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• Patricio Astudillo

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Vector de Poynting en un Cable Coaxial Abstract — En este trabajo se busca comprender y analizar el Vector de Poynting con una aplicación a cables coaxiales, mediante calculos se interpretara el vector de Poynting como el flujo de potencia por unidad de Área, ya que este concepto es de gran importancia en el cálculo de potencia en superficies cerradas.

(Teorema de Poynting Forma Integral) 1𝜕 1𝜕 ̅)𝑑𝑆̅ + ̅𝐵̅ 𝑑𝑉̅ ) + ̅ 𝑑𝑉̅ ) ∯ (𝐸̅ ×𝐻 (∭ 𝐻 (∭ 𝐸̅ 𝐷 2 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 𝑆 𝑉 𝑉

Índice de términos — Vector de Poynting, Cable Coaxial, Potencia eléctrica.

De la ecuación de Poynting en forma integral los términos son interpretados como potencias y tomando en cuenta el principio de conservación de energía se tiene:

I.

INTRODUCCION

Con el propósito de encontrar el flujo de potencia asociado con una onda electromagnética, es necesario desarrollar un teorema de la potencia de un campo electromagnético, el cual es conocido como Teorema de Poynting. El teorema de Poynting desarrollado por John H. Poynting en 1884 desarrollo una relación entre la velocidad de transferencia de energía y las amplitudes de los campos eléctricos e intensidad magnética de una onda electromagnética. Esta relación puede ser obtenida a partir de las ecuaciones de Maxwell que expresan las Fuentes de rotacional de dichos campos. Todos estos conceptos llevan a varias aplicaciones del vector de Poynting, una de ellas encontrar el flujo de potencia por área sobre dos conductores colocados concéntricamente (Cable Coaxial) II. ➢ ➢ ➢ ➢

III.

OBETIVOS Comprender el teorema de Poynting y su importancia con el flujo de potencia. Estudio del Vector de Poynting para calculos de potencia en áreas cerradas. Aplicaciones del Vector de Poynting en ondas y conductores (Cable Coaxial) Demostración del valor del flujo de Potencia mediante el Vector de Poynting. DESARROLLO

Teorema de Poynting La relacion que existe entre la velocidad de trasnferencia de energia y las amplitudes de los campos electricos y magenticos son obtneidas a traves de las ecuaciones de Maxwell que expresar las fuentes de rotacional de dichos campos. El teorema de Poynting puede estar expresado en su forma diferencial e integral: (Teorema de Poynting Forma Diferencial) ̅ 𝜕𝐷 𝜕𝐵̅ ̅) + 𝐸̅ . 𝐽 ̅ = −𝐸̅ ̅ ∇(𝐸̅ ×𝐻 −𝐻 𝜕𝑡 𝜕𝑡

̅ ̅ 𝑑𝑉̅ = 0 + ∭ 𝐽𝐸 𝑉

𝝏𝑾 ̅ 𝒅𝑽 ̅ Potencia Disipada = ∭𝑽 𝑱̅𝑬 𝝏𝒕 𝟏 𝝏 ̅𝑩 ̅ 𝒅𝑽 ̅ ) Solo depende del (∭𝑽 𝑯 𝟐 𝝏𝒕

campo magnético (Incremento de energía asociada al campo magnético) 𝟏 𝝏 ̅𝑫 ̅ 𝒅𝑽 ̅ ) Depende (∭𝑽 𝑬 𝟐 𝝏𝒕

del Campo Eléctrico (Incremento de la energía asociada al campo eléctrico) ̅ 𝒅𝑽 ̅ Flujo a través de la superficie que limita el volumen ∭𝑽 𝑱̅𝑬 (Cantidad de energía que sale del volumen en forma electromagnética) Vector de Poynting Se denomina Vector de Poynting al vector cuyo modulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética que fluye a través de una unidad de Área perpendicular a la dirección de propagación de la onda electromagnética y cuyo sentido es el de propagación, es decir es el producto vectorial del campo eléctrico con el campo magnético, cuyo modulo nos da la intensidad de onda. La interpretación del vector de Poynting como flujo de potencia por unidad de área, da un concepto de gran utilidad, sobre todo en problemas de radiación, como es el cálculo de la potencia irradiada por una antena, cálculo realizado a Campos y Ondas a través de la integración del vector de Poynting sobre cualquier superficie, con la única limitación de que tal superficie encierre a la antena emisora, se puede representar con la letra 𝑆̅ o 𝑃̅ ̅ 𝑃̅ = 𝑆̅ = 𝐸̅ ×𝐻

