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• David Joel Tintaya

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Cap´ıtulo 4 Aprendiendo

Valores y vectores propios En este cap´ıtulo presentamos conceptos de valores y vectores propios, polinomio caracter´ıstico y diagonalizaci´ on de matrices. Para ser m´as exactos, el presente enfoque se propone seleccionar un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensi´ on finita y separarlo para ver qu´e es lo que lo hace importante. Los valores y vectores propios son muy importantes tanto en ciencias naturales, ingenier´ıa y ciencias sociales, lo cual independientemente de la gran variedad de sus aplicaciones, es necesario trabajar simult´aneamente con muchos datos, por lo tanto es necesario el uso de las matrices y vectores. El objetivo de este cap´ıtulo es presentar algunas definiciones y propiedades de valores y vectores propios. 7.1 Valores y vectores propios. 7.2 Matrices similares. 7.3 Diagonalizaci´ on de matrices.

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Profesor: Adeluz Apaza Valdivia

4.1 ¿Para qu´ e sirve valores y vectores propios?1 Los valores y vectores propios desempe˜ nan un papel muy importante en el campo de la ingenier´ıa y las matem´ aticas. Algunos de estos campos de aplicaci´ on son ecuaciones diferenciales, estabilidad de sistemas lineales, sistemas el´ectricos (componentes sim´etricos), polos y ceros de funciones transferencia, diagonalizaci´ on de matrices y muchas otras ´areas de la ciencia y de la vida diaria.

1 Recuerde,

reconocer que nos hemos equivocado nos hace grandes.

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

3

4.2 Valores y vectores propios.1 La meta de esta secci´ on es conocer los vectores que son transformados por operadores lineales en m´ ultiplos de si mismos. Los escalares y vectores que cumplen esta relaci´ on juegan un papel importante en el desarrollo del presente curso. Es por eso que daremos un nombre especial de valores y vectores propios. Cabe se˜ nalar que a lo largo del proceso seguiremos asumiendo que V es espacios vectoriales y T : V → V un operador lineal sobre V. Definici´ on 1. (Valor y vector propio de un operador lineal) Se llama valor propio del operador lineal T : V → V, a todo escalar λ ∈ R tal que existen vectores no nulos v en V que cumplen: T (v) = λv. En este caso, se dice que v es un vector propio de T asociado a λ. Observemos que un vector propio solo puede pertenecer a un solo valor propio. Dentro de esto, los valores propios presentados l´ıneas arriba suelen llamarse tambi´en ra´ıces caracter´ısticas, eigenvalores, valores caracter´ısticos o valores espectrales. Observaci´ on 1. La condici´ on de que existan vectores no nulos en la definici´ on anterior es indispensable, pues de lo contrario todo escalar ser´ıa valor propio, pues: T (0) = λ0, y la definici´ on no tendr´ıa inter´es. Asimismo, observemos que no hay ninguna restricci´ on sobre los escalares. Una vez presentada valores y vectores propios, veamos a continuaci´on este concepto con un par de ejemplos bastante simples. Ejemplo 1. Sean V = R2 y el operador lineal T : R2 → R2 dada por: T (x, y) = (2x, 3y). 1 Recuerde,

los valores propios de una matriz son n´ umeros reales.

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Profesor: Adeluz Apaza Valdivia

Claramente λ = 2 es un valor propio con vector propio (6, 0); λ = 3 es tambi´en un valor propio de T con vector propio (0, −2). Ejemplo 2. Sea V = R3 y el operador lineal T : R3 → R3 dada por: T (x, y, z) = (3x, x − y, 2x + y + z), entonces para T cumple: T (8, 2, 9)

=

(24, 6, 27) = 3(8, 2, 9)

T (0, 2, −1)

=

(0, −2, 1) = −1(0, 2, −1)

T (0, 0, 1)

=

(0, 0, 1) = 1(0, 0, 1).

