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• Karina Lisbeth Mamani Quispe

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU-FILIAL AREQUIPA FACULTAD INGENIERIA INDUSTRIAL

TEMAS: SOLUCIONES CON PROGRAMACION LINEAL CURSO: TEORÍA DE DESICIONES. PROFESOR: ING. LARRY PALMA CICLO: VII TURNO: NOCHE INTEGRANTES:    

LEÓN DURAN, GILMAR MAMANI GUIA, ALEX IVAN MAMANI QUISPE, KARINA QUISPE MAMANI, RUTH LEIDY

2015 ÍNDICE 1.

OBJETIVOS............................................................................................................ 4 1.1.

OBJETIVO GENERAL........................................................................................ 4

1.2. 2.

PROGRAMACIÓN LINEAL....................................................................................... 5 2.1.

3.

OBJETIVO ESPECIFICO..................................................................................... 4 TÉRMINOS CLAVE............................................................................................ 6

EJEMPLOS MAXIMIZACION Y MINIMIZACION..........................................................7 3.1. EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN MÉTODO GRÁFICO Y ALGEBRAICO............................................................................................................ 7 3.1.1.

MÉTODO GRÁFICO.................................................................................... 9

3.1.2.

MÉTODO ALGEBRAICO............................................................................13

3.2.

MÉTODO SIMPLEX......................................................................................... 15

3.2.1. 3.3.

EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN..............................................18

3.3.1.

MÉTODO GRÁFICO..................................................................................20

3.3.2.

METODO ALGEBRAICO............................................................................24

3.4. 4.

EJEMPLO DE MAXIMIZACIÓN UTILIZANDO EL MÉTODO SIMPLEX..............15

MÉTODO SIMPLEX......................................................................................... 26

PROGRAMACION LINEAL EN WIN QSB..................................................................29 INGRESANDO A LINEAR AND INTEGER PROGRAMMING (WINQSB)..........................30

5.

CONCLUSIONES................................................................................................... 38

6.

REFERENCIAS...................................................................................................... 39

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INTRODUCCION La presente monografía trata de informar algunos conceptos de programación lineal así como ejemplos, la importancia a lo que es el cálculo científico y aplicado a la sociedad. La toma de decisiones en nuestros tiempos es muy importante ya que si no se toma una buena decisión o se opta por la equivocada puede incurrir en un desastre para la empresa. El método eficiente para determinar una decisión óptima muchas empresas utiliza el modelo de programación lineal. En los problemas de la presente monografía de programación lineal el objetivo es la maximización o minimización de las cantidades a manejar dentro de una empresa u organización.

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1. OBJETIVOS 1.1. OBJETIVO GENERAL  Dar a conocer la aplicación de los métodos para solucionar ejercicios con programación lineal 1.2. OBJETIVO ESPECIFICO  Informar sobre los métodos para solucionar ejercicios con programación lineal  Diferenciar entre los distintos métodos: método gráfico, método algebraico y método simplex  Resolver diferentes problemas con programación lineal

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2. PROGRAMACIÓN LINEAL Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones. La función objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo de programación lineal. Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo. Las variables son las entradas controlables en el problema Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son:       

Entender el problema a fondo. Describir el objetivo. Describir cada restricción. Definir las variables de decisión. Escribir el objetivo en función de las variables de decisión. Escribir las restricciones en función de las variables de decisión. Agregar las restricciones de no negatividad.

2.1. TÉRMINOS CLAVE Modelo Matemático Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen con expresiones matemáticas. Restricciones de no negatividad Conjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas. Solución Factible Solución que satisface simultáneamente todas las restricciones. [Escriba texto]

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Región Factible Conjunto de todas las soluciones factibles. Variable de holgura Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado. Forma Estándar Programación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades. La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la solución óptima de la formulación original del programa lineal. Punto Extremo Desde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución factible que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas de dos variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las líneas de restricción. Variable de Excedente Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido. 3. EJEMPLOS MAXIMIZACION Y MINIMIZACION. 3.1. EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN MÉTODO GRÁFICO Y ALGEBRAICO RMC es una pequeña empresa que fabrica una variedad de productos basados en sustancias químicas. En un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo para combustible se vende a compañías petroleras y se usa en la producción de gasolina y combustibles relacionados. La base para solvente se vende a

