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FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

INTEGRANTES. CHANTA CASTILLO WUILMER MENDOZA SILVA ALEXANDER MENDOZA TUME JHON GONZALES CALLE KEVIN SERNAQUE IMAN DANFER

CICLO III

DOCENTE: CHINGA NOLASCO DORIS ESTELA

CURSO: MATEMÁTICA II

TEMA: VOLUMENES DE SOLIDOS

AÑO 2018

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

METODO DEL DISCO

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = π 𝑹𝟐 w

Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una región gira alrededor de una recta paralela al eje x pero distinta de él, la deducción teórica de la integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro (Rg) se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta al eje x, es decir,

y

y y=f(x)

Rg y=k

a

wi

b

x

a

w

b i

La definición del volumen vendrá dada por:

Sea f continua en el intervalo cerrado las rectas x  a , x  b y generado al girar R alrededor del eje y

a,b, y sea R la región acotada por la gráfica de

y  k . El volumen V del sólido de revolución

 k es:

V Donde Rgx es la distancia entre f

f ,y

ab  Rgx 2 dx

x y el eje de revolución x a,b, denominada radio de giro.

EJEMPLOS MÉTODO DEL DISCO

METODO DE LA ARANDELA

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar el la figura de abajo.

EJERCICIOS MÉTODO DE LA ARANDELA

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METODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS Ahora vamos a exponer el último método, quizás el mas potente en comparación a los dos anteriormente vistos; el método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas). Antes de trabajar con este método, consideremos la siguiente figura:

Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma un solido como se muestra en la siguiente animación.

Para determinar el volumen del sólido, tomamos un elemento con forma de cilindro (en vez de arandela o disco) con altura h (longitud del segmento) y radio x (distancia del segmento al eje y).

EJERCICIOS METODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS

Bibliografía https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf https://sites.google.com/site/calculovrubiop/temas/solidos-de-revolucion/metodo-de-lasarandelas

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Bibliografía de los ejercicios propuestos file:///D:/Informacion/Desktop/nuevo%20%20ingenieria%20civil%20%20ii%20ciclo/ MATEMATICA%20II/solidosderevolucion%20internet.pdf https://volumencalculointegral.wordpress.com/2010/05/25/ejercicios-resueltos-devolumen%E2%80%A6/