[

𝑊 ] 𝑚2

(𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑦𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔)

Aplicaciones del Vector de Poynting Las aplicaciones del Vector de Poynting son amplias y de gran importancia, entre estas tenemos: ➢ Vector de Poynting en una Onda Progresiva ➢ Vector de Poynting en una Onda Estacionaria ➢ Vector de Poynting en un Medio Conductor ➢ Vector de Poynting en un Cable Coaxial ➢ Vector de Poynting en un Hilo Conductor ➢ Vector de Poynting en un circuito Eléctrico

Vector de Poynting en un Cable Coaxial Una de las aplicaciones importantes del vector de Poynting es para Cables Coaxiales en donde el problema requiere encontrar la potencia transmitida por el cable, para esto es necesario conocer el valor del campo eléctrico 𝐸̅ y la intensidad de campo ̅ de manera que se pueda aplicar la definición del magnético 𝐻 ̅. vector de Poynting 𝑃̅ = 𝐸̅ ×𝐻 El análisis inicia con la transferencia de potencia a una carga 𝑅, a través de un cable que está compuestos de dos conductores colocados concéntricamente, es decir un cable coaxial, en dicho cable se le aplica una diferencia de potencial continua de valor 𝑉, lo que implica que circulara una corriente continua de valor 𝐼, por ambos conductores, el interior y exterior. Para simplificar el problema la resistencia en ambos conductores se la despreciara, el radio del conductor interior es a y el del conductor exterior es b, tal como se muestra en la figura 4.

𝑉=

𝜆 𝑏 ln ( ) 2𝜋𝜀 𝑎

(1)

Donde: 𝜆 = Carga por unidad de longitud Por otro lado el Campo eléctrico entre dos conductores concéntricos paralelos será: 𝐸=

𝜆 2𝜋𝜀𝑟

(2)

Si despejamos 𝜆 de las ecuaciones (1) y (2) podemos encontrar una relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial, es decir el campo eléctrico en función del potencial será: 𝜆=

𝑉(2𝜋𝜀) 𝑏 ln ( ) 𝑎

𝜆 = 𝐸(2𝜋𝜀𝑟) 𝐸(2𝜋𝜀𝑟) =

𝑉(2𝜋𝜀) 𝑏 ln ( ) 𝑎

Finalmente se obtiene:

Figura 4 (Transmisión de potencia por un cable Coaxial) El cable coaxial al ser un conductor que porta corriente, las líneas de campo magnético serán círculos alrededor del eje de simetría con dirección determinada por la regla de la mano derecha, el valor de este campo puede ser determinado por la Ley de Ampere, que la da la fuerza magnetomotriz en cualquier de estos círculos de campo magnético constante en modulo, esto es: ̅𝑑𝑙 ̅ ∬ 𝐽 ̅ 𝑑𝑆̅ = 𝐼 = ∮ 𝐻

𝐸=

𝑉 𝑎 𝑟 ln ( ) 𝑏

Una vez obtenido el valor del campo eléctrico y la intensidad de campo magnético, se puede reemplazar en el vector de Poynting mencionado anteriormente, el cual es: ̅ 𝑃̅ = 𝐸̅ ×𝐻 El cual está dirigido en forma paralela al eje del cable coaxial, y como los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí, el valor del vector de Poynting es:

𝐶

|𝑃| = 𝐸𝐻

Por la simetría en el espacio entre los conductores el valor de la intensidad de campo magnético es constante, es decir: ∬ 𝐽.̅ 𝑑𝑆̅ = 𝐼 = 2𝜋𝑟𝐻 Donde: 𝑟=Radio del circuito donde se calcula la fuerza magnetomotriz. Por lo tanto: 𝐼 𝐻= 2𝜋𝑟 Debido a la suposición inicial de que los conductores no tienen resistencia, el campo eléctrico estará en dirección radial. Mediante el cálculo por la Ley de Gauss, la diferencia de potencia entre dos conductores viene dada por la siguiente formula:

