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• Tebo Sarmiento

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

VALORES Y VECTORES PROPIOS 1.1- VALORES Y VECTORES PROPIOS (EIGENVALORES Y EIGENVECTORES) Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar λ A si existe un vector (columna) no nulo para el que:

K se denomina un valor propio de

λ Todo vector que satisfaga esta relación se llama un vector propio de A perteneciente al valor propio λ. Nótese que cada múltiplo escalar , es a su vez un vector propio, puesto que: (

)

(

)

( )

(

)

El conjunto de todos los vectores propios pertenecientes a λ es un subespacio de , conocido como espacio propio o característico de λ. (Si dim= ), recibe el nombre de recta propia y λ se llama factor de escala.) Los términos valor característico y vector característico (o eigenvalor y eigenvector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio. EJEMPLO: Sea

0

1 y sean

(

) y

(

0

10 1

) . Entonces: 0

1

0 1

Y 0 Así pues,

10

1

0

1

(

)

son vectores propios e A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios de .

El teorema que se enuncia a continuación es la herramienta principal para el cálculo de valores propios y de vectores propios. TEOREMA: Sea una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) Un escalar λ K es un valor propio de A b) La matriz es singular c) El escalar λ es una raíz del polinomio característico ( ) de BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

Página 1

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS DEMOSTRACION: El escalar λ es un valor propio de A si y solo si existe un vector no nulo tal que: (

espacio propio ( )

)

(

)

|. Así mismo, esta en el es singular. En tal caso, es una raíz de ( ) | de si y solo si se verifican las relaciones anteriores, luego es una solución de

( ) El espacio propio de será el espacio solución del sistema homogéneo . ) ) Muchas veces resulta más conveniente resolver el sistema ( que el ( cuando se calculan vectores propios. Por supuesto, ambos sistemas conducen al mismo espacio solución. Algunas matrices pueden no tener valores propios ni, por tanto, valores propios. No obstante, haciendo uso del teorema fundamental del algebra (todo polinomio sobre C tiene una raíz) llegamos al siguiente resultado. TEOREMA: Sea una matriz n-cuadrada sobre el cuerpo complejo C, entonces A tiene al menos un valor propio. Supongamos ahora que es un valor propio de la matriz . La multicidad de como raíz del polinomio característico de . La dimensión de su espacio propio. Es valido el teorema enunciado a continuación.

de es la de es la

TEOREMA Sea un valor propio de la matriz . La multicidad geométrica de no excede su multiplicidad algebraica. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.- Compruebe que correspondiente.

es un valor característico de A y que

[

(

)

| BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

(

]

[

es un vector característico

)

]

| Página 2

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

( )

[

][ ]

(

[ ]

)

] Calcular : a) el polinomio característico ( ) de A, b) los valores

[

2.- Supóngase

[ ]

propios de A, c) un conjunto máximo de vectores propios linealmente independientes de A

|

| |

(

(

)

)(

)(

|

|

[

]

)

(

)

(

)

(

)

|

(

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

)(

)(

)

Página 3

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS (

)

[

]

[

]

(

⃗⃗⃗⃗

(

)

0

)

(

⃗⃗⃗⃗

)

]

[

]

]

1

[

0

[

]

1

(

⃗⃗⃗⃗

[

[

)

| |

]

3.-Determine si x es un vector característico de A

[ )

(

)

)

(

)

)

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

)

[

(

] (

)

][ ]

)

[

( √

√

)

]

)

Página 4

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS )

[

( )

(

][

]

[ ]

]

[

)

)

)

[

√ √

][

√

]

√ √

( √

)

√

4.-Determine la dimensión del espacio característico correspondiente al valor característico 3 de

[

(

)

|

]

[

]

|

|

|

|

|

(

)

(

(

)

[

]

[

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

[

)

]

]

Página 5

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS (

⃗⃗⃗⃗

)

5.-Mostrar que dos matrices similares tienen los mismos valores propios , entonces: |

|

|

|

|

|

|

) |

(

Donde por medio de las propiedades de los determinantes nos dice | |

|

|

|

||

|| |

|| |

se obtiene:

|

Al tener los mismos polinomios característicos tienen iguales valores propios 1.2.- DIAGONALIZACION Se dice que una matriz es (bajo similaridad) si existe una matriz no singular tal que es una matriz diagonal, o sea, si es similar a una matriz diagonal . El teorema que sigue caracteriza tales matrices. TEOREMA: Una matriz cuadrada es similar a una matriz diagonal si y solo si tiene vectores propios linealmente independientes. En tal caso, los elementos diagonales de son los valores propios correspondientes y , siendo la matriz cuyas columnas son los vectores propios.

