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• ELIEZER ROJAS

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UNIDAD 3 MOVIMIENTO EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. CINEMATICA LECTURA Nº__: GALILEO GALILEI (1564-1642) La observación y el estudio de los movimientos ha atraído la atención del hombre desde tiempos remotos. Así, es precisamente en la antigua Grecia en donde tiene su origen la sentencia «Ignorar el movimiento es ignorar la naturaleza», que refleja la importancia capital que se le otorgaba al tema. Siguiendo esta tradición, científicos y filósofos medievales observaron los movimientos de los cuerpos y especularon sobre sus características. El ejemplo más recurrido es la caída libre de un cuerpo o su movimiento bajo la influencia de la gravedad. Al estudiar este tipo de movimiento nunca se hace mención a su masa, en principio da igual que tenga una masa de 100 kg ó 2 gramos, despreciando, por supuesto, cualquier interferencia externa como la resistencia del aire. Esto se debe al Principio de Equivalencia que afirma que, en condiciones ideales todos los cuerpos caen con la misma aceleración. De esta forma estudiaremos la trayectoria de un corcho de una botella de champagne o el lanzamiento de una piedra sin especificar su masa. Los propios artilleros manejaron de una forma práctica el tiro de proyectiles de modo que supieron inclinar convenientemente el cañón para conseguir el máximo alcance de la bala. Sin embargo, el estudio propiamente científico del movimiento se inicia con Galileo Galilei. A él se debe una buena parte de los conceptos que aparecen recogidos en esta unidad. Definamos algunas herramientas necesarias para describir la cinemática

buena grafica

DEFINICIONES: Velocidad: Magnitud vectorial que mide el cambio de posición de un móvil en la unidad de tiempo

Velocidad media: La velocidad media en el intervalo de tiempo Δt, se define como la variación del vector desplazamiento respecto a la variación del tiempo. En 3 dimensiones:

En 1 dimensión: →

→

v

m

→

→

− xi

= ∆x xf = ∆t t f − ti

Velocidad instantánea: Es la derivada del vector de posición respecto al tiempo

En 3 dimensiones:

En 1 dimensión:

La rapidez de una partícula es la magnitud de la velocidad. La rapidez es un escalar, en cambio la velocidad es un vector. Ambos se miden en el sistema ( S.I.) en m/s. Componentes cartesianas de la Velocidad en forma vectorial: La dirección de la velocidad instantánea es la de la tangente a la trayectoria en el punto en el que se encuentra el móvil. En 3 dimensiones:

Rapidez Instantánea: Es una cantidad escalar que representa la rapidez en un instante en el que el móvil está en un punto arbitrario C. Es, por tanto, la tasa de cambio en el tiempo de la distancia. El módulo del vector velocidad instantánea es igual a la rapidez instantánea.

Aceleración: Siempre que hay cambios en la velocidad existe aceleración. Se define como la magnitud que mide el cambio de la velocidad en la unidad de tiempo. Al igual que en la velocidad existe una aceleración media y una instantánea. Las unidades en el sistema S.I. es (m / s 2 ) Componentes cartesianas de la aceleración en forma vectorial: En 3 dimensiones:

En una dimensión:

Aceleración Media:

Aceleración Instantánea: Es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo

La pendiente a la grafica v = f(t), representa la aceleración. En un grafico a = f(t) , el área bajo la curva, representa la variación de la velocidad ∆v y se calcula mediante una t2

integral: ∆v = ∫ adt . En un grafico v=f(t), el área bajo la curva representa el t1

t2

desplazamiento ∆x y se calcula mediante una integral: ∆x = ∫ vdt t1

Componentes intrínsecas de la aceleración: Las componentes intrínsecas son aquellas que están referidas a un sistema de ejes ligado al punto móvil y formado por la tangente y la normal principal a la trayectoria.

at a an a at

an

Aceleración tangencial: La aceleración tangencial se conoce como aceleración. Siempre que se modifique el módulo del vector velocidad hay aceleración tangencial

Aceleración normal o Centrípeta: La aceleración normal es la responsable del cambio de dirección de la vector velocidad. En los movimientos curvilíneos siempre hay aceleración normal.

ac =

v2 r

; Donde r representa el radio

Relación grafica entre desplazamiento, Velocidad y aceleración

(a) Grafica x vs. t de un objeto moviéndose a lo largo del eje x. (b) Grafica v vs. t de un objeto donde se observa la pendiente en cada intervalo de tiempo.

(c) Grafica a vs. t de un objeto donde se observa la pendiente en cada intervalo de tiempo. MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS Movimiento rectilíneo uniforme con aceleración constante (M.R.U):

Problemas resueltos: 1) Una particula se encuentra en x 1 = 4 m, en el instante t 1 = 1s, luego se encuentra en x 2 = 8m en el instante t 2 = 2s, y posteriormente se encuentra en x 3 = 6m, en el instante t 3 = 3s. Determine la velocidad media: a) entre t 1 y t 2 b) entre t 1 y t 3 Solución: vm=

∆x 8 − 4 = = 4m / s ∆t 2 − 1

vm=

∆x 6 − 4 = = 1m / s ∆t 3 − 1

2) La posición de una partícula que se desplaza en línea recta viene dada por la expresión: x(t) = 2t 2 - 6t + 5 donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular: a) La velocidad en el instante t = 0s; b) La velocidad en el instante t = 1s; c) la velocidad a los 2 segundos de iniciado el movimiento; d) La velocidad media de la partícula durante el primer segundo del movimiento; El instante en el que la partícula se detiene. Solución: a) v(t) = dx/dt = 4t - 6 ; b) v(1) = -2 m/s c) v(2) = (4)(2)-6 = 2 m/s

v(0) = -6m/s

d) v m =

∆x x(1) − x(0) = = −4 m / s ∆t 1− 0

e) v(t) = 4t – 6, cuando se detiene v(t) =0, por lo tanto 4t – 6 = 0 ⇒ t = 1.5 s 3) Un automóvil parte del reposo cuando t = 0s, con aceleración constante, sobre una línea recta. Se observa que pasa dos marcas separadas 50 m, la primera cuando t = 8s y la segunda cuando t = 10s. ¿Cuál es el valor de la aceleración? Solución:

Movimiento rectilíneo uniforme desacelerado: