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Tema 2. Vibraciones libres de sistemas de 1 GDL

1. Introducción. 2. Vibración libre no amortiguada. g 3. Vibración libre amortiguada. 4. Excitación sísmica. 5.. Tipos pos de amortiguamiento. o gu e o. 6. Medida y valores del amortiguamiento en las estructuras. 7. Energía en vibración libre. 8. Vibración libre con amortiguamiento de Coulomb.

T2. Vibración libre 1 GDL

2.1 Introducción

 Se concentran las propiedades dinámicas en un único punto, obteniéndose una EDO que caracteriza el comportamiento dinámico del sistema F(t) m u Fi(t) Fa(t)

F(t)

u(t)

m  u(t )  c  u (t )  k  u (t )  f (t )

m

F(t) k

c

u (t )

1 GDL

k, c

 La ecuación de equilibrio dinámico puede obtenerse aplicando distintos métodos: • Segunda S d lley de d Newton N  F (t )  m  u(t ) • Principio de D’Alambert  F (t )  0 incluyendo

FI   m  u(t )

• Principio de Hamilton  Para cada una de las masas consideradas se obtiene la ecuación de equilibrio dinámico mediante el el diagrama de sólido libre.

T2. Vibración libre 1 GDL

2.1 Introducción

 Sistema de parámetros concentrados masa, muelle, amortiguador.

F(t) El Elemento t muelle: ll

meq keqq

F (t )  k  [u1 (t )  u2 (t )]

Elemento amortiguador: F (t )  c  [u1 (t )  u2 (t )]

ceq

c = constante de amortiguamiento viscoso

m  u(t )  c  u (t )  k  u (t )  f (t )

u (t )  uo (t )  u p (t )

 Resolver la estructura en vibración libre es obtener la solución homogénea, homogénea que junto a la solución particular (dependiente de la carga externa aplicada) nos permite obtener la solución en vibración forzada.  Para obtener la solución en vibración libre se perturba el sistema, apartándolo de la posición de equilibrio y se libera. p que q el sistema es lineal.  Se supone

T2. Vibración libre 1 GDL u (t  0)  u (0) m  u  k  u  0 con  u (t  0)  u (0)

2.2 Vibración libre no amortiguada (c = 0)

 Se define la frecuencia natural del sistema (rad/s) como: n 

k m

m  u  k  u  0  u  n2  u  0 Sol ción: u (t )  e st Solución:

st u  s  e   2 s t u  s  e

Ecuación característica: s 2  n2  0  s   n2  s1  i  n Dos raíces complejas:   s2  i  n

 u (t )  A1  e s1 t  A2  e s2 t  A1  ein t  A2  ein t

ein t  cos n  t   i  sen n  t    i t n  cos n  t   i  sen n  t  e  Una solución compleja conjugada contiene siempre dos soluciones reales, luego:

 Exponencial compleja: ei  cos   i  sen

u (t )  A1  ein t  A2  ein t  A  cos n  t   B  sen n  t 

 Condiciones iniciales: ( ) A u (t  0))  u (0)  u (0)   u (t  0)  u (0)  B  n  B   n 

u (t )  u (0)  cos n  t  

u (0)

n

 sen n  t 

T2. Vibración libre 1 GDL

u (t )  u (0)  cos n  t  

u (0)

n

2.2 Vibración libre no amortiguada

 sen n  t 

 k n  m   2  con Tn  n   1  fn  T n 

frecuencia natural (rad / s ) periodo natural ( s ) frecuencia natural ( Hz )

n , Tn , f n  f (m, k )

T1EM = 0.29 s, T1ELL = 0.31 s.

T1E = 0.15 s, T1E-S = 0.5 s.

T1EM = 0.26 s, T1ELL = 0.30 s. Excitador armónico.

4. Vibración libre

T1L = 0.63 s, T1C = 0.74 s, T1T = 0.46 s. TTR = 18 18.2 2 s, s TV = 10 10.9 9 s, s TL = 33.81 81 s, s TT = 4.4 4 4 s. s

T1NS = T1EO = 2.9 s.

