2

 

 

Igualando ambas fuerzas tenemos   

 

 

k

4q 2 x2

=k

q2 (x − a)2

 

 

Cancelando factores comunes se tiene   

 

 

4 1   = 2 x (x − a)2

 

Quitando denominadores,     

 

4(x − a)2 − x2 = 0  

 

3 x2 – 8 a x + 4 a2 = 0        Las raíces de esta ecuación son     

 

x = 2a

y

x=

2 a  3

  La solución correcta es la primera raíz: “x = 2a”. Para la segunda raíz, x = (2/3) a, también hay igualdad de  las magnitudes de las fuerzas, pero no son opuestas y no se cancelan. 

1‐10   

  EJEMPLO 1.8. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón en su estado base describe una  órbita circular de radio 0.529 (10–10) m alrededor del protón. Calcular la velocidad del electrón.   

 

 

Fig. 5  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐   

El electrón realiza un movimiento circular uniforme con rapidez constante v. La fuerza Fr que sufre 

es la atracción eléctrica debida al protón, la cual es una fuerza centrípeta cuya componente radial (única)  es   

 

 

Fr = −

1 e2   4 πε0 r 2

 

  De acuerdo con la 2ª. Ley de Newton, esta fuerza debe ser igual al producto de la masa del electrón  y su aceleración centrípeta, o sea     

 

Fr = m ar 

  Usando la expresión para la aceleración centrípeta, o sea     

 

ar = −

v2   r

  tenemos   

 

−k

⎛ v2 e2 = m ⎜⎜ − r2 ⎝ r

⎞ ⎟⎟   ⎠

  Despejando la velocidad,     

 

v=

ke 2   mr

  Sustituyendo valores en unidades S.I.,     

 

v=

9(109 ) ⋅ (1.6 ⋅ 10 −19 )2 m =  2.18 (106)        ( )  −31 −10 s 9.11(10 ) ⋅ 0.529(10 )

1‐11   

  EJEMPLO  1.9.  Dos  esferitas  cargadas,  de  la  misma  masa  m  =  40  g,  están  suspendidas  mediante  hilos  iguales  y  aislantes  de  un  punto  común,  como  muestra  la  Fig.  6  izquierda.  Se  observa  que  cuando  el  sistema  está  en  equilibrio,  el  ángulo  θ1  que  forma  el  hilo  izquierdo  con  la  vertical  es  θ1  =  8°.  Dada  la  longitud  de  cada  hilo,  L = 20 cm,  y  la  carga  de  la  esferita  izquierda,  q1 = 6 μC,  calcular  la  carga  de  la  esferita derecha.   

  Fig. 6     

Para simplificar el problema,  propondremos la siguiente hipótesis: en el equilibrio, los ángulos θ1 y 

θ2 que forman los hilos con la vertical son iguales. ¿Por qué nuestra hipótesis? Tenemos que las masas de  las  esferitas,  y  por  ende  sus  pesos,  son  iguales;  por  otra  parte,  las  fuerzas  eléctricas  de  repulsión  entre  ambas también son iguales (y opuestas), ya que estas fuerzas obedecen la tercera ley de Newton.    La Fig. 6 derecha muestra el diagrama de cuerpo libre (DCL) de las esferitas. Sobre cada una actúan  las siguientes fuerzas: la eléctrica Fe (fuerza de repulsión); la tensión del hilo, T, y el peso mg. Note que si  las masas de las esferitas fuesen distintas, se destruiría la simetría de fuerzas.    Tomando unos Ejes X y Y horizontal y vertical, respectivamente, tenemos las siguientes ecuaciones  de equilibrio para la esferita izquierda:   

∑ Fx = 0 : ∑ Fy = 0 :

− Fe + T sen θ1 = 0

 

 

 

   

En unidades S.I., la distancia entre las esferitas es  d = 2 L sen θ1 = 0.05567  y la fuerza eléctrica es 

− mg + T cos θ1 = 0

   

 

Fe = k

q 1q 2 d

2

= 9(10 9 )

6(10 −6 )q 2 −2

(5.56(10 ))

2

= 1.74(107 )q 2  

  De las ecuaciones de equilibrio sacamos  Fe = mg tan θ1, de modo que     

 

