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Ing. Freddy Zurita García

Ecuaciones diferenciales ordinarias 1

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ING. FREDDY ZURITA GARCIA Msc. Matemática Aplicada

Primera Edición

Ing. Freddy Zurita García

Ecuaciones diferenciales ordinarias 2

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o método sin autorización escrita del editor. 1-09-06

Ing. Freddy Zurita García

Ecuaciones diferenciales ordinarias 3

Capítulo 3

Ecuaciones Diferenciales de Lineales de Orden n Forma general: ( )

(

)

Donde: 

Si,

entonces la ecuación (3.1) es de Coeficientes

Constantes. 

Si,

( ) entonces la ecuación (3.1) es de Coeficientes

Variables. 

Si, ( )

entonces, la ecuación (3,1) es Homogénea.



Si, ( )

la ecuación es No Homogénea.

Ejemplos: 1.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 4

2. Con coeficientes constantes no homogénea. 3. con coeficientes constantes no homogénea. 4. con coeficientes variables homogénea.

1.1.

Solución de las ecuaciones Teorema:

-

Si en la forma general de la ecuación lineal de orden n, se cumple que: ( )

-

Si:

( )

( )

son funciones continuas en un intervalo cerrado [

es cualquier punto en [

] donde :

].

……son números arbitrarios, la

ecuación en su forma general tiene una y solo una solución de la forma: y(x) sobre el intervalo completo tal que: ( )

y( )

,……..

Geométricamente: La ecuación lineal de orden n, posee una única solución en el intervalo[

], que pasa por un punto específico (

) con pendiente

prefijada

Consideraciones: i)

Una función y(x) es una solución de la ecuación diferencial si satisface la misma.

ii)

Si

( )

( )

( ) son soluciones (3.1), entonces una

combinación linealmente independiente ( )

( )

( ) es también solución de la ecuación

diferencial (principio de superposición). Demostración: Ver ejercicio propuesto.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 5

Independencia Lineal de las soluciones.Las funciones: ( )

( )

( )

( ), se llaman, linealmente

independientes, si se verifica la igualdad: ( )

( )

( )

( )

Solamente si: Si:

( )

( )

( )

( ) son soluciones, y además son funciones

linealmente independientes entre s, entonces: ( )

( )

( )

( )

( )

También es solución (Principio de Superposición). Ejemplo: sean orden y

( )

( ) soluciones de una ecuación diferencial de segundo

dos constantes reales, entonces: ( )

También:

( )

( )

( )

Donde: Si:

( )

( ) son linealmente independientes

Si:

( )

( ) son linealmente dependientes

La independencia Lineal también puede ser verificada por el Wronkiano. Wronskiano Donde si ( ) ( ) ( ) entonces se debe cumplir

( ) son soluciones de la ecuación (3.1)

| |

| | (

)

(

)

(

)

(

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 6

Ejemplo:

Sea

Sus soluciones posibles pueden ser: ( ) ( ) ( ) Si tomamos las dos primeras soluciones: |

|

No son linealmente independientes

Si tomamos la primera y tercera soluciones: |

|

son linealmente independientes

Ejercicios: Verificar si las soluciones propuestas son correctas: a) ( ) b) ( ) c) ( )

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 7

1.2. Ecuaciones con Coeficientes Constantes Sea: ( )

(

)

Donde: 1.2.1. Homogéneas ( Llamaremos ( )

)

( ) a la solución general de esta ecuación, dicha solución la

hallaremos analizando a profundidad la Ecuación de 2do orden.

Luego, podremos verificar que las soluciones para este tipo de ecuación, son extensivas a ecuaciones de orden superior.

Ecuación de 2do orden: Sea:

Una ecuación de 2° orden, donde: A, B, C

Propondremos como solución:

Remplazando en la ecuación diferencial:

(

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 8 √

√ √

√

De aquí:

( )

Luego;

( )

( )

Se presentan los siguientes casos: i)

Raíces reales ( )

Si Ejemplos: Sea:

( )

( )

(

( ( ) ( ) Determinamos ( )

( ) ( ) ( )

Entonces:

( )

ecuación de

)

)(

) ( )

orden

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 9

ii)

Una sola raíz Si ( )

( )

(

Demostración: Tenemos una solución: ( )

La otra solución la encontramos mediante una aproximación: ( )

(

)

Si realizamos una combinación lineal: (

)

( ) Para obtener la solución exacta aplicamos límites: (

)

( De aquí: ( )

)

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 10

Ejemplo: ( )

Sea:

(

( )

)

(

)(

)

( )

( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

( )

Entonces iii)

Raíces Imaginarias Si:

, tendremos dos números complejos:

También:

Donde:

√ √

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 11

Luego:

Si llamamos ¿A que será igual

(

)

(

(

)

(

) )

entonces: (función exponencial imaginaria)?