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una variedad de empresas químicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar e industriales. Las tres materias primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como se muestra a continuación:

Ésta nos muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 0.4 toneladas del material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una tonelada de la base para solvente es una mezcla de 0.5 toneladas del material 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas del material 3. La producción de RMC está restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el periodo de producción actual, RMC tiene disponibles las siguientes cantidades de materia prima:

Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de producción, los materiales que no se lleguen a usar en una corrida de producción no se pueden almacenar para las subsiguientes, son inútiles y deben desecharse. El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción, asignó todos los costos relevantes y llegó a precios que, para ambos productos, producirían una contribución a la utilidad de $ 40 por cada tonelada de aditivo para combustible producida y $ 30 para [Escriba texto]

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cada tonelada producida de base para solvente. Ahora usaremos la programación lineal para determinar la cantidad de aditivo para combustible y la cantidad de base para solvente para producir a fin de maximizar la contribución a la ganancia total. 3.1.1. MÉTODO GRÁFICO PASOS 1) Trasladar la información relevante del problema a una tabla

2) Describir el objetivo del problema, formular las restricciones y nombrar las variables Objetivo: Maximizar

la

contribución

total

a

la

ganancia.

Restricciones: MATERIAL1 ≤20 MATERIAL2 ≤5 MATERIAL3 ≤ 21

F = Cantidad de toneladas para aditivo para combustible por producir. S = Cantidad de toneladas para aditivo para solvente por producir 3) Formular la función objetivo MAX=40 F +30 S 4) Realizar el modelo matemático MAX=40 F +30 S Sujeto a: 0.4 F+ 0.5 S ≤ 20 Ecuación 1 0.2 S ≤ 5 Ecuación 2

0.6 F+ 0.3 S ≤ 21 Ecuación 3 F , S ≥0

5) Reemplazar por 0 los valores de F y S en cada una de las ecuaciones En ecuación 1 [Escriba texto]

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Si F=0 entonces: 0.5 S=20 S=

20 =40 0.5

( F=0, S=40)

Si S=0 entonces 0.4 F=20 F=

20 =50 0.4

( F=50, S=0) En ecuación 2 5 S= =25 0.2 ( F=0, S=25)

En ecuación 3 Si F=0 entonces 0.3 S=21

S=

21 =70 0.3

( F=0, S=70) Si S=0 entonces 0.6 F=21 S=

21 =35 0.6

( F=35, S=0)

6) Graficar los puntos encontrados

[Escriba texto]

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 Para realizar la gráfica es necesario tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:  Preparar una gráfica para cada restricción que muestre las soluciones que satisfagan la restricción.  Determinar la región factible identificando las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones.  Trazar líneas de función objetivo que muestren los valores de las variables de decisión que producen valores especificados para la misma.  Mover líneas de función objetivo paralelas hacia valores mayores de la función objetivo hasta que un mayor movimiento sacaría a la línea por completo de la región factible.  Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con el valor máximo encontrado por el procedimiento anterior es una solución óptima.

[Escriba texto]

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Del anterior gráfico podemos deducir que las líneas celestes representan cada una de las restricciones del problema, la línea roja es la función objetivo, la parte de la gráfica sombreada con puntos rojos representa el área factible y el punto blanco la solución óptima, a continuación veremos cómo llegamos a cada una de dichas conclusiones. (Vitutor, 2012)

3.1.2. MÉTODO ALGEBRAICO Obtener la solución óptima 1) Se usan las ecuaciones 1 y 3 del problema: 0.4 F+ 0.5 S=20 Ecuación 4 0.6 F+ 0.3 S=21 Ecuación 5 2) Se despeja F de la ecuación 4 0.4 F+ 0.5 S=20

[Escriba texto]

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0.4 F=20−0.5 S F=50−1.25 S Ecuación 6

3) Se sustituye F en la ecuación 5 0.6 F+ 0.3 S=21 0.6∗( 50−1.25 S ) +0.3 S=21 30−0.75 S+ 0.3 S=21 −0.45 S=21−30

−0.45 S=−9 S=

−9 −0.45

S=20

4) Se sustituye S en la ecuación 6 F=50−1.25 S F=50−1.25(20)

F=50−25 F=25

Se puede observar en la gráfica que estos dos valores están representados por el punto blanco, lo cual quiere decir que esta es la solución óptima del problema. 5) Sustituir los valores en la función objetivo MAX=40 F +30 S MAX=40(25)+30(20)

