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• johan yadhir ayaucán gutiérrez

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UCV – INGENIERIA CIVIL

DINAMICA

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ASIGNATURA: DINAMICA SEMESTRE: 2017 - II

PRIMERA SESION CINEMATICA DE UNA PARTICULA

DOCENTES: Ing Miguel Melgarejo Quijandria

LIMA - 2017

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CINEMATICA 1.1 DEFINICION Estudian las leyes que gobiernan el movimiento de los cuerpos en términos del espacio, tiempo, velocidad y aceleración sin hacer referencia a la causa del movimiento, independientemente del tamaño y contenido de la materia. Se consideraran partículas en movimiento bidimensional. Algunos ejemplos de movimientos en un plano son el de proyectiles y satélites y el de partículas cargadas en campos eléctricos uniformes. 1.2 MOVIMIENTO Puede definirse como el cambio continuo de posición de un objeto, respecto a un sistema de referencia el cual se considera fijo. Se conoce el movimiento completo si sabemos como se mueve cada punto del cuerpo; por ello, para comenzar, consideraremos solo un punto móvil, o un cuerpo muy pequeño denominado partícula. Comenzaremos por estudiar el movimiento de una sola partícula sobre una línea recta, o movimiento rectilíneo. 1.3 VECTOR DE POSICION Es aquel vector que determina la posición de un cuerpo en cada instante con  respecto a un sistema de referencia y se denota por r (t ) . 1.4 DESPLAZAMIENTO Es una magnitud vectorial determinado por la variación en el tiempo del vector de  posición del móvil. Se le denota con  r . El vector desplazamiento para la partícula de la figura 1 es igual a la diferencia entre su vector de posición final y su vector de posición inicial.     r  r f  ri

Y



……………………

(1)



X

Fig. 1

2

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1.5 VELOCIDAD MEDIA Es una magnitud vectorial. Definimos a la velocidad media de la partícula durante el intervalo de tiempo  t como el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo:  r . v  t

…………………………. (2)

1.6 VELOCIDAD INSTANTANEA Se define como el límite de la velocidad media,

 r , conforme  t tiende a t

cero:  v 

lim t  0

  r dr , ……………….. (3)  t dt

Es decir, la velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

Ejemplo Supongamos que el movimiento de una partícula esta determinado por la ecuación: x  a  b t 2 , donde: a = 20 cm y b = 4 cm/s2 . Sean t1 = 2 s y t2 = 3 s. Determinar, el desplazamiento, velocidad media, velocidad instantánea. Solución: Desplazamiento:  x  x2  x1 t1  2 s  x1  a  b t 2

 20 cm  4

cm (2 s ) 2  36 cm 2 s

t 2  3 s  x2  a  b t 2

 20 cm  4

cm (3 s) 2  56 cm 2 s

 x  x2  x1  56 cm  36  20 cm 3

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Velocidad media: v 

x t

20 cm 1s



 20

cm s

Velocidad instantánea:

dx d (a  b t 2 )  v    2bt dt dt cm cm  Para t  2 s  v  2 (4 )( 2 s )  16 s s

1.7 ACELERACION MEDIA La aceleración media de una partícula cuando se mueve de P a Q se define como el cociente del cambio de velocidad en el tiempo transcurrido,  t (Fig. 2) a



v f  vi v  , t t f  ti

…………… (4)

Donde t i y t f son los tiempos correspondientes a las velocidades vi y v f .

Y Q

P (a)

(b)

Fig. 2 (a) partícula en movimiento sobre el eje X. (b) Grafica velocidad – tiempo del movimiento. La aceleración media entre t i y t f es igual a la pendiente de la cuerda pq .

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1.8 ACELERACION INSTANTANEA Tomemos el segundo punto Q, en la figura 2 (a), cada vez más próximo al primero, P, y calculamos la aceleración media sobre intervalos de tiempos menores cada vez. Se define la aceleración instantánea en el primer punto como el límite de la aceleración media cuando el segundo punto tiende a coincidir con el primero: a 

lim

t  0

v dv  t dt

……………….. (5)

Esto es, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo. TABLA N° 1 S. I. Otras Unidades

UNIDADES DE VELOCIDAD

UNIDADES DE ACELERACION

m/s cm/s, pie/s, Km/h

m / s2 cm/s , pie/s2, Km/h2 2

Ejemplo Supongamos que la velocidad de la partícula en la figura 2 esta dad por la ecuación

v  m  nt 2 , Donde:

m  10 cm / s y n  2 cm / s 3 . Sean t1  2 s aceleración media y la velocidad instantánea.

y t 2  5 s.

Determinar

la

Solución: La velocidad en el instante t1  2 s es: v1  10

cm cm  2 3 x (2 s) 2 s s

 18

cm s

 60

cm s

y en el instante t 2  5 s,

v1  10

cm cm  2 3 x (5 s ) 2 s s

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La aceleración media en este intervalo de tiempo es

a



v f  vi v 42 cm / s cm    14 2 t t f  ti 3s s

La aceleración instantánea en cualquier instante t es a 

dv d  (m  n t 2 )  2 n t , dt dt

y para t  t1  2 s, a  2x2

cm cm x2s 8 2 2 s s

1.9 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Es aquel en el que la magnitud de la aceleración es constante y el movimiento ocurre en una línea recta. En este caso, la aceleración instantánea y media son iguales. A continuación se dan referencia de las ecuaciones a emplear:

a  cons tan te ……….

(6)

1 2 at 2

a  cons tan te ……….