Supongamos que una matriz diagonal. Entonces tiene la

puede diagonalizarse como antes, digamos extremadamente útil

Empleando esta factorización, el algebra de manejable. Específicamente, supongamos (

con

se reduce a la de la matriz diagonal , fácilmente ) en ese caso diag ( (

)

)

Y, con mayor generalidad, para todo polinomio ( ), ( ) BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

(

)

( )

( (

)

(

))

Página 6

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

Más aun, si las entradas diagonales de una “raíz cuadrada” de :

son no negativas, la matriz

(√ Esto es,

√

escrita a continuación es

)

.

EJEMPLO 0

Consideremos la matriz

1 De acuerdo con el Ejemplo del primer tema,

valores propios linealmente independientes 0 1 y 0 [

] Entonces

1. Tomemos

0

tiene dos

1 y, por tanto,

es similar a la matriz diagonal.

[

]0

10

1

0

1

Se puede verificar que los elementos diagonales 4 y -1 de la matriz diagonal son los valores propios correspondientes a los vectores propios dados. En particular, tiene factorización

0

0

En consecuencia

10

10

1[

1[

]

]

0

1

Además si ( )

( )

TEOREMA Sean propios distintos

( )

…,

0

10

1[

]

0

1

vectores propios no nulos de una matriz , pertenecientes a valores Entonces son linealmente independientes.

TEOREMA Supongamos que el polinomio característico de una matriz n-cuadrada es un )( ) ( ) En ese caso, es producto de factores distintos, digamos ( ) ( similar a una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los . BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

Página 7

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS CALCULO DE VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION DE MATRICES. En esta sección se calculan los valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada y se determina si existe o no una matriz no singular tal que sea diagonal. En concreto, se aplicará a la matriz el algoritmo que enseguida exponemos ALGORITMO (Diagonalización) La entrada es una matriz

cuadrada .

Paso 1. Hallar el polinomio característico ( ) de Paso 2. Hallar las raíces de ( ) Paso 3. Repetir )

A.

) para cada valor propio de .

a) Construir

restando a los elementos diagonales de , o sustituyendo en . b) Encontrar una base para el espacio solución de . (Los vectores de la base son vectores propios linealmente independientes de pertenecientes a ) Paso 4. Considerar la colección paso 3: a) Si b) Si

,

*

+ de todos los vectores propios obtenidos en el

no es diagonizable. , sea la matriz cuyas columnas son los vectores propios Entonces [

Donde

]

es el valor propio correspondiente al vector propio

.

Ejemplo Apliquemos el algoritmo de diagonalización a 1. El polinomio característico

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

( ) de

0

1.

es el determinante.

Página 8

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS ( ) 2. Hacemos ( ) .

|

| (

|

)(

)

3. i) Hallemos un vector propio Restamos

(

| . Las raíces

de

)(

son los valores propios de

perteneciente al valor propio

a los elementos diagonales de

Los vectores propios pertenecientes a es decir:

10 1

,

) en

1

De este modo . 0

la matriz cuyas columnas son los vectores propios precedentes: ] y

0

para conseguir

El sistema tiene una solución independiente, digamos ( ) Es un vector propio que genera el espacio propio de

[

(

Así

pertenecientes al valor propio

Restamos -2 (o sumamos 2) a los elementos diagonales de

4. Sea

1

0 1

El sistema tiene solo una solución independiente; por ejemplo, un vector propio que genera el espacio propio de . de

0

para conseguir la matriz

forman la solución del sistema homogéneo

0

ii) Hallemos un vector propio

)

1. Entonces

es la matriz diagonal que tiene por entradas diagonales los

respectivos valores propios: [

De acuerdo con ello,

]0

10

10

1[

, podemos calcular ( ) ( )