MAX=1000+600 MAX=$ 1600

En conclusión se deben producir 25 toneladas de combustible y 20 toneladas de base para aditivo para obtener una utilidad máxima de $ 1,600 Para encontrar la línea que atraviesa la solución factible (punto blanco) se [Escriba texto]

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iguala a 0 F y S en la función objetivo y se encuentran los valores: 40 F+ 30 S=1600

Si F es 0 entonces: 30 S=1600 S=

1600 =53.33 30

( F=0, S=53.33)

SI S es 0 entonces: 40 F=1600 F=

1600 =40 40

( F=40, S=0)

Como se puede observar estos puntos están representados por la línea celeste C3 y es la que atraviesa la solución óptima. (Vitutor, 2012) 3.2. MÉTODO SIMPLEX El algoritmo simplex está diseñado para localizar la solución óptima concentrándose en un número seleccionado de las soluciones básicas factibles del problema. Siempre empieza en una solución básica factible y después trata de encontrar otra solución básica factible que mejorará el valor del objetivo.  Los cálculos para producir la nueva solución básica incluyen dos tipos: Renglón pivote: NUEVO RENGLON PIVOTE=

RENGLON PIVOTE ACTUAL ELEMENTO PIVOTE

 Todos los demás renglones, incluyendo z: NUEVO RENGLON =( RENGLON ACTUAL )−( SU COEFICIENTE DE LA COLUMNA PIVOTE 3.2.1. EJEMPLO DE MAXIMIZACIÓN UTILIZANDO EL MÉTODO SIMPLEX Continuando con el problema anterior los pasos para resolver el problema por el método simplex son: 1) Expresar el problema en forma estándar [Escriba texto]

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MAX 40 F+30 S+ S 1+S 2+ S 3

0.4 F+ 0.5 S+ S 1=20 0.2 S+ S 2=5

0.6 F+ 0.3 S+ S 3=21 F , S , S 1, S 2, S 3 ≥0

2) Obtener el renglón z que consiste en convertir al función objetivo en valores negativos MAX Z=40 F +30 S + S 1+ S 2+ S 3 Z =−40 F−30 S=0

3) Resumir la forma estándar en una tabla simplex

4) Se encuentran las intersecciones de la primera variable (la más negativa) para determinar el renglón pivote. En este caso se toma la columna donde se encuentra el -40 y cada uno de los valores de la solución se divide dentro de los valores de dicha columna, escogiendo el menor valor y toda esa fila se convertirá en la fila pivote como se puede observar en la siguiente tabla:

5) Se hacen los cálculos correspondientes [Escriba texto]

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 La nueva fila pivote es la S3 el objetivo es convertir el valor de 0.6 en 1 para lo cual se divide toda la fila dentro de 0.6 y se coloca en la nueva tabla. El resto de valores que se encuentran arriba o abajo de 0.6 deben convertirse en 0. Para este caso se desea convertir el 0.4 en 0 por lo cual se convierte el 0.4 en negativo se multiplica por el valor correspondiente en la nueva fila pivote que es 1 y se le suma el valor de esa posición en la tabla antigua que en este

caso es 0.4 en resumen

(−0.4∗1+ 0.4=0)

y asi sucesivamente con cada

una de las filas:

6) Como no se tienen todavía las variables de z en positivo, entonces hay que repetir los pasos 4 y 5 hasta que todos los valores de z sean positivos:

Como se puede observar en la tabla anterior todos los valores de z son positivos, lo cual quiere decir se ha llegado a encontrar la solución óptima del problema que es producir 20 toneladas de aditivo para combustible y 25 [Escriba texto]