Para responder deducimos la: Identidad de Euler: Sean las siguientes expansiones de las series Mc Laurin: ∑

∑(

)

∑(

)

(

(

)

)

Aplicando a la función exponencial imaginaria: ( )

Pero:

( )

( )

( )

( )

√

Entonces:

(⏟

) 𝑐𝑜𝑠𝜃

Luego:

(⏟

) 𝑠𝑒𝑛𝜃

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 12

Remplazando esta identidad en las dos soluciones, ( )

[

(

( )

[

(

[

(

)

( )

( )

)] (

)

( )

)]

(

)]

La solución general será: ( ) Esto es:

( )

[

(

( )

)

(

( ) [

)]

(

)

Factorizando: ( )

[

(

)

(

)] (

Donde:

)

Ejemplo: ( )

Sea:

( )

(

) √

( )

[

]

( ) ( ) ( ) Entonces: ( )

( )

(

)]

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 13

Ejercicios 3.1: 1. 2. 3.

( )

( )

4. 5. 6. 7. 8.

( ) ( ) ( )

( )

(

(

9.

( )

( )

10.

( )

( )

11. 12. 13.

14. 15. 16.

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) son soluciones de la ecuación diferencial. : ( ) Demostrar que ( ) ( ) es también solución. (Principio de Superposición). ( ) ( )

( )

( )

( )

) )

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 14

1.2.2. No Homogéneas ( )

(

)

( )

Donde:

Se hallaran dos tipos de soluciones: i)

solucion homogénea. Igualando la ecuación a cero.

Aplicando el método anterior de homogéneas. ii)

solución particular, tomando en cuenta la ecuación completa, es decir, para ( )

.

La solución particular , la encontramos básicamente empleando dos métodos, Coeficientes Indeterminados y Variación de Parámetros. La solución general será: ( )

Coeficientes Indeterminados Consiste en encontrar una fórmula representativa de las derivadas sucesivas de ( ). Este método se puede aplicar a funciones exponenciales, polinomios, senos, cosenos y combinaciones de estas. Ejemplos 1. ( ) ( ) ( )

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2. ( ) ( ) ( ) ( )

3. ( ) ( ) ( ) ( )

4. ( ) ( ) ( )

( (

)

)

(

(

)

5. ( )

(

)

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 16

Luego al remplazar en la ecuación de debe determinar a los coeficientes A. B, C, … etc. Ejemplos 1. Sea: i)

ii)

( ) (

) (

) (

)

Remplazando en la ecuación diferencia: (

) (

)

(

Luego remplazando:

iii)

( )

( )

)

(

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 17

2. Sea: i)

(

) √ ( )

[ [

] ]

ii) ( ) ( )

Observemos que la solución

contiene los mismos términos de la solución

en ese caso no se podrán determinar a los coeficientes A, B, C, ..etc.

Definición 3.1: cuando la solución particular contiene términos iguales a la solución homogénea se produce el fenómeno que se llama Resonancia. Para evitar este fenómeno se multiplica la solución particular por el factor (variable independiente tal que las haga diferentes

,

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 18

Esto es: (

) (

)

Remplazando en la ecuación diferencial y reduciendo términos:

( (

iii)

) (

)

)

( ) ( )

Interpretación Geométrica: La solución homogénea era:

La solución particular era:

(

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 19

Gráficamente: 𝑘 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (Amplitud cte.)

y

𝐴 𝑠𝑒𝑛 (Amplitud cte.)

x

Observemos que ambas curvas pueden sobreponerse produciendo el fenómeno de Resonancia. Cabe hacer notar que generalmente la solución correspondiente a ( ) en la ecuación, corresponde a la Fuerza Externa o reacción producida por el movimiento en la ecuación diferencial. Cuando multiplicamos por t la solución

obtenemos:

Observamos que la amplitud ahora es función de t (variable), esto es: 𝑡

𝑒𝑡(Amplitud variable)

Vemos que ahora las curvas no coinciden evitando de esa manera la resonancia

𝐵

(Amplitud cte.)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 20

Variación de Parámetros Sea la ecuación:

Donde:

La solución

por el método anterior seria: ( )

No podemos obtener una función representativa de las derivadas sucesivas de ( ) entonces aplicaremos el presente método: i)

Tomaremos como una función similar a , donde las constantes reemplazaremos por funciones ( ), ( ), esto es: ( )

( )

ii)

( )

( )y

Debemos hallar entonces

y

( ).