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

0

1

posee la “factorización diagonal”: 0

Si ( )

1

( )

0

10

]

( 1[

]

) 0

luego 1

Página 9

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS Ejemplo 0

Consideremos la matriz ( ) ( único valor propio de Restamos

1

| |

Aquí tr

)2 es el polinomio característico de

a los elementos diagonales de

Por tanto

. En consecuencia, 0

obteniendo la matriz

es el

1

El sistema tiene únicamente una solución independiente; por ejemplo, . Siendo así, ( ) es el único vector propio de la matriz . Podemos decir, pues, que no es diagonalizable, por no existir una base constituida por vectores propios de . EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.-Sea

0

1 una matriz sobre el cuerpo real R. Determinar las condiciones necesarias y

suficientes qa imponer sobre a, b, c, y d para que A sea diagonalizable, es decir, para que tenga dos vectores propios linealmente independientes. ( |

|

(

)(

)

0

1

)

( ( (

)

(

)

√(

)

(

(

) (

)

) )

(

2.-Sea B=0

)

)

1. Hallar: ) Todos los valores propios de B y los vectores propios asociados; ) sea diagonal y ) Encuentre la matriz

una matriz invertible tal que ( | BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

) |

0 (

1 )(

)

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|

(

|

)(

(

)

)

0

1

0

)

)

1

0

1

1 ⃗⃗⃗⃗

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

(

0

0

[

1

1

⃗⃗⃗⃗

(

0

0

1

]0

10

(

)

[

1

[

]

]0

1

0

1

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0

10

1[

]

0

1[

]

0

1

3.-Para cada matriz determine, en caso de ser posible, una matriz P no singular tal que sea diagonal. Comprobar que es una matriz diagonal con los valores caracteristicos en la diagonal

[

(

|

)

|

(

]

[

]

)(

)(

)(

(

)(

[

[

[

(

)(

[

,

]

⃗⃗⃗⃗

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

)(

]

]

[

) )

]

-

)

]

[

]

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[

]

[

]

⃗⃗⃗⃗

(

]

[

]

0

(

]

[ ⃗⃗⃗

-

)

]

[

]

,

[

[

[

1

⃗⃗⃗⃗

1

)

[

]

[

0

(

]

1 )

] [

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

0

]

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[ [

][

]

]

[ [

]

[

]

]

4.- Demuestre que la matriz dada no es diagonalizable

[

(

| |

|

(

)

]

[

)(

]

)

|

|

|

(

)(

|

)

| =0

5.- Demuestre que si A es diagonalizable, entonces

tambien lo es

| |

|

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

|

|

|

|

|

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[

(

|

| |

(

)

|

[

]

[

)(

|

)(

(

]

) )(

(

)

(

)

)

(

)

)

| |

(

|

]

|

(

|

)

)( |

[

)(

]

)

(

|

1.3.- MATRICES REALES SIMETRICAS Y DIAGONALIZACION ORTOGONAL Hay muchas matrices reales que no son diagonalizables. De hecho, algunas de ellas pueden no tener ningún valor propio (real). No obstante, si es una matriz real , estos problemas desaparecerán. A saber: TEOREMA: Sea

una matriz real simétrica. Toda raíz de su polinomio característico es real.

TEOREMA: Sea una matriz real simétrica. Supongamos que y son vectores propios no nulos de pertenecientes a valores propios distintos y Entonces y son ortogonales, o sea, . BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

Página 15

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

Los dos teoremas anteriores nos lleva al resultado fundamental: TEOREMA: Sea diagonal.

una matriz real simétrica. Existe una matriz ortogonal

tal que

es

Podemos elegir las columnas de la matriz precedente como vectores propios ortogonales normalizaos de , en cuyo caso las entradas diagonales de los valores propios correspondientes. EJEMPLO Sea

0

1. Hallemos una matriz ortogonal

tal que

sea diagonal. Aquí tr

| | ( ) Por tanto, polinomio de . Los valores propios de son 6 y 1. Restando obtenemos el sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado

Una solución no nula es ( ) Acto seguido restamos para llegar al sistema homogéneo asociado