(7)

 2a ( x  x0 )

a  cons tan te ……….

(8)

a  cons tan te ……….

(9)

v  v0  a t x  x0  v0 t 

v 2  v0 v 

2

v  v0 2

Estas útiles ecuaciones pueden aplicarse solo durante periodos en los que la aceleración es constante.

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Ejemplo Supongamos que se diseña un aeropuerto para aeronaves pequeñas. Un tipo de avión que podría usar este aeropuerto debe alcanzar una velocidad de despegue de 100 Km/h (27,8 m/s), y acelerar a 2.0 m/s2. Si la pista tiene 150 m de longitud, ¿puede el aeroplano alcanzar la velocidad adecuada para el despegue?

Solución La aceleración: a  2.0 m / s 2 , distancia que puede recorrer: x  150 m. Deseamos encontrar su velocidad que al menos debe ser : 27.8 m/s. Para ello usamos la ecuación 8.

v 2  v0

2

 2a ( x  x0 ) ; Si x0  0, v0  0. Entonces:

v 2  0  2(2 m / s 2 ) (150 m)  600 m 2 / s 2

v 

600 m 2 / s 2  24.5 m / s.

Desafortunadamente, la longitud de esta pista no es suficiente.

PRÁCTICA DIRIGIDA DE CINEMATICA 7

1.

UCV – INGENIERIA CIVIL Defina y represente gráficamente las siguientes magnitudes: a) b) c) d) e)

2.

posición vector posición Desplazamiento Velocidad Velocidad Media

Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición como función del tiempo está dada por la ecuación: x  2  3 t 2 ; donde x se mide en metros y t en segundos, si la partícula se mueve desde su punto inicial por 5 s. Determine: a) b)

3.

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el desplazamiento , La velocidad media, La velocidad instantánea La aceleración instantánea

Una partícula se mueve en línea recta, suponiendo que su posición está definida por la ecuación 𝑥 = 6𝑡 2 − 𝑡 3 Donde t se expresa en segundos y x en metros. Determine: a) la velocidad y la aceleración en función del tiempo b) el desplazamiento y la velocidad media en el intervalo de tiempo t = 1s y t = 3s c) la velocidad instantánea y la aceleración instantánea en t = 2s d) construir los gráficos x = f(t), v = f(t) y a = f(t)

4.

La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación 𝑥 = 𝑡 3 − 6𝑡 2 − 15𝑡 + 40 , donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: a) b) c) d)

5.

Supóngase que una partícula se mueve en línea recta de modo que su posición está dada por la ecuación: x = (2.10 m / s2) t2 + (2.80 m).Determínese: a) b) c) d) e)

6.

El tiempo al cual la velocidad será cero La posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo La aceleración de la partícula en ese tiempo La distancia recorrida por la partícula desde t = 4s hasta t = 6s

El desplazamiento de la partícula durante el intervalo de tiempo desde t1  3.00 s hasta t2  5.00 s . La velocidad promedio durante este intervalo de tiempo. La velocidad instantánea en t = 5 s Su aceleración promedio en este intervalo Su aceleración instantánea como una función del tiempo

Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t =0, parte del origen x = 0. 8

a) b) c)

UCV – INGENIERIA CIVIL DINAMICA Dibuje la gráfica de la aceleración en función del tiempo. Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t = 8s. Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC.

7.

Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t = 0, parte del origen de coordenadas x = 0. a) Dibuje una gráfica de la aceleración en función del tiempo b) Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t = 12 s. c) Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC.

8.

La posición de una partícula que describe una línea recta queda definida mediante la 𝑡3

expresión 𝑠 = 3 − 9 𝑡 + 2, donde t se mide en segundos y s se mide en metros. Determine: a) la aceleración de la partícula cunado su velocidad es de 7 m/s. b) su velocidad media desde t = 3 s hasta t = 6 s. c) Dibuje las gráficas, posición-tiempo, velocidad-tiempo, aceleracióntiempo, del movimiento de la partícula durante los 6 primeros segundos. 9.

Un automóvil se desplaza en línea recta de modo que durante un corto tiempo su velocidad está definida por v = (3t2 + 2t) pies/s. donde t se mide en segundos. Si en el instante inicial 𝑡0 = 0𝑠 la posición inicial del automóvil es 𝑥0 = 0 𝑝𝑖𝑒𝑠, determine la posición y la aceleracion del móvil en el instante t = 3s.

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10.

Se dispara un proyectil verticalmente hacia abajo en un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Debido a la resistencia aerodinámica del fluido, el proyectil experimenta una desaceleración de 𝑎 = (−0.4𝑣 3 )m/s2, donde v esta en m/s. Determine la velocidad del proyectil y su posición 4 s después de su disparo.

11.

Una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria horizontal con una velocidad de 𝑣 = (3𝑡 2 − 6𝑡)𝑚/𝑠 , donde t es el tiempo en segundos. Si inicialmente se encuentra en el origen de coordenadas. Determine la distancia recorrida en 3,5 s y la velocidad promedio, así como la rapidez promedio de la partícula durante el intervalo.

12.

La posición de una partícula obligada a moverse a lo largo de una recta está dada por 𝑥 = 2𝑡 3 − 24𝑡 + 6, donde x se mide en metros desde un origen conveniente, y t en segundos. Hallar: a) El tiempo que tarda la partícula en adquirir una velocidad a 72 m/s desde el reposo en el instante t = 0 b) Su aceleración cuando v = 30 m/s c) Su desplazamiento en el intervalo de t = 1s a t = 4 s

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