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toneladas de base para solvente para obtener una ganancia máxima de $ 1600. Si observa se obtuvieron los mismos resultados que el método gráfico y algebraico anteriormente descritos (Vitutor A. , 2012) 3.3. EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN M & D Chemicals produce dos productos que se venden como materias primas a compañías que fabrican jabones para baño y detergentes para ropa. Basado en un análisis de los niveles de inventario actuales y la demanda potencial para el mes siguiente, la gerencia de M & D ha especificado que la producción combinada para los productos A y B debe ser en total al menos 350 galones. Por separado, también debe satisfacerse un pedido de un cliente importante de 125 galones del producto A. El producto A requiere dos horas de procesamiento por galón, mientras el producto B requiere una hora de procesamiento por galón, y para el siguiente mes se dispone de 600 horas de tiempo de procesamiento. El objetivo de M & D es satisfacer estos requerimientos con un costo total de producción mínimo. Los costos de producción son $2 por galón para el producto A y $3 por galón para el producto B. Para encontrar el calendario de producción de costo mínimo, formularemos el problema de M & D Chemicals como un programa lineal. Siguiendo un procedimiento parecido al usado para el problema RMC, primero definimos las variables de decisión y la función objetivo para el problema. Sea A = Cantidad de galones del producto A B = Cantidad de galones del producto B Debido a que los costos de producción son $ 2 por galón para el producto A y $ 3 por galón para el producto B, la función objetivo que corresponde a la minimización del costo total de producción puede escribirse como: Min 2 A+ 3 B

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A continuación consideramos las restricciones impuestas al problema de M & D Chemicals. Para satisfacer la demanda del cliente importante de 125 galones del producto A, sabemos que A debe ser al menos 125, Por tanto, escribimos la restricción 1 A ≥ 125

Debido a que la producción combinada para ambos productos debe ser el total al menos 350 galones, podemos escribir la restricción 1 A+ 1 B ≥350 Por último, la limitación en el tiempo de procesamiento disponible de 600 horas significa que necesitamos agregar la restricción: 2 A+ 1 B ≤600 Después de agregar las restricciones de no negatividad, tenemos el siguiente programa lineal para el problema de M & D Chemicals: Min 2 A+ 3 B Sujeto a: 1 A ≥ 125 1 A+ 1 B ≥350 2 A+ 1 B ≤600

A ,B≥0 Debido a que el modelo de programación lineal sólo tiene dos variables de decisión puede usarse el procedimiento de solución gráfica para encontrar las cantidades de producción óptimas. El método gráfico para este problema, como en el problema de RMC, requiere que primero tracemos la gráfica de las líneas de restricción para encontrar la región factible. Al trazar cada línea de restricción por separado y luego verificar los puntos en cada lado de la línea, pueden identificarse las soluciones que satisfacen cada restricción. Al combinar las soluciones que satisfacen cada restricción en la misma gráfica obtenemos la región factible. (Romero, 2003) 3.3.1. MÉTODO GRÁFICO [Escriba texto]

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PASOS 1) Trasladar la información relevante del problema a una tabla.

2) Describir el objetivo del problema, formular las restricciones y nombrar las variables Objetivo: Satisfacer

los

requerimientos

con

un

costo

mínimo.

Restricciones: 1. Producir para el cliente 125 gal. de A 2. Producción combinada 350 gal. 3. 2 horas para producir A por cada B contando en total con 600 horas A = Cantidad de galones del producto A. B = Cantidad de galones del producto B. 3) Formular la función objetivo MIN =2 A +3 B 4) Realizar el modelo matemático MIN =2 A +3 B Sujeto a: 1 A ≥ 125 Ecuación 1 1 A+ 1 B ≥350 Ecuación 2 2 A+ 1 B ≤600 Ecuación 3

A ,B≥0 5) Reemplazar por 0 los valores de A y B en cada una de las ecuaciones En ecuación 1 Si B=0 entonces: ( A=125, B=0)

En ecuación 2

Si A es 0 1 B=350

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( A=0, B=350) Si B es 0 1 A=350 ( A=350, B=0)

En ecuación 3 Si A=0 entonces 1 B=600 ( A=0, B=600) Si B=0

entonces

2 A=600 A=

600 2

A=300

( A=300, B=0) 6) Graficar los puntos encontrados Para realizar la gráfica es necesario tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:  Preparar una gráfica para cada restricción que muestre las soluciones que satisfagan la restricción.  Determinar la región factible identificando las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones.  Trazar líneas de función objetivo que muestren los valores de las variables de decisión que producen valores especificados para la misma.  Mover líneas de función objetivo paralelas hacia valores más pequeños de la función objetivo hasta que un movimiento mayor a la línea por completo de la región factible.  Cualquier solución factible en la línea de función objetivo con el valor más pequeño es una solución óptima. [Escriba texto]

