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• Francy Pamplona

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TALLER VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. Determine el valor de k de modo que cada una de las siguientes funciones sea una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X: (a) F(x) = K ( x 3+ 4 ) , para x=0,2,3. F(0) = K ( 0+ 4 ) → K =4 F(2) = K ( 23 +4 ) → K =12 F(3) = K ( 33 + 4 ) → K =31 3 4 , para x=0,1,2. (b) F(x) = K x 4−x

( )( )

3 4 → K =3 F(0) = K 0 4−0

( )( )

3 4 → K =4 F(1) = K 1 4−1

( )( )

3 4 → K=6 F(2) = K 2 4−2

( )( )

2. Una pizzería, que atiende pedidos por correo, tiene cinco líneas telefónicas. Sea X la variable aleatoria que representa al número de líneas en uso en un momento específico. Supongamos que la función de probabilidad f de X está dada en la siguiente tabla: Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes. Valor x de X F(x)

0 0,20

1 0,25

2 0,10

3 4 5 0,15 0,09 0,21

Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: a) A = “a lo sumo 2 líneas están en uso”. b) B = “menos de 4 líneas están en uso”. c) C = “por lo menos 3 líneas están en uso”. d) D = “entre 2 y 4 (ambos inclusive) líneas están en uso”. e) E = “entre 2 y 5 (ambos inclusive) líneas no están en uso”.

f) F = “por lo menos 3 líneas no están en uso”. a. b. c. d. e. f.

P ( x=2 )=0.10 P ( x> 4 )=0.15+0.1+0.25+ 0.2=0.7 P ( x=3 )=0.15 P ( 2≥ x ≤ 4 )=0.1+ 0.15+ 0.09=0.34 P ( 2≥ x ≤ 5 )=0.34+0.21=0.55 P ( x=3 ) f ( 3 )=0.20

3. Se sacan tres fichas sucesivamente, sin reemplazo, de una caja que contiene cuatro fichas blancas y dos rojas. Encuentre la función de probabilidad para el número de fichas rojas. X = # Bolas rojas X = 1,2 0, para otro caso. → F(x): 2/6 si x = 1,2. 0 para otro caso. 2 → P ( x=1 )= =1/ 3 6 2 P ( x=2 )= =1/3 6 P ( x>2 )=0 4. Determine la función de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el resultado cuando se lanza un dado. Calcule la probabilidad de que X sea estrictamente mayor que (a) 0 y (b) -2 pero menor o igual que 2.

F(x): 1 si x >0 ; x=3,4,5,6 6 1 si x ≤ 2 ; x=1,2. 2 0, para cualquier otra opción. 5. Un embarque de siete computadores contiene tres defectuosos. Una empresa hace una compra al azar de tres computadores. Sea X la variable aleatoria que representa al número de computadores defectuosos que compra la empresa. (a) Calcule la probabilidad de que el número de computadores defectuosos que compra la empresa es 1 Y (b) Calcule la

probabilidad de que el número de computadores defectuosos que compra la empresa es estrictamente mayor que 0, pero menor o igual que 2.

6. De un cargamento de 100 artículos, se sabe que el 10% de los artículos están defectuosos. Se eligen al azar con reemplazo y sin orden 20 artículos del cargamento y se examinan. Sea X la variable aleatoria que representa al número de artículos defectuosos encontrados. Calcule la probabilidad de encontrar a) ningún artículo defectuoso, b) 2 artículos defectuosos c) a lo sumo un artículo defectuoso.

  7. Una semilla tiene un porcentaje de germinación del 83%. Si se siembran 12 semillas, ¿cuál es la probabilidad de que germinen (a) todas, (b) 10, (c) a lo más 2, (d) al menos 10?

8. El número de cartas perdidas en el correo en un día tiene un promedio de 4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado (a) se pierdan a lo más dos cartas en el correo? (b) se pierdan tres cartas en el correo? (c) se extravíen cuatro o cinco? (d) al menos desaparezca una carta en el correo?

9. En un proceso de recubrimiento se toman varias mediciones del espesor, hasta la centésima de milímetro más cercana. Las mediciones están distribuidas de manera uniforme, con valores 0,12; 0,13; 0,14, 0,15; 0,16 y 0,17. Para este proceso, calcule la media y la varianza del espesor del recubrimiento. Interprete la media.