(

de la diagonal de la matriz

( ) Como podía esperarse, Una solución no nula es normalizamos para conseguir los vectores ortonormales ( Finalmente, sea

√

√ )

la matriz cuyas columnas son

√ √ ] y √ √ Como era de esperar, las entradas diagonales de a las columnas de . [

)( ) es el de la diagonal de

.

son ortogonales. Los

√ /

√

respectivamente. Entonces 0

1

son los valores propios correspondientes

DIAGONALIZACION ORTOGONAL DEFINICION DE UNA MATRIZ ORTOGONAL Una matriz cuadrada P es ortogonal si es invertible y

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

Página 16

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS TEOREMA: Una matriz P de ortonormal.

es orotgonal si y solo si sus vectores columna forman un conjunto

DIAGONALIZACION ORTOGONAL Una matriz es diagonizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P tal que es diagonal. El siguiente teorema establece que el conjunto de matrices diegonizables ortogonalmente es ortogonalmente el conjunto de matrices simetricas. TEOREMA Sea A una matriz . Entonces A es diagonizable ortogonalmente y tiene valores característicos reales si y solo si A es simétrica ALGORITMO (Diagonalización ortogonal) La entrada es una forma cuadrática ( ) Paso 1. Hallar la matriz simétrica

que represente

y calcular su polinomio característico ( )

Paso 2. Hallar los valores propios de , que son las raíces de ( ). Paso 3. Encontrar una base ortogonal del espacio propio de cada uno de los valores propios paso 2.

del

Paso 4. Normalizar todos los vectores propios del Paso 3, que pasaran así a formar una base ortonormal de Rn. Paso 5. Sea

la matriz cuyas columnas son los vectores propios normalizados del Paso 4.

Entonces es el cambio de coordenadas ortogonal requerido. Las entradas diagonales de seran los valores propios asociados a las columnas de . EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1.- Encuentre los valores característicos de la matriz simétrica dada. Para cada valor característico, determine la dimensión del espacio característico correspondiente.

[

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

]

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|

(

)

|

|

[

]

(

)

(

)

|

(

)

[

]

[

]

(

⃗⃗⃗⃗

(

)

(

)

]

]

) ⃗⃗⃗⃗

]

, -

1

[

[

⃗⃗⃗⃗

0

[

0

[

]

1

(

)

2.- Determine si la matriz dada es ortogonal

[

| | BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

]

| |

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

[

]

[

]

[

3.- Encuentre un matriz ortogonal forma diagonal correcta

]

tal que

diagonalice . Compruebe que

[

(

)

|

]

[

]

|

(

[

]

[

)

]

⃗⃗⃗⃗

[

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

da la

]

(

0

0

1

)

1

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

⃗⃗⃗⃗

[

]

(

0

1

(

⃗⃗⃗⃗ (

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

(

) ⃗⃗⃗⃗ )

[

√

√

√

√

√

√

(

√

[√

√

√

√

√

√

√

4.- Demuestre que si A es una matriz siguiente ejemplo:

√

√

√

√

[√

√

√

[

]

√

√

√

√

√

√

]

]

]

entonces 0

Y

son simetricas mediante el

1

[

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

√

[

√

) √

√

]

[

(

]

√

)

√

[

]

(

⃗⃗⃗⃗

]

√

√

) ⃗⃗⃗⃗ ) √

√

[√

)

(

⃗⃗⃗⃗

)

]

Página 20

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS [

]0

1

0

1[

[

5.- Supóngase

]. Hallar:

[

] ]

0

1

) El polinomio carcterisitco de C ;

) los

valorespropios de C ; ) Un conjunto máximo S de vectores propios ortogonales no nulos de C ; ) Una matriz ortogonal tal que sea diagonal

(

|

| |

(

)( |

)

)(

(

(

)

(

)

(

)

)

| |

(

]

) )(

|

)

|

[

]

[

]

⃗⃗⃗⃗

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

[

(

0

1

) ⃗⃗⃗⃗

[

]

( (

) )

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

0

,

1 ⃗⃗⃗⃗

(

)

(

)

[

]

[

]

0

)

*

.

√

√

/

√

.

