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• Miguel Gómez Curo

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METODO DEL DISCO Ejercicio 1: Cal cu l ar el vol u m en qu e en g en dr a u n t ri án gu l o d e v é rti c e s A (3, 0) , B(6 , 3), C(8 , 0) al g i rar 3 60° al r ed ed o r del ej e OX .

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝐴𝐵: 𝑥−3 𝑦−0 = 6−3 3−0 𝑦 =𝑥−3 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝐵𝐶: 𝑥−8 𝑦−0 = 6−8 3−0 3 𝑦 = − (𝑥 − 8) 2 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 3 𝑥 − 3 = − (𝑥 − 8) 2 𝑥=6 𝑦=3 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒: 𝑥−3=0 𝑥=3 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3 − (𝑥 − 8) = 0 2 𝑥=8

2 6 8 3 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥 − 3)2 𝑑𝑥 + 𝜋 ∫ [− (𝑥 − 8)] 𝑑𝑥 2 3 6 6 8 9 𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥 2 − 6𝑥 + 9)𝑑𝑥 + 𝜋 ∫ [ (𝑥 2 − 16𝑥 + 64)] 𝑑𝑥 3 6 4 6

8

𝑥3 9𝜋 𝑥 3 𝑉 = 𝜋 [ − 3𝑥 2 + 9𝑥] + [ − 8𝑥 2 + 64𝑥] 3 4 3 3 6 9𝜋 512 𝑉 = 𝜋(72 − 108 + 54 − 9 + 27 − 27) + ( − 512 + 512 − 72 + 288 − 384) 4 3 𝑉 = 15𝜋𝑢3

Ejercicio 2: Cal cu l ar el vol u m en del cu e rp o en g en d ra do al gi r a r al r ed ed o r d el e j e OX el r eci n t o l i mi tado p o r l as g rá fi ca s de y = 6x − x 2 , y = x .

𝑦 = 6𝑥 − 𝑥 2 { 𝑦=𝑥 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 6𝑥 − 𝑥 2 = 𝑥 𝑥 2 − 5𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 5) = 0 𝑥 =0; 𝑦 =0 𝑥 =5; 𝑦 =5 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎: 6𝑥 − 𝑥 2 = 0 2𝑥 = 6 𝑥=3 𝑦=9

5

𝑉 = 𝜋 ∫ [(6𝑥 − 𝑥 2 )2 − 𝑥 2 ] 𝑑𝑥 0

5 1 35 𝑉 = 𝜋 [ 𝑥 5 − 3𝑥 4 + 𝑥 3 ] 5 3 0 625 3 𝑉= 𝜋𝑢 3

Método del anillo: Ejercicio 1: Hallar el volumen del solido de revolución que resulta al girar alrededor del eje Y, la región limitada por las funciones 𝑓(𝑥) =2x; 𝑔(𝑥) =𝑥 2 .

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 2𝑥 = 𝑥 2 0 = 𝑥 2 − 2𝑥 0 = 𝑥(𝑥 − 2) 𝑥 =0; 𝑥 =2

𝑦 = 𝑥 2 ≫ 𝑥 = √𝑦 = 𝑔(𝑦) 𝑦 𝑦 = 2𝑥 ≫ 𝑥 = = 𝑓(𝑦) 2

4

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑔(𝑦) 2 − 𝑓(𝑦) 2 ) 𝑑𝑦 0 4

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑦 − 0

𝑦2 ) 𝑑𝑦 4 4

𝑦2 𝑦3 𝑉 = 𝜋 ( − )| 2 12 0 16 𝑉 = (8 − ) 𝜋 3 8 3 𝑉 = 𝜋𝑢 3

Ejercicio 2: La región acotada por la curva y=𝑥 2 +1, y la recta y=-x+3 gira alrededor del eje OX para generar un sólido. Halle el volumen del sonido generado. 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑥2 + 1 = 3 − 𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −2 ; 𝑥 = 1 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎: 𝑥2 + 1 = 𝑦 2𝑥 = 0 𝑥=0

1

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑓(𝑥) 2 ) − (𝑔(𝑥) 2 )] 𝑑𝑥 −2 1

𝑉 = 𝜋 ∫ [(−𝑥 + 3)2 − (𝑥 2 + 1)2 ] 𝑑𝑥 −2 1

𝑉 = 𝜋 ∫ (8 − 6𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 4 )𝑑𝑥 −2

117𝜋 3 𝑉= 𝑢 5

Ejercicio 3: La región acotada por la parábola y=𝑥 2 , el eje OY y la recta y=1 gira 3

alrededor de la recta de ecuación x=2 para generar un sólido. Halle el volumen del solido generado.

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑥2 = 1 𝑥=1 𝑦=1

2 1 3 2 3 𝑉 = 𝜋 ∫ [( ) − ( − √𝑦) ] 𝑑𝑦 2 2 0

𝑉=

3 𝜋 (2𝑦 2

3 𝑉 = 𝜋𝑢3 2

1

𝑦2 − )| 2 0

MÉTODO DEL CILINDRO: Ejercicio 1: xy=1; x=0; y=1; y=3

𝑥=

1 𝑦

𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑦. 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 𝑎 3

1 𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑦. ) 𝑑𝑦 𝑦 1 𝑉 = 2𝜋𝑦|13 𝑉 = 2𝜋(3) − 2𝜋(1) 𝑉 = 4𝜋𝑢3

Ejercicio 2: Y=𝑥 3 ; y=8 𝑥 = 𝑦1/3

8

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑦(𝑦1/3 )𝑑𝑦 0 8

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑦 4/3 𝑑𝑦 0

𝑉 𝑉 𝑉 𝑉

8

2𝜋. 3𝑦 7/3 = | 7 0 6 7/3 8 = 𝜋𝑦 |0 7 6 6 = 𝜋(8)7/3 − 𝜋(0)7/3 7 7 768 3 = 𝜋𝑢 7