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• Jorge Sanango

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VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO Es importante reconocer que un dólar que se reciba en el futuro valdrá menos que un dólar que se tenga actualmente, ya que este último puede ganar un rendimiento cuando es invertido por un cierto periodo. Por consiguiente, el concepto del valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en puntos diferentes del tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.

TASAS DE INTERÉS En el mundo de los negocios, la práctica es que los intereses se calculan en base a una tasa de interés compuesto. Ejemplo: Un capital de $100,000 a una tasa del 25% anual capitalizable trimestralmente a un plazo de un año genera:

TRIM . 1 2 3 4 5

CAPITAL

TASA

INTERES

$100,000.00 $106,250.00 $112,890.63 $119,946.29 $127,442.93

6.25% 6.25% 6.25% 6.25%

$6,250.00 $6,640.63 $7,055.66 $7,496.64

En el primer trimestre se calculan los intereses sobre el capital inicial y son capitalizados a éste para que se calculen los intereses del segundo trimestre. A su vez los intereses del segundo trimestre son capitalizados al capital acumulado para que sean calculados los intereses del tercer trimestre. Y así sucesivamente.

Al final del cuarto trimestre o inicio del quinto trimestre se tiene que el capital acumulado es de $127,442.93, del cual $100,000.00 es el capital y $27,442.93 los intereses. Por lo tanto, la tasa de interés efectiva no es la de un 25% anual sino la de un 27.44% anual. La tasa de interés del 25% anual / trimestral se le conoce como TASA NOMINAL. La tasa de interés del 27.44% anual / anual se le conoce como TASA EFECTIVA.

TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL Para calcular una tasa efectiva existe una fórmula matemática que simplifica las operaciones y que de otra manera se tendrían que estar haciendo los cálculos como anteriormente se mostró. Dicha fórmula es: m

j   i  1  1  m  dónde: i = Tasa de interés efectiva j = Tasa de interés nominal m = veces a capitalizar los intereses en un periodo

TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL De este ejemplo la tasa de interés anual efectiva (i) se calcula sustituyendo: j = 25% m=4



i  1  0.25

 4

4

1

Por lo tanto, i = 27.44% anual / anual o anual efectivo

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO VALOR PRESENTE (VP)

El valor presente de una cantidad que se va a recibir o se va a pagar en el futuro es el valor equivalente que en la actualidad tendría tal cantidad, dada una tasa de interés. VALOR FUTURO (VF) Es el valor que se recibe o se paga en un periodo futuro resultante de la aplicación de una tasa de interés a una cantidad presente. Es el Capital invertido de forma que en un tiempo determinado se recibe un interés.

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

VF = VP (1 + i)n VP = VF (1 + i)-n dónde: VF = Valor Futuro. VP = Valor Presente. i = tasa de interés efectiva n = número de periodos.

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO ANUALIDAD (A) Es una cantidad fija de dinero que se recibe o se paga durante cierto tiempo y con cierta periodicidad. La anualidad, aunque usa el vocablo anual, no necesariamente quiere decir que el dinero se vaya a recibir o a pagar “anualmente”, sino que puede recibirse o pagarse cada semestre, trimestre, mes, quincena, etc... En Estados Unidos se le conoce como “payment”.

( VF = A ( VP = A

(1 + i) n - 1 i (1 + i) n

(1 + i) n - 1 i

) )

===> ===>

( A = VF ( A = VP

i (1 + i) n (1 + i) n - 1 i

(1 + i) n - 1

) )

EJERCICIOS • 1. ¿Qué suma recibiremos del banco al término de cinco años por un depósito fijo de 12.000 USD, a una tasa de interés del 10% calculada anualmente? • VF = 12.000 (1 + 0.1)5 = 19.326, 12 USD • 2. ¿ Qué suma recibiremos por un deposito de 20.000 USD, al término de 7 años, a una tasa del 12% anual calculada semestralmente? 14

• 3. Una fábrica ha concluido sus tres primeros años de existencia con pérdidas calculadas al término de cada año. Hallar la ganancia al cuarto año para cubrir el déficit de los 3 años anteriores, con el 11% de tasa de interés anual • AÑO USD • 1 18.300 • 2 8.700 • 3 1.500 • 0 1 2 3 4 • 18.300 8.700 1.500 ?

• 0 1 2 3 4 • 18.300 8.700 1.500 • VF1 = (18.300) (1 + 0.11)3 = 25.027,64 USD • VF2 = (8.700) (1 + 0.11)2 = 10.719,27 USD • VF3 = (1500) (1 + 0.11)1 = 1.665 USD • VF = VF1 + VF2 + VF3 = 37.411, 91 USD

VALOR PRESENTE • Si tenemos un pagaré firmado que será pagado dentro de 1 año y recibiremos una cantidad determinada de dinero. Si tenemos necesidad de dinero y estamos dispuestos a pagar interés por su uso adelantado, podemos ir al banco y pedir que nos descuenten ese pagaré. • El banco prestará una cantidad menor a la del pagaré ese valor se llama Valor Actual o Presente.

