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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Facultad de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ciencias

Tema: La hipérbola http://www.ub.edu/penal/historia/trs/pdem1.html

Docente: Hernández Zambrano; Alex

Código Clase: 18950

Integrantes:    

Julcamoro Llanos; María Elsa Vigo Salazar; Olenka Mariel Bautista Medina; vianka Acuña Bueno; Julissa

Cajamarca – Perú 2014

Los espejos hiperbólicos (empleados en algunos telescopios) tienen la propiedad de cada rayo dirigido a un foco se refleja hacia el otro foco. El espejo de la figura tiene ecuación(x2 /36)- (y2/64) = 1. ¿En qué punto del espejo se reflejara la luz procedente del punto (0.10) hacia el otro foco?

Ejemplos de aplicación en la vida real 

Ejercicios:

1. Representar gráficamente y determinar las coordenadas del foco, vértice y la excentricidad de las siguientes hipérbolas.

Solución

2. Representa gráficamente y determinar las coordenadas del centro, de los vértices, de los focos y la excentricidad de la siguiente hipérbola:

3. Determinar la ecuación reducida de una hipérbola que pasa por el punto

y su excentricidad es

.

4. Determina la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que un foco dista de los vértices de la hipérbola 50 y 2.

5. Una hipérbola equilátera pasa por el punto (4, 1/2). Halla su ecuación referida a sus asíntotas como ejes, y las coordenadas de los vértices y los focos.

6. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).



Aplicaciones:

1. La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km. Al este de la estación A. un barco navega 100 km al norte de la línea que une A y B. desde ambas estaciones se envían señales de radio simultáneamente a una velocidad de 2590.000 km /s. si la señal enviada desde A llega al barco 0.001s antes que la enviada B, localiza la posición del barco. ¿A qué distancia esta de cada una de las estaciones? Solución Situamos los ejes coordenados como en la figura adjunta. Llamando tA y tB al tiempo que tardan en llegar al barco las señales enviadas desde A y B respectivamente y DA y DB a las distancias desde el barco a las estaciones A y B, se tienes DA = 290000 * tA DB = 290000 * tB

tA - tB = DA – DB / 290000

Es decir, DA – DB = 290000 * 0.001 = 290km. El barco está situado en un punto, de ordenada 100, cuya diferencia de distancia a los puntos A y B será 290 km. Por lo tanto el barco estará en la hipérbola con focos A y B, y diferencia de distancias a los focos igual a 2 a = 290 km. Por otra parte la distancia del foco será: 2c = 400 km. La ecuación de la hipérbola buscada será: 𝑥^2

− 𝑎^2 𝑥^2 21025

𝑦^2 𝑏^2

−

= 1 , con b2 = c2 – a2 = 2002 – 1452 = 18975.

𝑦^2 18975

= 1 , como y = 100, entonces: x ≃ - 179.18 km.

Las coordenadas del barco serán entonces (-179.18, 100) Y las distancias a las estaciones: DA = 1002 + 20.822 ≃ 102.14 km. DB = 1002 + 379. 182 ≃ 392. 14 km. 

Ejercicios propuestos:

1. Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

2. Hallar

el centro, focos y vértices

3. Determina la ecuación reducida de una hipérbola que pasa por los puntos 4. Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10. 5. Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0). 3.1.2

Definiciones y Propiedades.

DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.

PRORIEDADES DE LA HIPERBOLA Muchas propiedades de la hipérbola están asociadas con sus tangentes .como la ecuación de una hipérbola es el segundo grado, sus tangentes pueden obtenerse empleando la condición para tangencial. Teorema:

Propiedades:  La curva es simétrica a ambos ejes, es decir, la recta focal y la mediatriz del segmento focal son ejes de simetría.  El punto de intersección de las dos rectas antes mencionadas es el centro de simetría de la curva, el cual se conoce como centro de la hipérbola.  Intersección con los ejes coordenados.