Por lo tanto, 3, −1 y 1 son valores propios del operador T . Ejemplo 3. Sea T : V → V el operador identidad dado por: T (v) = v, entonces el n´ umero 1 es el u ´nico valor propio de T . Ejemplo 4. Sean V un espacio vectorial cualquiera y T un operador lineal no inyectivo de V, entonces por definici´ on se tiene que el n´ ucleo Ker(T ) 6= {0}, y si v ∈ Ker(T ), v 6= 0, entonces: T (v) = 0 = 0 v. Esto significa que 0 es un valor propio de todo operador lineal no inyectivo. Debemos se˜ nalar que un valor propio tiene infinitos vectores propios no nulos; por ello damos la siguiente definici´ on. Definici´ on 2. (Conjunto de vectores propios) Sea λ un valor propio de T : V → V, entonces su correspondiente conjunto de todos los vectores propios asociados a λ se define por: Vλ = {v ∈ V tal que T (v) = λv}. N´ otese que Vλ 6= 0 si y s´ olo si λ es valor propio de T , en tal caso Vλ es un subespacio propio de T asociado al valor propio λ, como veremos enseguida.

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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Observaci´ on 2. El conjunto Vλ es un subespacio de V. Esto es cierto ya que si u, v ∈ Vλ y α, β ∈ R cumple: T (αu + βv)

=

T (αu) + T (βv) = αT (u) + βT (v)

=

α(λu) + β(λv) = (αλ)u + (βλ)v

=

λ(αu + βv).

Esto muestra que αu + βv ∈ Vλ , lo cual implica que Vλ es un subespacio de V. Es claro entonces que el subespacio propio contiene a todos los vectores propios correspondientes a λ y adem´ as al vector nulo. Definici´ on 3. (Multiplicidad geom´etrica) Se llama multiplicidad geom´etrica del valor propio λ a la dimensi´ on del subespacio propio Vλ .

Es interesante notar que la definici´ on de valores y vectores propios: T (v) = λv se puede escribir empleando el operador identidad I de V como sigue: T (v)

= λI(v)

T (v) − λI(v)

=

0

(T − λI)(v)

=

0.

De esto sacamos en claro, que λ es valor propio de T , si existen vectores no nulos tales que: (T − λI)(v) = 0. Esto significa que el operador lineal T − λI no es inyectiva y por tanto, se tiene Ker(T − λI) 6= {0}. Para ser m´ as precisos, λ es valor propio de T ⇔ Ker(T − λI) 6= {0}, lo cual significa que λ es valor propio de T si y s´olo si el operador T − λI no es inyectivo. Veamos a continuaci´ on la siguiente propiedad de los valores y vectores propios, consecuencia de lo expuesto l´ıneas arriba.

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Propiedad 1. (Criterio de equivalencia de valores propios) Sea T : V → V un operador lineal y sea λ un escalar. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. λ es un valor propio de T . 2. Ker(T − λI) 6= {0}. 3. El operador T − λI es singular (no es invertible).

Recordemos que cada transformaci´ on lineal T de un espacio vectorial de dimensi´ on finita se puede representar por medio de una matriz A de orden n, la cual permite conocer propiedades de la transformaci´on lineal T . Por ejemplo, es claro que T es invertible si y s´olo si det(A) 6= 0. Si la matriz A tiene un aspecto sencillo es muy f´ acil obtener informaci´on de T a partir de ella. La forma m´ as simple que puede tener una matriz es la forma diagonal. A continuaci´ on veremos los valores y vectores propios de una matriz cuadrada A que representa al operador lineal T . Definici´ on 4. (Valores y vectores propios de una matriz) Sea A una matriz que representa al operador T : V → V. Diremos que un n´ umero real λ es un valor propio de A si: A(v) = λv, Aqu´ı, el vector no nulo v se llama vector propio de A asociado a λ. Observaci´ on 3. Notemos que la ecuaci´ on de la definici´on anterior: A(v) = λv, que sirve para hallar los valores y vectores propios se puede escribir por: (A − λI)v = 0, lo cual se expresa tambi´en diciendo que los vectores propios, si existen, son soluciones de dicho sistema lineal homog´eneo. Sabemos que este sistema tiene soluciones distintas de la trivial si, y s´ olo si, la matriz cuadrada A − λI es singular, o equivalentemente, si: det(A − λI) = 0.

