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Métodos Numéricos Vectores y Valores Propios Mariana Luján A. 235462 Carlos Zavala M. 235616 Ing. Daphne Espejel 4CV1

Vectores y Valores Propios Los valores y vectores propios característicos también son conocidos como valores y vectores propios. Son valores especiales que se calculan a una matriz en el que interviene los términos como determinante, polinomio característico y ecuaciones de infinitas soluciones. Un vector propio es aquél que cuando son transformados dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar. Este escalar (λ), recibe el nombre de valor propio. Los valores propios (característicos o eingenvalores) constituyen una clase especial de problemas con valores en la frontera, que son comunes en el contexto de problemas de ingeniería, además se utilizan en una amplia variedad que van más allá de los problemas con valores en la frontera. Generalmente, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios dando lugar a un espacio propio (autoespacio o eigenespacio), que es el conjunto de vectores propios con un valor propio común. Procedimiento: Se tiene una matriz A, y tenemos que λ es un valor propio de A cuando se cumpla: AV = λV, V≠0 y λ puede ser un número real o complejo cualquiera

V=

‘’λ es un valor propio de A, V es un vector propio correspondiente al valor propio λ y A necesita ser una matriz cuadrada’’

(A – λI)V = o ; V ≠ 0 Donde: A = Matriz λ = Valor propio

I = Matriz Identidad V= Vector propio Por lo tanto: A= A – λI =

-

=

(A – λI) = (a1,1 – λ) (a2,2 – λ) – ( a1,2)(a2,1) = λ² + a1λ + a2 Por lo tanto, si tuviéramos una matriz de nxn, el determinante de (A – λI) sería:

λn + a n-1 λn-1 + a n-2 λn-2 + … + a2λ2 + a1 λ + a0 Que se denomina el polinomio característico de A.

Método de Jacobi Trata de construir una sucesión definida iterativamente. El límite de la sucesión es la solución del sistema. Este método es expresado de la siguiente manera:

Este método de igual manera se cumple si la matriz es diagonal dominante o no, pero, los elementos de la diagonal tienen que ser mayores que los demás elementos. Ejemplo: 5x-2y+z=3 -x-7y+3z=-2 2x-y+8z=1 Despejar cada incógnita en función de las demás. x=(3+2y-z)/5 y=(x-3z-2)/-7 z=(1-2x+y)/8

Dar valores iniciales a las incógnitas x1=0 y1=0 z1=0 Primero se reemplaza en cada ecuación los valores iniciales para que nos den nuevos valores que se van a utilizar en la siguiente iteración: X= (3+2)(0-0) /5 = 0.60 Y= (0-3)(0-2)/-7 = 0.28 Z= (1-2x+y)/8 = 0.12 Se realizan las iteraciones que se deseen, tomando nuevos valores encontrados.

Método de Potencias Este método sirve para obtener el autovalor mayor de A, junto con un autovector asociado. Requiere que λ1 sea simple (multiplicidad de 1) y que exista una base de R n asociada a los autovectores de A. Los autovectores forman una base v1…, vn y por lo tanto existen constantes denominadas β1… βn , tal que para todo X se cumple.

Se define la sucesión Xk = Akx = λ1k (β1v1 + εk) donde εk = ∑

β

)k vi

Esta sucesión tiende a 0 dependiendo del valor de λ1, por lo cual se normaliza la sucesión, aplicando una función conveniente con el fin de lograr que tienda a λ1.    

Si x es ortogonal a v1, entonces β1=0, debiendo elegirse otro valor de x. El método es aplicable en matrices simétricas. Determinación del valor propio: [A] {x} = λ{x} Determinación del valor propio menor: Aplicándole el método de potencias a la matriz inversa de A.

Nos ayudamos de: http://youtu.be/vNw3wDqIqME http://youtu.be/eBmk6iHjQDU http://youtu.be/B-wCjvA-RBM http://www.slideshare.net/osorio1106/metodo-jacobi-y-gauss-seidel http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=GudV1SrTDck

Libro ‘’Métodos Numéricos para Ingenieros’’ de Steven C. Chapra & Raymond P. Canale; V edición. Paginas 810 - 815