• Author / Uploaded
• Jesus Cerdan Solier

Citation preview

Universidad Privada Telesup

Pág. 1

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Carrera: Ingeniería de Sistemas Semestre: 2012-1

SEPARATA INVESTIGACION OPERATIVA

PRIMERA UNIDAD DIDACTICA PROGRAMACION LINEAL

Profesor del curso: Leva Apaza Antenor

Lima, Febrero del 2012

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 2

PRIMERA UNIDAD DIDACTICA PROGRAMACION LINEAL

INDICE I PROGRAMACION LINEAL II DESARROLLO DE CONTENIDOS SEMANA 1: INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Logros Resumen Desarrollo Definición Tipos de matrices Propiedades Inversa de una matriz Actividades Glosario Anexos y textos SEMANA 2: FORMULACION Y REPRESENTACION MATEMATICA DE UN PROGRAMA LINEAL Logros Resumen Desarrollo Fundamento de la programación lineal Formulación de un modelo de programación lineal Representación matemática Actividades Glosario Anexos y textos SEMANA 3: SOLUCION DE UN P.L.(METODO GRAFICO) Logros Resumen Desarrollo Solución de un problema de maximización Solución de un problema de minimización Análisis de sensibilidad Actividades Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 3

Glosario Anexos y textos III BIBLIOGRAFIA IV AUTOEVALUACION PARA LA UNIDAD V RESOLUCION DEL CUESTIONARIO

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 4

PRIMERA UNIDAD DIDACTICA PROGRAMACION LINEAL I INTRODUCCION Y ORIENTACION PARA EL ESTUDIO Se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica en una amplia variedad de casos en los campos de industria, agricultura, transporte, economía, salud, ciencias sociales y de la conducta militar. Forma la columna vertebral de los algoritmos de solución para otros modelos de investigación operativa, como las programaciones enteras, estocástica y no lineal.

II DESARROLLO DE CONTENIDOS SEMANA 1: INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES LOGROS El participante logra recordar la teoría de matrices para poder utilizar en la programación lineal. RESUMEN En esta sección presentamos la teoría de matrices y sus propiedades. DESARROLLO MATRIZ Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas o en columnas. Son ejemplos de matrices:

2 1      0 1 3  ,  1 2 10   

 sin

cos

tg 

 2a    ,  b   3c   

Notación.- Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tal como A, B, C,...,etc. El conjunto de elementos o componentes de una matriz se encierran entre paréntesis o corchetes y en los casos en que no se usen números específicos, se denotan con letras minúsculas subindicadas: aij , bij ,cij ,es decir,

a12  a11  a22  a21 . . A   aij    : :  a a  m11 m12 am 2  am1

a1n   ... a2 n  .  . : .  . am1n   ... amn  ...

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 5

Los subíndices de un elemento indican, el primero la fila en la que está la componente y el segundo la columna correspondiente; así, el elemento aij ocupa la intersección de la i-ésima fila y la j-ésima columna. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado mxn , donde m indica el número de filas y n el número de columnas. Por ejemplo:  1 2 5 A  es una matriz de orden 2x3  2 1 3  El conjunto de matrices de orden denotará , es decir:



K mxn  A A   aij 

mxn

m x n, con coeficientes en

(

puede ser

o

), se



Así, en el ejemplo anterior: AR2x3. Ejemplo N°1 Escribir explícitamente las matrices: a) A   aij   R 2 x 3 aij  2i  j b) B  bij   R3 x 3 bij  min(i, j )

c) C  cij   R 2 x 4 cij  i 2  j TIPOS DE MATRICES a) Matriz rectangular.- La matriz de orden mxn, con m  n, recibe el nombre de matriz rectangular. Por ejemplo:

1 1 2 A  5 0 4 b) Matriz fila.- La matriz de orden 1xn, se denomina matriz fila. Por ejemplo:

B   1 6 8 c) Matriz columna.- La matriz de m filas y una columna recibe el nombre de matriz columna de orden m x 1, por ejemplo:  2   3 C    0    7

