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VIBRACIÓN LIBRE amortiguada y sin amortiguamiento

“AÑO DE LA LUCHA CONTRA LA CORRUPCIÓN E IMPUNIDAD”

ESCUELA PROFESIONAL: INGENIERÍA Y CIENCIAS PURAS FACULTAD: INGENIERÍA CIVIL ASIGNATURA: DISEÑO SISMORESISTENTE DOCENTE: ING GARCIA BLANCO MONICA ALUMNOS: -

ESCOBAR CASTRO Erik Braulio

-

LUVE JALIRI Cristian

-

RAMIREZ CATARI, Wilber

-

ROSEL BENAVEMTE, Trishan

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INTRODUCCIÓN

El análisis de vibraciones amortiguadas y sin amortiguamiento es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones libres de los sistemas elásticos, que ayudarán a comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinámicos. El estudio de las vibraciones libres se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar.

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OBJETIVOS 

Conocer todos los temas referentes al movimiento vibratorio libre.



Interpretar las vibraciones libres.



Conocer en forma resumida algunos conceptos teóricos y tipos de vibraciones libres.



Diferenciar

vibración

libre

no

amortiguada

y

vibración

libre

con

amortiguamiento.

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VIBRACIONES Cualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama vibración u oscilación. El vaivén de un péndulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de vibración. La teoría de la vibración tiene que ver con el estudio de los movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos. La vibración de un sistema implica la trasformación de su inercia potencial en energía cinética y de esta en energía potencial de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su energía se disipa en cada ciclo de vibración y se debe reemplazar por una fuente externa para que se mantenga en un estado de vibración estable.

ELEMENTOS BÁSICOS Los elementos necesarios para la existencia de la vibración son la inercia y la rigidez adicional mente está el amortiguamiento, la fuerza externa que actúa en el sistema. En la figura 2.5 a se muestra una viga en voladizo y su modelo dinámico idealizado. La rigidez del sistema está determinada por las propiedades mecánicas y las dimensiones de los elementos de la viga, asimismo la rigidez depende de las conexiones y anclaje de la viga. El amortiguamiento de la estructura está dado por la fricción que se presenta cuando se deforma la viga, en las conexiones de los elementos, anclajes y el mismo elemento que compones la viga. Cada miembro de la viga contribuye con la rigidez, masa, amortiguamiento del sistema dinámico. Para fines del análisis matemático se considera que las propiedades del sistema están concentradas en tres elementos básicos: la rigidez (k), masa (m), el amortiguamiento (c), los que se consideran independientes entre sí como se muestra en la figura 2.5 b.

RIGIDEZ Diseññ o sismo resisteñte

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La rigidez es la capacidad que tiene un elemento o sistema estructural para soportar esfuerzos sin presentar grandes deformaciones. La relación entre las cargas y las deformaciones dependerá si el sistema tiene un comportamiento elástico o inelástico. Un caso particular de un sistema elástico se presenta cuando las fuerzas y las deformaciones se relacionan linealmente como se muestra en la figura.

a AMORTIGUAMIENTO Para un sistema elástico simple la energía se disipa por mecanismos como el efecto térmico que se produce al deformar elásticamente en forma repetida algún material, además de la fricción interna del solido deformado. “En el caso de sistemas estructurales más complejos, en los que interactúan un mayor número de elementos la disipación de energía se da adicionalmente por otros factores, como la fricción que se produce entre los elementos propios del sistema estructural y aquellos considerados como no estructurales, además de la fricción que se presenta en las conexiones de los distintos elementos estructurales” (Gonzales, 2016). En general no se puede identificar todos los mecanismos de disipación de energía de un sistema estructural. Para analizar un sistema se suele idealizar el amortiguamiento del sistema estructural como un modelo lineal de amortiguamiento viscoso equivalente. ACCIONES DINÁMICAS. ACCIONES DINAMICAS las estructuras se ven afectadas por efectos dinámicos que van desde magnitudes despreciables, hasta efectos que pueden poner en peligro su estabilidad. Los tipos de excitación dinámica que pueden afectar la estructura se muestran en la figura.

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VIBRACIÓN LIBRE VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADA son las que se producen al sacar un sistema de su posición de equilibrio y dejarlo oscilar libremente La figura muestra el sistema básico de un grado de libertad, compuesto por una masa puntual m, un muelle de rigidez k y un amortiguador de constante c. llamado x al desplazamiento del bloque respecto de su posición inicial de equilibrio el diagrama de solido libre del sistema, incluyendo la fuerza de inercia, se muestra en la figura del diagrama de cuerpo libre de un sistema básico de un grado de libertad sumando las fuerzas horizontales e igualando a 0 se obtiene: mẍ + cẋ + kx = 0 La ecuación representa una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

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Cada estructura tiene una o más frecuencias naturales de vibración. Las frecuencias naturales (también llamadas frecuencias de resonancia) es la frecuencia a la cual la rigidez y las fuerzas de inercia se anulan entre sí. En análisis modal, los picos de la función de respuesta en frecuencia (FRF) se usan para identificar las frecuencias naturales y modos de vibración de la estructura.

La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es: (1.1) (1.2) Donde n es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a: (1.3) La solución de la ecuación diferencial 1.1 es: (1.4) Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: u(0) y u(0) el desplazamiento y la velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto: (1.5) Las Figuras 1.1(a) y 1.1 (b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es: Diseññ o sismo resisteñte

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(1.6) La frecuencia cíclica natural de vibración, fn, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es: (1.7) Las propiedades de vibración natural, n, Tn y fn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste está en estado de vibración libre. El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma: (1.8) Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual está dada por: (1.9) Y el ángulo de fase  está dado por: (1.10)

VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA Los sistemas con movimiento armónico simple no disipan energía durante la oscilación. Sin embargo, todo sistema real lleva implícita la existencia de fuerzas disipativas debido a lo cual el movimiento armónico simple cesa después que ha transcurrido cierto período de tiempo. Estas fuerzas disipativas son el reflejo de la existencia del amortiguamiento en el sistema. La vibración libre amortiguada es un modelo simplificado del comportamiento de los sistemas reales cuando sobre los mismos actúan fuerzas excitadoras con períodos muy pequeños de duración. De esta forma el sistema es estudiado a partir del cese de esa acción. Las propiedades de estos sistemas serán determinadas considerando el amortiguamiento de carácter viscoso que es proporcional a la velocidad. Diseññ o sismo resisteñte

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En la figura 2.2 se muestra el clásico sistema masa resorte de donde son obtenidas las propiedades de los sistemas con movimiento armónico simple. 2.2. Sistema masa resorte con masa

Si a la figura 2.2 que representa el modelo de un sistema con movimiento armónico simple se le agrega el efecto del amortiguamiento, la misma quedará como se muestra la figura 2.9.

Sistemas con vibración libre y amortiguada

VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es: (1.11) Dividiendo la ecuación 1.11 por la masa se obtiene: (1.12)

Dónde:

(1.13) (1.14)

El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, y la razón o relación de amortiguamiento crítico, son parámetros que determinan el tipo de movimiento del sistema. TIPOS DE MOVIMIENTO Diseññ o sismo resisteñte

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Tipos de Movimiento

Figura 1.2 Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado.

La Figura 1.2 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento u(t) debido a un desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de  : Si c=ccr ó =1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico. Si c>ccr ó >1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado. Si c