1.74(107 )q 2 = 0.04 ⋅ tan(8°) = 0.00562 = 5.62(10 −3 )  

 

q2 =

   

5.62(10 −3 ) = 3.23(10 −10 )      7 1.74(10 )

o bien    

q2 = 0.000323 μC 

1‐12   

  1.3. DEFINICIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO.   

Sea  D    una  distribución  arbitraria  de  carga  eléctrica.  Puede  ser  un  sistema  de  cargas  puntuales,  o 

carga repartida por una región espacial tridimensional, o sobre una superficie, o a lo largo de un alambre  o  filamento;  es  completamente  arbitraria.  Lo  único  que  exigimos  es  que  el  cuerpo  material  que  aloja  la  carga  esté  fijo,  y  que  además  su  carga  eléctrica  no  se  mueva  dentro  de  él,  esto  es,  que  no  existan  influencias externas importantes que “redistribuyan” su carga por su interior.    Sea “q” una carga puntual, pequeña y positiva.   

D 

 

 

Fig. 7     

Se define el vector de intensidad eléctrica E en el punto P, producido por la distribución D , como la 

fuerza eléctrica por unidad de carga que actúa sobre la carga puntual en P. En símbolos,    El  vector  de  intensidad  eléctrica  producido  por  una  distribución  de    F carga en un punto P es la fuerza eléctrica por unidad de carga que ejerce  (8)    E=   la distribución sobre una pequeña carga puntual positiva colocada en P.  q     Comentarios.  • La carga “q” que interviene en la definición del campo eléctrico se denomina para este efecto carga  testigo.  • Es común llamar simplemente campo eléctrico  E al vector de intensidad eléctrica. Así lo haremos en  • •

lo sucesivo.  El campo eléctrico E es un vector que tiene la misma dirección que la fuerza F (Fig. 7).  Las unidades físicas de E son, de (8), 

      •

 

newton N =   coulombio C

La carga testigo debe ser pequeña para que no afecte la distribución de carga  D, cuyo campo deseamos  medir.  Existe  un  fenómeno  llamado  “inducción  electrostática”,  que  consiste  en  una    separación  o  reacomodo de cargas en un cuerpo (metálico o dieléctrico), provocada por la cercanía de otra carga. 

1‐13   

    En  la  Fig.  8  se  muestra  una  esfera  metálica    apoyada  sobre  una  varilla  aislante.  Inicialmente  la    esfera  estaba  lejos  de  cualquier  carga  eléctrica,  y  sus cargas eléctricas atómicas positivas y negativas  estaban  uniformemente  distribuidas.  Al  acercar  una  carga  negativa  Q  a  la  esfera  se  producen  repulsiones  entre  Q  y  los  electrones  libres  de  la  esfera.  El  efecto  consiste  en  una  separación  o    “polarización”  de  las  cargas,  como  se  ve  en  esta    figura. Suponemos la carga testigo tan pequeña que    Fig. 8  no provoque una inducción apreciable.      • La definición dada de E sirve para medir el campo eléctrico fuera de la distribución D (estrictamente en  el vacío), pues no podemos meter una carga testigo en el interior de  D  sin alterar su distribución de  carga.  Existen  otras  definiciones  operacionales  (esto  es,  basadas  en  un  procedimiento  de  medición)  aplicables al interior de la materia, pero no las daremos ahora.    • La ecuación definitoria (8) se usa mucho en la forma      Fuerza eléctrica sobre una carga puntual q.  La  fuerza  eléctrica  está  en  la  dirección  del  campo,  u  opuesta  a  (9)    F = q E  ésta,  según  que  la  carga  “q”  sea  positiva  o  negativa,  respecti‐   vamente.    En (9), “q” ya no es una carga “testigo”, sino cualquier carga situada en la vecindad de la distribución  D. Esta  q ya puede ser positiva o negativa. El movimiento de “q” dentro del campo eléctrico E se rige  por la segunda ley de Newton en la forma “masa x aceleración = fuerza” o sea       

(10)     

m a = q E 

Expresión matemática de la segunda ley de Newton  para una partícula de masa “m” y carga eléctrica “q”  en el seno de un campo eléctrico E.  “a” es el vector aceleración de la partícula. 

