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FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL INGENIERÍA ECONÓMICA UNIDAD I

FUNDAMENTOS GENERALES DE INGENIERÍA ECONÓMICA SESION 4 VALOR PRESENTE, VALOR FUTURO

Wilton López Miñano [email protected] 948329505

CONTENIDO

Interés simple y compuesto. Valor Presente. Valor Futuro.

05

06

Equivalencia económica. Flujos de efectivo: estimación y 04 diagramación. 03

Terminología y símbolos.

07

02 01

Tasa de interés y tasa de retorno.

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA

Flujos de efectivo. Tiempo en que ocurren los flujos de efectivo.

Tasas de interés relacionadas con el valor del dinero en el tiempo. Medición del beneficio económico para seleccionar una alternativa.

FLUJOS DE EFECTIVO

Pueden considerarse flujos de entrada y flujos de salida.

FLUJOS DE EFECTIVO

Flujos de entrada de efectivo

Recepciones, ganancias, ingresos y ahorros generados por los proyectos y actividades de negocio. Un signo positivo o más indica un flujo de entrada de efectivo.

Ejemplo Ingresos Ahorros Ingresos +$50,000 a $75,000 +$24,500 en ahorro de +$150,000 anuales por anuales por sueldo más impuestos por rescate de ventas de relojes. equipos. bonificaciones. Ahorros Ahorros +$150,000 por año, ahorrados por +$750,000 recibidos por un préstamo comercial más los la instalación de un equipo más intereses generados. eficiente de aire acondicionado.

FLUJOS DE EFECTIVO

Son los costos, desembolsos, gastos e impuestos ocasionados por los proyectos o actividades de negocio. Un signo negativo o menos indica un flujo de salida de efectivo. Puede omitirse el signo negativo para ciertas técnicas, como el análisis beneficio/costo.

Flujos de salida de efectivo Ejemplo -$230,000 anuales por servicio de software.

-$800,000 el siguiente año para comprar equipos de remplazo.

-$20,000 anuales por pago de intereses a un banco.

-$1.00 a $1.20 millones en gastos de capital por una unidad de reciclamiento de agua.

Costos de operación

Primer costo

Gastos

Costo inicial

FLUJO DE EFECTIVO

Flujo neto de efectivo

Una vez concluidas las estimaciones de entradas y salidas de efectivo, es posible determinar el flujo neto de efectivo de cada periodo.

Flujo Neto de Efectivo (FNE)=Flujo de entrada de efectivo (I) – Flujo de salida de efectivo (E)

FNE = I - E

FLUJO DE EFECTIVO

La convención de final de periodo implica la suposición de que todos los flujos de entrada y de salida de efectivo ocurren al final de un periodo de interés. Si varios ingresos y desembolsos se llevan a cabo dentro de un periodo de interés determinado, se da por supuesto que el flujo de efectivo neto ocurre al final del periodo.

FLUJO DE EFECTIVO

TERMINOLOGÍA Y SÍMBOLOS

P F T&S

05

P = Valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También P recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC); en unidades monetarias. F = Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. F también recibe el nombre de valor futuro (VF); en unidades monetarias.

FLUJO DE EFECTIVO

P F T&S

A n

A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y al final del periodo. A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE); en unidades monetarias. n = Número de periodos de interés; años, meses, días, etc.

FLUJO DE EFECTIVO

P t

F T&S

A

i n

i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual; en unidades de tanto por ciento (%).

t = tiempo, expresado en periodos; años, meses, días.

FLUJO DE EFECTIVO

Problema

Miluska Espinoza planea hacer ahora un depósito de $5 000 en una cuenta de inversión que paga 6% anual, y planea retirar cantidades iguales de $1 000 al final de cada uno de los siguientes cinco años, a partir del próximo. Al final del sexto año, planea cerrar la cuenta con el retiro de la cantidad que reste. Defina los símbolos de ingeniería económica pertinentes. P = $5 000 A = $1 000 anuales durante 5 años F = ? al final del año 6 i = 6% anual n = 5 años para la serie A y 6 años para el valor F

Flujo de efectivo

DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO

+Año 1

0 -

Año 5

1

2

3

4

5

F=? F=? Escala tiempo Escala dede tiempo

FLUJO DE EFECTIVO

Problema Jorge Chavarry quiere depositar una cantidad P ahora de modo que pueda retirar una cantidad anual igual de 𝐴1 = $2 000 por año durante los primeros 5 años, comenzando en el año 1 después de realizado el depósito, y con un retiro anual diferente de 𝐴2 = $3 000 anuales durante los siguientes tres años. ¿Cómo sería el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?