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 6

d) Matriz cero.- Una matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir, aij=0,i, j recibe el nombre de matriz cero o nula. Por ejemplo: 0 0 0   0 0 0   0 0 0   0 0 0 e) Matriz cuadrada.- La matriz que tiene mismo número de filas y columnas se llama matriz cuadrada. Una matriz cuadrada con n filas y n columnas se llama también matriz de orden n. Por ejemplo:

 a11 a12   a21 a22 A   a31 a32   a41 a42 a  51 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15   a25  a35   a45  a55 

OBSERVACIONES En una matriz cuadrada, la diagonal principal es una línea formada por los elementos a11 ; a22 ; a33 ;...; ann La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se llama traza de la matriz y se denota por: n

Tr  A     aii  i 1

IGUALDAD DE MATRICES Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus componentes correspondientes son iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Esto es:  aij   bij   aij  bij , i, j mxn mxn

Ejercicio: Dadas las matrices

A   aij   R 2 x 2 aij  2i  (1) j  x  y 1 B   3x  y 3  Hallar los valores de x e y de modo SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices A   aij  tal que:

mn

que A=B

, B=[bij]mxn , se llama suma de A y B a otra matriz C=[cij]mxn

aij+ bij= cij, i,j .Esto es:

A  B   aij   bij    aij  bij 

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 7

Ejercicio: Dadas las matrices:

 7 2  A  5 2 

 2 5  ; B   4 1

Hallar A+B. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES Si A, B, C son matrices del mismo orden, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

A1. A, B  K mxn , ( A  B)  K mxn A2 . A  B  B  A

A3 . A   B  C   ( A  B)  C A 4 . A  K mxn ,   K mxn / A      A  A A5 . A  K mxn ,    A  K mxn / A    A     A   A   PRODUCTO ESCALAR POR UNA MATRIZ Dados una matriz A y un número real k, el producto de k por A se define: kA  k  aij    kaij 

Cada componente de A se multiplica por el escalar k. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Definición.- Si A=[aij]mxp , B=[bij]pxn el producto AxB, en ese orden, es la matriz C=[cij]mxn cuyos elementos de A y B se obtienen de los elementos de A y B siguiendo el siguiente desarrollo: cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aip bpj

Ejercicio: Hallar AB , sabiendo que:

 2 3 A   1 2 2x2

 1 2 3  , B   4 1 2 2 x3

Propiedades de la multiplicación de matrices Si A, B, C son matrices de dimensiones compatibles (conformables) respecto a la suma y producto, entonces se tiene: M1. A( BC )  ( AB )C M 2 . A( B  C )  AB  AC (A  B )C  AC  BC M 3 . AB  BA M 4 . AB   , no implica que A   ó B   M 5 . AB  AC , no implica que B  C M 6 . I  K n / A  K n , IA  AI  A Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup Matriz Transpuesta. Dada una matriz de orden n At y B t a la matriz de orden columnas. Ejemplo: Sea

Pág. 8

, se llama matriz transpuesta de A y B , se denota por n cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por

5 4  5 7 1   t A  A   7 1  4 1 2  1 2   

Matrices cuadradas especiales a) Matriz simétrica.- Dada una matriz A  aij   K n

si ocurre que A  At diremos que A es simétrica. Si la matriz A es simétrica, entonces para una constante  cualquiera, la matriz  A también es simétrica. Ejemplo: Si

 2 2 4   A   2 6 0  4 0 8  

se tiene que:  2 2 4   A t   2 6 0  4 0 8   Como A  A,t entonces 1 1 2 1  A  A   1 3 0  2  2 0 4  

A es una matriz simétrica y también lo es:

b) Matriz antisimétrica.- Se dice que una matriz A  a   K n  ij  . t A  A Ejemplo: demostrar que la matriz dada es antisimétrica:

es antisimétrica si cumple

 0 2 3    A   2 0 1   3 1 0  

OBSERVACIÓN.- En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal deben de ser ceros.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 9

MATRIZ INVERSA Si A  K n , se dice que A es inversible si existe una matriz B tal que AB=I ó BA=I, para los que B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota B=A-1. CÁLCULO DE LA INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS JORDAN El método de Gauss Jordan consiste en: Para una matriz dada A de orden n, se construye una matriz rectangular A   A I  de orden nx2n, añadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego haciendo uso de las transformaciones elementales sobre las filas, se reduce  I B  a la matriz de la forma , lo que es posible si es que A es inversible. La matriz B resulta ser la inversa de A.  A I  Ejemplo: Determinar si la matriz A es inversible, sí así lo fuera, calcular su inversa por el método de Gauss Jordan.  1 1 1    A   0 0 1 1 1 -1  

Solución: PROPOSICIÓN 1: Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante es diferente de cero.

