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• Aleja Lopez

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universidad distrital Francisco Jose de Caldas Grupo de fisica teorica y desarrollo de software

Variable compleja. Flujo potencial

Lina Alejandra Tejada [email protected]

August 20, 2016

Contenido 1

Flujo Irrotacional Relevancia de la teoría irrotacional de un fluido Velocidad potencial. Aplicación a variable compleja Fuentes y sumideros Vórtice irrotacional Doblete Flujo alrededor de un cilindro circular sin circulación Flujo alrededor de un cilindro circular con circulación

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Relevancia de la teoría irrotacional de un fluido 2

Partamos del analices de la ecuación de vorticidad Dw = (w.∇)u + v ∇2 w Dt

(1)

La ecuación (1) implica que el flujo irrotacional de un fluido barotropico observado en un sistema de referencia no rotado, permanece irrotacional, si la viscosidad del fluido es idénticamente cero y las fuerzas de cuerpo son conservativas.

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Relevancia de la teoría irrotacional de un fluido 3

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Velocidad potencial. 4

En dos dimensiones la ecuación de continuidad incompresible es ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

(2)

Garantizando la existencia de una función de corriente ψ . la cual se puede derivar de las componentes de la velocidad como: u=

∂ψ ∂y

v =−

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∂ψ ∂x

(3) (4)

Velocidad potencial. 5

Igualmente la condición de irrotacionalidad es ∂u ∂v − =0 ∂x ∂y

(5)

Garantiza la existencia de otra función, la función potencial φ tal que:

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u=

∂φ ∂x

(6)

v=

∂φ ∂y

(7)

Aplicación a variable compleja 6

Sabemos que z denota la variable compleja z = x + iy . Supongamos, ahora definimos otra variable compleja w cuya parte real e imaginaria son φ y ψ: w = φ + iψ

(8)

Donde la parte real φ es la función potencial de velocidades, y ψ la parte imaginaria es la función corriente.

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Aplicación a variable compleja. 7

Ahora bien: ∆w dw = lim ∆z→0 ∆z dz

(9)

∆w dw ∂w ∂(φ + iψ) = lim = = . ∆x→0 ∆x dz ∂x ∂x

(10)

dw = u − iv = qe−iα dz

(11)

lo que implica:

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Fuentes y sumideros 8

Consideremos el potencial complejo m lnz 2π Donde las componentes de la velocidad se encuentran como: w=

ur =

m 2πr

uθ = 0

(12)

(13) (14)

Ahora si situamos una fuente en z = a el potencial complejo será: w=

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m ln(z − a). 2π

(15)

Fuentes y sumideros 9

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Vórtice irrotacional 10

Se define el potencial complejo como: iΓ lnz 2π Y las componentes de la velocidad son: w =−

ur = 0 uθ =

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Γ 2πr

(16)

(17) (18)

Vórtice irrotacional 11

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Doblete 12

El potencial complejo para un par fuente-sumidero en el eje x con la fuente en x −  y el sumidero a x = , es: m m m ln(z + ) − ln(z − ) ' 2π 2π πz Definiendo el límite de m/π cuando  ⇒ 0 sera µç entonces tenemos que el potencial es: w=

w=

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µ z

(19)

(20)

Doblete 13

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Flujo alrededor de un cilindro circular sin circulación

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Flujo alrededor de un cilindro circular sin circulación

El potencial complejo seria: w = Uz +

µ z

(21)

Entonces su parte imaginaria seria: µsenθ r y las componentes de la velocidad son: µ ur = 1r ∂φ ∂θ = Ucosθ − r 2 cosθ ∂φ uθ = − ∂r = −Usenθ − µsenθ r2 ψ = Ursenθ −

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(22)

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Flujo al rededor de un cilindro circular con circulación

el flujo potencial sera: µ Γ + lnz z 2π

(23)

Γ µsenθ + lnr r 2π

(24)

w = Uz + y su parte imaginaria seria: Ursenθ − la componente uθ = −Usenθ −

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µsenθ r2

−

Γ 2πr

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Flujo al rededor de un cilindro circular con circulación

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Bibliografía 18

MURRAY R.SPIEGEL.Variable Compleja, Mexico, McGraw-Hill Book, 1983. PIJUSH K. KUNDU-IRA M. COHEN.Fluid Mechanics , , McGraw-Hill Book, 1983.

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