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• Angie Juliana Paternina Colorado

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UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO TALLER PROBABILIDADES. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD VARIABLE ALEATORIA Sea S un espacio muestral asociado a un experimento E. se define la Variable aleatoria X como la función que le asigna a cada elemento del espacio muestral un número real. Cuando el rango de la anterior función toma únicamente números enteros se llama variable aleatoria discreta. Sí toma valores en intervalos de números reales se llama variable aleatoria continua. Ejemplo 1. Se E el experimento de lanzar tres monedas, entonces el espacio muestral es el siguiente: S = {ccc, ccs, csc, scc, sss, ssc, scs, css }. Se define la variable aleatoria X : Nº de caras Luego los valores que toma esta variable aleatoria son. X(ccc) = 3 X(ccs) = 2 X(csc) = 2 X(scc) = 2 X(sss) = 0 X(ssc) =1 X(scs) = 1 X(css)=1 El rango de la función es: R x = {0,1,2,3} Ejemplos •

Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta).

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Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua).

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Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una plantación y pesarlas. La ley que asocia a cada sandía su peso es una variable aleatoria (continua).

Ejemplos de Variable Aleatoria Matemáticas → Estadística → Variable Aleatoria Definición de Variable Aleatoria: Una Variable Aleatoria (también llamada Variable Estocástica) es aquella función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria. Supongamos el caso de que se lanzan 2 monedas al aire. El espacio muestral de todos los resultados posibles es: Espacio muestral = {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara, cruzcruz} En el caso anterior definimos X a la función que asigna a cada suceso anterior un número real. Por ejemplo: Cara-cara → 1 Cara-cruz → 2 Cruz-cara → 3 Cruz-cruz → 4 Los resultados de X tienen el siguiente rango {1, 2, 3, 4} Tipos de Variable Aleatoria: Las Variables Aleatorias se pueden clasificar en: Variable Aleatoria Discreta: una variable aleatoria es discreta cuando toma valores discretos (1, 2, 3, 4, 5, 6...) como por ejemplo: el anterior caso de las dos monedas lanzadas al aire el número de hijos de una familia

el resultado de tirar un dado (1, 2, 3, 4, 5 y 6) Fuente: https://www.matematicas10.net/2017/02/ejemplosde-variable-aleatoria.html Variable Aleatoria Continua: una variable aleatoria es continua si los valores que toma están en un intervalo de números reales (1,5, 1,51, 1,52, 1,53...). Es el caso por ejemplo de: la altura de una persona el peso el precio de un producto ...

Fuente: https://www.matematicas10.net/2017/02/ejemplosde-variable-aleatoria.html

Distribución de probabilidad

Una distribución de probabilidad la podemos concebir como una distribución teórica de frecuencia, es decir, es una distribución que describe como se espera que varíen los resultados. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Requisitos para una distribución de probabilidad discreta 0 £ p(x) £ 1 å p(x) = 1

El Valor Esperado. El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido aplicado ampliamente

en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de incertidumbre. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro. Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma los siguientes valores: X = 0, 1, 2, 3, ... ; decimos que es discreta La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función de probabilidad: P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3, ... ; Sea P(X = i ) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1 Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discreta como:

E(X) =

i.P(X = i)

Se podría usar un argumento parecido para justificar las fórmulas para la varianza de la población s 2 y la desviación estándar de la población s . Estas medidas numéricas describen la dispersión o variabilidad de la variable aleatoria mediante el “promedio” o “valor esperado” de las desviaciones cuadráticas de los valores de x a partir de su media µ . Sea x variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad p(x) y media µ . La varianza de x es:

s 2 = E[( x -µ)2] = å(x-µ)2p(x)

La desviación estándar de una variable aleatoria x es igual ala raíz cuadrada de su varianza. Ejemplo Una tienda de artículos electrónicos vende un modelo particular de computadora portátil. Hay sólo cuatro computadoras en el almacén, y la gerente se pregunta cuál será la demanda el día de hoy para este modelo particular. El departamento de mercadotecnia le informa que la distribución de probabilidad para x, la demanda diaria para la computadora portátil, es la que se proporciona en la tabla. Determine la media, varianza y desviación estándar de x. ¿Es probable que cinco o más clientes quieran comprar una computadora portátil hoy? x

