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• Miguel Buendia Quiliche

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FR Fd

m

Vibraciones Libres Amortiguadas: Definición  El analisís de las Vibraciones Libres NO Amortiguadas

es solo una idealización (no toma en cuenta las perdidas de energia).

 En un sistema amortiguado si se toma en cuenta las

perdidas de energia causadas por diferentes motivos:  Rozamiento Fluido: Cuando los cuerpos se mueven a

traves de fluidos viscosos.  Rozamiento Seco: Cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie seca.  Rozamiento Interno: Cuando se deforma un cuerpo solido.

Amortiguador Viscoso Lineal

 Tiene lugar de manera natural cuando

sistemas mecanicos oscilan en el aire o agua.  Se añaden a proposito en sistemas mecanicos para reducir el efecto de la vibración.  Consiste en un embolo que se mueve en el interior de un cilindro que contiene algun tipo de liquido viscoso, con lo cual se logra que el liquido ejerza una fuerza contraria al movimiento.  Estos amortiguadores se consideran lineales, es decir la fuerza ejercida por el liquido es DP a la velocidad del embolo dentro del cilindro.

FR Fd P. E. 𝑥

Utilizando la 2da ley de Newton, para vibraciones pequeñas: 𝐹𝑥 = 𝑚𝑥 −𝐹𝑅 − 𝐹𝑑 = 𝑚𝑥 −𝑘𝑥 − 𝑐𝑥 = 𝑚𝑥

𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 0

Ec. dif. de la V.L.A.

Utilizando el concepto de Transformada de Laplace, hallamos la ecuación característica de la solución de la ecuación diferencial: 𝑚𝑠 2 + 𝑐𝑠 + 𝑘 = 0

… 1

Cuyas raíces son: 𝑆1,2

𝑐 𝑘 𝑐2 = − ± −1 2𝑚 𝑚 4𝑚𝑘

Introduciendo el concepto de factor de amortiguamiento 𝜉 (xi) o razón o índice de amortiguamiento:

𝜉= 𝜉2

𝑐 2 𝑘𝑚 𝑐2 = 4𝑘𝑚

Reemplazando en la ecuación característica: (Considerando ωn = 𝑐 𝑆1,2 = − ± 𝜔𝑛 𝜉 2 − 1 2𝑚 𝑆1,2 = −

𝑆1,2 = −

𝑐 𝑘 . ± 𝜔𝑛 𝜉 2 − 1 2𝑚 𝑘

𝑐 2 𝑚 𝑘

.

𝑘 ± 𝜔𝑛 𝜉 2 − 1 𝑚

𝑆1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉 2 − 1

Sea: 𝑖 =

−1

𝑆1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 1 − 𝜉 2 𝑖 La que tiene soluciones reales y complejas, donde:

𝑘 𝑚

)

Si 𝜉 > 1 Vibración sobreamortiguada

Si 𝜉 = 1 Estado crítico de la vibración

Si 𝜉 < 1 Vibración subamortiguada

La solución de la ecuación diferencial se escribe:

𝑥

𝑡

= 𝑐1 𝑒 𝑠1 𝑡 + 𝑐2 𝑒 𝑠2 𝑡

Cuando la oscilación es sobreamortiguada s1 y s2 son reales y negativos. Cuando es subamortiguada existe solución llamada COMPLEMENTARIA, donde x →0 con el paso del tiempo.

ωd = ωn 1 − 𝜉 2 Entonces:

También:

(rad/s)

𝑆1,2 = 𝜉𝜔𝑛 ± ωd 𝑖 ωd = ωn

𝑘 𝑚

−

𝐶 2 2𝑚

ωd = ωn 1 −

𝐶 𝐶𝑐𝑟𝑖𝑡

2

Ecuación general

𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 0

, 𝑐 2 − 4𝑘𝑚 > 0

Sabemos:

𝐶 𝛿= 2𝑚 =

𝛿 𝜔0

=

𝜔𝑂 2 = 𝑐 𝑐 𝑐𝑟𝑖𝑡

𝑘 𝑚

 = razón de amortiguamiento

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente por tal motivo es denominado sistema sobre amortiguamiento.

Raíces de la ecuación:

Donde:

𝜆1,2 = −𝛿 ± 𝛽 , 𝛽𝜖ℛ +

𝜔𝑑 = 𝜔𝑂 1 − 𝜁 2 𝜔𝑑 = frecuencia natural de amortiguamiento del sistema 𝜔𝑂 = frecuencia natural del sistema

c  2m

x(t )  A1e

   2  n2  n  2  1 (    t )

 A2 e

 (   t )

En ausencia de fuerzas la respuesta decrece con el tiempo hasta la posición de equilibrio x(t)=0. No obstante, la magnitud del desplazamiento no oscila con respecto a la posición de equilibrio cuando se acerca a esta.

SISTEMA SUBAMORTIGUADO Del análisis general haremos un análisis matemático mas exhaustivo para llegar a la solución x(t) de la vibración libre sub-amortiguada:

𝐹 = 𝑚𝑎

− 𝑘𝑥 − 𝑐𝑣 = 𝑚𝑎 − 𝑘𝑥 − 𝑐𝑥 = 𝑚𝑥

𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 Usando las equivalencias:

𝑥 + 2𝛿𝑥 + 𝜔𝑂 2 𝑥 = 0 La solución matemática de la ecuación es:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 𝜆𝑡 Reemplazando la solución y sus derivadas en la ecuación:

𝜆2 + 2𝛿𝜆 + 𝜔𝑂 2 = 0

 n  0 

k c ,  m 2m

Las raíces de la ecuación:

𝜆1,2 =

− 2𝛿 ±

𝜆1,2 = − 𝛿 ±

4𝛿 2 − 4𝜔𝑂 2 2

𝛿 2 − 𝜔O 2

Los casos que se presentan: - Movimiento subamortiguado:

Δ = 𝛿 2 − 𝜔𝑂 2 < 0

→

Δ < 0

- Movimiento críticamente amortiguado:

Δ = 𝛿 2 − 𝜔𝑂 2 = 0

→

Δ= 0

→

Δ> 0

- Movimiento sobreamortiguado:

Δ = 𝛿 2 − 𝜔𝑂 2 > 0

Algunos detalles:

𝜔𝑂 =

𝑘 𝑚

, 𝛿=

𝑐 2𝑚

𝑦 =

𝛿 𝑐 = 𝜔𝑂 2 𝑘𝑚

Partiendo de la siguiente ecuación de movimiento:

𝜆2 + 2𝛿𝜆 + 𝜔𝑂 2 = 0 𝜆1,2 =

− 2𝛿 ±

𝜆1,2 = − 𝛿 ± CASO SUBAMORTIGUADO:

𝜁 : Grado o razón de amortiguamiento

4𝛿 2 − 4𝜔𝑂 2 2

𝛿 2 − 𝜔O 2 Δ