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Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Universidad de Cartagena

INGENIERÍA DE SOFTWARE

ANDRES LOPEZ RIVERA ROBERTH ARRIETA CONTRERAS DIEGO MARTINEZ LOPEZ

Estadísticas y Probabilidad CRISTIAN GARCIA CARDENAS

27/10/2018 MAGANGUÉ - BOLÍVAR

Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Distribución de probabilidad En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia. De hecho, una distribución de probabilidades puede comprenderse como una frecuencia teórica, ya que describe cómo se espera que varíen los resultados. La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x. Variables Aleatorias En muchos experimentos aleatorios los resultados no son intrínsecamente numéricos; el número resulta de aplicar un instrumento de medida (función) al objeto observado. Una variable aleatoria es una función que a cada suceso elemental de un espacio muestral le asigna un número. Formalmente, dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral asociado es E, si denotamos por w a los sucesos elementales de este espacio, una variable aleatoria definida sobre E es una función. Como por ejemplo. Sea el experimento “Tirar un dado”. El espacio muestral es entonces: E= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Los valores correspondientes a la variable aleatoria “Resultado obtenido” serían: X(1)=1; X(2)=2; X(3)=3; X(4)=4; X(5)=5; X(6)=6; y sus correspondientes probabilidades son: 1 2 3 4 5 6 x(1)= ; x(2)= ; x(3)= ; x(4)= ; x(5)= ; x(6)= ; 6 6 6 6 6 6

Tipos de variables aleatorias

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas:

Discreta: La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números asignados a los sucesos elementales de E son puntos aislados. Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable. Por ejemplo, supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0,1,2,3). Ejemplos: Número de caras obtenidas al lanzar tres monedas: 0, 1, 2, 3. Suma de las caras superiores obtenidas al lanzar dos dados: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. x Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado. x0, 1, 2, 3, 4, 5, etc. burbujas por envase xVariable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos. x0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote xVariable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos. x0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios.

Continua: La variable aleatoria X será continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertos intervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplo, si consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito. Ejemplos: 

Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo más sencillo que podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una distribución uniforme en un intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier valor entre a y b.



Estatura de una persona elegida al azar en una población. El valor que se obtenga será una medición en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos límites condicionados por la naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con

antelación, pero existen intervalos de valores más probables que otros debido a la distribución de alturas en la población.

Otros ejemplos: xVariable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas x5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96

xVariable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un arnés de auto x20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0

xVariable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral x14.8gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8 Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata de una variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona un producto este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las especificaciones o no cumple, etc. Las variables descritas anteriormente nos generan una distribución de probabilidad, las que pueden ser. 1) Distribución de probabilidad discreta. 2) Distribución de probabilidad continúa. Las características de cada una de las distribuciones anteriores se mencionarán a continuación:

Distribución de probabilidad discreta. Características:

1. Es generada por una variable discreta (x). xVariable que solo toma valores enteros x0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... etc. 2. p(xi)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero.

3.p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

Distribución de probabilidad continúa. Características:

1. Es generada por una variable continua (x). x Es una variable que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios. x 1.0, 3.7, 4.0, 4.6, 7.9, 8.0, 8.3, 11.5,.....,

2. f(x)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

3. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.

BIBLIOGRAFIA https://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadisticaII/tema2.p df http://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/27/27373/temavariablesaleatorias.pd f http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribu ciones%20de%20Probabilidad.htm