0

p(x)

3

1

2

4

5

p(x) 1 0.10 0.40 0.200.150.10 0 Solución En la tabla 4.9 se dan los valores de x y p(x), junto con los términos individuales usados en las fórmulas para µ y s2. La suma de los valores en la tercera columna es µ = åxp(x) = (0)(0.10) + (1 )( 0.40 ) + … + (5)(0.05) = 1.90 TABLA ( x -µ)2

( x -µ)2p(x)

X

p(x)

xp(x)

0

0.10

0.00

1

0.40

0.40

0.81

2

0.20

0.40

0.01

0.002

3

0.15

0.45

1.21

1.1815

4

0.10

0.40

4.41

0.441

5

0.05

0.25

9.61

0.4805

Totales 1.00

µ = 1.90

3.61

0.361 0.324

s2 = 1.79

y la suma de los valores en la quinta columna es

s2 = å( x -µ)2 p(x)= (0— 1.9)2(0.10) + (1 — 1.9)2(0.40) + ... + (5 — 1.9)2(0.05) = 1.79 y

s=

s 2 = 1.79 = 1.34

Como la distribución se aproxima a una forma de campana, entonces alrededor de 95% de las mediciones deben quedar dentro de un intervalo de dos desviaciones estándar respecto de la media, es decir, µ ± 2s = 1.90±2(1.34)

o —0.78 a 4.58

A partir de este resultado, usted puede decir que es improbable que cinco o más clientes quieran comprar una computadora portátil hoy. En efecto, el valor x = 5 queda a (5 — 1.90)/1.34 = 2.3 desviaciones estándar por arriba del valor esperado o promedio, µ.

Función de Distribución F(x) En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la v.a. X tome exactamente un determinado valor xi, cuanto la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación llamada función de distribución. Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores se suponen ordenados de menor a mayor. Se llama función de distribución de la variable X, y se simboliza por F(x), a la función

es decir, asocia a cada valor de la v.a. discreta la probabilidad acumulada hasta ese valor (la probabilidad de que la v.a. tome valores menores o iguales a xi).

Podemos expresar la función de distribución de la siguiente forma:

Su representación gráfica tiene forma escalonada, siendo los saltos coincidentes con las probabilidades pi correspondientes a los valores xi de la variable X.

Parámetros de una Variable Aleatoria Discreta

Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión, de tal manera que cuanto menores son estos dos parámetros más agrupados se encuentran los valores de la distribución entorno a los valores centrales. Por contra, para valores grandes de la varianza o la desviación típica los datos de la distribución se encuentran muy dispersos.

Ejercicios Técnicas básicas Diga si las siguientes variables son discretas o son continuas, espacio muestral (Si lo hay), rango.

1. 2. 3. 4. 5.

El número de puntos que se apunta en un partido La vida en anaquel de un medicamento en particular La altura de la marea en un lugar determinado Largo de un róbalo de dos años de edad Cantidad de eventos cercanos al choque de aviones en año. 6. Aumento en la expectativa de vida logrado en un paciente con cáncer como resultado de una operación. 7. La resistencia a la tensión de ruptura (en libras por pulgada cuadrada) de un cable de acero de una pulgada de diámetro. 8. El número de ciervos muertos al año en una reserva de vida silvestre estatal 9. Número de cuentas vencidas en un gran almacén en un momento determinado. 10. Su presión arterial. 11. Una psicóloga realiza un estudio y busca información del número de hijos por familia en cierta ciudad. Indique la variable aleatoria de interés, indicar si es discreta o continua, espacio muestral y rango. 12. Un francotirador dispara a un blanco de 1 metro de radio y mide la distancia desde el centro del blanco hasta la bala. 13. Se realiza un estudio que busca información de la estatura de los jugadores de la NBA en toda su historia. 14. Se realiza una encuesta en un salón acerca de la estatura de los alumnos y el número de hermanos que tienen. Identifica las 2 variables aleatorias de interés, sus posibles valores e indica si son discretas o continuas. Espacio muestral y rango.