  La carga “q” experimenta dentro del campo una aceleración dada por     

 

a=

F qE =   m m

    Las  ecuaciones  (9)  y  (10)  gobiernan  el  movimiento  de  partículas  cargadas  dentro  de  un  campo  eléctrico. 

1‐14   

EJEMPLO 1.10. Una distribución de carga eléctrica fija produce un campo eléctrico  E. (a) Se observa que  una partícula de carga q = 15 μC y masa m = 4 (10–8) kg sufre en cierto punto una aceleración, debida al  campo  eléctrico,  de  magnitud  a  =  2.5  (104)  m/s2.  ¿Cuánto  vale  el  campo  eléctrico  en  dicho  punto?  (b)  ¿Qué fuerza experimenta otra carga  q = 9 μC cuando se encuentra en un punto donde el campo eléctrico  tiene una magnitud E = 105 N/C?   

  Fig. 9    (a)  Dada la masa y la aceleración de la partícula, podemos calcular la fuerza sobre ella empleando la  segunda Ley de Newton:     

 

F = ma

⇒

F = 4(10−8 )kg ⋅ 2.5(10 4 )

m = 10 −3 N   s2

  Ahora podemos calcular el campo eléctrico usando su definición (8) en la forma     

 

E=

F 10 −3 N N = = 66.6   −6 q 15(10 )C C

  La dirección de este campo es la misma que la de la fuerza o la aceleración en el punto considerado.    (b)  La magnitud de la fuerza se calcula de la expresión (9) (tomando magnitudes):    F = q E        Obtenemos     

 

F = 9μC ⋅ 105

N = 945 ⋅ 10 −6 N   C

  La dirección de esta fuerza es la misma que la del campo eléctrico E en el punto considerado. 

1‐15   

  1.4. CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.    Observe  la  Fig.  10.  Deseamos  obtener  el  campo  eléctrico  producido  por  la  carga  puntual  Q  en  el  punto arbitrario  P. Recuerde nuestra convención: el punto donde se localiza la carga es el punto fuente, y  el punto P es el punto campo. El vector separación desde Q hasta P es R.    De  acuerdo  con  la  definición  dada  del  campo  eléctrico,  debemos  obtener  la  fuerza  eléctrica  por  unidad de carga que ejercería Q sobre una pequeña carga puntual positiva q situada en P.    Según la Ley de Coulomb, tal fuerza F sería       

 

F=

Qq

ˆ = Q q R    R 4 πε0 R 4 πε0 R 3 2

  De  acuerdo  con  la  definición  (8),  la  fuerza  por  unidad  de carga, es decir, el campo eléctrico E, es 

    Fig. 10 

   

(11)   

ˆ QR F QR   E= = = 2 q 4 πε0 R 4 πε0 R 3

Campo  eléctrico  de  una  carga  puntual  Q  en  un  punto cuyo vector separación desde la carga es R. 

    Observaciones:  • Si  Q  es  positiva,  el  campo  E  está  dirigido  en  la  dirección  radial  hacia  fuera  desde  Q.  Sus  líneas  de  fuerza son líneas radiales que emanan de Q (“huyendo” de la misma), como vemos en la Fig. 11.  Si Q es negativa, el campo E apunta hacia ella: las líneas de fuerza se dirigen hacia Q.   Esto es válido en todo punto P del espacio. 

  Fig. 11   

1‐16   

EJEMPLO 1.11.  Una carga puntual Q = 5 (10 – 5) C está situada en el punto de coordenadas cartesianas  (6, 1) (coordenadas en metros). Calcular el campo de esta carga en el punto P(–3, 8) (Véase la Fig. 12; cada  lado de la cuadrícula representa un metro).   

  Fig. 12       

El campo eléctrico es la expresión (11): 

[(11)]   

 

E=

QR 4 πε0 R

3

 

 

(Magnitud:    

E= E =

|Q| )  4πε0 R 2

    Hay  dos  métodos  equivalentes  de  calcular  el  campo  E  en  P.  En  el  primer  método  calculamos  primeramente la magnitud del vector  E, y luego sacamos sus componentes X y Y, expresando el campo en  la forma  E = (Ex, Ey) o en la forma  E = Ex i + Ey j. En la segunda manera procedemos desde el principio  vectorialmente, obteniendo el vector R y haciendo la operación vectorial indicada en (11). Lo haremos con  los dos métodos en este ejemplo.    Primer método.    Como vemos en la Fig. 12, la distancia desde Q hasta el punto P es, en metros,     

