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• RobertoAñez

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El yugo escocés realiza básicamente la misma función que una manivela simple, ero el movimiento de salida lineal es una sinusoide pura. Según la definición del Mechanical Engineering, se entiende por yugo escocés “an apparatus with a four-bar linkage arrangement that converts rotary motion into simple harmonic motion” (un aparato con un mecanismo de cuatro barras que convierte un movimiento

rotatorio en un

movimiento armónico simple).

Vamos a analizar el movimiento de este mecanismo desde el punto de vista cinemático y dinámico, durante una vuelta completa de la barra de entrada. Al dar dicha barra una vuelta completa, el movimiento lineal armónico de salida cubre un periodo completo.

Podemos ver varias posiciones diferentes del mecanismo en el anexo. Observamos también, y así se puede constatar mediante los cálculos que siguen, que las velocidades del pasador y la del seguidor son las proyecciones de la velocidad del disco según las direcciones de los ejes coordenados. 

Análisis Cinemático

El yugo escocés está compuesto de varias piezas, que nosotros vamos a nombrar como sigue:

· Pieza 1: Barra fija

· Pieza 2: Barra de entrada

· Pieza 3: Pasador vertical

· Pieza 4: Seguidor

En el mecanismo se supone que la barra de entrada evoluciona con velocidad constante durante el recorrido considerado, por tanto =  +× t; Siendo la velocidad angular, constante, y y 0 los valores iniciales y finales del ángulo que indica la posición de la barra de entrada. Calculamos la posición, velocidad, y aceleración de la barra de salida en función del tiempo, para una vuelta completa. Para ello tomo como valor numérico para  el numero 28811584,  = 4 rad/s

Para todos los cálculos se toma como origen de coordenadas el punto O.

Por la geometría del problema deducimos que r.sen (t) = S(t) r.cos (t) = h(t)

Derivando respecto al tiempo obtenemos:

De donde obtenemos la velocidad de salida (horizontal), así como la velocidad vertical del pasador:

Sustituyendo por los valores numéricos

Obtenemos la velocidad de salida.

Representamos la posición de la barra de salida (s) y su velocidad (·s) en sendas gráficas:

Del mismo modo, aunque no son pedidas, representamos la posición (h) y velocidad(h) del pasador:

Derivando de nuevo las ecuaciones de la velocidad obtenemos

Teniendo en cuenta que

y las ecuaciones quedan

Por último representamos la aceleración horizontal de la barra de salida (s ) y la aceleración vertical del pasador (h).



Análisis dinámico

Calculamos el par motriz (M) en función del tiempo, cuando el mecanismo efectúa una vuelta completa y está sometido a la fuerza resistente del muelle. Para ello, elijo los siguientes valores de las masas:

El centro de gravedad de la barra 1 está en punto fijo O (dicha barra se puede considerar como un disco que efectúa una rotación pura). El centro de gravedad del pasador 3 está en el punto medio de dicho pasador, y el del seguidor 4 está en eje se simetría de dicho seguidor, coincidiendo con el eje x. Representamos la evolución frente al tiempo del par motriz, el trabajo desarrollado por éste, la energía cinética del sistema, la energía potencial gravitatoria y el trabajo de la fuerza resistente. La fuerza resistente es la provocada por el muelle. El valor numérico de la rigidez será 8 m. KN Posteriormente realizo los mismos cálculos suponiendo que en la deslizadera existe fricción, siendo el coeficiente µ = 0.2 .

En primer lugar calculamos el valor del momento motriz M:

En esta ecuación de potencias virtuales no incluimos el término debido a la masa 2 porque su centro de gravedad es un punto fijo. Por otra parte, tampoco añadimos el término causado por la masa 4, pues su velocidad es horizontal y la gravedad es vertical.

Despejando M:

Representamos el momento respecto al tiempo:

Sabemos por otra parte que el trabajo desarrollado por dicho par es

Y la evolución del trabajo respecto al tiempo es la siguiente:

Sabemos que la energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de cada componente, es decir,

Calculamos por separado cada una de esas energías:

Necesitamos calcular el tensor de inercia del disco.

Y por lo tanto la energía cinética queda

Y su representación gráfica es la siguiente:

Por otra parte la energía potencial gravitatoria del sistema es la suma de las energías potenciales de cada una de las piezas, es decir.

Si tomamos como origen de potencial el eje x, sólo tiene energía potencial no nula el pasador, pues tanto la barra de entrada como el seguidor tienen su centro de masas permanentemente en dicho eje (aunque el centro del seguidor no es un punto fijo, realiza un movimiento horizontal).

Que representado respecto al tiempo queda:

El trabajo de la fuerza resistente es el realizado por el muelle, así

Cuya representación es

Por último, si consideramos que existe fricción en la deslizadera, el momento motriz y el trabajo realizado por este cambian, y quedan de la siguiente forma:

Donde la normal N se debe calcular por equilibrio

Haciendo un equilibrio de fuerzas horizontales en el seguidor obtenemos que

De esta ecuación podemos obtener la normal y con ella el momento:

Si los representamos frente al tiempo obtenemos las siguientes gráficas



Calculo de

y sus graficas



Calculo de

y sus graficas



Calculo de momento motriz y su grafica

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Calculo del trabajo realizado por el momento motriz y su grafica

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Calculo de la energía cinética y su grafica



Calculo de la energía potencial y su grafica

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Calculo del trabajo resistivo y su grafica



Calculo del momento motriz y el trabajo por el realizado en presencia de fricción con sus graficas



Calculos de la comprobación

De este modo generamos una serie de posiciones sucesivas del mecanismo, de manera que al mostrarlas una a continuación de la otra se produce la animación del mecanismo y podemos visualizar su movimiento.