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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As´ı, tenemos la siguiente propiedad que nos habla sobre como determinar los valores propios de una matriz. Propiedad 2. (F´ ormula para hallar valores propios) Sea A = (aij ) una matriz de n × n. Los valores propios de A son todos los escalares λ que verifican la ecuaci´ on: det(A − λI) = 0, donde I es la matriz identidad de n × n.

Debemos indicar que si A = (aij ) es una matriz cuadrada de orden n ≥ 1 sobre R, entonces se define el polinomio caracter´ıstico de A por:   a11 − λ a12 ··· a1n   a21 a22 − λ · · · a2n   pA (λ) = det(A − λI) = det  . .. .. . .. ..   . . . an1

an2

···

ann − λ

Es importante notar que p es un polinomio m´ onico de grado n. Es m´as, que los valores propios son las ra´ıces reales del polinomio caracter´ıstico y por lo tanto, los valores propios pueden ser repetidos, con lo que podemos decir que multiplicidad algebraica de un valor propio significa el n´ umero de veces que aparece como ra´ız de dicho polinomio. La teor´ıa de valores y vectores propios de matrices est´a relacionada de manera obvia con la teor´ıa de transformaciones lineales. Como veremos en la siguiente observaci´ on. Observaci´ on 4. Si T : V → V es un operador lineal de un espacio vectorial V de dimensi´ on finita n ≥ 0. Entonces se define el polinomio caracter´ıstico de T como el polinomio caracter´ıstico de la matriz de T en cualquier base, y se denota por pT (λ). En otras palabras, el polinomio caracteristico de T es un invariante de T que no depende de la base elegida en V, y se tiene que pT (λ) = pA (λ), donde A es la matriz de T . El polinomio caracter´ıstico es un instrumento para hallar los valores propios de una matriz. Antes de entrar en ejemplos, presentamos los pasos que debemos seguir para hallar los valores y vectores propios.

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Pasos para hallar los valores y vectores propios Paso 1. Determinar el polinomio caracter´ıstico, esto es: pA (λ) = det(A − λI). Paso 2. Calcular las ra´ıces λ1 , λ2 , · · ·, λn de la ecuaci´ on: pA (λ) = 0. Paso 3. Resolver el sistema homog´eneo: (A − λi I) v = 0, que corresponde a cada valor propio λi encontrado.

Ejemplo 5. Sea T el operador dado en la base can´onica por la matriz:   4 2 A= . 3 3 Determinar los valores y vectores propios de A. Soluci´ on. Repitamos los pasos dados l´ıneas arriba. Primero hallamos el polinomio caracter´ıstico por la f´ ormula: pA (λ) = det(A − λI), Reemplazando los valores respectivos y calculando determinante se tiene:   4−λ 2 pA (λ) = det = λ2 − 7λ + 6. 3 3−λ El segundo paso consiste resolver pA (λ) = 0, ´ o lo que es lo mismo resolver: λ2 − 7λ + 6 = 0. Factorizando se tiene claramente que λ1 = 1 y λ2 = 6, los cuales son los valores propios de A. Finalmente, resolvemos el sistema homog´eneo que corresponde a cada valor propio λ1 y λ2 , como sigue: 1. Para el valor propio λ1 = 1. Se resuelve el sistema (A − I)v = 0, o lo que es lo mismo:      3 2 x1 0 = . 3 2 x2 0

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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Es evidente que cualquier vector propio correspondiente a λ1 = 1 satisface 3x1 + 2x2 = 0. Uno de tales vectores propios es por ejemplo;   2 v1 = . −3 2. Para λ1 = 6. Se resuelve el sistema (A − 6I)v = 0, o lo que es lo mismo:      −2 2 x1 0 = . 3 −3 x2 0 De esto se tiene x1 = x2 . As´ı, uno de tales vectores propios es;   1 v2 = . 1 As´ı, termina la soluci´ on deseada. Ejemplo 6. Sea A la matriz de orden 3 × 3 dada por: 