FLUJO DE EFECTIVO

Solución El flujo negativo de salida de efectivo P ocurre ahora. Los retiros (flujos positivos de entrada de efectivo) para la serie 𝐴1 suceden al final de los años 1 a 5, y los de 𝐴2 tienen lugar en los años 6 a 8. 𝐴2 =$3 000

𝐴1 =$2 000

0 P=?

1

2

3 4 𝑖=8.5%

5

6

7

8

Año

FLUJO DE EFECTIVO

Problema Una compañía arrendadora gastó $2 500 en un compresor de aire nuevo hace siete años. Los ingresos anuales por renta del compresor han sido de $750. Los $100 gastados en mantenimiento el primer año se incrementaron cada año $25. La empresa planea vender el compresor en $150 al final del próximo año. Elabore el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista de la compañía e indique donde se ubica el valor presente.

FLUJO DE EFECTIVO

FINAL DEL AÑO -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

INGRESOS 0 750 750 750 750 750 750 750 750+150

COSTOS 2 500 100 125 150 175 200 225 250 275

FLUJO NETO DE EFECTIVO - 2 500 650 625 600 575 550 525 500 625

FLUJO DE EFECTIVO 𝑃=?

$625 $650

-7

$2 500

-6

$625

-5

$600 $575 $550 $525

-4 -3 𝑖=8.5%

-2

-1

$500 0

1 Año

EQUIVALENCIA ECONOMICA

Longitud

Velocidad

12 pulgadas = 1 pie

1 milla = 1.6093 kilómetros 3 pies = 1 yarda 39.370 pulgadas = 1 metro

100 centímetros = 1 metro 1 000 metros = 1 kilómetro 1 kilómetro = 0.621 millas

1 hora = 60 minutos

110 kph = 68.365 millas/hora (mph) 68.365 = 1.139 millas por minuto

EQUIVALENCIA ECONOMICA

La equivalencia económica es una combinación del valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés para determinar las diferentes cantidades de dinero en momentos distintos y que tienen el mismo valor económico.

EQUIVALENCIA ECONOMICA

Si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy (tiempo presente) equivalen a $106 un año después. Cantidad acumulada = 100 + 100(0.06) = 100(1 + 0.06) = $106 Además de la equivalencia futura, con la misma lógica se calcula la equivalencia para años anteriores. $94.34 el año pasado, $100 ahora y $106 un año después equivalen a una tasa de interés de 6% anual.

Cantidad $

EQUIVALENCIA ECONOMICA

$ $106 $100

i = 6% anual $6.00 de interés

$94.34

$5.66 de interés

$50 $0

-1

0

1

Año Ahora Año pasado próximo

tiempo

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

El interés simple se calcula sólo con el principal e ignorando cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:

Interés(I) = (P)principal * (n)número de periodos * (i) tasa de interés

I = Pni donde I es el importe de los intereses que se ganan o se pagan y la tasa de interés, i, se expresa en forma decimal.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Ejemplo Diana Novoa, gerente financiero, de Trujillo Construction SAC, hizo un préstamo de $100 000 al Banco BBVA para financiar un edificio ecológico. El préstamo es de tres años con una tasa de interés simple de 10% anual. ¿Cuánto dinero pagará la compañía al final de los tres años? Solución

El interés para cada uno de los tres años es Interés anual = 100 000(0.10) = $10 000

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

El interés total de los tres años es Interés total = 100 000(3)(0.10) = $30 000 El monto adeudado después de tres años es Adeudo total = $100 000 + 30 000 = $130 000 El interés acumulado en el primer y en el segundo años no generan intereses. El interés que se adeuda cada año es de $10 000 y se calcula sólo sobre el principal de $100 000.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

En el interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés.