 

R = 9 2 + 7 2 = 130 = 11.4   (m) 

  de modo que la magnitud del campo eléctrico en P es     

 

E= E =

Q 4 πε0 R 2

= 9 ⋅ 109 ⋅

5 ⋅ 10 −5 =  3462.60      (N/C)  11.4 2

  Ahora bien, el ángulo agudo “α” que forma E con el Eje X, mostrado en la Fig. 12, es 

1‐17   

 

 

⎛ 9 ⎞ α = ang cos ⎜ ⎟ = 37.86°   ⎝ 11.4 ⎠

  de tal manera que las componentes del campo E, con los signos correctos, son   

 

 

Ex = – E cos 37.86° = – 3462.60 cos 37.86 = – 2733.77 

 

(N/C) 

   

 

Ey = E sen 37.86° = 3462.60 sen 37.86 = 2125.11   

 

(N/C) 

 

E = (– 2733.77, 2125.11) 

 

⇒  

N N  = (– 2733.77 i + 2125.11 j)    C C

  Segundo método.    Las componentes del vector separación son  R = (– 9, 7) y su magnitud es  R = 11.4. Sustituyendo  esto en (11) tenemos     

 

E=

QR 4 πε0 R 3

= 9 ⋅ 109 ⋅

5 ⋅ 10 −5 ( −9,7)    (11.4)3

(N/C) 

  Efectuemos las operaciones indicadas en esta expresión vectorial.  Usando     

 

9 ⋅ 109 ⋅

5 ⋅ 10 −5 =  303.74  (11.4)3

  obtenemos        E = 303.74 ( −9,7) = (303.74 × −9, 303.74 × 7) =  (– 2733.66,  2126.18)     (N/C)    Excepto por errores de redondeo, este es el mismo resultado que obtuvimos con el primer método.    Se recomienda usar preferentemente el segundo método (vectorial).   

1‐18   

  1.5. CAMPO ELÉCTRICO DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES.    En  la  sección  1.4  obtuvimos  la  expresión  para  el  campo  eléctrico  de  una  carga  puntual  Q  en  un  punto arbitrario P cuyo vector separación relativo a Q es R (Fig. 5), a saber,   

 

[(11)]       

E=

 

QR 4 πε0 R 3

 

    Existe  en  electromagnetismo  un  principio  fundamental  denominado  principio  de  superposición de los campos eléctricos, que enuncia  lo siguiente: 

    [Fig. 5] 

  Principio de superposición    El campo eléctrico producido por un conjunto de cargas es igual a la suma vectorial de los campos  eléctricos individuales producidos por cada carga.     

Apliquemos este principio para calcular el campo eléctrico de un conjunto de cargas puntuales  Q1, 

Q2, …, QN en un punto P arbitrario.   

El  campo  eléctrico  Ei  producido  por  cada   

carga Qi (i = 1, 2, …, N) tiene la forma dada en (11),  esto es,     

 

Ei =

k Qi R i R i3

 

(i = 1, 2, …, N) 

  donde hemos abreviado     

 

  Fig. 13 

1   k= 4 πε0

  y Ri es el vector separación desde la carga Qi hasta el punto dado P.     

Obtenemos así para el campo de las N cargas la expresión 

 

(12)         

E=

k Q1 R1 R 13

+

k Q2 R 2 R 32

+ ... +

k QN R N 3 RN

=

N

∑ i =1

k Qi R i R i3

Campo eléctrico de un sistema de   

cargas puntuales Q1, Q2, …, QN. 