T1NS = 1.67 s, T1EO = 2.21 s T1T = 1.12 s.

T1NS = T1EO = 3.57 s.

T2. Vibración libre 1 GDL

2.2 Vibración libre no amortiguada

u (t )  u (0)  cos n  t  

u (0)

n

 sen n  t 

Vibración libre de un sistema natural no amortiguado

 Amplitud del movimiento: u0 u (t )  0  u0  u 2 (0) 

T2. Vibración libre 1 GDL

u 2 (0)

n2

2.3 Vibración libre amortiguada

 Suponemos amortiguamiento viscoso: FA  c  u ,con c la constante de amortiguamiento viscoso (Ns/m) que es una medida de la energía disipada en un ciclo de vibración

u (t  0)  u (0) m  u  c  u  k  u  0 con  u (t  0))  u ((0)) u 

c  u  n2  u  0 m

C  2  k  m

 c Definimos: D fi i    c / Cc 2

u  2  n  u  n  u  0

Solución: u (t )  e st

amortiguamiento crítico factor de amortiguamiento

st u  s  e   2 st u  s  e



Ecuación característica s 2  2    n  s  n2  0  si  n     2  1 g de :  2  1 Tres casos en función del signo

Respuesta sobreamortiguada, críticamente amortiguada y subamortiguada.



T2. Vibración libre 1 GDL

2.3 Vibración libre amortiguada

mu  cu  ku  0  Sistema sobreamortiguado

 2  1  0  c  Cc

u (t )  A1  en (  

 2 1)

dos raíces reales distintas

 A2  en (  

 2 1)

El sistema no oscila y vuelve a la posición de equilibrio.  2  1  c  Cc

 Sistema Si t críticamente íti t amortiguado ti d s1  s2    n  n

s t u1 (t )  e   s t u2 (t )  t  e

 2  1  0  c  Cc

 Sistema subamortiguado

 

 s      i  1   2 n 1   s2  n    i  1   2 

 

1 raíz í reall doble d bl

u (t )  en t ( A1  A2  t ) 2 raíces complejas

u (t )  e n t   A1  ei A t  A2  e  i A t      1   2 n  A con  2  1  TA  A fA 

frecuencia natural amortiguada periodo natural amortiguado

La respuesta es un armónico exponencialmente decreciente, decreciente con una frecuencia natural amortiguada ligeramente inferior a la natural:   0.05   A  0.9987  n

T2. Vibración libre 1 GDL

2.3 Vibración libre amortiguada

 Sistema subamortiguado Considerando las condiciones iniciales, se obtiene:

   u (0)    n  u (0)  u (t )  e  n t  u (0)  cos  A  t      sen  A  t   A    

Efecto del amortiguamiento en la vibración libre

 La amplitud en cada ciclo decrece de forma exponencial, las curvas envolventes son:    e  u (0)    n  u (0)    u ((0))    A   2

 En las estructuras: 0.02    0.20

2

 n t

T2. Vibración libre 1 GDL

2.3 Vibración libre amortiguada

 Sistema subamortiguado El efecto del factor de amortiguamiento , para valores inferiores al 20%, sobre la frecuencia y el periodo natural es despreciable.

  n   A TA  Tn

2

   A  n  1     A    2  1  n  2

Efecto del amortiguamiento en la frecuencia natural de vibración.

 El efecto principal del factor de amortiguamiento es el ratio de decaimiento del movimiento.

Vibración libre de un sistema de 1 GDL con 4 valores de amortiguamiento:  = 2, 5, 10 y 20 %.