• VA = VF(1 + i)-n

VALOR PRESENTE • El análisis del valor presente se usa con frecuencia para determinar el valor actual de futuros ingresos o desembolsos de dinero de una o más alternativas posibles. • Debe considerarse con cuidado el tiempo que abarca el análisis de los valores. Por lo general, la tarea que se persigue se tiene asociado un período. En ese caso, las consecuencias de cada alternativa deben considerarse para ese período, que se llama período de análisis u horizonte de

VALOR PRESENTE • Existen tres situaciones diferentes encontradas en los problemas de análisis económico de alternativas, respecto al período de análisis: • 1) La vida útil de cada alternativa es igual al período de análisis. • 2) Las alternativas tienen vida útiles distintas al período de análisis. Se compara con el m.c.m • 3) Existe un período de análisis infinito

EJERCICIOS • 1. ¿Cuál es el valor actual de la inversión total necesaria para instalar una planta de manufactura, considerando que su construcción se prolongará por tres años, a un costo estimado de 70.000 USD por año, a cuyo término se adquirirá e instalará la maquinaria requerida, por un valor de 85.000 USD.? Calcular en base a una tasa de interés del 16% anual. • 0 1 2 3 • 70.000 70.0000 155.000 • VA = 70.000(1+0.16)-1 + 70.000(1+0.16)-2 + 155.000(1.16)-3 • VA = 60.344,82 + 52.021,40 + 99.301,93 =

• 2. ¿Cuál sería la suma máxima que conviene invertir en la compra de una maquinaria de la cual se espera obtener un ingreso neto de 8.500 USD por año, durante 7 años?. Calcular en base a una tasa del 15% anual. • 0 1 2 3 4 5 6 7 • @8.500 • Este es un valor seriado: • VA = 8500[ (1.15)-1+(1.15)-2 +(1.15)-3 +(1.15)-4 +(1.15)-5 + (1.15)-6 + (1.15)-7] = 35.560 USD

• 3. Una empresa tiene la intención de instalar uno de dos dispositivos para reducir costos. Ambos dispositivos cuestan 1000USD, tiene vidas útiles de 5 años y ningún valor de recuperación. Se esperan ahorros de 300 USD anuales con el dispositivo A. El dispositivo B proporcionará ahorros de 400USD el primer año, pero declinará en 50 USD en cada año, de modo que el segundo año sea 350 USD, el tercer año 300 USD, etc. • ¿Qué dispositivo debe comprar la empresa si el interés es del 7% anual?

• DISPOSITIVO A: • @300USD 0 1 2 3 4 • 1.000USD

5

• VA = -1000 + 300[(1.07)-1 +(1.07)-2 +(1.07)-3 (1.07)4 + (1.07)-5] • VAA = 230,06 USD

• DISPOSITIVO B: • 400 350 300 250 200 –

0

1

2

3

4

5

– 1.000USD VA = -1000 + 400(1.07)-1 + 350(1.07)-2 + 300(1.07)-3 + 250(1.07)-4 + 200(1.07)-5 VAB = 257,74 USD VAB > VAA  Escogemos Dispositivo B

VALOR ACTUAL SERIADO (VAS) • Cuando los valores para cada año, es el mismo se usa el concepto de Valor Actual Seriado (VAS), y se lo calcula de la siguiente manera: • VAS = C.[(1 + i)n – 1]/ i(1 + i)n

EJERCICIOS • 1- ¿Cuál sería la suma que conviene invertir en la compra de una maquinaria, de la cual se espera obtener un ingreso de 8.500USD por año, durante 7 años consecutivos, a una tasa de interés anual del 15%.? • VAS = (8500)[(1 + 0.15)7 -1]/0.15(1 + 0.15)7 • VAS = 35.360 USD

EJERCICIOS • 2. ¿Cuál sería la suma máxima de dinero que conviene invertir en la compra de una empresa cuya producción continuaría aún durante 12 años, aportando una utilidad o excedente anual de 7.000 USD, en los primeros 4 años; 6.000 USD en los tres años siguientes y 5.000 USD en los cincos años restantes, calculados al término de cada año, a una tasa de interés anual del 12%?