PROPOSICIÓN 2: Sea

a12  a A   11   a21 a22  Una matriz, tiene inversa A-1 si y sólo si el det( A)  0 A1 

, entonces:

1  a22 a12    a11  det( A)  a21

PROPOSICIÓN 3: Si A es una matriz invertible, entonces: A1 

1 adj ( A) det( A)

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 10

ACTIVIDADES Practica dirigida 1) Considerar las siguientes matrices:

2 A 0 1 C 3

1 0 i  j, si i  j , B  bij  , bij    3 x 3 1 1 i  j, si i  j 2 , D   dij  , dij  max i, j 3x3 4

Calcular (si es posible)

AAT  B 1 3BD  2 AT A b)  2 a)

2)

Calcular la matriz X, en :

A( X  CBT )T BT  CB  ( BCBAT )T donde : 1 2 1  2 0 0 1 0 2      A  0 1 3 , B   0 2 0  , C  0 1 1  0 0 1 0 0 2  3 2 0  3)

4)

Hallar le determinante de cada una de las siguientes matrices:  6 5 3 2  4 5 A , B ,C    2 3 4 5   1 2 Aplicando propiedades , hallar el determinante de cada uno de las siguientes matrices:

1 2 3  2 3 4   A   2 4 1 , B   5 6 7  1 5 2  8 9 1  5) Hallar la inversa de la matriz:  1 0 0 A   4 2 3   1 1 2  6) Sean las matrices  2 1 4 1 1 3    A   1 2 0  , B   2 2 0   1 0 0   0 1 1  a ) Hallar BA b ) Hallar la matriz inversa de la matriz BA

7)

Calcular la matriz X , si : A1 X 1B  C 1 Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 11

Donde:  2 0 1/ 3 2 / 3 4 0  1 1 A , B  , C    0 1/ 3  0 4 1 1      8)

Calcular la matriz X, si: AX 1  B  C , donde:

2 3 1 1  A1   , B   , C  2I  A 3 1  2 0 9) Resolver el siguiente sistema: 2 x  3 y  1 7 x  4 y  47 10) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2x  y  z  6

3x  2 y  3z  5 8 x  2 y  5 z  11 11) Resolver el siguiente sistema: x yz 8

4 y  z  2 3x  y  2 z  0 12) Resolver el sistema de ecuaciones: x  y  z 1

2x  3y  z  3 5x  y  2 z  2 13) Resolver el sistema ecuaciones: 4 x  y  3z  w  0 2 x  3 y  z  2w  0 2 x  11y  7 z  8w  0 7 y  4 z  5w  0 14) Resolver el sistema: 27 x  9 y  3 z  w  112  x  y  z  w  2 x yzw4 8 x  4 y  2 z  w  13 15) Tres ingenieros de sistemas, Alan, María y Esteban, recibieron un bono a fin de año, de 10000 soles para cada uno, y decidieron invertir en un plan de retiro auspiciado por su empresa. Bajo este plan, cada empleado puede colocar sus inversiones en tres fondos, un fondo accionario I , un fondo de desarrollo II y un fondo global III. Las distribuciones de las inversiones de los tres empleados al principio del año se resumen en la matriz

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup I

II

Pág. 12

III

Alan  4000 3000 3000 A  Maria  2000 5000 3000 Esteban  2000 3000 5000 Los réditos de los tres fondos después de un año están dados por la matriz I  0.18  A  II 0.24  III 0.12 

16) Constructora Mallorca construye departamentos en tres distritos limeños. El número proyectado de departamentos en cada modelo por construir en cada distrito está dado por: I II III IV