1 A= 3 2

−1 2 1

 4 −1  . −1

Encontrar los valores y vectores propios de A. Soluci´ on. Como es sabido, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Primero hallamos el polinomio caracter´ıstico p(λ) = det(A − λI), o lo que es lo mismo, reemplazando y desarrollando el determinante, pA (λ) = −λ3 + 2λ2 + 5λ − 6. 2. En segundo lugar, resolvemos la ecuaci´ on pA (λ) = 0; factorizando obtenemos los valores propios λ1 = 1 λ2 = −2 y λ3 = 3. 3. El tercer paso es resolver el sistema homog´eneo que corresponde a cada valor propio λi , esto es: • Para λ1 = 1, se tiene el sistema:      0 −1 4 x1 0 (A − I)v =  3 0 3   x2  =  0  , 2 0 2 x3 0

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cuya soluci´ on es x1 = −x3 y x2 = 4x3 . As´ı, un vector propio es:   −1 v1 =  4  . 1 • Para λ2 = −2, se tiene el sistema:      3 −1 4 x1 0 (A + 2I)v =  3 4 −1   x2  =  0  , 2 1 1 x3 0 cuya soluci´ on es x2 = −x1 y x3 = −x1 . Un vector propio es:   1 v2 =  −1  . −1 • Para λ3 = 3, se tiene el sistema:      −2 −1 4 x1 0 (A − 3I)v =  3 −1 −1   x2  =  0  , 2 1 −4 x3 0 cuya soluci´ on es x3 = x1 y x2 = 2x1 . As´ı, un vector propio ser´a:   1 v3 =  2  . 1 De todo esto se concluye la soluci´ on deseada. Recordemos que el n´ ucleo de una transformaci´on lineal es un subespacio vectorial, por lo tanto podemos dar la siguiente definici´on. Definici´ on 5. (subespacio propio) Sea λ un valor propio de la matriz A. Se llama subespacio propio de A asociado a λ al subespacio vectorial: VA (λ) = Ker(A − λI) = {v ∈ Rn tal que (A − λI)v = 0}. En este caso, a la dimensi´ on del subespacio VA (λ) se le conoce con el nombre de multiplicidad geom´ etrica de λ.

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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N´ otese que el subespacio propio contiene a todos los vectores propios asociados a λ y adem´ as al vector nulo. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 7. Sea A una matriz de orden 3 × 3 dada por:   2 2 1 A =  1 3 1 . 1 2 2 Determinar los subespacios propios de A. Soluci´ on. Hallar los valores y vectores propios de A, con los elementos te´ oricos vistos hasta el momento, debe resultar rutinaria para lector. Sin embargo, la llevaremos a cabo para resaltar mejor dicho c´alculo. Debemos hallar primero el polinomio caracter´ıstico de A, esto es:   2−λ 2 1 3−λ 1  = (5 − λ)(1 − λ)2 . pA (λ) = det(A − λI) = det  1 1 2 2−λ Haciendo pA (λ) = 0, y resolviendo se tiene los valores propios λ1 = 5 y λ2 = 1, este u ´ltimo con multiplicidad algebraica 2. Pasemos ahora a determinar los vectores propios de A, como sigue: • Para λ1 = 5, los vectores propios son las soluciones del sistema:      x1 0 −3 2 1 (A − 5I)v =  1 −2 1   x2  =  0  . x3 0 1 2 −3 Resolviendo se obtiene el conjunto soluci´on {t(1, 1, 1)/t ∈ R}. As´ı pues, el subespacio propio de A asociado a λ1 = 5 ser´a: VA (5) = gen{(1, 1, 1)}, siendo B = {(1, 1, 1)} una base de dicho subespacio. • Para λ2 = 1, los vectores propios  1 2 (A − I)v =  1 2 1 2

son las soluciones del sistema:     x1 0 1 1   x2  =  0  . 1 x3 0

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El conjunto de soluciones de este sistema nos da: {(−2t − s, t, s) tal que t, s ∈ R}. Por lo tanto, el subespacio propio de A asociado a λ2 = 1 es VA (1) = gen{(−2, 1, 0), (−1, 0, 1)}, y B = {(−2, 1, 0), (−1; 0, 1)} es una base de VA (1). De todo esto se concluye la soluci´ on deseada. Veamos a continuaci´ on algunas propiedades de los valores y vectores propios de una matriz expuesto hasta ahora. Propiedad 3. (Criterio de equivalencia de valores propios) Sean A una matriz cuadrada y λ un escalar. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. λ es un valor propio de A. 2. Ker(A − λI) 6= {0}. 3. La matriz A − λI es singular (no es invertible).