EJERCICIOS • 0 12 •

1

2

3

4 5 6 7 8

9

10 11

7000 7000 7000 7000 6000 6000 6000 5000 5000 5000 5000

5000

• VAS = 7.000[(1 + 0.12)4 -1]/0.12(1 + 0.12)4 + 6.000{[(1 + 0.12)7 -1]/0.12(1 + 0.12)7 - [(1 +0.12)4 – 1]/0.12(1 + 0.12)4} + 5000{[(1 + 0.12)12 -1]/0.12(1 + 0.12)12 – [(1 + 0.12)7 – 1]/0.12(1 + 0.12)7} • VAS = 7.000(3,037) + 6.000(4,564 – 3,037) + 5000 (6,192 – 4,564) = 38.571 USD

EJERCICIOS • 3. Una companía Metalmecánica, está considerando la compra de 2 máquinas. La máquina A, tiene un costo de 15.000 USD, un costo de operación anual y de mantenimiento de 3.000 USD, y un valor residual de 3.000 USD. La máquina B tiene un costo inicial de 22.000 USD, un costo de operación anual y de mantenimiento de 1.500 USD, y una valor residual o de salvamento de 5.000 USD. Si se espera que las dos máquinas tengan una vida útil de 10 años. Determinar que máquina se debe comprar por el Método del Valor Presente, si la tasa más atractiva del mercado es del 12% anual. Van a generar el mismo beneficio las dos máquinas y el mismo ingreso.

EJERCICIOS MÁQUINA A

MÁQUINA B

COSTO INICIAL

15.000 USD

22.000 USD

COSTO DE OPERACIÓN Y MANTENIMIENTO

3.000 USD

1.500 USD

VALOR RESIDUAL O DE SALVAMENTO

3.000 USD

5.000 USD

VIDA ÚTIL

10 años

10 años

i%

12%

12%

EJERCICIOS MÁQUINA A: 3.000 9 10

• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 • 3.000@ • 15.000 •VPA = -15.000 - 3.000[(1 + 0.12)10 – 1]/0.12(1 + 0.12)10 + 3.000 (1 + 0.12)-10 •VPA = -15.000 -3.000(5.65) + 3.000(0.322) •VPA = -30.984 USD

EJERCICIOS • MÁQUINA B: 5.000 • 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • 1.500@ • 22.000 • VPB = -22.000 – 1.500[(1 + 0.12)10 – 1]/0.12(1 + 0.12)10 + 5.000 (1 + 0.12)-10 • VPB = -22.000 -1.500(5.65) + 5.000(0.322) • VPB = - 28.865 USD

RETORNO DE CAPITALAMORTIZACIONES (R.C) • Fijado el valor de un préstamo que el banco nos entrega en el año 0, hay una infinidad de planes de devolución. El banco tiene tasas de interés para cada crédito. • Es el gasto anual que hay que tomar en cuenta para pagar el uso de los bienes que hemos adquirido con un capital. Con ese pago tendremos para depreciar equipos y pagar el interés por el uso del dinero invertido. • Es el valor de una unidad monetaria repartido en un número “n” de período a una tasa de interés determinada.

RETORNO DE CAPITALAMORTIZACIONES (R.C) • Se utiliza este concepto para la Amortización en préstamos y para la Depreciación Económicamente Activa (DEA) de Equipos en la selección de los mismos.

• RC = C[i (1 + i)n/(1 + i)n -1]

EJERCICIOS • 1.¿Cuál será el pago anual requerido para amortizar un préstamo de 16.000 USD durante 10 años a una tasa de interés del 14% anual? • RC = 16.000 [0.14 (1 +0.14)10/(1 + 0.14)10 -1]

• RC = 3.067,42 USD = 255,62 USD/mes

EJERCICIOS • 2. Una empresa desea comprar un camión nuevo que permite transportar hasta 12 Toneladas y cuesta 42.000USD. Después de 6 años de uso se estima venderlo a un precio de 14.000USD. La empresa necesita transportar 2.400 Toneladas por año y calcula que los costos operativos serán de 7 USD/Ton. Por otro lado existe la posibilidad de transportar dicha carga por medio de una cooperativa de transporte que propone el precio de 9.5 USD/Ton. ¿Cuál será la alternativa más conveniente, utilizando una tasa de interés del 15%

EJERCICIOS • 0 1

2

3

14.000 USD 4 5 6

42.000 USD 1.Actualizamos el Valor Residual: VAVR = 14000 (1 + 0.15)-6 = 6.052,58 USD Costo Real = 42.000 – 6.052,58 = 35.947,42 USD

EJERCICIOS • 2. Calculamos la Depreciación Económicamente Activa (DEA) • DEA = 35.947,42 [0.15 (1 + 0.15)6/(1 + 0.15)6 1] • DEA = 9.498,63 USD • DEA/Ton = 9.498,63/2.400 = 3.95 USD/Ton • Costo Total = 3.95 + 7 = 10.95 USD/Ton • 10.95CAMION>9.5COOPERATIVA •  ELEJIMOS COOPERATIVA DE TRANSPORTE

EJERCICIOS • 3. Existen dos posibilidades en una actividad productiva para comprar una maquinaria. La máquina A cuesta 10.000USD con un valor residual estimado de 4.000USD y costos de operación de 3.500USD por cada año. La máquina B cuesta 8.000USD con un valor residual estimado de 3.000USD y costos de operación de 4.000USD por cada año. ¿Hallar cuál es la alternativa más conveniente y el DEA de cada máquina, para una tasa de interés del 10% y vida útil de 6 años?