Miraflores 60 80 120 40  A  San Isidro  20 30 60 10  Los Olivos 10 15 30 5  Las ganancias proyectadas son $ 18000, $20000, $25000 y $30000, respectivamente, para cada modelo de departamento, del I al IV. a) Escribe una matriz columna B que represente la ganancia por cada tipo de departamento. b) Encuentre la utilidad total esperada por constructora Mallorca en cada distrito, si se venden todos los departamentos. 17) La UPT dispone de $ 27200 para actividades de capacitación de 100 docentes. Después de estudiar las necesidades de los profesores, se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C. La subvención por persona para el curso A es de $ 400, para el curso B es de $160 y de $200 para el C. Si la cantidad que se dedica al curso B es la quinta parte que la correspondiente al curso A, ¿cuántos docentes siguen cada curso? 18) Un ingeniero necesita 4775 m3 de arena, 5770 m3 de grava fina y 5655 m3 de grava gruesa para cierta construcción y puede tomar los materiales de tres bancos. LA composición de cada banco , en porcentaje , se presenta en la siguiente tabla: Banco 1 2 3

Arena 52 20 25

Grava Fina 30 50 20

Grava gruesa 18 30 55

¿Cuántos m3 debe extraer el ingeniero de cada banco para obtener las cantidades deseadas? 19) Un fabricante produce tres artículos diferentes (A, B y C), cada uno de los cuales precisa para su elaboración de tres materias primas (M1, M2 y M3). En la siguiente tabla se representa el numero de unidades de cada materia prima que se requiere para elaborar una unidad de cada producto: A

Productos B

C Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Materias primas

M1 M2 M3

Pág. 13 2 3 1

1 2 2

3 2 4

Dispone de 50 unidades de M1, 70 unidades de M2 y 40 unidades de M3. a) Determinar las cantidades de artículos A, B y C que produce dicho fabricante. b) Si los precios de venta de cada articulo son respectivamente , S/500 , S/600 y S/1000 y se gasta en cada unidad de materia prima S/50 , S/70 y S/60, respectivamente, determina el beneficio total que consigue con la venta de toda la producción obtenida (utilizando todos los recursos disponibles) 20) Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a) b)

21)

22)

Representar la información en dos matrices. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

Juan decide invertir una cantidad de 12000 € en bolsa, comprando acciones de tres empresas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y en C juntas. Transcurrido un año. Las acciones de la empresa a se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 € . Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas. Un estudiante obtuvo un 6 en un examen de Investigación de Operaciones I que constaba de tres preguntas. En la primera pregunta obtuvo una calificación igual al doble de la calificación que obtuvo en la segunda pregunta y en la tercera pregunta obtuvo una calificación igual a la suma de las calificaciones de las otras dos preguntas. Averiguar razonadamente la calificación de cada pregunta.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 14

Guía de Laboratorio 1 1) INVERSIONES Tres ingenieros de sistemas, Alan, María y Esteban, recibieron un bono a fin de año, de 10000 soles para cada uno, y decidieron invertir en un plan de retiro auspiciado por su empresa. Bajo este plan, cada empleado puede colocar sus inversiones en tres fondos, un fondo accionario I, un fondo de desarrollo II, y un fondo global III. Las distribuciones de las inversiones de los tres empleados al principio del año se resumen en la matriz

I

II

III

4000 3000 3000 María 2000 5000 3000 Esteban 2000 3000 5000 Alan

A

Los réditos de los tres fondos después de un año están dados por la matriz

I B  II III

 0.18   0.24     0.12 

¿Cuál empleado obtuvo los mejores beneficios en su inversión para el año en cuestión? ¿Quién obtuvo los peores beneficios? (Utilice operaciones con matrices en la solución) 2) ALMACENES DE TELEVISORES Una empresa japonesa fabrica tres tipos de televisores: de 14, 21 y 29 pulgadas. Sus almacenes principales se encuentran en Gunma Ken, Kyoto, Kanagawa y Nagano. Las ventas durante el mes de julio del 2007 fueron:  En el almacén de Gunma Ken se cifraron en 400, 100 y 500 televisores de 14, 21 y 29 pulgadas respectivamente.  En el almacén de Kyoto se cifraron en 300, 150 y 400 televisores de 14, 21 y 29 pulgadas respectivamente.  En el almacén de Kanagawa se cifraron en 100, 100 y 200 televisores de 14, 21 y 29 pulgadas respectivamente.  En el almacén de Nagano se cifraron en 200, 150 y 300 televisores de 14, 21 y 29 pulgadas respectivamente. Los precios de venta de los televisores fueron de $100, $200 y $300 para los de 14, 21 y 29 pulgadas respectivamente. a) Expresa las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4x3, luego expresa mediante una matriz columna B el precio de cada tipo de televisor. b) Obtén matricialmente el beneficio total obtenido en cada uno de los almacenes. 3) BANCOS La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes al primero de enero en el Scotiabank y sus sucursales.