( )

( )

( )

Se puede buscar una solución tal que: ( )

( )

( )

Entonces: ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Reemplazando en la ecuación diferencial: [

( ) [

Luego:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ] ( )

]

las

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 21

Resolvemos (1) y (2) ( ) ( )

{

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )(

( ) ( ( ) (

) )

)

Pero: ( ) Integrando: ( )

|

|

Reemplazando en (1) se puede obtener: ( ) Luego la solución general será: ( ) [

[

|

|

]

]

Nota: se puede Hallar también

y

por el método de Kramer:

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 22

Ejercicios 3.2: a) Resolver por coeficientes indeterminados: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

b) Resolver por variación de parámetros: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(

)

7. ( ) 8. Hallar

( ) ( ) en la ecuación: Puesto que: 9. a) escriba: ( ) por la Identidad de Euler, desarrolle e iguales las partes real e imaginaria para deducir la identidad: y una identidad similar para b) Use el resultado de la parte a) para resolver:

.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 23

10. Sea la ecuación: Encontrar

(

) sabiendo que: (

11. Dada la ecuación: Conociendo que:

√

(

)

) √

Aplique el método de variación de parámetros para encontrar

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 24

1.3.

Aplicaciones



Péndulo Físico Sea el siguiente Péndulo: Consideraciones:



L

Supondremos que la más está concentrada en un punto. Despreciamos la masa de la cuerda. Omitimos rozamiento. L (longitud de la cuerda). m (masa de la esfera). Θ(ángulo de abertura



θ

   

m

De la segunda ley de Newton:

𝑚 L

𝑑 𝑥 𝑑𝑡

𝑑 𝑥 𝑑𝑡

θ

𝑑 𝑥

Donde 𝑑𝑡

T

𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃 aceleración de la

esfera

𝑔

Aceleración de la gravedad

θ mg cosθ

mg sinθ mg

Como en esta ecuación tenemos tres variables, x, θ, t, debemos resumirlas a dos. Además sabemos que una sección circular se forma mediante dos radios y un arco subtendido.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 25

Remplazando en la ecuación del péndulo:



R=L

θ R=L

Para ángulos pequeños 𝑥 Luego: 𝑑 𝑥 𝑑 𝜃 𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑡

x

Ecuación del péndulo. No lineal No tiene solución analítica

Para ángulos pequeños: sin θ = θ;

Luego: Ecuación del péndulo. Lineal con coeficientes constantes Homogénea.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 26



Resorte Sea el siguiente Resorte horizontal: Consideraciones:

m

x

    

Temperatura constante Omitimos fricción X= desplazamiento de la masa. k= constante de estiramiento. m= masa del bloque

m

De la ley de Hooke:

De la 2da Ley de Newton: Luego: Ecuación homogénea; Lineal Coeficientes constantes (para x pequeños)



Circuitos i) Sea el circuito en serie si E(t); L

I(t)

R

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 27

Aplicando la regla de Kirchhoff:

∑

C

∫ ( )

(Ecuación integro-diferencial)

Derivando respecto al tiempo: Ecuaciones homogéneas coeficientes constantes

ii)

Sea el circuito en serie con E(t)

L

E(t)

I(t)

R

C

Donde: ( ) ∫ ( )

( )

Derivando:

( )

Ecuaciones No homogéneas coeficientes constantes

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 28

Ejemplos: 1. Sea el siguiente circuito utópico, Sin Resistencia. L

Donde: L=1(H)

; i (0)=1(A)

C=1/4 (F) ; i’ (0)=2(A/S)

I(t)

R=0 C

se tiene:

∫ ( )

Sustituyendo los valores numéricos de L y C: ecuacion homogénea con coeficientes constantes

Reemplazando:

Luego:

( )

( )

Sustituyendo las condiciones iniciales que se tiene: ( )

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 29

Esto es: i (t)

t

Se tiene oscilaciones de amplitud constante.

Lo que ocurrirá es que la corriente fluirá del inductor al conductor todo el tiempo, es un resultado utópico no se da en la realidad, debido a que no existen sin resistencia.