Interés compuesto = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés) 𝒋=𝒕−𝟏

𝑰𝒕 = 𝑷 + ෍ 𝑰𝒋 𝒋=𝟏

𝒊

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Ejemplo Hugo Alayo pide un préstamo de $100 000 con una tasa de interés de 10% compuesto anual, cuyo principal y todos los intereses los pagará después de tres años. Calcule el interés anual y el adeudo total después de tres años.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Solución Para incluir la naturaleza compuesta del interés, el interés anual y el adeudo total de cada año se calculan: Interés, año 1: 100 000(0.10) = $10 000

Adeudo total, año 1: 100 000 + 10 000 = $110 000 Interés, año 2: 110 000(0.10) = $11 000 Adeudo total, año 2: 110 000 + 11 000 = $121 000

Interés, año 3: 121 000(0.10) = $12 100 Adeudo total, año 3: 121 000 + 12 100 = $133 100

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Año 1: $100 000(1.10)1 = $110 000 Año 2: $100 000(1.10) 2 = $121 000 Año 3: $100 000(1.10) 3 = $133 100 𝐴𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝒏 𝑎ñ𝑜𝑠= P𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 𝟏 + 𝒕𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 𝐴𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝒏 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑷 𝟏 + 𝒊

𝒏

𝒏 𝒂ñ𝒐𝒔

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Problema ETNA fabrica baterías automotrices para los concesionarios de General Motors a través de distribuidores particulares. En general, las baterías se almacenan un año, y se agrega un 5% anual al costo para cubrir el cargo del manejo de inventario para el dueño del contrato de distribución. Supongamos que usted es dueño de las instalaciones de ETNA ubicadas en el centro de la ciudad. Realice los cálculos necesarios con una tasa de interés de 5% anual para demostrar cuáles de las siguientes declaraciones, referentes a los costos de las baterías, son verdaderas o falsas.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

a) La cantidad de $98 hoy equivale a un costo de $105.60 un año después. b) El costo de $200 de una batería para camión hace un año equivale a $205 ahora. c) Un costo de $38 ahora equivale a $39.90 un año después.

d) El cargo por manejo de inventario acumulado en un año sobre una inversión en baterías con un valor de $2 000 es de $100.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Solución a) Suma total acumulada = 98(1.05) = $102.90 ≠ $105.60; es falsa. Otra forma de resolver este problema: el costo original es de: 105.60/1.05 = $100.57 ≠ $98. b) El costo anterior es de 205.00/1.05 = $195.24 * $200; por lo tanto, es falsa.

c) El costo dentro de 1 año será de $38(1.05) = $39.90; verdadera. d) El cargo es de 5% de interés anual, o 2000(0.05) = $100; verdadera.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

En la tabla siguiente se presentan los detalles de cuatro planes para pagar un préstamo. Cada plan es para pagar un préstamo de $5 000 en 5 años, con una tasa de interés compuesto de 8% anual.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Pago total al final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el final del año 5. Los intereses se acumulan cada año sobre el principal y todos los intereses acumulados.

Plan 1

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Los intereses se pagan cada año, el principal al final. El interés acumulado se paga cada año, y el principal hasta el final del año 5.

Plan 2

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Pago anual del interés y una parte del principal. Los intereses acumulados y la quinta parta del principal (o $1 000) se pagan cada año. El saldo del préstamo disminuye cada año, de modo que el interés (columna 2) se reduce cada año.

Plan 3

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal. Se hacen pagos iguales cada año; una parte se destina al reembolso del principal y el resto cubre los intereses generados. Como el saldo del préstamo disminuye con un ritmo menor que en el plan 3 como consecuencia de los pagos iguales de fi n de año, el interés disminuye, aunque con un ritmo más lento.