T2. Vibración libre 1 GDL

2.3 Vibración libre amortiguada

 Sistema subamortiguado  El valor de la constante de amortiguamiento viscoso c está relacionado con el decaimiento del movimiento (disminución de su amplitud). Las propiedades de masa y rigidez se obtienen a partir de la definición y diseño de la estructura, estructura mientras que c se puede obtener a partir de ensayos en vibración libre.

t2  t1  TA  t3  t2  TA

Relación exacta y aproximada entre  y .

cos  A   t  TA    cos  A  t  2     cos  A  t 

u (t ) e  nt   n (t TA )  e n TA  e u (t  TA ) e

2  1 2

2 

u  i e ui 1

 u  2   D Decremetno t llogarítmico ít i   ln l  i  1  2  ui 1  En estructuras   0.2  1   2  1    2    

1 2

T2. Vibración libre 1 GDL

2.3 Vibración libre amortiguada

 Sistema subamortiguado: Decaimiento del movimiento  Es interesante no tener que medir entre dos ciclos consecutivos, ya que si el decaimiento es lento, la diferencia puede ser muy baja. Generalizando el planteamiento anterior:

u u1 u u 1  u   1  2   j  e j 2   e j     ln  1   2     u  u j 1 u2 u3 u j 1 j  j 1  Se define j50% como el número de ciclos necesarios ppara que q la amplitud p en el desplazamiento p se reduzca en un 50%:

j50% 

ln 2 0.11   2  

Experimentalmente es mucho más fácil medir aceleraciones que desplazamientos:

 

 u  ln  i  2   j  ui  j 1

  

y  

 u  ln  i  2   j  ui  j 1

T2. Vibración libre 1 GDL

  

2.4 Excitación sísmica

 Movimientos M i i t bruscos b del d l terreno: t sismos. i Se trata de una excitación de los apoyos de una estructura. En los sistemas de 1 GDL es siempre uniforme, pero en estructuras de N GDL puede ser uniforme o múltiple.

ut(t) u(t)

ug(t)

ut (t )  u  u g  ut (t )  u  ug m  ut  c  u  k  u  0  m  u  c  u  k  u  m  ug (t )  f eff (t )

Feffff(t)

T2. Vibración libre 1 GDL

2.5 Tipos de amortiguamiento

 El amortiguamiento ti i t es ell mecanismo i por ell que la l energía í de d vibración ib ió se transforma t f gradualmente d l t en calor o sonido, reduciendo la vibración.

 Modelos de amortiguamiento: - VISCOSO: FA  c  u Cuando un sistema estructural o mecánico vibra en el seno de un fluido (aire, gas, agua…), la resistencia que ejerce el fluido al movimiento del sólido disipa energía. La cantidad de energía í disipada di i d por ciclo i l depende d d de d factores f como la l geometría í del d l sólido, ólid viscosidad i id d del fluido, velocidad de vibración… Es el amortiguamiento más común. - SECO o de COULOMB: FR    N Se produce por fricción entre superficies rugosas secas o con lubricación insuficiente. Es constante en valor y opuesto siempre a la dirección del movimiento. - SÓLIDO, MATERIAL o HISTERÉTICO: Al deformarse un material se absorbe o se disipa energía debido a la fricción entre planos internos de deslizamiento. A nivel gglobal el diagrama g - muestra un lazo de histéresis. s/F

s/F

carga Ciclo de histéresis

B descarga e/u

A

T2. Vibración libre 1 GDL

C

D

e/u

2.6 Valores del amortiguamiento en estructuras

 En E la l tabla t bl siguiente i i t aparecen los l valores l recomendados d d del d l factor f t de d amortiguamiento ti i t  en distintos tipos de estructuras:

 En E la l mayoría í de d las l normativas ti de d edificación difi ió se recomienda i d un valor l genérico é i del d l factor f t de d amortiguamiento del 5 % para todo tipo de estructuras.