1‐19   

EJEMPLO 1.12.  Cuatro cargas de valores 5 μC, 2 μC, −7μC y 3 μC están colocadas tal como se muestra en  la  Fig.  14.  La  cuadrícula  consta  de  cuadrados  de  lado  1  m.  Calcular  el  campo  eléctrico  E  debido  a  las  cuatro cargas en el punto P.    Este  es  de  hecho  un  ejercicio  de    álgebra  vectorial.  Debemos  efectuar  el  cálculo indicado en la Ec. (12).    Numeremos  las  cargas  desde  1  hasta 4 en un orden arbitrario, y tracemos  los  vectores  separación  desde  cada  carga  hasta el punto campo P.    Habrá  que  obtener  los  vectores  R1, 

R2,  R3  y  R4  junto  con  sus  magnitudes,  sustituir  en  la  Ec.  (12),  y  hacer  las  operaciones vectoriales indicadas.    Conviene  hacer  el  cálculo  en  coor‐ denadas cartesianas. Independientemente  de la ubicación del origen de coordenadas, tenemos (en metros): 

   

 

  Fig. 14 

R1 = (7, −2)         R2 = (0, 6)           R3 = (4, 3)           R4 = (−7, −1) 

 

Además,   

 

 

(

)

3

R13 =  7 2 + ( −2) 2 2 = 385.8,     R23 = 216,      R33 = 125,    R43 =  353.5 

 

Entonces,   

4

 

E=k

2(7, −2) 5(0,6) −7(4,3) 3( −7, −1) ⎞ = 9(10)9  ⋅10 −6 ⋅ ⎛⎜ + + + ⎟ 3 385.8 216 125 353.6 ⎠   ⎝ R i =1 i

 

 

 

 

⎛ (126, −36) (0,270) ( −252,189) ( −189, −27) ⎞ = 10 3 ⎜ + + + ⎟  216 125 353.6 ⎠ ⎝ 385.8

   

 

 

 

= (326.5, −93.3) + (0,1250) + ( −2016, −1512) + ( −534.6, −76.7)  

   

 

 

 

= ( −2224, −432)  

 

∑

Qi R i

 

Tenemos así   

   

 

N N E = (−2224, −432)   , o bien   E = (−2224 i − 432 j)     C C

1‐20   

EJEMPLO  1.13.  Esquematizar  las  líneas  de  fuerza  del  campo  eléctrico  producido  por  (a)  Una  carga  positiva  “4q” y otra carga positiva “2q”; (b) Una carga positiva “4q” y una carga negativa “–2q”.  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    Las  líneas  de  fuerza  se  muestran  en  las  Figs.  15  y  16,  respectivamente.  En  la  Fig.  15  note  que,  comparada con la correspondiente a la carga “4q”, la densidad de líneas de fuerza en la vecindad de la  carga “2q” es menor. Esto indica gráficamente que el campo es de menor intensidad en la vecindad de la  carga “2q”. En la Fig. 16, no todas las líneas que salen de la carga “4q” terminan en la carga “–2q”; algunas  líneas se desvían hacia el infinito.   

    Fig. 15   

    Fig. 16   

1‐21   

EJEMPLO  1.14.  Se  tienen  tres  cargas  puntuales  situadas  sobre  una  línea  recta  horizontal.  El  campo  eléctrico de las tres cargas tiene las líneas de fuerza que se muestran en la Fig. 17. ¿Qué puede decir sobre  los signos y magnitudes de las cargas?   

    Fig. 17      Sabemos que las líneas de fuerza del campo eléctrico se originan en las cargas positivas y mueren  en las negativas. En la Fig. 17, las líneas dadas no tienen dirección, así que tenemos dos posibilidades:  (i) Las cargas izquierda y central son positivas y la carga derecha es negativa  (ii) Las cargas izquierda y central son negativas y la carga derecha es positiva.    Supongamos cierta la primera posibilidad. Observemos que no todas las líneas que se originan en la  carga central (positiva) terminan en la carga derecha (negativa); esto significa que la carga central es (en  valor absoluto) mayor que la carga derecha. Por otra parte, las cargas izquierda y central parecen ser del  mismo valor.    La  densidad  de  líneas  de  fuerza  da  una  idea  gráfica  de  la  magnitud  del  campo  eléctrico.  Así,  el  valor relativo del campo es pequeño en el punto medio entre las cargas izquierda y central, y también a la  derecha de la carga derecha. El campo es intenso en la cercanía de cada carga. 