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Del anterior gráfico podemos deducir que las líneas celestes representan cada una de las restricciones del problema, la línea roja es la función objetivo, la parte de la gráfica sombreada con puntos rojos representa el área factible y el punto blanco la solución óptima, a continuación veremos cómo llegamos a cada una de dichas conclusiones. (UDEA, 2007) 3.3.2. METODO ALGEBRAICO

Obtener la solución óptima 1) Se usan las ecuaciones 2 y 3 del problema: 1 A+ 1 B=350 Ecuación 4

[Escriba texto]

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2 A+ 1 B=600 Ecuación 5

2) Se despeja A de la ecuación 4 1 A=350−1 B A=350−1 B

Ecuación 6

3) Se sustituye A en la ecuación 5 2(350−1 B)+1 B=600 700−2 B+1 B=600

B=

−1 B=−100

−100 −1

−2 B+1 B=600−700

B=100

4) Se sustituye B en la ecuación 6 A=350−1 B A=350−1(100)

A=350−100

A=250 Se

puede

observar en la gráfica que estos dos valores están representados por el punto blanco, lo cual quiere decir que esta es la solución óptima del problema. 5) Sustituir los valores en la función objetivo MIN =2 A +3 B MIN =2(250)+3(100) MIN =500+300

MIN =$ 800 En conclusión Se deben producir 250 galones del producto A y 100 galones del producto B para obtener un costo mínimo de $ 800 Para encontrar la línea que atraviesa la solución factible (punto blanco) se iguala a 0 A y B en la función objetivo y se encuentran los valores: 2 A+ 3 B=800 Si A es 0 entonces: 800 3 B=800 B= 3 2 A=800

A=

800 2

B=266.67 SI B es 0 entonces: A=400 Como se puede observar estos puntos

están representados por la línea celeste C3 y es la que atraviesa la solución [Escriba texto]

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óptima. 3.4. MÉTODO SIMPLEX Se puede dividir el procedimiento del método simplex en dos fases: FASE I: Se expresa el problema en forma estándar y se añaden las variables artificiales necesarias a las restricciones. En seguida se encuentra una solución básica de las ecuaciones resultantes, por medio del método simplex, que minimice la suma de las variables artificiales FASE II: Se utiliza la solución factible obtenida en la fase I como una solución factible inicial

para

el

problema

original,

por

medio

del

método

simplex.

NUEVO RENGLÓN Z=RENGLÓN Z ANTERIOR + A∗RENGLÓN A +B∗RENGLÓN B PASOS 1) Escribir el problema en forma estándar. Si la restricción es mayor o igual los valores de S serán negativos por el contrario si la restricción es menor o igual serán positivos y por cada variable S se agrega una variable R positiva excepto en la tercera ecuación para este caso. MIN 2 A +3 B+S 1+ S 2+ S 3 1 A−S 1+ R1=125 1 A+ 1 B−S 2+ R 2=350

2 A+ 1 B+ S 3=600 A , B , S 1, S 2, S 3 ≥ 0

2) Escribir el problema en una tabla simplex, usando el renglón r y no el z

[Escriba texto]

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3) Obtener el nuevo renglón r Nuevo renglónr =renglón actual+(+ R 1)∗¿ Renglón S 1+(+ R 2)∗Renglón S 2

4) Continuar con el simplex hasta obtener nuevamente el primer renglón r

[Escriba texto]

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5) Quitar las columnas R1 y R2 y agregar la función objetivo

6) Obtener el nuevo renglón z Nuevo renglón z=renglón anterior z +(+ A )∗¿ renglón S 1+(+B)∗renglón S 2

[Escriba texto]

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7) Continuar con el simplex hasta que todos sean negativos

En conclusión se deben producir 250 galones del producto A y 100 galones del producto B para obtener un costo mínimo de $ 800*. Nótese que se llegaron a los mismos resultados que el método algebraico. 4. PROGRAMACION LINEAL EN WIN QSB EJERCICIO Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las utilidades?