√

√

√

[√

]

√

[√

√

√

√

[

√

√

√

[√

√

√

√

][

√

√

]

√

√

[

√

√

√

√

√

]

]

√

√

√

√

/

√

√

√

√

√

√

√

√

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/

√

√

√

√

√

√

√

[

+

.

√

√

]

, -

1

(

⃗⃗⃗⃗

[

√

√

√ √

]

√

[

√ √

]

]

Página 22

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS √

√

√

[

√

√

√ √ √

]

1.4.- APLICACIONES: CRECIMIENTO DE UNA POBLACION Las matrices pueden aplicarse para elaborar modelos que describan el crecimiento de alguna población. El primer paso es agrupar la población en clases de edad de la misma duración. Por ejemplo, si el tiempo que vive un miembro de la población es L años, entonces las clases de edad se representan por los n siguientes intervalos: Clase de primera edad

Clase de segunda edad

[0, ) ,

[ ,

Clase de la n-esima edad (

), . . . . . . . ,[

)

, L]

El número de elementos de la población en cada clase de edad se representa entonces por el vector de distribución de edades:

[

]

Durante un periodo de años, la probabilidad de que un elemento de la clase de la i-esima edad sobreviva para convertirse en elemento de la clase de la (i + 1)-esima edad esta dada por pi, donde: 0

pi

1, i = 1, 2, …, n – 1.

El numero medio de descendencia producido por un miembro de la clase de la i-esima edad esta dado por bi, donde: 0

bi, i = 1, 2, …, n.

Los números mencionados pueden escribirse en forma matricial como se muestra a continuación:

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

Página 23

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

A=

, [

]

Al multiplicar esta matriz de transición de edades por el vector de distribución de edades durante un periodo específico se obtiene el vector de distribución de edades para el siguiente periodo. Es decir: Axi = xi+1 Ejemplo: Una población de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes características: a.) La mitad de conejos sobrevive el primer año. De estos, la mitad sobrevive el segundo año. La duración máxima de vida es de tres años. b.) Durante el primer año los conejos no producen descendencia. El número medio de descendencia es 6 durante el segundo año y 8 durante el tercer año. Actualmente, la población de laboratorio consta de 24 conejos en la clase de la primera edad, 24 en la segunda y 20 en la tercera. ¿Cuántos habrá en cada clase en un año? Solución: El vector actual de distribución de edades es.

x1 = [ 0 1 2

]

edad edad edad

1 2 3

Y la matriz de transición de edades es:

A=[

].

Al cabo de un año el vector de distribución de edades será:

X2 = Ax1 = [ 0 1

edad edad

]. [

]=[

]

1 2

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

Página 24

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS 2

edad

3

Si el patrón de crecimiento de este ejemplo continúa durante otro año, entonces la población de conejos seria:

X3 = Ax2 = [

]. [

]=[

]

0 edad 1 1 edad 2 2 edad 3 A partir de los vectores de distribución de edades x1, x2, y x3 se observa que el porcentaje de conejos en las tres clases de edades cambia cada año. Suponga que el laboratorio prefiere un patrón de crecimiento estable, uno en el que el porcentaje en cada clase de edad permanezca igual cada año. Para lograr este patrón de crecimiento estable, el (n + 1)-esimo vector de distribución debe ser múltiplo escalar del n-esimo vector de distribución de edades. Es decir, Axn = xn + 1 = xn. Por tanto, el laboratorio puede obtener un patrón de crecimiento, en el cual el porcentaje en cada clase de edad permanezca igual el mismo año, al determinar un vector característico de A. En el siguiente ejemplo mostraremos como resolver este problema: Ejemplo: Encuentre una distribución estable de edades para la población del ejemplo 1: Solución: para resolver este problema es necesario encontrar un eigenvalor y un eigenvector correspondiente x tales que: Ax = x El polinomio característico es:

det (

- A) = [

]=

3

- 3 - 2 = ( + 1)2( -2)

Lo que implica que los eigenvalores son = -1 y = 2. Con el valor positivo, se hace = 2. Para encontrar un eigenvector correspondiente, la matriz en la que se reemplaza = 2 queda:

[

] al multiplicar por el vector x = [ ] nos da: [

tomamos a t = 2 nos quedaría: [ 0 1

edad edad

]=t[

] este eigenvector si

]