𝐼 𝑎 ) . (2𝜋𝑟 ) 𝑟 ln ( ) 𝑏 Para encontrar el flujo total de potencia a lo largo del cable se realiza la integración del vector de Poynting sobre cualquier sección trasversal del mismo. El vector de Poynting ocurre únicamente entre la región de los conductores, al igual que el campo eléctrico, esto se debe a la suposición de que los conductores son perfectos. Se sabe que el área de la sección transversal es: 𝑃=(

𝑉

𝐴 = 𝜋. 𝑟 2 Como se desea un elemento infinitesimal de área esto se deriva a cada lado y se obtiene:

𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟 𝑑𝑟

(3)

Entonces, definido el diferencial de área, el valor total del flujo de potencia se obtiene integrando el diferencial de área encontrado en (3): ̅ 𝑑𝐴̅ 𝑃 = ∬ 𝑆̅𝑑 𝐴̅ = ∬ 𝐸̅ ×𝐻

interior esta energía es despreciable debido a que el campo eléctrico es débil. V. RECOMENDACIONES Para el cálculo del vector de Poynting es necesario obtener los valores de campo eléctrico y campo magnético y de esta manera proceder a encontrar el flujo de potencia. VI.

Si aplicamos el teorema de Green obtenemos:

➢

̅ 𝑑𝐴̅ = ∮ 𝐸̅ . 𝐻 ̅ 𝑑𝑙 𝑃 = ∬ 𝐸̅ ×𝐻 𝐶 𝑏

𝑃=∫ ( 𝑎

𝑉

𝐼 𝑎 ) . (2𝜋𝑟 ) . (2𝜋𝑟)𝑑𝑟 𝑟 ln ( ) 𝑏 𝑏 𝑉. 𝐼 1 = ∫ ( ) . 𝑑𝑟 𝑎 ln ( ) 𝑎 𝑟 𝑏

(4)

Si integramos: 𝑏 1 𝑏 ∫ ( ) . 𝑑𝑟 = (ln 𝑟)𝑏𝑎 = ln 𝑏 − ln 𝑎 = ln ( ) 𝑟 𝑎 𝑎

Esto Reemplazamos en (4) obtenemos: 𝑃 = 𝑉. 𝐼 Este resultado no es nuevo debido a que en cursos anteriores se sabía que el flujo de potencia en un circuito de las características que se ha tratado en este tema es igual al producto de la diferencia de potencial 𝑉 y la corriente 𝐼. Este flujo de potencia es completamente externo a los conductores perfectos, por el hecho de que se integró sobre un área que no incluyen a los conductores. IV. ➢

➢

➢

➢

CONCLUSIONES El teorema de Poynting se basa en la conservación de energía y todos los términos correspondientes a la formula integral son interpretados como potencias dependientes del campo eléctrico y magnético, así como también las potencias salientes de la superficie y transformadas en otro tipo de energía, esta última hace referencia a las pérdidas de Joule. El vector de Poynting es de gran importancia para el cálculo del flujo de potencia en áreas cerradas y se lo interpreta como el flujo de potencia por unidad de Área. En Cables coaxiales considerados con una resistencia despreciable el resultado del flujo de potencia es igual al producto del potencial V y la corriente I que atraviesan en dichos conductores, resultado el cual se había estudiado en cursos anteriores. La energía en conductores como es el caso del cable Coaxial se propaga en el exterior del conductor, en el

REFERENCIAS

Matthew N. O. Sadiku. (2002). Elementos del Electromagnetismo. New York (USA). Oxford University. VII. WEB-GRAFIA ➢ http://web.mit.edu/8.02t/www/materials/InClass/IC_ Sol_W15D2_3.pdf ➢ http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/e lectromagnetic.pdf ➢ http://catedra.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/camposyo/ VectorPoynting.pdf