10. De una producción de 2.000 tornillos, se sabe que el 5% están defectuosos. Supongamos que se selecciona una muestra al azar de 20 tornillos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra no exceda a 3? (b) ¿cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra es por lo menos 6? (c) ¿cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra sea estrictamente mayor que 2, pero menor o igual de 6? (d) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los 20 tornillos esté defectuoso? (e) Calcule e

interprete el valor esperado y la desviación estándar del número de tornillos defectuosos en la muestra.

X= número de piezas defectuosas de 20                              

 

                          

11. Las estadísticas muestran que hay un promedio de tres accidentes por semana en una ruta determinada. Determine la probabilidad de que durante cierta semana seleccionada al azar haya (a) 4, (b) 3 o 4, (c) a lo más tres, (d) al menos 4 accidentes.

P=3 a) b) c) d)

n=7

4. 3 o 4. A lo más tres. Al menos 4 accidentes.

12. Los estudios indican que, en promedio, se producen 2 averías diarias en las carreteras urbanas durante las horas “pico” de la tarde. Asumamos que la distribución es de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día concreto se produzcan (a) menos de tres, (b) más de cinco averías en estas carreteras durante las horas “pico” de la tarde?

13. Sea X una variable aleatoria discreta que puede asumir con la misma probabilidad los valores 3, 7 o 14. Determine la media y la varianza de X. 14. Un fabricante de celulares, desea controlar la calidad de su producto y rechazar cualquier lote en el que la proporción de celulares defectuosos sea demasiado alta. Con este fin, de cada lote grande (digamos, 20.000 celulares) selecciona y prueba 25. Si por lo menos 3 de estos están defectuosos, todo el lote será rechazado. (a) ¿cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 5% de los celulares están defectuosos? (b) ¿cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 10% de los celulares están defectuosos? (c) ¿cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 30% de los celulares están defectuosos?

15. Supongamos que, en promedio, una persona comete dos errores por página. Determine la probabilidad de que en la siguiente página cometa (a) ningún error, (b) por lo menos cuatro errores.

a) Ningún error. P ( X=0 )=P ( 0 :2 )=0,1353. b) Por lo menos cuatro errores. P ( X ≤ 4 ) =¿ 16. Un jefe de producción sabe que el 4% de 200 artículos producidos en cierto tipo de máquina tiene algún defecto. Se examinan cinco de estos artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que (a) ninguno, (b) dos, (c) al menos dos de estos artículos tengan un defecto?

a) P ( X=0 )=0,815372698 b) P ( X=2 )=0,014155776 c) P ( X ≥2 ) =1−P ( X ≤1 ) =1−0,169869312=0,830 17. Al realizar una entrevista a un grupo de personas con el fin de ingresar en un programa de televisión, se encuentra que 25% de las personas no cumplen con los requisitos requeridos. De las siguientes 15 personas entrevistadas, encuentre la probabilidad de que (a) menos de cuatro, (b) de cuatro a siete, (c) más de seis no cumplan con los requisitos requeridos. P = 0,25 a) Menos de cuatro. P ( X < 4 )=0,686 , por tablas b) De cuatro a siete. P ( 4 ≤ X ≤ 7 )=0,983−0,686=0,297

c) Más de seis no cumplen con los requisitos requeridos. P ( X >6 )=0,94337969

18. Se mide la longitud de varias placas de vidrio, hasta la décima de milímetro más cercana. Las longitudes están distribuidas de manera uniforme, con valores que están espaciados una décima de milímetro comenzando en 320,0 y continuando hasta 320,9. Calcule la media y la varianza de las longitudes. Interprete la media.

μ= E ( X )=

(329+320) =324,5 2

( 329−320+1)2−1 V ( X )= =8,25 12

19. Un fabricante de computadores se preocupa por el mal funcionamiento de cierto programa estadístico en un modelo en particular. El mal funcionamiento puede producir en raras ocasiones un bloqueo en el sistema operativo. Suponga que la distribución del número de computadores por año que tienen un mal funcionamiento del paquete estadístico es la de Poisson con media 5. (a) ¿cuál es la probabilidad de que más de un computador por año tenga un bloqueo en el sistema operativo?

20. Una investigación en cierto país arrojó que aproximadamente 60% cree el actual presidente de ese país está haciendo las cosas bien. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cinco de las siguientes diez personas seleccionadas al azar sean de esta opinión?

P = 0,60

n = 10

P ( X