Teorema 1. Un vector propio de una matriz cuadrada est´ a asociada a un u ´nico valor propio. Prueba. Sea v = 6 0 un vector propio de la matriz A asociada al valor propio λ. Entonces por definici´ on se tiene: Av = λv. Asumamos que v tambi´en est´ a asociada al valor propio α. Entonces: Av = αv. Restando ambas ecuaciones se obtiene λv = αv, y puesto que v 6= 0, se tiene λ = α, lo muestra que el valor propio es u ´nico. Teorema 2. Sea A una matriz cuadrada. Entonces A y At tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas.

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Prueba. Por definici´ on se tiene que el polinomio caracter´ıstico de la matriz At est´ a dada por: pAt (λ) = det(λI − At ) = det((λI − A)t ) = det(λI − A) = pA (λ). ya que el determinante de una matriz A y el de su transpuesta At son iguales. Por lo tanto, podemos decir que A y At tienen el mismo polinomio caracter´ıstico y, en consecuencia, los mismos valores propios con las mismas multiplicidades. As´ı termina la prueba. Es interesante observar que, aunque A y At tienen los mismos valores propios, no tienen, en general los mismos vectores propios.

4.3 Matrices Similares.1 El objetivo de esta secci´ on es presentar matrices similares, que est´an relacionados por una matriz invertible, y algunas de sus propiedades. Definici´ on 1. (Matrices similares o semejantes) Diremos que las matrices cuadradas A y B son similares, si existe una matriz invertible P tal que: A = P BP −1 , ´ o equivalentemente B = P −1 AP.

Debemos indicar que si A y B son similares, escribiremos A ' B. Observaci´ on 1. Obviamente, la relaci´ on de similar, A ' B, definida entre dos matrices es una relaci´ on de equivalencia; es decir, verifican las siguientes tres propiedades. 1. reflexiva: A es similar a A. 2. Sim´etrica: Si A es similar a B, entonces B es similar a A. 3. Transitiva: Si A es similar a B y B es similar a C, entonces A es similar a la matriz C. 1 Recuerde,

una matriz es un arreglo rectangular de nmeros ´ aij .

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Son varias las propiedades que comparten las matrices semejantes o similares. A continuaci´ on presentamos algunas de ellas. Teorema 1. Sean A y B dos matrices similares. Entonces A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico. Prueba. Sean A y B matrices similares, entonces por definici´on existe una matriz P invertible tal que B = P −1 AP . Haciendo uso la definici´on de polinomio caracter´ıstico y las propiedades del determinante se tiene: det(B − λI)

=

det(P −1 AP − λI)

=

det(P −1 AP − λP −1 IP )

=

det(P −1 (A − λI)P )

=

det(P −1 ) det(A − λI) det(P )

=

det(A − λI).

De esto se tiene que el polinomio caracter´ıstico de la matriz B es igual al polinomio caracter´ıstico de la matriz A, lo cual termina la prueba. El rec´ıproco del teorema anterior no es siempre cierto. Para ver esto, consideremos las matrices:     1 1 1 0 y . 0 1 0 1 Claramente, estas matrices tienen el mismo polinomio caracter´ıstico, pero no son similares o semejantes. Teorema 2. Sean A y B dos matrices similares. Entonces A y B tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas. Prueba. Es consecuencia del Teorema 1 ya que los valores propios son las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico. Acabamos de comprobar que dos matrices similares tienen los mismos valores propios. No ocurre lo mismo con los vectores propios, aunque existe una relaci´ on entre ellos. A fin de ver esta relaci´ on, consideremos A y B dos matrices similares, es decir: B = P −1 AP,

