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EJERCICIOS DE VECTORES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

PROFESOR: Luque Brazan, Emilio Piero ALUMNO: Rivera Fernandez, Alexander SECCION: C

EJERCICIOS DE VECTORES

PRESENTACION En este informe se recopilo exámenes Facultad de Ciencias, con el objetivo de generar un ambiente de interés y ganas ello cada pregunta fue bien planteada manera más entendible para el lector.

y prácticas de la compartir ideas y de aprender, para y resuelta de la

Problemas de vectores Vectores: EL V EC TO R

, ¿S E PUEDE E XPR ES AR C O MO C O MBI N AC I Ó N

LI N EAL DE LO S VEC TO RE S

?

-

Si se pue de expr e sar co mo una su ma de vecto r e s, ve amo s:



No rm a y p rod uct o es ca la r:

Calcula la proyección del vector vector

.

sobre el



Pro d uct o ve ct o ri al y p ro p ied ad e s :

Propiedades del producto vectorial entre vectores Sean u, v y w tres vectores de R3 y sea α ∈ R, entonces: 1. El producto vectorial es anti conmutativo: u × v = – (v × u) 2. El producto vectorial de vectores paralelos es el vector nulo: Si u // v ⇒ u × v = 0 3. Consecuencia propiedad (2): u × u = 0 4. Si uno de los vectores del producto vectorial es el vector nulo entonces el producto vectorial es el vector nulo: 0 × u = u × 0 = 0 5. El producto vectorial es distributivo respecto de la suma de vectores (a derecha y a izquierda) teniendo en cuenta la anti conmutatividad de la operación: u × (v + w) =u×v +u×w (v + w) × u = v × u + w × u 6. Extracción de un escalar del producto vectorial: (αu) × v = u × (αv) = α (u × v) EJEMPLO Aplicando propiedades del producto vectorial reducir a una mínima expresión: u × (v + u) + v × (u + v) Observemos que en la expresión dada es posible aplicar la propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma, entonces:

u × (v + u) + v × (u + v) = u × v + u

×u+v×u+v×v En ésta expresión tenemos que: u × u = 0 y v × v = 0, por lo tanto: u × (v + u) + v × (u + v) = u × v + 0 + v × u + 0 = u × v + v×u Luego, sabemos que el producto vectorial es anti conmutativo, es decir: u × v = – (v × u) Entonces: u × (v + u) + v × (u + v) = – (v × u) + v × u como estos vectores son opuestos, resulta que: u x (v + u) + v x (u + v) =0



t rip le p ro d uct o es cal ar:

y

Dados los vectores el producto mixto paralelepípedo que tiene

,

y

, hallar

. ¿Cuánto vale el volumen del

por aristas los vectores dados?



PRACTICA Y PROBLEMAS DE LA FACULTAD DE CIENCIAS:

Hallar k si el ángulo que forma −1) vale: 1. 90°

2. 0°

3. 45°

= (3, k) con

= (2,

Calcula la proyección del vector sobre él siendo A (6, 0), B (3, 5), C (−1, −1).

,

Dados los vectores producto a

y

, hallar el

y comprobar que este vector es ortogonal a

. Hallar el vector

y compararlo con

.

y