Cero

 2820  Trujillo 1030  Cusco  1170 Lima

A=

Libre

A plazo

1470

1120

520 540

  480  460  

La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo. Así:

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup 260 B  140 120

120

120 C  70 60

80

60 70

30 20

110 50  50  80  40 40

Pág. 15

y

a) Encuentre la matriz D que represente el número de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada local. b) Debido a la apertura de una fábrica cercana, se prevé un incremento de 10% en la cantidad de cuentas en cada local durante el segundo trimestre. Escriba la matriz E que refleje este incremento previsto. 4) INVENTARIO DE UNA LIBRERÍA El inventario de la librería San Cristóbal es: Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción, 2320; consulta, 1890. Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; consulta, 2070; libros de texto, 1940. El inventario de la librería Crisol es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción, 1790; consulta, 1980. Rústica: ficción, 3100; no ficción, 1720; consulta, 2710; libros de texto, 2050. a) Represente el inventario de la Librería San Cristóbal como una matriz A. b) Represente el inventario de la Librería Crisol como una matriz B. c) Si las dos librerías deciden unirse, escriba una matriz C que represente el inventario total de la nueva empresa. 5) INVERSIONES Las acciones de Raúl y Sol están dadas por la matriz: KFC RBC IBM GLOBAL

200 A  Rau´l  Sol 100

300

100

200

400

200 0 

Al cierre de operaciones en cierto día, los precios de las acciones están dados por la matriz.

54 48 RBC   B= 98 IBM   GLOBAL 82 a) Calcule A B .

KFC

b) Explique el significado de las entradas de la matriz A B . 6) CAMBIO DE MONEDA EXTRANJERA Yoshi está regresando a Perú después de un viaje por Europa y Asia, desea cambiar las diversas monedas (divisas) por nuevos soles. Al contar su dinero encontró que tenía 80 euros, 45000 yenes japoneses, 1200 yuanes chinos y 10000 wones coreanos. Suponga que el cambio de moneda extranjera es 4,39 soles por un euro, 0,026 soles por un yen, 0,41 soles por un yuan y 0,0027 soles por un won. Fuente: http://www.todopropiedades.com.es/servicios/convertidor_moneda.asp (Visitado el martes 05 de agosto del 2008). a) Escriba una matriz renglón A que represente los valores de las divisas que tiene Yoshi. b) Escriba una matriz columna B que represente las tasas de cambio para estas divisas. c) Si Yoshi cambia todas las divisas que tiene, ¿Cuántos nuevos soles recibirá? 7) VENTA DE DEPARTAMENTOS Constructora Mallorca construye departamentos en tres distritos limeños. El número proyectado de departamentos de cada modelo por construir en cada distrito está dado por la matriz. MODELO I II III IV

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup 60  A = San Isidro  20 Los Olivos 10 Miraflores

80

120

30

60

15

30

Pág. 16

40 10  5 

Las ganancias proyectadas son $ 18000, $ 20000, $ 25 000 y $ 30 000, respectivamente, para cada modelo de departamento, del I al IV. a) Escriba una matriz columna B que represente la ganancia por cada tipo de departamento. b) Encuentre la utilidad total esperada por Constructora Mallorca en cada distrito, si se venden todos los departamentos. 8) POLÍTICA: AFILIACIÓN DE VOTANTES La matriz A da el porcentaje de votantes elegibles en la ciudad de Lima, clasificados según su afiliación partidista y grupo de edad. UN APRA AF

Menos de 30 0.50 0.45 A = 30 a 50.  0.40 Más de 50

0.30 0.40 0.50

0.20 0.15 0.10

La población de votantes elegibles en la ciudad por grupo de edad está dada por la matriz B : Menos de 30 30 a 50 más de 50

B  800000

400000

600000

Halle una matriz que proporcione el número total de votantes elegibles en la ciudad que votarán por un candidato de Unidad Nacional, Partido Aprista o Alianza para el Futuro.

