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• Ramirez Wladimir

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Vibración forzada con amortiguamiento Modelo

Ecuación de movimiento ¨  m x + c x + k x = F0 sin ωf t

(1)

Donde m es la masa del sistema, k su rigidez, c la constante de amortiguamiento, F0 es la amplitud de fuerza y ωf la frecuencia forzante La solución de esta ecuacion diferencial tiene dos partes, la solución homogénea xh y la particular xp x = xh + x p

(2)

La solución homogénea se expresa como xh = X ' ⅇ-ω t sen(ωd t + ϕ)

ζ < 1 (sub amortiguado)

Esto representa la vibración libre la cual decae con el tiempo y finalmente tiende a ser cero. Esta es la parte transitoria del movimiento La solucion particular representa el movimiento estable por la continua acción de la fuerza armónica

Vibracion forzada con amortiguamiento.nb | ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Vibraciones

F(t) =F0 sin ωf t Esta solución tiene la forma xp = M sinωf t + N cosωf t

(3)

 ¨ Al derivar la ecuación (3) para obtener las expresiones de velocidad x y aceleración x y reemplazando en la ecuación del movimiento (1) se tiene que M= N=

k-m ωf2  F0 2

k-m ωf2  +(c ωf )2 c ωf F0 2

k-m ωf2  +(c ωf )2

De forma compacta la solución es xp = X sen( ωf t - ψ) Donde M2 + N2

X=

tan ψ =

-N M

En función de la relación de frecuencias puede escribirse como X0

X=

2

1-r 2  +(2 ζ r )2

tan ψ =

2ζ r 1-r 2

X0 es es desplazamiento estático X0 =

F0 k

La solución completa de la respuesta de la posición es x = X ' ⅇ-ω t sen(ωd t + ϕ) + X sen( ωf t - ψ)

ζ < 1 (sub amortiguado)

(4)

Como ejemplo se muestra el siguiente gráfico donde se puede notar el estado transitorio y estable del movimiento. Note que en el estado estable es la frecuencia de la fuerza la finalmente govierna el movimiento. La posición esta definida por x = 0.05 ⅇ-0.8 t sen(12 t + π / 6) + 0.08 sen(2 t - π /8)

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In[4]:=

Plot0.05 ⅇ-0.8 t Sin12 t + π  6 + 0.08 Sin2 t - π  8, {t, 0, 16}, AxesLabel → {t, x} x 0.10

0.05

Out[4]=

5

10

t

15

-0.05

Factor de magnificación La amplitud X en el estado estable es una importante consideración. Este factor expresa cuanto puede crecer o decrecer la amplitud del movimiento de acuerdo a la relación de frecuencias r y el factor de amortiguamiento presente FM =

X X0

1

=

2

1-r 2  + (2 ζ r )2

En el siguiente gráfico se puede observar esta variación según cambia el factor de amortiguamiento ζ. Tomar en cuenta que aún en la condición r = 1 de resonancia el factor de magnificación no llega a ser infinito si hay amortiguamiento presente In[5]:=

1

ManipulatePlot 1

- r 2 2

, {r, 0, 5}, PlotRange → {0, 4}, {ζ, 0, 1}

+ 2 ζ r

2

ζ

4

3

Out[5]=

2

1

0

1

2

3

4

5

3

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Vibraciones

Preguntas Del ejemplo de la ecuación de movimiento x = 0.05 ⅇ-0.8 t sen(12 t + π / 6) + 0.08 sen(2 t - π /8) determinar las constantes fisicas y parámetros del sistema:

1. Rigidez k 2. Masa m 3. Fuerza externa F0 4. Constante de amortiguamiento c 5. Constante de amortiguamiento critico cc 6. Factor de amortiguamiento ζ 7. Frecuencia natural ω 8. Frecuencia amortiguada ωd 9. Frecuencia forzante ωf 10. Relación de frecuencias r 11. Factor de magnificación FM 12. Amplitud del estado transitorio Xh 13. Amplitud del estado estable Xp 14. Ángulo de fase estado transitorio ϕ 15. Ángulo de fase estado estable ψ Utilizando Mathematica graficar utilizando constantes fisicas y paramétros personalizados la posición x en el tiempo al variar el factor de amortiguamiento ζ, la frecuencia natural ω y la frecuencia forzante ω f

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