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Variables Aleatorias Discretas Profesor Alberto Alvaradejo Ojeda 9 de septiembre de 2015

´Indice 1. Variable aleatoria 1.1. Discretas . . . . . . . . . . . 1.2. Continuas . . . . . . . . . . 1.3. Funci´on de probabilidades . 1.4. Funci´on de Distribuci´on o de 1.5. Esperanza . . . . . . . . . . 1.6. Varianza . . . . . . . . . . . 1.7. Desviaci´on Est´andar . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilidad Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 3 3 5 7 8 9

2. Ejemplos

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3. Ejercicios

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4. Respuestas

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Variables Aleatorias Discretas

1.

Variable aleatoria

Una variable aleatoria es una variable que toma valores num´ericos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplo 1.1 No de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2. . . ) Ejemplo 1.2 No de llamadas que recibe un tel´efono en una hora Ejemplo 1.3 Tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado. . . Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:

1.1.

Discretas

El conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el n´ umero de veces que sucede algo. Puede tomar valores finitos o contables.

1.2.

Continuas

Es aquella cuyos valores son un intervalo, o una uni´on de intervalos sobre la recta de los n´ umeros reales. Por lo tanto, puede tomar ∞ valores.

1.3.

Funci´ on de probabilidades

Es aquella funci´on que asocia a cada elemento del espacio muestral (x) de una variable aleatoria (X) la probabilidad que ´este tenga. f (x) = R → [0, 1] , tal quef (x) = P (x)

(1.1)

donde P (x) es la probabilidad del elemento x del espacio muestral. Ejemplo 1.4 Se define la variable aleatoria “el n´ umero de hijos hombres que una pareja puede tener si tienen dos hijos”, ¿cu´al ser´ıa la funci´on de probabilidad? H=hombre; M=Mujer Espacio Muestral={HH, HM, M H, M M }

f (x) =

 1   4 1 2

 

0

0 o 2 hijos hombres 1 hijo hombre cualquier otro valor

EL gr´afico de esta funci´on es

Alberto Alvaradejo O.

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Variables Aleatorias Discretas

Ejemplo 1.5 Se tiene una urna con 12 bolitas rojas, 15 verdes y 13 azules y se define el suceso “sacar una bolita de la urna y ver su color”. Determine la variable aleatoria y su funci´on de probabilidad. La variable aleatoria: el color de la bolita extra´ıda. Se le asigna un n´ umero a los posibles elementos del espacio muestral. 1 al color rojo, 2 al verde y 3 al azul. El gr´afico de su funci´on de probabilidad es:

Ejemplo 1.6 Variable aleatoria x = N o de caras al lanzar tres veces una moneda. Posibles valores de x : 0, 1, 2 y 3 Espacio muestral al lanzar 3 veces la moneda: EM = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS} La variable aleatoria x: Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {SSS} Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {SSC, SCS, CSS} Toma valor 2 cuando {CCS, CSC, SCC} Toma valor 3 cuando {CCC}

Alberto Alvaradejo O.

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Variables Aleatorias Discretas

La funci´on de probabilidad es: p0 = P {x = 0} = 1/8 = 0, 125 p1 = P {x = 1} = 3/8 = 0, 375 p2 = P {x = 2} = 3/8 = 0, 375 p3 = P {x = 3} = 1/8 = 0, 125 El gr´afico de la funci´on es:

Ejemplo 1.7 Calcular la probabilidad de que salgan a lo m´as dos caras. P {x 6 2} = P {x = 0} + P {x = 1} + P {x = 2} = 0, 125 + 0, 375 + 0, 375 = 0, 875 Ejemplo 1.8 Calcular la probabilidad de que el n´ umero de caras est´e entre 1 y 2. P {1 6 x 6 2} = P {x = 1} + P {x = 2} = 0, 375 + 0, 375 = 0, 75

1.4.

Funci´ on de Distribuci´ on o de Probabilidad Acumulada

Esta funci´on relaciona cada elemento del espacio muestral con la probabilidad acumulada hasta el valor dado. Se define como: F (x) = R → [0, 1] , tal que F (x) = P (X 6 x)

(1.2)

Ejemplo 1.9 Lanzamos dos dados y sumamos los puntos obtenidos en sus caras, determinar la funci´on de distribuci´on correspondiente.

Alberto Alvaradejo O.

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Variables Aleatorias Discretas

Suma de las caras

Probabilidad

Probabilidad acumulada

1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36

1 36 3 36 6 36 10 36 15 36 21 36 26 36 30 36 33 36 35 36 36 36

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

El gr´afico de la funci´on de probabilidad es:

El gr´afico de la funci´on de distribuci´on:

Alberto Alvaradejo O.

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Variables Aleatorias Discretas

La probabilidad de obtener una suma menor o igual que 5 F (5) = P (x ≤ 5) =

10 5 = 36 18

La probabilidad de obtener una suma mayor a 10 P (x > 10) = 1 − P (x ≤ 10) = 1 − F (10) = 1 −

1.5.