1‐22   

  EJEMPLO  1.15.  Dos  cargas  puntuales  positivas  “Q” están separadas una distancia “2a”. Un punto  P se halla sobre la recta perpendicular a la línea de  unión  de  las cargas  (Eje  Y),  como  se  muestra  en  la  Fig.  18.  A  qué  distancia  “y”  debe  encontrarse  tal  punto  P para que el campo eléctrico allí, producido  por ambas cargas, tenga un valor máximo?  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    Las distancias de las cargas al punto P valen  ambas 

  Fig. 18 

   

 

a2 + y2  

  de tal manera que los campos eléctricos de las cargas poseen una magnitud común dada por     

 

E1 = E2 =

kQ   a + y2 2

 

⎛ 1 ⎞ ⎜k = ⎟  4 πε0 ⎠ ⎝

  Las  componentes  horizontales  de  E1  y  E2  se  anulan,  y  las  verticales,  a  lo  largo  del  Eje  Y,  se  suman.  El  campo E resultante en P tiene componente Y igual a     

 

E y = E1y + E2y = 2E1y = 2E1 sen θ  

  donde “θ” es el ángulo que forma el campo E1 con la horizontal. Usando   

 

 

y

sen θ =

a2 + y2

 

 

obtenemos   

 

 

Ey = 2 ⋅

y kQ ⋅ = 2 a +y a2 + y2 2

2kQy

(a

2

+

3 y2 2

)

 

 

Los valores extremos de Ey se encuentran con la condición   

 

 

dE y dy

=0 

 

de donde se encuentra un valor mínimo del campo Ey en y = 0, y un valor máximo en      

 

y = 2a /2 

1‐23   

EJEMPLO  1.16.  Una  carga  de  2  μC  se  encuentra  en  el  origen  de  coordenadas  de  un  sistema  XY.  Otra  carga  desconocida  se  encuentra  en  x  = 1.6  m.  ¿Cuánto  debe  valer  esta  última  carga  para  que  el  campo  eléctrico total en el punto x = 0.4 m sea nulo?    El  campo  eléctrico  de  la  carga  2  μC  en  el  punto x = 0.4 m es (en unidades S.I.)   

 

E1 =

 

k ⋅ 2(10 −6 ) (0.4)2

 

 

y el de la carga desconocida (negativa), “–Q”, es   

E2 = −

 

  Fig. 19 

k⋅Q   (1.2)2

 

Imponiendo la condición de que el campo total sea cero en el punto considerado tenemos   

 

E = E1 + E2 =

 

k ⋅ 2(10 −6 ) k ⋅ Q − =0  0.16 1.44

 

de donde sacamos   

 

Q = 1.44

 

2(10 −6 ) = 18(10 −6 )     0.16

 

Q = 18 μC 

  EJEMPLO  1.17.  Se  tiene  un  arreglo  de  3  cargas  puntuales    –q,  –q  y  Q,  como  se  muestra  en  la  Fig.  20.  Exprese la carga Q en términos de q para que el campo eléctrico total en el punto P sea nulo.    Empleando  la  fórmula  (11)  tenemos  que  el    campo eléctrico de la carga Q en P es     

E1 =

kQ ⋅ (3s,0)   (3s)3

  Los  campos  de  las  cargas  negativas  superior  e  inferior son respectivamente   

E2 =

k( −q)

( 5s)

3

(2s, −s)     y      E2 =

k( −q)

( 5s)3

(2s,s)  

  Fig. 20 

     

El campo total tiene componente Y igual a cero. La componente X del mismo es 

 

 

Ex = E1x + E2x + E3x =

2kq 2kq 4kq kQ kQ − 3/2 2 − 3/2 2 = − 3/ 2 2   2 2 (3s) 5 s 5 s (3s) 5 s

 

Esta se anula cuando    Q =

4 ⋅ 32 q = 3.22q   53 / 2

1‐24   

  EJEMPLO 1.18. Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un rectángulo, como se muestra  en la Fig. 21. Calcular el campo eléctrico en el vértice superior derecho del rectángulo, debido a las cargas  en los demás vértices. ¿Qué fuerza experimentaría una carga puntual de –2 μC colocada en dicho vértice?  Use los valores q = 1.2 mC y  s = 0.8 m.   