Plan 4

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Solución Un préstamo de $5 000 en el momento 0 con 8% de interés compuesto anual equivale a cada uno de los siguientes: Plan 1 $7 346.64 al final del año 5. Plan 2 $400 por año durante 4 años y $5 400 al final del año 5. Plan 3 Pagos decrecientes del interés y partes del principal en los años 1 ($1 400) a 5 ($1 080). Plan 4 $1 252.28 por año, durante 5 años. Es común que un estudio de ingeniería económica use el plan 4; el interés es compuesto y se paga una cantidad constante cada periodo. Esta cantidad cubre el interés acumulado y una parte del pago del principal.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Solución

En la tabla se detalla el plan de pagos con 8% de interés simple anual. Como el interés acumulado anual i de $400 se paga cada año y el principal de $5 000 en el año 5, el programa es exactamente igual que con el interés compuesto anual de 8%, y la cantidad total que se paga es la misma, de $7 000. En este caso inusual, el interés simple y el compuesto dan como resultado la misma cantidad pagada. Cualquier diferencia de este esquema hará que diferían los dos planes y cantidades.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO

Para que una inversión sea rentable, el inversionista (organización o individuo) espera recibir una cantidad de dinero mayor de la que originalmente invirtió.

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO

La tasa mínima atractiva de rendimiento (TMAR) es una tasa de retorno razonable para evaluar y elegir una opción. Un proyecto no es económicamente viable a menos que se espere un rendimiento mayor a una TMAR. La TMAR también recibe el nombre de tasa por superar, tasa de corte, tasa paramétrica y tasa mínima aceptable de rendimiento.

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO

Aunque la TMAR sirve como criterio para decidir si se invierte en un proyecto, el monto de la TMAR está relacionado fundamentalmente con lo que cuesta obtener los fondos de capital que se requieren para el proyecto.

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO

En general, el capital se obtiene de dos formas: por financiamiento por patrimonio y por financiamiento por deuda.

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO

Financiamiento por patrimonio La corporación utiliza sus propios fondos de efectivo disponibles, ventas de existencias o utilidades acumuladas. Un individuo puede utilizar su propio efectivo, ahorros o inversiones. La utilización del dinero de la cuenta de ahorros con 5% constituye un financiamiento por patrimonio.

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO Financiamiento por deuda La corporación obtiene préstamos de fuentes externas y reembolsa el principal y los intereses de acuerdo con un programa. Las fuentes del capital que se adeuda pueden ser bonos, préstamos, hipotecas, fondos comunes de capital de riesgo y muchos más. Asimismo, los individuos pueden utilizar préstamos como tarjetas de crédito (tasa de 15%) y opciones bancarias (tasa de 9%), como ya vimos.

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO

De la combinación del financiamiento de deuda y el financiamiento de patrimonio resulta un costo promedio ponderado del capital (CPPC).

Si una máquina se compra con 40% del dinero de la tarjeta de crédito a 15% anual y 60% de los fondos de la cuenta de ahorros, que obtienen un rendimiento de 5% anual, el CPPC es 0.4(15) + 0.6(5) = 9% anual.

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO

El costo de oportunidad es la tasa de retorno de una oportunidad no aprovechada por la imposibilidad de ejecutar el proyecto. Numéricamente, corresponde a la tasa de retorno más grande de todos los proyectos no aceptados (no aprovechados) debido a la carencia de fondos de capital o de otros recursos. Cuando no se establece una TMAR específica, la que se toma de facto es el costo de oportunidad, es decir, la TR del primer proyecto que no se emprende porque no se dispone de fondos de capital.

TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO

Considerando una TMAR de 12% anual. Suponga que una propuesta A, con una TR esperada = 13% no se financia porque se carece de capital.

Una propuesta B tiene una TR = 14.5% y se financia con el capital disponible. Como la propuesta A no se emprende por carecer de capital, su TR estimada de 13% es el costo de oportunidad; es decir, no se aprovechó la oportunidad de obtener un rendimiento adicional de 13%.

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO Facultad de Ingeniería Carrera Profesional de Ingeniería Industrial

INGENIERÍA ECONÓMICA Unidad 1 Sesión 3

Valor Presente Valor Futuro Wilton López Miñano [email protected]

OBJETIVOS 3 1 2

 Obtener y usar los factores de ingeniería económica que incorporan el valor del dinero en el tiempo.