GLOSARIO

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 17

SEMANA 2: FORMULACION Y REPRESENTACION MATEMATICA DE PROGRAMACION LINEAL LOGROS El participante logra formular y dar la representación matemática y aplica a modelos de optimización. RESUMEN En esta sección presentamos la formulación y formas de representar un modelo de programación lineal. DESARROLLO 2.1

¿QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES?

LOS ORIGENES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA Las primeras actividades formales de la Investigación Operativa se dieron en Inglaterra (II guerra mundial) cuando se encomendó a un equipo de científicos ingleses la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos. Al término de la guerra, las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil. ¿QUÉ ES Y PARA QUE SIRVE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA? Hoy en día la Investigación operativa es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones. Un elemento principal de la investigación de operaciones es el modelo matemático, aunque el modelo matemático establece una base para la toma de decisiones. LA TOMA DE DECISIONES EN NUESTROS DIAS Para la toma de decisiones se requiere identificar 3 componentes básicas: a.- ¿ Cuáles son las alternativas de decisión?. b.- ¿ Bajo que restricciones se toma la decisión?. c.- ¿ Cuál es el criterio objetivo adecuado para evaluar las alternativas?. FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Son las siguientes: 1.- la definición del problema. 2.- la construcción del modelo 3.- la solución del modelo. 4.- la validación del modelo. 5.- la implementación de la solución. De las 5 fases, solo la solución del modelo es la que está mejor definida y es la más fácil de implementar en un estudio de investigación de operaciones, por que maneja modelos matemáticos precisos. La implementación de las demás fases es más un arte que una teoría. Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 18

MODELOS Es la representación de un sistema de acuerdo a los objetivos del estudio del sistema. Es decir para cierto objetivo del estudio, las partes relevantes; y si cambia el objetivo del estudio, las partes relevantes del sistema probablemente serán otros. Esto implica que según el objetivo del estudio, un sistema puede estar representando por diferentes modelos. En esencia, un modelo es una imagen de un sistema y en función de las interrogantes planteadas, un sistema puede tener diversos modelos.

CLASIFICACION DE LOS MODELOS SEGÚN LA FORMA DE SU PRESENTACION. De acuerdo a la forma en que están expresados, se puede distinguir los siguientes tipos de modelos: 1.- Modelos Descriptivos: Son aquellos que están expresados en lenguaje comercial (español, ingles o cualquier otro idioma). Usando este tipo de modelos la selección de alternativas se hace en base a la intuición y el sentido común. 2.- Modelos Icónicos o Físicos: Son aquellos que lucen como el sistema físico correspondiente. Ejemplo la maqueta de un edificio, constituye un ejemplo de modelo Icónico. 3.- Modelos Simbólicos: Son aquellos que están expresados en una forma concisa a través de símbolos matemáticos. Pueden ser representados en forma analítica o grafica vía un conjunto de funciones en la forma de ecuaciones e inecuaciones. También pueden ser representados mediante un algoritmo compuesto por un conjunto de paso Inter-relacionados, como es el caso de los diagramas del flujo. 4.- Modelo tipo Procedimiento: Son aquellos cuya expresión básica no esta formada por relaciones funcionales explícitas sino por un conjunto de pasos que indican el procedimiento a seguir en la solución de un problema.