1 2

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Página 25

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS 2 edad 3 Y el vector de distribución de edades para el año siguiente seria:

x2 = Ax1 = [

]. [

]=[

]

0 edad 1 1 edad 2 2 edad 3 Se puede observar que el porcentaje en cada clase de edad permanece igual. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.- Utilice la matriz de transición de edades y el vector encontrar los vectores de distribución de edades y [

]

de distribución de edades para

0

1

[

]0

1

0

1

[

]0

1

0

1

0

1

2.- Dada la matriz de transición de edades y el vector los vectores de distribución de edades y

0

1

de distribución de edades determine

[ [

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

]

]

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[

[

]

[

]

[

]

[

]

]

[

]

[

]

[

]

3.- Encuentre una distribución de edades estable para la matriz de transición de edades del primer ejercicio. [

(

) |

(

)

[

]

[

]

|

[

]

[

(

)

]

, -

] ⃗⃗⃗⃗

0 1

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Página 27

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS 4.- Encuentre una distribución de edades estable para la matriz de transición de edades del primer ejercicio.

[

(

]

) [ |

| |

(

]

|

) [

[ [

]

]

] (

)

) [

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[

]

⃗⃗⃗⃗

(

[

]

]

[

]

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[ [

[

]

]

] ⃗⃗⃗⃗

(

)

[ ]

[ ]

5.-Una población presenta las siguientes características: a) Un total de 75% de la población sobrevive el primer año. De este 75%, el 25% sobrevive el segundo año. La duración máxima de vida es de 3 años. b) El numero de descendencia de cada miembro de la población es 2 el primer año, 4 el segundo y 2 el tercero. Actualmente, la población consta de 120 elementos en cada una de las tres clases de edad. ¿Cuánto habrá en cada clase de edad en un año? ¿y en dos? [

[

[

][

]

[

]

[

][

]

[

]

[

]

[

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]

]

]

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

1.5.- APLICACIONES: FORMAS CUADRATICAS Las dos variables serán x e y y se define como una expresión que puede escribirse como: ax2 + 2bxy + cy2 Las siguientes expresiones son formas cuadráticas en x e y:

2x2 + 6xy – 7y2 (a = 2, b = 3, c = -7) 4x2 – 5y2 (a = 4, b = 0, c = -5) xy (a = 0, b = ½, c = 0) Si se acuerda suprimir los corchetes en las matrices de 1 x 1, entonces se puede escribir en forma matricial como: -. 0

ax2 + 2bxy + cy2 =,

1. 0 1

Nótese que la matriz 2 x 2 es simétrica, que los elementos en la diagonal principal son los coeficientes de los términos al cuadrado y que cada uno de los elementos fuera de la diagonal principal es la mitad de coeficientes del termino del producto xy. Así: 2x2 + 6xy – 7y2 = , xy = ,

-. 0

-. [

4x2 – 5y2 = ,

1. 0 1

]. 0 1 -. 0

1. 0 1

FORMAS CUADRÁTICAS CON n VARIABLES: DEFINICIÓN: una forma cuadrática no se limita a dos o tres variables, una de n variables x1, x2, …, xn es una expresión que se puede escribir como:

,

-A

donde A es una matriz simétrica n x n. [

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

]

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

entonces se puede escribir de manera más abreviada como: xTAx

Si se hace x = [

]

Además, es posible demostrar que si las matrices en xTAx se multiplican, la expresión resultante es de la forma: xTAx = a11x21 + a22x2n + … annx2n + ∑ donde ∑ denota la suma de términos de la forma donde xi y xj son variables diferentes. Los términos denotan términos de producto cruzado de la forma cuadrática. Las matrices simétricas son útiles, aunque no esenciales, para representar formas cuadráticas en notación matricial. Así, para formar la cuadrática 2x2 + 6xy – 7y2, el coeficiente del término de producto cruzado se podría separar en 5 + 1 o 4 + 2 y escribir: ,