EJERCICIOS • MÁQUINA A: • 0

1

2

4.000 USD 3

4

5

6

• 3.500USD @ • 10.000 USD • VASCOSTOS OPERATIVOS = 3.500 [(1 + 0.1)6 -1/0.1(0.1 +1)6] • VASCOSTOS OPERATIVOS = 15.243,41 USD

EJERCICIOS • DEAMÁQUINA A = [-10.000 + 4000(1 +0.1)6].[0.1(1+0.1)6/(1+0.1)6 -1] • DEAMÁQUINA A = -7.742,10 (0.229) = 1.772,94 USD • COSTOS TOTALES MAQUINA A = -15.243,41 - 1.772,94 • COSTOS TOTALES MAQUINA A = -17.016,35 USD

EJERCICIOS • MÁQUINA B: • 0

1

2

3.000 USD 3

4

5

6

• 4.000USD @ • 8.000 USD • VASCOSTOS OPERATIVOS = 4.000 [(1 + 0.1)6 -1/0.1(0.1 +1)6] • VASCOSTOS OPERATIVOS = -17.420 USD

EJERCICIOS • DEAMÁQUINA B = [-8.000 +3.000(1 +0.1)6].[0.1(1+0.1)6/(1+0.1)6 -1] • DEAMÁQUINA A = -1.450.84 USD • COSTOS TOTALES MAQUINA B = -17.420 1.450, 84 • COSTOS TOTALES MAQUINA B = -18.870,84 USD • ESCOJEMOS MÁQUINA A

EJERCICIOS • 4. ¿Cuál es la tasa de interés anual en que la inversión en la compra de una maquinaria es de 35.000 USD, de la cual se espera obtener un ingreso de 8.500 USD por cada año durante 7 años? 0 1 2 3 4 5 6 7

• VAS = C[(1 + i)n -1/i(1 + i)n ] • 35.000 = 8.500 [(1 + i )7 -1/i(1 + i)7]

EJERCICIOS • 4.11 = [(1 + i )7 -1/i(1 + i)7] = A • 1. Usamos Método de Aproximaciones: • Si i1 = 15%  A1 = 4.16

• Si i2 = 16%  A2 = 4.03

EJERCICIOS • 2. Interpolamos:

• • • •

i 16---------15----------------4.03 4.16

• (Y2 – Y1)/(X2 – X1) = (Y – Y1)/(X – X1) • (16 – 15)/(4.03 -4.16) = (i – 15)/(4.11 – 4.16) • i = 15.08%

DEBER 1. HALLAR LA ALTERNATIVA MAS ADECUADA MAQUINA A

MÁQUINA B

COSTO INICIAL

26.000 USD

36.000 USD

VALOR RESIDUAL

2.000 USD

3.000 USD

COSTO ANUAL DE MANTENIMIENTO

800 USD

300 USD

COSTO ANUAL DE MANO DE OBRA

11.000 USD

7.000 USD

VIDA ÚTIL

4 AÑOS

6 AÑOS

i%

15%

15%

DEBER • 2. Una máquina A cuesta 10.000 USD, con un valor residual de 4.000 USD al término de 6 años. Tiene gastos de operación por año de 5.000 USD durante los tres primeros años y de 6.000 USD durante los tres últimos años. Otra máquina B de similares características cuesta 8.000 USD con un valor residual de 3.000 USD al término de 6 años igual. Sus gastos de operación ascienden a 5.500 USD durante los tres primeros años y de 6.500 USD durante los tres últimos años. Si la tasa de interés es del 15%, seleccione la alternativa más adecuada.

DEBER • 3. La EMAP quiere decidir entre dos tuberías de diferentes tamaños para una red de suministro principal de agua. Una línea de 10 plg de diámetro tendría un costo inicial de 35.000USD, mientras una de 12 plg. tendría un costo inicial de 55.000USD. Puesto que hay menos pérdidas de carga en la línea de 12 plg., se espera que el costo de bombeo de la línea de mayor diámetro sea 3.000 USD menos por año que para la línea de 10 plg. Se supone que las líneas tienen un vida útil de 20 años. ¿Qué tamaño se debe seleccionar si la tasa más atractiva es del 6% anual?, b) ¿Cuál