CLASIFICACION DE LOS MODELOS SEGÚN SU ESTRUCTURA. Existen ciertas características estructurales que tipifican a los modelos en una u otra categoría. 1.- Modelos Determinísticos: Son aquellos que no incluyen propiedades relacionadas con fenómenos aleatorios (probabilísticas)

2.- Modelos Estocásticos: Aquellas que incluyen variables o relaciones funcionales que dependen de fenómenos aleatorios. 3.- Modelos Lineales: Aquellas que incluyen solamente funciones lineales. Ejemplo y  f ( x1 , x2 ) Donde y  a1 x1  a2 x2 4.- Modelos No Lineales: Aquellas que incluyen funciones no lineales. Ejemplo: f ( x1 , x2 )  x12  x1 x2  x23 Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 19

5.- Modelos Estático: Es aquel que representa a un sistema de manera que los variables y las reacciones funcionales no sufren alteraciones debido a cambios en el tiempo. 6.- Modelo Dinámico: Aquel que representa a un sistema de manera que el tiempo juegue un rol muy importante.

7.-Modelo continuo: Modelo continuo con el tiempo: se caracteriza por tener variables y funciones continuas en el tiempo. 8.-Modelo Discreto: Modelo discreto en el tiempo: Es aquel que incluye solo variables y funciones discretas en el tiempo. PROCESOS EN LA SOLUCION DE UN PROBLEMA MEDIANTE INVESTIGACION OPERATIVA. No existe una regla útil en todos los casos, que indique como se procede, para resolver un problema real mediante la investigación operativa. Sin embargo, de una manera aproximada, los procesos requeridos son los siguientes: a)

b)

c)

d)

e) f) g)

h)

i)

j)

Definición del sistema del Mundo Real. Consiste en la concepción del problema lo cual es originado por el decididor o sugerido por el analista (o también por un dependiente del decididor) Definición del sistema a ser modelado Esto consiste en abstraer del Sistema Real, la parte relevante al estudio. Se trata de definir un sistema Abstracto de acuerdo al concepto de sistema indicado anteriormente. Definición del problema En esta parte se define el objetivo deseado. El decididor establece los criterios de decisión y las restricciones físicas, operativas, políticas, etc. Formulación del modelo Esto es mayormente responsabilidad del analista, quien define funciones de utilidad basada en los criterios de decisión. En seguida, de ser posible. Tratara de aplicar un modelo existente. De otro modo, tratara de desarrollar un modelo nuevo. Solución del Modelo Esta es una función del Analista Validación de Resultados Esto lo hace el Analista en interacción con el decididor. Validación del Modelo Es una fase necesaria, para estimar la validez del modelo como instrumentos que permite estudiar el comportamiento del sistema bajo diferentes condiciones. Es una función del analista. Presentación de Resultados. Esto es sumamente importante. Se trata de presentar los resultados tanto sean útiles e importantes para el decididor, y esto debe ser presentado en formato, estilo, dimensiones y lenguaje de uso practico para el decididor. Podría ocurrir que muchos modelos muy bien hechos, nunca sean usados por estar mal presentados. Implementación del Modelo En esta fase se requiere el aporte de personal de soporte, tales como Programadores. Al inicio el analista participa activamente, y luego gradualmente disminuye su participación. Documentación del Modelo Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

k)

Pág. 20

Toma de Decisión usando el modelo. Esta es una fase de aplicación del modelo. Para llegar hasta aquí, el modelo habría tenido que vencer una serie de pruebas.

PROCESOS EN LA MODELACION DE UN PROBLEMA PRÁCTICO Cuando el problema esta definido, la formulación del modelo es una parte crucial. No se trata solamente de formular un modelo adecuado en términos de que sea apropiado para el problema; pues existen otras consideraciones. a ) ¿Cómo va a resolver el modelo?¿Que requerimientos computacionales tiene? b ) ¿Cuánto costara resolver el modelo? La siguiente figura muestra el proceso típico para seleccionar o desarrollar el caso, un modelo apropiado para un problema dado. 1) Inciso : Formulación del problema 2) Existe un modelo apropiado 3) Es factible construir un modelo analítico apropiado 4) Permite experimentar con modelos numéricos. 5) Desea cierta sofisticación y acepta costos de valor “medio a altos” 6) Formular un modelo de simulación 7) Identificar alternativas 8) Buscar la mejor alternativa 9) No use modelos. Tome decisiones basadas en el sentido común 10) Formulas en modelo heuristico. 11) Enumerar las alternativas. 12) Experimentar y seleccionar una alternativa aceptable. 13) Especificar el problema en el formato del modelo. 14) Resolver el modelo. 15) Comprobar los resultados con experimentos. 16) La solución es aceptable 17) Implementar y usar el modelo.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 21 1