Bicicleta de paseo (x) [Escriba texto]

Acero

Aluminio

Precio de Venta

1 kg

3 kg

$ 20.000

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Bicicleta de montaña (y)

2 kg

2 kg

Disponibilidad

80 kg

120 kg

Declaración de variables x=Cantidad de bicicletas de paseo a producir

y=Cantidad de bicicletas de montaña a producir

Restricciones de capacidad Aluminio: x+ 2 y ≤ 80

Acero: 3 x+2 y ≤120

Función Objetivo Z MAX=20000 X +15000 Y

[Escriba texto]

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$ 15.000

INGRESANDO A LINEAR AND INTEGER PROGRAMMING (WINQSB) Una vez se haya ingresado al módulo Linear and Integer Programming, se abrirá una ventana de inicio del módulo, tal como se muestra a continuación:

En esta ventana podremos entonces crear un nuevo problema, o cargar uno que ya hayamos desarrollado. Una vez demos clic en "Nuevo Problema (New Problem)" se abrirá un menú emergente que nos permitirá ingresar los parámetros básicos del problema:

[Escriba texto]

Página 27

El programa requiere que se definan las especificaciones del problema, que incluye el nombre de problema, el número de variables, el número de restricciones, el criterio de la función objetivo, los tipos de variable por defecto, y el formato de entrada de datos, ya sea en forma de matriz o en forma de modelo normal . El nombre de problema, los nombres de variables, nombres de restricción, el número de variables, número de restricciones , el criterio de la función objetivo, tipos de variables, y la entrada de datos formato se pueden modificar mediante el menú Formato y menú Editar una vez se haya abierto el modelo. Para el problema que estamos abordando es necesario que ingresemos los siguientes parámetros: Número de variables: 2(x , y )

Número de restricciones: 2 (Disponibilidad de Aluminio y Acero) Función Objetivo: Maximizar (Utilidades) Tipos de variables por defecto: Enteras no negativas (Serán bicicletas, unidades enteras) Formato de entrada: Matriz (Recomendado) Una vez se registren los parámetros y al dar clic en el botón OK, se mostrará la siguiente ventana, en aras de utilizar las mismas variables que en el modelo, mostraremos el método de renombrar las variables:

[Escriba texto]

Página 28

Desde el menú EDIT, también podremos modificar el nombre de las restricciones, tal como se aprecia en la siguiente imagen:

[Escriba texto]

Página 29

En ella hemos registrado los datos que controlan nuestro problema de estudio. El siguiente paso, consiste en resolver el problema, para ello damos clic en el botón "Solve and Analize": Este comando resuelve el problema. Si se especifica alguna variable como un entero o binario, el programa utilizará automáticamente el método de Branch and Bound (Rama y Cotas) para resolver el problema. El método simplex modificado es utilizado para resolver problemas de programación lineal continua.

Esta opción mostrará automáticamente un tabulado resumen de la solución si el problema tiene una solución óptima, mostrará la inviabilidad de análisis si el problema no es factible, o mostrará si el análisis no acotación si el problema no está acotado en función objetivo o valores de las variables.

[Escriba texto]

Página 30

Este mensaje nos indica que el problema ha sido resuelto, y que existe una solución óptima que ha sido encontrada. Al dar clic en Aceptar, nos llevará al cuadro resumen de la solución:

[Escriba texto]

Página 31

Interpretar cada uno de los valores del cuadro solución, es cuan o más importante que obtener la solución óptima, dado que de dicha interpretación podremos extraer un buen análisis de sensibilidad: (industriales) Solution value: Valor solución, es el valor que toman las variables de decisión en nuestra solución óptima, en este caso nos indica que se deberán producir 20 bicicletas tipo paseo y 30 bicicletas tipo montaña.

Unit Cost or Profit: El costo unitario o contribución es el valor que les fue asignado a las variables por nosotros en la función objetivo.

Total Contribution: Es la contribución total a la solución objetivo, es el producto del valor solución * costo unitario o contribución. [Escriba texto]

Página 32

Basic Status: Después de que el problema se resuelve , esto representa si la variable es una variable de base, en el límite inferior, o en el límite superior en la tabla simplex final.

Allowable MIN, MAX C(j): Para un coeficiente de la función objetivo en particular. Este es el rango en que la base actual de la solución sigue siendo la misma.

Objective Function: Nos muestra el resultado de nuestra función objetivo, en este caso la solución óptima tiene una función objetivo (utilidad) de $ 850.000

Left Hand Side: Del lado izquierdo, es el valor que toma la ecuación de cada restricción luego de reemplazar las variables que la componen por los valores solución. Por ejemplo, la ecuación de la restricción de Acero que es x + 2y