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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para alguna matriz invertible P . Si v es un vector propio de B asociado al valor propio λ se tiene B v = λ v ´ o equivalentemente: P −1 AP v = λ v, y multiplicando por P ambos lados obtenemos: A(P v) = λ(P v). Por tanto, P v es un vector propio de la matriz A asociado al valor propio λ. Luego, los vectores propios de matrices similares mediante la matriz invertible P , est´ an relacionados tambi´en por P . Teorema 3. Sean A y B dos matrices similares, entonces: det A= detB. Prueba. Como A y B son similares, entonces existe P invertible tal que B = P −1 AP ; luego se tiene gracias a las propiedades del determinante: det B = det(P −1 AP ) = detP −1 detAdetP = detA, como quereamos probar. Teorema 4. Sean A y B dos matrices similares, entonces: ran(A)= ran(B). Prueba. Como A y B son similares, entonces existe P invertible tal que B = P −1 AP ; luego haciendo uso la definici´ on de rango y propiedad de producto se tiene: ranB = ran((P −1 A) P ) = ran(P −1 A) = ranA, como quereamos establecer. Teorema 5. Sean A y B dos matrices similares, entonces: traz(A)= traz(B). Prueba. Como A y B son similares, entonces existe P invertible tal que B = P −1 AP . Es m´ as, si A y B son dos matrices de tam˜ no n × n, cumple traz(AB) = traz(BA). Haciendo uso este resultado se tiene: trazB = traz(P −1 (AP )) = traz((AP )P −1 ) = traz(A(P P −1 )) = trazA,

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lo cual muestra el resultado. Acabamos esta secci´ on con la observaci´ on que si dos matrices satisfacen los resultados anteriores no tienen por que se similares. Dicho con otras palabras, el rec´ıproco de los teoremas precedentes no es siempre cierto.

4.4 Diagonalizaci´ on de matrices.1 La meta de esta secci´ on es estudiar condiciones necesarias y suficientes para que una matriz cuadrada sea similar a una matriz diagonal. El operador lineal T : V → V es diagonalizable, si existe una base de V en la cual la matriz que representa a T tiene forma diagonal. Como ya fue indicado, nuestro inter´es es poder utilizar el concepto de diagonalizaci´ on para matrices. As´ı, nuestra primera tarea ser´a conocer cuando una matriz es diagonalizable. Definici´ on 1. (Matriz diagonalizable) Diremos que la matriz cuadrada A es diagonalizable, si existe una matriz diagonal D tal que A es similar a D.

En otras palabras, la matriz A es diagonalizable, si existe una matriz invertible P tal que: P −1 AP = D, siendo D una matriz diagonal. Dentro de esto destaca aquella propiedad que nos dice que una matriz A de orden n × n es diagonalizable si y s´ olo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En este caso, la matriz diagonal D ser´a:   λ1 0 · · · 0  0 λ2 · · · 0    D= . .. . . ..  ,  .. . . .  0 1 Recuerde,

0

···

λn

una matriz es diagonal, si fuera de la diagonal principal son todo ceros.

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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donde λ1 , λ2 , · · · , λn son valores propios de A. Adem´as, P es una matriz cuyas columnas son vectores propios de A linealmente independientes, con lo cual se tiene D = P −1 AP. Teorema 1. Una matriz cuadrada A de orden n × n es diagonalizable si, y s´ olo si, tiene n vectores linealmente independientes. Prueba. Ejercicio para el lector interesado. Observaci´ on 1. Para efectos pr´ acticos, cuando se desea diagonalizar una matriz, bastar´ a seguir los siguientes pasos: 1. Determinar el polinomio caracter´ıstico p(λ) = det(A − λI). 2. Determinar las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de A, las cuales ser´ an los valores propios. Si las ra´ıces no son todas reales, entonces A no se puede diagonalizar (depende del campo). 3. Si los valores propios λi de A son diferentes, entonces A es una matriz diagonalizable. Si el valor propio λi es de multiplicidad di , entonces se halla una base para el espacio soluci´ on: (A − λi I) v = 0. Si la dimensi´ on del espacio propio dada l´ıneas arriba es menor que la multiplicidad di , entonces A no es diagonalizable; caso contrario, existe la matriz diagonal D = P −1 AP, donde P es la matriz cuyas columnas son los n vectores propios linealmente independientes que corresponde a los valores propios λi . A modo de ilustraci´ on de c´ omo se utiliza la observaci´on precedente en la pr´ actica, veamos los siguientes ejemplos bastante simples. Ejemplo 1. Sea A la matriz de orden  1 −1 A= 3 2 2 1