33 3 1 = = 36 36 12

Esperanza

Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores x1 , x2 , ...xk , con probabilidad p1 , p2 , ...pk , entonces la media o el valor esperado de X est´a dado por: E(X) = µX = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xk pk =

k X

xi p i

(1.3)

i=1

Ejemplo 1.10 Supongamos que tenemos un dado cargado cuyas probabilidades son las siguientes: N´ umero del lado 1 2 3 4 5 6

Probabilidad 0,20 0,10 0,05 0,30 0,25 0,10

Alberto Alvaradejo O.

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Variables Aleatorias Discretas

E(X) = 1·0, 20+2·0, 10+3·0, 05+4·0, 30+5·0, 25+6·0, 10 = 0, 20+0, 20+0, 15+1, 20+1, 25+0, 60 E(X) = 3, 60 La esperanza matem´atica es 3,60 significa que el valor esperado al lanzar una gran cantidad de veces el dado est´a entre 3 y 4. Ejemplo 1.11 Una compa˜ n´ıa ha vendido 205 pasajes para un avi´on de 200 asientos. Sea x la variable aleatoria que expresa el no de viajeros que va al aeropuerto para viajar en el avi´on. Su distribuci´on es: xi pi

198 0,05

199 0,09

200 0,15

201 0,20

202 0,23

203 0,17

204 0,09

205 0,02

a) Hallar la probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan asientos. P {x 6 200} = P {x = 198} + P {x = 199} + P {x = 200} = 0, 05 + 0, 09 + 0, 15 = 0, 29 b) Obtener la probabilidad de que se quede sin asiento alguno de los viajeros que va al aeropuerto. P {x > 200} = P {x = 201}+P {x = 202}+...+P {x = 205} = 0, 2+0, 23+0, 17+0, 09+0, 02 = 0, 71 P {x > 200} = 1 − P {x 6 200} = 1 − 0, 29 = 0, 71 c) Calcular el no esperado de viajeros que acude al aeropuerto. E(X) =

k X

xi p i

i=1

E(X) = 198×0, 05+199×0, 09+200×0, 15+201×0, 2+202×0, 23+203×0, 17+204×0, 09+205×0, 02 E(X) = 201, 44

1.6.

Varianza

La varianza para un conjunto de datos, podemos definir la varianza de una variable aleatoria como el promedio ponderado de los cuadrados de la diferencia entre los valores de los elementos del espacio muestral y la esperanza matem´atica de la variable. V (X) =

n X

(xi − E(x))2 · P (xi )

(1.4)

i=1

Este valor da una estimaci´on de la homogeneidad de los valores de la variable aleatoria, en relaci´on a cu´an distantes est´an ellos de la esperanza matem´atica. Ejemplo 1.12 En el ejemplo anterior del dado cargado, tenemos:

Alberto Alvaradejo O.

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Variables Aleatorias Discretas

N´ umero del lado 1 2 3 4 5 6 Calculamos su varianza V (X) =

n X

Probabilidad 0,20 0,10 0,05 0,30 0,25 0,10

(xi − E(x))2 · P (xi )

i=1

V (X) = (1−3, 6)2 ·0, 2+(2−3, 6)2 ·0, 1+(3−3, 6)2 ·0, 05+(4−3, 6)2 ·0, 3+(5−3, 6)2 ·0, 25+(6−3, 6)2 ·0, 1 V (X) = 1, 352 + 0, 256 + 0, 018 + 0, 048 + 0, 49 + 0, 576 V (X) = 2, 74 El resultado de la varianza est´a en unidades al cuadrado. Si extraemos ra´ız cuadrada tenemos: q √ V (X) = 2, 74 ≈ 1, 66 Si sumamos y restamos este valor a la esperanza: E(X) = 3, 6 3, 6 + 1, 66 = 5, 26 3, 6 − 1, 66 = 1, 94 En una gran cantidad de lanzamiento se debiera esperar que los n´ umeros entre 5 y 2 tuvieran mayor probabilidad de salir. Las probabilidades del espacio muestral est´an muy dispersas.

1.7.

Desviaci´ on Est´ andar

Es la ra´ız cuadrada de la varianza de la variable. Ella nos da una referencia del rango en el que fluctuar´an la mayor´ıa de los valores de la variable, si restamos y sumamos ´esta a la esperanza. Se representa por σ

Alberto Alvaradejo O.

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Variables Aleatorias Discretas

2.

Ejemplos

Ejemplo 2.1 Un miembro del directorio de una empresa ha comprobado que, si bien todos los a˜ nos tienen una reuni´on, ha habido a˜ nos que tienen hasta cinco. Por la experiencia acumulada durante a˜ nos sabe que el n´ umero de reuniones anuales se distribuye con arreglo a la siguiente tabla: No de reuniones al a˜ no Probabilidad

1 2/15

2 5/15

3 1/15

4 3/15

5 4/15

a) Sea X la variable n´ umero de juntas al a˜ no ¿Es variable aleatoria discreta? La variable aleatoria ”X= n´ umero de reuniones al a˜ no.es variable aleatoria discreta ya que solo toma valores enteros b) Calcular la funci´on de probabilidad La funci´on de probabilidad de la variable aleatoria X nos la da el enunciado: xi 1 2 3 4 5

pi = P (X ≤ x) 2/15 5/15 1/15 3/15 4/15

c) Funci´on de distribuci´on: Valor de X x