-. 0

1. 0 1 o ,

-. 0

1. 0 1

Sin embargo, las matrices simétricas producen en general los resultados más simples, de modo que siempre se usaran. Así, cuando una forma cuadrática se denote por xTAx se entenderá que A es simétrica, aun cuando no se especifique. Como A es simétrica, es decir A = AT se puede expresar en términos del producto interior euclidiano mediante: xTAx = xT(Ax) = = Ahora mostraremos una forma cuadrática en x1, x2 y x3: X21 + 7x23 – 3x23 + 4x1x2 – 2x1x3 + 6x2x3 = ,

-. [

].[ ]

Se puede ver que los términos al cuadrado aparecen sobre de la diagonal principal de la matriz 3 x 3, y que cada uno de los coeficientes de los términos producto cruzado están separados a la mitad y aparecen en las posiciones fuera de la diagonal como se muestra: Coeficientes de A x1x2 x1x3 x2x3 BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

Posiciones de la matriz A a12 y a21 a13 y a31 a23 y a32

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS PROBLEMAS EN QUE APARECEN FORMAS CUADRÁTICAS: TEOREMA : Sea A una matriz simétrica n x n cuyos eigenvalores en orden decreciente son 1 … 2 n Si x n se restringe de modo que || || = 1 con respecto al producto interior euclidiano sobre R , entonces: a.) 1 xTAx n b.) xTAx = n si x es un eigenvector de A correspondiente a n y xTAx = 1 si x es un eigenvector de A correspondiente a 1. Por este teorema se concluye que sujeta a la restricción: || || = (x21 + x22 + … + x2n)1/2 = 1 La forma cuadrática xTAx tiene un valor máximo de mínimo de n (el eigenvalor mas pequeño).

1

(el eigenvalor mas grande) y un valor

EJEMPLO : Encontrar los valores máximo y mínimo de la forma cuadrática. x21 + x22 + 4x1x2 sujeta a la restricción x21 + x22 = 1, y determinar los valores de x1 y x2 en que ocurren el máximo y el mínimo. Solución: La forma cuadrática se puede escribir como: X21 + x22 + 4x1x2 = xTAx = ,

det(

-. 0 1=

- A) = det0

1.0 1 y la ecuación característica de A es: 2

-2 -3=(

)(

)=0

por lo tanto los eigenvalores son: = 3 y = -1 que son los valores máximo y minimo, respectivamente, de la forma cuadrática sujeta a la restricción. Para encontrar los valores de x1 y x2 en que ocurren estos valores extremos es necesario encontrar los eigenvectores correspondientes a estos eigenvalores y luego normalizarlos para satisfacer x21 + x22 = 1. Estos eigenvectores son: para = 3: 0 1 y para = -1: 0

1

Y normalizándolos: [

√ ] √

y [

√ ] √

BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

Página 32

UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS Así: sujeto a la restricción x21 + x22 = 1, el valor máximo de la forma cuadrática es = 3, que ocurre si x1 = √ , x2 = √ ; y el valor minimo es = -1, que ocurre si x1 = √ , x2 = √ . Además se puede obtener otras bases para los eigenespacios al multiplicar por -1 t no altera en nada. MATRICES POSITIVAS DEFINIDAS Y FORMAS CUADRÁTICAS: DEFINICIÓN: Una forma cuadrática xTAx se denomina positiva definida si xTAx > 0 para todo x diferente de cero, y una matriz simétrica A se denomina matriz positiva definida si xTAx es una forma cuadrática positiva definida. TEOREMA : Una matriz simétrica A es positiva si y solo si los eigenvalores de A son positivos. TEOREMA : Una matriz simétrica A es positiva definida si y solo si el determinante de toda submatriz principal es positivo.

EJEMPLO : Ver si la matriz A = [

| | = 2, |

] es positiva definida.

| = 3, |

|=1

Por lo tanto si es una matriz positiva definida. Una matriz simétrica A y la forma cuadrática xTAx se denominan: Positiva semidefinida: si xTAx 0 para todo x. Negativa definida: si xTAx < 0 para x diferente de cero. Negativa semidefinida: si xTAx 0 para todo x. Indefinida: si xTAx tiene valores tanto positivos como negativos. TEOREMA DE LOS EJES PRINCIPALES: Para una cónica cuya ecuación es ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, la rotación definida por X = PX’ elimina el termino xy si P es una matriz ortogonal, con | | = 1, que diagonaliza a A. es decir, P’AP = [

], donde

y

son eigenvalores de A. la ecuación de la cónica rotada esta dada

por: (x’)2 +

(y’)2 + *d e+PX’ + f.