2. Sea el siguiente circuito Con Resistencia: L

I(t)

Donde:

R

L=1(H)

; i (0)=1(A)

R=1(Ω)

; i’ (0)=2(A/S)

C=1/4 (F) C

Se tiene la ecuación:

Luego Ecuación homogénea con coeficientes constantes Donde:

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 30

( )

√

*

√

+

Reemplazando las condiciones iniciales; para ( )

*

√

√ √

√

se tiene:

+

Esto es: i (t)

t

-

Las oscilaciones varían de acuerdo a un decaimiento exponencial (Amplitud variable). La corriente se disipa debido a la resistencia en forma de calor. La frecuencia también se reduce.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 31

3. Sea el circuito: L

Donde:

I(t)

E(t)

R

L=1(H)

; E(t) =5𝑒 𝑡 (𝑣)

R=2(Ω)

; i (0)=1(A)

C=1/2 (F) ; i’ (0)=0(A/S) C

Se tiene la ecuación: ( ) Reemplazando valores numéricos: (

)

Para resolver aplicamos el método de coeficientes indeterminados: i) ii)

[

(solución homogénea)= (solución particular)=

Donde:

A=-5

Luego:

=5

]

Entonces: ( )

[

]

Aplicamos las condiciones iniciales, para ( )

[

]

Observación: significa que con el tiempo la corriente se disipara totalmente, esto es:

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 32

( )

Ejercicios 3.3: 1. Obtener la solución general de: ̈ e identificar la frecuencia de las oscilaciones 2. Hallar la solución x( t ); de un sistema de resortes horizontal con;

;

K=2N/m ; x( 0 )=1/2 ; ( ) (suponer que no existe ningún tipo de rozamiento). 3. Hallar la solución x(t) ; de un sistema de resorte horizontal con: ( )

( )

Suponer la resistencia del aire proporcional a la velocidad : esto es: Resistencia de aire = 4. Resolver el circuito: L

Donde: L=1(H)

I(t)

E(t)

R

R=2(Ω)

; i (0)=1(A)

C=1/2 (F) ; i’ (0)=0(A/S) C

Halar i(t) cuando: a) E(t) = sin t b) E(t) = t Además identificar la corriente a largo plazo

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 33

3.4.

Ecuaciones con Coeficientes Variables Forma general: ( )

( )

( )

( ) (

( )

)

( ) (función de la variable x)

Donde:

No existe un método general, como en los anteriores casos para resolver estas ecuaciones, existen solamente métodos particulares los cuales desarrollamos a continuación. 3.4.1. Ecuación de Euler-Cauchy Forma general: ( ) (

Donde: Observamos que el grado de la variable x, coincide con el orden de la derivada. Se sugiere el siguiente cambio de variable:

Utilizamos los siguientes operadores diferenciales:

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 34

Luego:

[

]

* *

[

+ (

(

)

)+

* ……

]

+

(

)(

)

…………………..

En general: (

)(

)

(

(

))

La ecuación 3.8 se puede escribir: [

(

)

]

( )

Reemplazando las fórmulas de Cauchy: [

(

)(

)

(

(

))

]

( )

Colocando todo en función de nueva variable independientes z, tenemos: ( ) (

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 35

Observamos: que ya no existen los coeficientes variables y es una ecuación con coeficientes constantes, homogénea o no homogénea que se puede resolver por métodos anteriores.

Ejemplos: 1. Sea:

(tiene la forma de Cauchy).

(

)

(

)

( (

)

)

(

) (

)

(

)

Que es una ecuación con coeficientes constantes homogénea (

( )

)(

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 36

( )

2. Sea: [

]

Reemplazando las fórmulas de Cauchy: [

]

Colocando todo en función de z:

Es una ecuación con coeficientes constantes no homogéneos, que se puede resolver por coeficientes indeterminados.

La solución general será: ( ) Colocando todo en función de la variable original x: ( )

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 37

3.4.2. Ecuación de legendre Forma general: (

)

(

)

(

)

( ) (

)

Dónde: Al igual que en la ecuación de Cauchy, observamos que el grado de la variable ax+b coincide con el orden de la derivada, (es una extensión solamente de la ecuación de Cauchy), por tanto: Si:

(

)

Realizando el mismo procedimiento que para la ecuación de Cauchy. Se observa tiene las siguientes fórmulas de Legendre: ( ( ( (

) ) ) …... )

( ) ( )( ) ………………………. ( )( ) (

(

))

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 38

Ejemplo: Sea:

(

(

)

)

Tiene la forma de Legendre. Reemplazando las fórmulas de Legendre se llega a:

Es una ecuación con coeficientes constantes homogénea, donde: ( )

3.5.