 Obtener y usar factores para cantidades únicas; factores para la cantidad compuesta (F/P) y valor presente (P/F).

 Usar interpolación lineal con las tablas de factores o funciones de una hoja de cálculo para determinar los valores de los factores.

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

El factor fundamental en ingeniería económica es el que determina la cantidad de dinero F que se acumula después de n años (o periodos) a partir de un valor único presente P con interés compuesto una vez por año (o por periodo). i = Tasa de interés por periodo (9% es 0.09). n = número de periodos de interés. P = Valor Presente del dinero. F = Valor Futuro del dinero al final del periodo n, que es equivalente a un valor P a una tasa de interés i.

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Si una cantidad P se invierte en el momento t = 0, la cantidad de dinero F1 acumulado en un año a partir del momento de la inversión a una tasa de interés anual i (se expresa en forma decimal) será: F1 =P + Pi F1 =P (1+i) Al final del segundo año, la cantidad de dinero acumulada F2 es la cantidad acumulada después del año 1, más el interés desde el final del año 1, hasta el final del año 2 sobre la cantidad total.

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

F2 = F1 + F1i = P(1 + i) + P(1 + i)i = P (1+i)(1+ i)

F2 = P(1 + i)2 F3 = F2 + F2 i = En forma similar para

F3 = P(1 + i)3

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

La progresión: AÑO

MONTO AL INICIO DEL PERIODO DE INTERÉS

+INTERÉS POR PERIODO

MONTO AL FINAL DEL PERIODO DE INTERÉS

1

P

+iP

=P(1+i)

2 3 . . n

P(1+i) P(1+i)2

+iP(1+i) +iP(1+i)2

=P(1+i)2 =P(1+i)3

P(1+i)n-1

+iP(1+i)n-1

=P(1+i)n

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Por inducción matemática: F = P(1 + i)n

El factor (1 + i)n se denomina factor de cantidad compuesta pago único (FCCPU) o factor simple de capitalización (FSC) o simplemente factor (F/P). Notación estándar: (X/Y, i%, n) Donde: X = lo que se busca Y = dato o valor dado

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

F = P ( F / P, i, n) ( F / P, i, n): Factor simple de capitalización o Cantidad compuesta pago único (F/P) F= P (FSCin)

(FSCin)=(1+i)n

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO

F=$1 316.80 (Valor Futuro)

i=3.50% 0

1

2

3

P=$1 000 (Valor Presente)

4

5

6

7

8

t

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

ECUACIÓN FINANCIERA

F = P ( F/P, i, n)

P =Valor presente o stock inicial

F = 1 000 ( F/P, 3.5%, 8)

i =Tasa de interés expresada generalmente en porcentaje anual.

F = P(1 + i)n

n =Número de periodos (por lo general años) en que la cuenta ganará intereses.

F = 1 000(1 + 0.035)8 F=$1 316.80

F =Valor futuro al cabo de “n” años.

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Este modelo matemático o ley financiera de capitalización permite dado un capital P = 1 000, t = 0- determinar F del capital equivalente, en un momento de tiempo 8.

F ha de ser nominalmente superior a P, ya que al capitalizar sumamos intereses al capital inicial. Por intereses entendemos la cantidad de dinero que se percibe como compensación o precio por diferir la disponibilidad de capital.

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Ejemplo Jorge Pérez depositó US$10.000 en una cuenta a plazo fijo en moneda extranjera, que paga 1.75% de interés compuesto o efectivo anual (es la tasa que ofrece el sistema financiero local), y desea determinar la cantidad de dinero que tendrá en la cuenta después de 4 años. Solución P = US$10.000 i = 1,75% efectivo anual n = 4 años F=?