T2. Vibración libre 1 GDL

2.7 Energía en vibración libre

 Considerando C id d un sistema it en vibración ib ió libre lib y no amortiguado ti d la l energía í inicial i i i l Ei, y la l energía í en un instante t cualquiera Et se calculan como suma de la energía cinética (dinámica) y la energía potencial de deformación (estática): 1 1 Ei   m  u 2 (0)   k  u 2 (0) 2 2 1 1 Et   m  u 2 (t )   k  u 2 (t ) 2 2

 Sustituyendo la expresión del movimiento y la velocidad en la energía de un instante cualquiera se obtiene: u (t )  u (0)  cos n  t  

u (0)

n

 sen n  t   Et  Ei

Es decir, la energía del sistema permanece constante, se transforma de cinética (máxima cuando el desplazamiento es nulo) en potencial (máxima cuando la velocidad es nula). nula)

 En sistemas con amortiguamiento viscoso, la energía del sistema Et, va decreciendo en el tiempo debido a la disipación del amortiguador viscoso: Et < Ei. Et  Ei  E A u

u

u

0

0

0

E A   f A (t )  du   c  u  du   c  u 2  dt en t   E A  Ei , Et  0

T2. Vibración libre 1 GDL

2.8 Amortiguamiento de Coulomb



Se debe a la fricción entre dos superficies p deslizantes secas: FR =  N. La fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad una vez que se ha iniciado el movimiento, y se opone siempre a este.



En función de la dirección del movimiento se plantean dos ecuaciones diferenciales.

u  0 u  0

Caso 1: u  0, con  k

u

ku

m

FR

m

u  0 u  0

Caso 2: u  0, con 

fI w N

ku

fI w

Ecuación 1: m  u  k  u     N   FR  u (t )  A1  cos n  t   B1  sen n  t   Ecuación 2: m  u  k  u    N  FR

FR

N

FR k con n  k m

 u (t )  A2  cos n  t   B2  sen n  t  

FR k

Suponiendo que en t = 0, las condiciones iniciales son: u (0)  0, u (0)  0 . Se inicia el proceso de cálculo de la respuesta resolviendo la ecuación 2, para las condiciones iniciales dadas:

FR  u (0 )  0  A  u (0 )    2 k  u (0 )  0  B2  0

F   u (t )   u (0 )  R k 

FR    cos n  t   k 

La respuesta es válida hasta que la velocidad cambie de sentido, lo que se produce cuando u (t )  0

F    u (t )    u (0 )  R   n  sen n  t   0  t  k    n

T2. Vibración libre 1 GDL

2.8 Amortiguamiento de Coulomb

FR  u  / n   u (0 )  2  k La solución calculada es válida en el intervalo 0 t /n, con:  u  / n   0  Para t /n, la solución se obtiene a partir de la ecuación 1 ( u (0)  0 ) con las condiciones iniciales anteriores.

FR  FR  F  F u  / n   u (0 )  2   A1  u (0 )  3   k  k  u (t )   u (0 )  3  R   cos n  t   R  k  k    B1  0 u  / n   0 Calculando el instante en que se vuelve a anular la velocidad se comprueba que el rango de validez de la ecuación anterior es: /n t /n, en el instante final las nuevas condiciones de contorno son: u ( / n )  u (0 )  2 

FR , u ( / n )  0 k

Con las nuevas condiciones iniciales se resuelve para el siguiente semiciclo la ecuación 2 y así sucesivamente. El movimiento se detiene cuando u(t) < FR/k, en ese momento la fuerza actuante en el muelle es menor que la l de d rozamiento: i t k·x k < FR, quedando d d ell sistema it en una posición i ió deformada d f d ddell muelle. ll En las estructuras reales el amortiguamiento es en parte seco por rozamiento y en parte viscoso. En la modelización de las estructuras es habitual considerar un amortiguamiento viscoso equivalente global, global raramente se modela el amortiguamiento por fricción y sólo en el caso de que haya dispositivos friccionales específicos.

T2. Vibración libre 1 GDL

2.8 Amortiguamiento de Coulomb

Vibración libre de un sistema con amortiguamiento de Coulomb.

Esquema de un dispositivo SBC (Slotted Bolted Connection) de rozamiento seco, y ciclo de histéresis (C.E. Grigorian y E. Popov, 1994).

T2. Vibración libre 1 GDL

2.8 Amortiguamiento de Coulomb

Detalle de un SBC, y test en mesa de vibraciones de una estructura con 12 SBC (C.E. Grigorian y E. Popov, 1994, Berkeley).