7. Una variable aleatoria x tiene esta distribución de probabilidad: x

O

1

2

3

p(x) 0.1 0.3 0.4 0.1

4

?

5

0.05

^

a) Encuentre p(4). b) Construya un histograma de probabilidad para describir p(x). c) Encuentre µ, s y scuadrado d) Localice el intervalo µ ± 2s en el eje x de las abcisas en el histograma. ¿Cuál es la probabilidad de que x esté en este intervalo? e) Si fuera a seleccionar una cantidad muy grande de valores de x de la población, ¿podría esta caer dentro del intervalo µ ± 2s Explique.

.

8. Una variable aleatoria x puede asumir cinco valores: O, 1,2, 3, 4. Se muestra enseguida una parte de la distribución de probabilidad:

x o 1 2 3 4 p(x)

0.1 0.3 0.3

? 0.1

a) Encuentra p(3). b) Trace un histograma de probabilidad para p(x). c) Calcule la media, varianza y desviación estándar para la población. d) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 2? e) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea 3 o menos? 9. Sea x el número observado de lanzamientos de un dado no cargado. a) Encuentre y grafique la distribución de probabilidad para x. b) ¿Cuál es el promedio o valor esperado de x? c) ¿Cuál es la desviación estándar de x? d) Localice el intervalo /¿ ± 2a en el eje x de la gráfica del inciso a). ¿Qué proporción de las mediciones entraría en este intervalo? 10 Sea x el número de veces que un cliente visita una tienda de comestibles en un periodo de una semana. Suponga que ésta es la distribución de probabilidad de

x

0

1

2

3

P(x)

0.1

0.4

0.4

0.1

Encuentre el valor esperado de x, la cantidad promedio de veces que el cliente visita la tienda. Aplicaciones 10. Si se lanza un par de dados, la suma T del número de puntos que aparecen en las caras superiores de los dados puede asumir el valor de cualquier entero en el intervalo 2 ^ T ^ 12. ÍÍJ-

a) Encuentre la distribución de probabilidad para T y represéntela en una tabla. b) Construya un histograma de probabilidad para p(T). 11. Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco candidatos están igualmente calificados y que no existe preferencia por ningún género al escoger. Sea x igual al número de mujeres elegido para cubrir los dos puestos. a) Determine p(x). b) Trace un histograma de probabilidad para x. 12. Una pieza de equipo electrónico contiene seis microprocesadores, dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan al azar tres microprocesadores, se retiran del equipo y se examinan. Sea x igual al número de defectos observados, donde x = O, 1 o 2, encuentre la distribución de probabilidad para x. Exprese los resultados en forma gráfica en un histograma de probabilidad. 13. La experiencia pasada demuestra que, en promedio, sólo uno de diez pozos perforados contiene petróleo. Sea x el número de perforaciones anteriores al primer éxito (se detecta petróleo). Suponga que las perforaciones representan eventos independientes. a) Calcule p(l),p(2) y p(3). b) Dé una fórmula para p(x). , , c) Grafique p (x). 14. Dos jugadores profesionales de tenis, A y B, jugarán un partido; el ganador es el primer I jugador que gane tres sets de un total que no puede exceder de cinco. El evento de que A gane algún set es independiente del evento de que A gane cualquier otro, y la probabilidad de que: gane algún set es igual a 0.6. Sea x igual al número total de sets en el partido; es decir = 3,4 o 5 f. Determine p(x). 15. La probabilidad de que el jugador A de tenis gane un set al jugador B es una medida de las habilidades comparativas de los dos jugadores. En el ejercicio anterior usted encontró la distribución de probabilidad para x, el número de sets requerido para jugar un encuentro de cinco sets, dado que la probabilidad de que A gane algún set, llámesele P(A), es 0.6. a) Encuentre el número esperado de sets necesario para completar el encuentro en el caso de P(A) = 0.6. b) Determine el número esperado de sets necesario para completar el encuentro cuando te jugadores tienen igual habilidad, es decir, P(A) = 0.5. c) Establezca el número esperado de sets necesario para completar el encuentro cuando la habilidad de los jugadores difiere en gran medida, es decir, P(A) = 0.9. '