3 × 3 dada por:  4 −1  . −1

Determinar si A es diagonalizable. Soluci´ on. Como ya hemos indicado, los valores propios de A est´an

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dados por λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 3 y sus respectivos vectores propios son:       −1 1 1 v1 =  4  , v2 =  −1  , v3 =  2  . 1 −1 1 Claramente se observa que los valores propios son diferentes y linealmente independientes y as´ı, A es diagonalizable. Poniendo en la columna los vectores propios se tiene la matriz invertible P , esto es:   −1 1 1 P =  4 −1 2  . 1 −1 1 Luego, hallando P −1 y efectuando producto de  1 0 D = P −1 AP =  0 −2 0 0

matrices se tiene:  0 0 , 3

lo cual muestra que A es diagonalizable. Ejemplo 2. Sea T un operador lineal ordenada can´ onica por la matriz:  0 0 A= 0 1 1 0

sobre R3 representado en la base  0 0 . 1

Determinar si A es diagonalizable. Soluci´ on. Con los elementos te´ oricos vistos hasta el momento, debe resultar rutinaria para el lector encontrar la ecuaci´on caracter´ıstica: λ(λ − 1)2 = 0. y de esto se tiene los valores propios λ1 = 0, λ2 = 1 y λ3 = 1. Veamos ahora si A es diagonalizable. Para esto notemos λ2 = 1 es un valor propio de multiplicidad 2, y por lo tanto, debemos primero encontrar la dimensi´ on del espacio soluci´ on del sistema lineal que corresponde al valor propio de multiplicidad λ2 = 1, esto es: (A − λ2 I) v = (A − I) v = 0,

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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o lo que es lo mismo reemplazando sus matrices: ´      1 0 0 x1 0  0 0 0   x2  =  0  . 1 0 0 x3 0 Una soluci´ on de esto es cualquier vector de la forma:   0  r  r s ∈ R, r s = 6 0. s Observando esto se ve que esto es lo mismo hacer:       0 0 0  r  = r 1  + s 0 . s 0 1 As´ı, podemos considerar el conjunto de vectores propios v2 y v3 ,     0 o n 0 B = {v2 , v3 } =  1  ;  0  , 0 1 lo cual es una base para el espacio soluci´ on del sistema (A − I) v = 0, pues estos vectores generan al espacio soluci´ on y son linealmente independientes. Por lo tanto, la dimensi´ on del espacio soluci´ on dim S = 2. Esto significa que A es diagonalizable. Resta encontrar la matriz diagonal. Para este fin falta encontrar para λ1 = 0 su vector propio; es decir, debemos resolver (A − 0I)v = 0, ´ o lo que es lo mismo:      x1 0 0 0 0  0 1 0   x2  =  0  . 0 1 0 1 x3 Resolviendo esto se obtiene que la soluci´ on del sistema es de la forma:     1 t  0  = t 0  t ∈ R. −1 −t As´ı, un vector propio para λ1 = 0 esta dado por:   1 v1 =  0  . −1

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De todo esto hemos encontrado los siguientes vectores propios:       1 0 0 v1 =  0  , v2 =  1  , v3 =  0  −1 0 1 linealmente independientes. Por lo tanto, A es diagonalizable pues     1 0 0 0 0 0 P =  0 1 0  es tal que D = P −1 AP =  0 1 0  , −1 0 1 0 0 1 lo cual termina la soluci´ on deseada. Ejemplo 3. Sea T un operador lineal can´ onica por la matriz:  0 0 A= 0 1 0 0

sobre R3 representado en la base  1 2 . 1

Determinar si A es diagonalizable. Soluci´ on. Recurrimos al truco usual y encontramos que la ecuaci´on caracter´ıstica de A est´ a dada por λ(λ − 1)2 = 0 y resolviendo esto se obtienen los valores propios λ1 = 0 y λ2 = λ3 = 1. Veamos ahora si A es diagonalizable. Para esto observemos que λ2 = 1 es un valor propio de multiplicidad 2 y por ello primero debemos hallar la dimensi´ on del espacio soluci´ on del sistema lineal que corresponde al valor propio de multiplicidad λ2 = 1, esto es:      1 0 −1 x1 0 (A − λ2 I) v =  0 0 −2   x2  =  0  . 0 0 0 x3 0 Una soluci´ on de esto es cualquier vector de la forma:     0 0  r  = r 1  r ∈ R, r 6= 0. 0 0 Claramente se tiene que el conjunto:   n 0 o B=  1  0