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO F=?

i=1.75% 0

1 P=$10 000

2

3

4

5

t

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

F = P ( F/P, i, n)

F = 10 000 ( F/P, 1.75%, 4)

F = P(1 + i)n F = $10 000 (1 + 0.0175)4 F = $10 000 (1.071859) F = $10 718.59 La cantidad de dinero que tendrá en la cuenta después de 4 años será: $10 718.59 Los intereses ganados durante 4 años es de: I=F–P = $10 718.59 – 10 000 = $718.59

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Problemas

Ahorro para la vejez El Banco de Crédito (BCP) le ofrece una cuenta a plazo fijo en dólares con una tasa de interés de 3.75% efectivo anual, con un monto mínimo de US$5.000. Si usted tiene ahora 20 años, y deposita US$ 10 000. ¿Cuánto tendrá en la cuenta cuando cumpla 65 años?

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Solución:

P = $10.000 i = 3.75% efectivo anual n = 45 años F=?

F=?

i=3.75% 0

1 P=$10 000

2

3

44

45

t

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

F = P ( F/P, i, n)

F = 10 000 ( F/P, 3.75%, 45)

F = P(1 + i)n

F = $10 000 (1+ 0,0375)45 F = $52 416.10

Cuando cumpla 65 años tendré $52 416.10 Calculamos el interés compuesto ganado: I = F – P = 52 416.10 – 10 000.00

I = $42 416.10

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Problema: Si en el mercado financiero aparece el BF (Banco Financiero), con una tasa del 4.75% efectiva anual, observe la diferencia de los intereses. Con el BF ahorrando para la vejez en 45 años. Solución: P = $10 000 i = 4.75% efectivo anual n = 45 años F=?

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

F=? i=4.75% 0

1

P=$10 000

2

3

44

45

t

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

F = P ( F/P, i, n)

F = 1 000 ( F/P, 4.75%, 45)

F = P(1 + i)n

F = $10 000 (1+ 0,0475)45

Calculamos el interés compuesto ganado: I = F – P = 80 710.76 – 10.000.00

F = $80 710.76

I = $70 7106.76

Aumentando en 1% la tasa de interés, se produce una gran diferencia en los intereses ganados: BCP = $ 42 416.10 BF = $ 70 710.70 Ahorrando en el BF la ganancia de los intereses es mayor.

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Ejemplo

El Sr. Pérez invierte en un fondo mutuo $2 000 el día de hoy, $1 500 dentro de 2 años y U$1 000 dentro de 4 años con una rentabilidad promedio de 4% anual. ¿Cuál será su capital dentro de 6 años? Solución:

P1 = $2 000, P2 = $1 500, P3 = $1 000 i = 4.00% efectivo anual n = 2, 4 y 6 años F=?

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

F=F1+F2+F3=?

i=4.00% 0 1 - P1 =2 000

2

3 P2=1 500

4

5 P3=1 000

6 años

VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Ecuación financiera Ft=$2 000(F/P, 4%, 6)+$1 500(F/P, 4 %, 4)+$1 000(F/P, 4%, 2) F = P(1 + i)n Ft = $2 000 (1+ 0,04)6 + $1 500 (1+ 0,04)4 + $1 000 (1+ 0,04)2

Ft = $2 000 (1.2653)+ $1 500 (1.1698) + $1 000 (1.0816) Ft = $5 367.05

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

Es el proceso en el que se calculan valores presentes en el tiempo, de los flujos de efectivo. Proceso a través del cual, se restan o descuentan los intereses o ganancias del capital futuro.

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

Es aquel factor que permite actualizar un valor determinado por un periodo de actualización. Si invertimos $1 para calcular el valor de P para una cantidad dada F que ocurre n Factor Valor periodos en el futuro. Presente Pago Dado F = P(1 + i)n despejamos P y único o Factor encontramos:

𝟏 𝑷=𝑭 𝟏+𝒊

𝒏

=𝑭 𝟏+𝒊

−𝒏

simple de actualización (P/F)

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

𝟏 𝑷=𝑭 𝟏+𝒊

𝒏

=𝑭 𝟏+𝒊

−𝒏

La expresión (1 + i)-n se conoce como factor de valor presente de pago único (FVPPU) o factor simple de actualización (FSA).

Ecuación financiera P=F(P/F, i, n) P=F(FVPPU)

P = F (FSAin)

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

Diagrama de flujo

F i 0 -

1

2

P=?