(

)

(

)

Ecuaciones Reducibles

3.5.1. Ecuación de Segundo Orden Reducible Estudiaremos la ecuación de segundo orden, debido a que el procedimiento es aplicable a algunas ecuaciones superiores. Forma general: (

I.

)

Una ecuación de segundo orden puede contener a todas esta variables. Variable dependiente ausente Forma general: (

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 39

Luego si: (

Ejemplos: 1. Sea:

)

falta la variable dependiente y

Luego:

∫

∫

∫

∫

( ) II.

Variable independiente ausente Forma general: (

(

)

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 40

Ejemplo 1: 1. Sea:

( )

;

falta la variable independiente x.

Luego:

(

) (

∫

∫

∫

( )

)

∫

√

3.5.2. Ecuaciones Exactas Se dice que la ecuación diferencial: ( ) ( Dónde:

)

( ) Es exacta, si se puede obtener exactamente de la derivación de la ecuación de orden inferior:

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 41

( ) ( Ejemplo: 1. La ecuación :

)

( )

Es una ecuación Exacta, porque se puede obtener derivando: ( )

( )

Definición 3.2: una ecuación diferencial de orden n es exacta siempre que: (

)

Ejemplo: 1. Sea: (

)

(

)

(

)

Es una ecuación Exacta, puesto que:

Su ecuación reducida será: (

)

(

)

(

)

Además observamos que: Su ecuación reducida nuevamente será: (

)

(

Nota: el procedimiento para reducir de orden se podrá comprender estudiando a continuación la ecuación de 2do orden



Estudiamos la ecuación de segundo orden

Forma general:

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 42

( )

( )

Dónde:

Procedimiento para reducirla de orden (

⌈

____

_

_ ___ __

(

)

(

)

______

)

_

(

)

_______________ (

)

La expresión será exacta, si el remanente es cero, es decir: (

)

Luego la ecuación diferencial reducida. Será: (

)

∫ ( )

Podemo observar que: Integrando (Bajamos el orden)

Derivando (Subimos el orden)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 43

Ejemplo: 1. Sea:

(

)

(

)

Observemos que:

Luego se cumple:

Entonces la ecuación diferencial es exacta y se la puede reducir de orden: Procedimiento (

)

(

(

)

(

__ ______

________

_

)

)

|(

)

_ _ ____ (

)

(

)

_ _ _________ ___ 0

(exacta)

Luego la ecuación reducida será: ( (

)

(

)

(

)

También: ( (

) )

)

∫

(

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 44

Tiene la forma: ( )

( )

( )

El factor de integración será: Resolviendo: ( )

(

)

3.5.3. Ecuación adjunta Sea: ( ) Quisiéramos que fuera exacta, para esto multiplicamos por el factor U(x) ( ) Para que sea exacta debe cumplir: (

)

(

)

Esto es:

Luego: (

)

(

)

A esta ecuación la llamamos: ecuación conjunta, donde deberemos encontrar U(x) tal que satisfaga la ecuación (que puede ser a veces ), tal que al reemplazar en la ecuación, esta debería convertirse en exacta. Ejemplo: 1. Sea:

(

Observemos que: Entonces:

) (

)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 45

Vemos que para:

Luego: Multiplicamos la ecuación diferencial por U(x) = x (

)

Donde sí:

Se cumple: Entonces la ecuación diferencial ya es exacta y se puede resolver por el método anterior.

Observación: No necesitamos aprendernos de memoria la forma de la ecuación adjunta, sino seguir el procedimiento en cada caso de multiplicar por U(x) y obtener dicha ecuación.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias 46

Ejercicio 3.4: Resolver: 1. 2. 3. 4. ( ) 5. ( ) ) ( ) 6. ( 7. ( ) 8. a) b) ( ) 9. si es solución general de la ecuación, aplicando reducción de orden. ( ) 10. ( ) 11. sea la ecuación: dónde: ( ) es una solución de la ecuación diferencial, ( ) demostrar que la sustitución: ( ) ( ) la reduce a una ecuación lineal de primer orden, encuentre además ( ) 12. ( ) ( ) 13. ( ) 14. ( ) ( ) 15. 16. ( ) ( ) 17. Solución de 8 a) 𝑟

𝑟

𝑟 𝑟 𝑟

( )

𝑟