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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es una base para el espacio soluci´ on del sistema (A − λ2 I) v = 0. Por lo tanto, la dimensi´ on del espacio soluci´ on dim S = 1. Esto significa que no existen dos vectores propios linealmente independientes asociados con λ2 = 1. As´ı, la matriz A no se puede diagonalizar. Acabamos esta secci´ on con algunas observaciones y resultados sobre polinomios caracter´ısticos. Observaci´ on 1. Se tiene lo siguiente:

1. Si T : V → V es un operador lineal sobre el espacio vectorial V de dimensi´ on finita y f es un polinomio sobre R, entonces f (T ) es un operador lineal sobre V.

2. Diremos que el polinomios f anulan a T , si f (T ) = 0.

Teorema 2. Sea T : V → V un operador lineal sobre V de dimensi´ on finita. entonces existe un polinomio no nulo f de F [x] tal que f (T ) = 0. Prueba. Ejercicio para el lector interesado. Teorema 3. (Cayley-Hamilton) Si f es el polinomio caracter´ıstico del operador lineal T sobre V de dimensi´ on finita, entonces f (T ) = 0. Prueba. Ejercicio para el lector interesado.

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Actividad de aprendizaje No 4 1 1 Determinar, de ser posible, los valores a, b y c para que la matriz: 

a 4 A= 6 b 4 2

 6 0  c 

 6 tenga como valor propio λ = 6 y vector propio v =  2  . 10

2 Determinar los valores propios y vectores propios de las siguientes matrices:     5 −6 −6 2 3 4 2 . A= B =  −1 −1 3 3 −6 −4 3 Determine si A y At tienen los mismos valores propios, si: 

1 A= 0 2

1 3 −1

 1 0  2



y

2 B= 1 1

2 3 2

 1 1 . 2

4 Calcular los subespacios propios de las siguientes matrices: 

1 A= 0 2

1 3 −1

 1 0  2



y

2 B= 1 1

2 3 2

 1 1 . 2

5 Sea A una matriz cuadrada, verificar que A y At tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas. 6 Verificar que la relaci´on de semejanza (similares) definida entre dos matrices es una relaci´ on de equivalencia. 1 Recuerde,

resolver las actividades propuestas enriquece el aprendizaje.

Cap´ıtulo 3: Transformaciones lineales

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7 Determinar si las matrices A y B son semejantes, siendo 

1 A =  −1 0

 0 2 1 1  0 2



y

−1 2 0

1 B= 0 0

 1 1 . 1

8 Sean A y B dos matrices semejantes. Verificar que A y B tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas. 9 Determinar cual de las siguientes matrices son diagonalizables. 

−1 2 1

1 A= 3 2 

3 C= 1 1

1 3 1

 4 −1  −1

 1 1  3



2 B= 0 0 

1 D =  −1 −1

 3 2 . 2

2 2 0

−1 1 −1

 −1 −1  . 1

10 Estudiar para qu´e valores de los par´ametros a y b la matriz siguiente es diagonalizable:   5 0 0 A =  0 −1 a  . 3 0 b 11 Razonar que la matriz:  A=

a b

b a

 ,

es diagonalizable y hallar su forma diagonal.

12 Probar que si A es una matriz cuadrada de orden 2, entonces su polinomio caracter´ıstico se puede calcular por la f´ormula p(λ) = λ2 − traza(A)λ + det(A).

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Referencias ´ [1 ] Elon Lages Lima: Algebra Linear. Segunda edic˜ ao, Impa. ´ [2 ] Kenneth Hoffman, Ray Kunze Algebra Lineal. [3 ] Ben Noble. James W. D.: Algebra Lineal Aplicada. tercera edici´ on [4 ] Bernard Kolman: Algebra Lineal y aplicaciones. [5 ] Stanley I. Grossman: Algebra Lineal con aplicaciones. [6 ] Serge Lang: Algebra Lineal.