*NOTA: el producto matricial *d e+PX’ es de la forma: *d e+PX’ = (d cosѲ + e senѲ )x’ + (-d senѲ + e cosѲ)y’ BERNARDO ESTEBAN SARMIENTO COBOS

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS

A continuación se resumen los pasos para aplicar el teorema de los ejes principales: 1. Forme la matriz A y determine sus valores característicos 1 y 2. 2. Encuentre los eigenvectores correspondientes a 1 y 2. Normalice estos eigenvectores para formar las columnas de P. 3. Si | | = -1, entonces multiplique por -1 una de las columnas de P para obtener una matriz de la forma: 1.

P =0

4. El ángulo Ѳ representa en ángulo de rotación de la cónica. 5. La ecuación de la cónica rotada es: 1(x’)

2

+

2(y’)

2

+ *d e+PX’ + f = 0

EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1.-Obtenga la matriz de la forma cuadrática asociada con la ecuación dada. En cada caso encuentre los valores característicos de y una matriz ortogonal tal que sea diagonal.

[

]

(

)

|

(

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| |

)

0

0

1

0

(

1 )(

)

|

1

0

1

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS 0

, -

1

(

⃗⃗⃗⃗

(

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0

0

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, -

1

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[

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]0

0

1[

)

)

]

1[

]

(

0

]

1

2.- Efectúe una rotación de ejes que elimine el término en la ecuación cuadrática dada. Identifique la conca rotada resultante y de su ecuación en el nuevo sistema de coordenadas √

√

]

0

[

(

) |

| |

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0

1

1 (

)

|

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(

)

0

0

1

)

(

0

0

1

, -

1 ⃗⃗⃗⃗

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1

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, -

1

(

⃗⃗⃗⃗

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[√ √

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√

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√

√

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√

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-

√ √ -[

, √

( )

,

( )

√

√

,

( )

][ ]

√

-[ ]

( )

3.- Hallar una transformación de coordenadas ortogonal que diagonalice la siguiente forma cuadrática: (

) [

]

(

)

|

| |

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0

1

0 (

1 )(

)

|

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)

0

0

1

(

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⃗⃗⃗⃗

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√

√

√

0 1

0 1

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√

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[ ]

[√

√

√

√

][ ]

√

√ 4.- Determine la matriz de la forma cuadrática asociada con la ecuación dada. Luego, encuentre la ecuación de la superficie cuadrática rotada en la que se hayan eliminado los términos

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[

]

(

|

)

|

)

) |

[

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⃗⃗⃗⃗

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) ⃗⃗⃗⃗

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1

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[

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1

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[

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[

( |

(

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-

(

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[

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[

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0

, -

1

(

⃗⃗⃗⃗

) (

)

(

√ (

) √

) √

√ √

[

√

√

√

√

√

√

√

( )

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,

-

√

[

( )

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( )

( )

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√

√

√

√

√

[

√

[ ] ]

√ ][ ]

( )

√

5.- Hallar una transformación de coordenadas ortogonal que diagonalice la siguiente forma cuadrática: (

)

[

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[

]

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|

)

|

( |

(

[

)

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) |

[

[

]

] ⃗⃗⃗⃗

0

0

) ⃗⃗⃗⃗

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[

)

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)

-

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⃗⃗⃗⃗

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(

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⃗⃗⃗⃗

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1

(

1

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, -

1

(

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)

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UNIVERSIDAD DE CUENCA VALORES Y VECTORES PROPIOS √ √

[

√

√

√

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√

√

√

√

√

√

√

√

√

]

[ ]

√

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√

√

[ ]

[ ]

√

√

[ ] ]

√

√

√

√

√

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BIBLIOGRAFIA 

ALGEBRA LINEAL, SEGUNDA EDICION SEYMOUR LIPSCHUTZ SHAUM



INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL, TERCERA EDICION HOWARD ANTON LIMUSA WILEY



INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL LARSON – EDWARDS LIMUSA WILEY

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