  Fig. 21     

  Usaremos la expresión (12‐p14), que para 3 cargas se escribiría: 

E=  

 

k Q1 R1

+

R 13

 

k Q2 R 2 R 32

+

k Q3 R 3 R 33

 

R1,  R2 y  R3 son los vectores separación que van desde cada carga hasta el punto campo (vértice superior  derecho).  Adoptando  un  sistema  XY  con  sus  ejes  paralelos  a  los  lados  del  rectángulo,  tendremos  (numerando las cargas arbitrariamente):   

 

 

Q1 = 5q 

 

 

Q2 =  –3q   

R2 = 2s i + s j        

R 2 = (2s)2 + s 2 = 5 s  

 

 

Q3 = 2q 

R3 = s j 

R3 = s 

 

E=

 

E=

 

 

   

k ⋅ 5q(2s i) (2s)

3

 

 

R1 =2s i 

5kq (2s)

2

i−

+

   

k ⋅ ( −3q)(2si + sj) ( 5s)

3kq(2i + j) 3 2

5 s

+

 

3

2kq s2

R1 = 2s 

 

+

k ⋅ 2q(sj) s3

 

j 

 

 

 

Ex =

kq ⎛ 5 kq 6 ⎞ − ⎜ ⎟⎟ = 0.71 2 2 ⎜ 3 s ⎝4 s 5 ⎠

 

Ex =

9(109 ) ⋅ 1.2(10 −6 ) ⋅ 0.71 = 11981 0.82

Ey =

⎞ kq ⎛ kq 3 − + 2 ⎜ ⎟⎟ = 1.73 2   2 ⎜ 3 s ⎝ s 5 ⎠

 

 

Ey =

9(109 ) ⋅ 1.2(10 −6 ) ⋅ 1.73 = 29193   0.8 2

 

 

La fuerza sobre una carga “–2 μC”  colocada en el vértice superior izquierdo sería 

 

   

Fuerza = Carga × Campo eléctrico =  

 

 

= –2 (10–6) (11 981, 29 193) = (0.023962, 0.058386)           (newton) 

1‐25   

  1.6. EL DIPOLO ELÉCTRICO.    El  dipolo  eléctrico  es  un  sistema  de  dos  cargas  puntuales  −Q  y  Q,  separadas  por  cierto  vector  separación a, como vemos en la Fig. 22.       

        Fig. 22 

Fig. 23 

 

  El  dipolo  eléctrico  es  importante.  Se  usa  en  la  descripción  de  los  campos  eléctricos  en  la  materia,  pues las moléculas se pueden modelar en primera aproximación como dipolos eléctricos.    En  la  Fig.  23  hemos  introducido  unos  símbolos  y  vectores  para  calcular  el  campo  del  dipolo  eléctrico.  No  perdemos  generalidad  si  suponemos  que  las  cargas  y  el  punto  campo  P  son  coplanarios.  Calcularemos E en un punto P arbitrario del plano. Apliquemos la fórmula (12),     

 

E=

k( −Q)R1 kQR 2 +   R 13 R 32

  Ahora bien, expresemos R1 y R2 en la base cartesiana, suponiendo P localizado en (x, y):   

 

 

a R1 = (x, y + ) , 2

a R 2 = (x, y − )   2

 

2 ⎛ a ⎞ ⎞2 ⎛ R1 = ⎜ x2 + ⎜ y + ⎟ ⎟ , ⎜ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝

 

1

 

1

2 ⎛ a ⎞ ⎞2 ⎛ R 2 = ⎜ x2 + ⎜ y − ⎟ ⎟   ⎜ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝

 

de tal manera que las componentes X y Y del campo eléctrico son:   

(13a) 

⎛ ⎜ ⎜ x x E x = kQ ⎜ − + 3 3 ⎜ 2 ⎞2 2 ⎞2 ⎛ ⎜ ⎛ 2 ⎛ a⎞ a⎞ 2 ⎛ ⎜⎜ x + ⎜ y − ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ x + ⎜ y + ⎟ ⎟⎟ 2 2⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝

(13b) 

⎞ ⎟ ⎟ ⎟  ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜ a a ⎜ y+ y− 2 2 ⎜ E y = kQ − + 3 3 ⎜ 2 ⎞2 2 ⎞2 ⎛ ⎜ ⎛ 2 ⎛ a⎞ a⎞ 2 ⎛ ⎜⎜ x + ⎜ y − ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ x + ⎜ y + ⎟ ⎟⎟ 2 2⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟  ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

    A  continuación  simplificaremos  estas  expresiones  para  el  caso  en  que  el  punto  campo  está  muy  alejado del dipolo (es decir, a