Ecuación financiera P = F(P/F, i%, n)

n

t

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

Problema Dado un capital financiero (F) igual a $10 000 ocurrido en el tiempo n=8 determinar el valor presente (P) o el capital equivalente en el tiempo n=0 para una tasa de interés de 2% anual. Solución F = $10 000 i = 2.00% efectivo anual n = 8 años

P=?

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO F= $10 000 i=2% 1

0

2

3

4

5

6

7

8

años

P=?

Ecuación financiera

P = F(P/F, i%, n)

𝑃=𝐹

1 1+𝑖 𝑛

= 10 000

1 1+0.02 8

= $8 535.00

Al contrario de la capitalización, en el descuento o valor presente el valor nominal de P es menor que el de F. El descuento consiste en anticipar la disponibilidad de un capital, por lo que se ha de pagar un interés (I), lo que hace que: I=F-P.

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

Ejemplo Inversión en inmuebles La inmobiliaria Torre Grande tiene la opción de comprar una extensión de tierra que valdrá $ 100 000 dentro de cinco años. Si el valor de la tierra aumenta 6% cada año ?Cuánto estaría dispuesto a pagar el inversionista ahora por esta propiedad? F = $100 000 i = 6.00% efectivo anual n = 5 años P=?

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

F=100 000 i=6.00% 0 -

1

2

3

4

5

6 años

P=?

Ecuación financiera

P = F(P/F, i%, n) 𝑃 = 𝐹

1 1+𝑖 𝑛

= 100 000

1 1+0.06 5

= $74 730.00

El inversionista estaría dispuesto a pagar ahora por esta propiedad $ 74 730.00

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

Problema

RELUX SAC, valora una inversión en tecnología de automatización de su planta que le permitirá ahorrar en costos de energía en los próximos 5 años de $4 000, 8 000, 5 000, 4 000 y 3 000 respectivamente. Si la empresa debe ganar como mínimo el 20% sobre las inversiones. ¿Cuál es la cantidad máxima que debe pagar ahora por esta inversión?

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

8 000 5 000 4 000 3 000

4 000 0 -

1 P=?

2

3 4 i=20.00%

5

6 años

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

Ecuación financiera Pt = $4 000(P/F, 20%,1)+$8 000(P/F, 20 %, 2)+$5 000(P/F,20%,3) +$4 000(P/F,20%,4)+$3 000(P/F,20%,5) 𝟏 𝑷=𝑭 𝟏+𝒊 𝑃=

𝒏

1 4 000 1 + 0.20

1 1 + 8 000 + 5 000 1 2 1 + 0.20 1 + 0.20 1 1 4 000 + 3 000 4 1 + 0.20 1 + 0.20 5

3

+

La inversión máxima que RELUX SAC debe 𝑃 = $14.916,80. pagar ahora es US$ 14.916,80.

VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO TABLAS FINANCIERAS Ecuación financiera Pt = $4 000(P/F, 20%,1)+$8 000(P/F, 20 %, 2)+$5 000(P/F,20%,3)+$4000(P/F,20%,4) + $3 000(P/F,20%,5)

Pt= 4 000(0.8333) + 8 000(0.6944) + 5 000(0.5787) + 4000(0.4823) + 3 000(0.4019) Pt= 3,333.20 + 5.555, 20 + 2.893, 50 + 1.929, 20 + 1.205, 70 = US$ 14.916, 80

VALOR PRESENTE Y FUTURO. FACTORES F/P y P/F. NOTACION Y ECUACIONES

FACTOR

ENCONTRA R/DADO

ECUACIÓN ECUACIÓN CON LA CON LA ECUACIÓN FORMULA NOTACIÓN EN EXCEL DESARROLL ESTANDAR ADA

NOTACION

NOMBRE

(F/P,i,n)

Cantidad compuesta, pago único

F/P

F=P(F/P,i,n) F = P(1 + i)n

(P/F,i,n)

Cantidad presente, pago único

P/F

-n P=F(P/F,i,n) P = F(1 + i) =VA(i%,n,F)

=VF(i%,n,P)