2

3

4 9

10

5

11

6

12

7

13

14

15

16

8

17

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 22

MODELOS DE USO FRECUENTE EN INGENIERIA b ) PERT-CPM.- muy usado en programación de proyectos. c ) Programación Lineal.-Tiene aplicaciones en problemas relacionados con optimización de mezclas, mantenimiento de inventarios, programación de proyectos, manufacturación de productos, etc. d ) Programación dinámica.-Usada en programación en etapas múltiples. e ) Colas de Espera.-Se usa cuando un bien es producido en cierto conjunto de lugares, y los consumidores están en otro conjunto de lugares. f ) Modelos de transporte.-Se usa cuando un bien es producido en cierto conjunto de lugares, y los consumidores están en otro conjunto de lugares. g ) Modelos de Simulación.-Son usados cuando se tiene dificultad para establecer relaciones analíticas aceptables, desde el punto de vista computacional, o cuando el problema es inherentemente estocástico(probabilistico) 2.2

INTRODUCCION A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

2.2.1. FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica en una amplia variedad de casos en los campos de industria, agricultura, transporte, economía, salud, ciencias sociales y de la conducta militar. Forma la columna vertebral de los algoritmos de solución para otros modelos de investigación operativa .como las programaciones enteras, estocásticas y no lineales.

2.2.2

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Programación lineal es una técnica de optimización que consiste en la maximización o minimización de la función lineal, llamada función objetivo, sujeta a restricciones también lineales. El criterio de optimización es por lo general un objetivo económico, por ejemplo maximizar un beneficio o minimizar un costo y por esta razón recibe el nombre de función económica o función objetiva. El modelo de programación lineal toma la siguiente forma. Max o Min z  c1 x1  c2 x2  ...  cn xn

sujeto a a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 ........................................... am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm y las restricciones de no negatividad x j  0, j  1, 2,..n En programación lineal, y en general en la teoría de programación matemática, el termino optimizar se usa para indicar la maximización o la minimización de una función, según sea conveniente. Los requerimientos, capacidades, ganancias, etc. Son funciones que se deben maximizar, en cambio los costos, perdidas, los accidentes, etc, son funciones que se deben minimizar. Un modelo de programación lineal consta de tres elementos. Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 23

 Una función objetivo  Un conjunto de restricciones estructurales, como se indica.  Un conjunto de restricciones de no- negatividad Debido a la variedad de notaciones en uso común, podremos encontrar el problema general de programación lineal (PL) expresado en otras que son las siguientes: n

Max o Min z   c j x j j 1

sujeto a   aij x j    bi  j 1    xj  0 n

, i  1, 2,..., m ; j  1, 2,..., n

Utilizando la notación matricial, un programa lineal puede expresarse en forma compacta, como se indica a continuación: Max o Min z  c t x sujeto a :   A x    b    x0 donde  c1  c   2 c .    . cn 

 x1   a11 x  a  2  21 ; x .  ; A .    .  .  xn   am1

a12 a22 . . am 2

. . a1n   b1   b  . . a2 n   2 . . .  ; b .     . . .  . bm  . . amn 

Observación: (USO DE LA PROGRAMACION LINEAL EN EL PERU) Desde los primeros años de la década del 60 diversas empresas y entidades han aplicado la programación lineal para la toma de decisiones en problemas específicos. La utilización de esta técnica ha sido sistematizada unos casos y puntual en otros. Cabe señalar que empresas extranjeras hacen uso de la programación lineal. Dentro de las aplicaciones conocidas en nuestro medio, mencionaremos los siguientes: 1) MINISTERIO DE TRANSPORTES Modelo de evaluación de proyectos de construcción vial considerando los efectos regionales de centros de producción y consumo. 2) MINISTERIO DE AGRICULTURA Modelo de rotación de cultivos para los valles de la costa norte del Perú. 3) MODELOS MATEMATICOS EN LA MINERIA Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 24

El objetivo de este modelo es determinar un plan de minado óptimo para la mina. Esto es, elegir de entre muchas alternativas posibles, aquellas que al ser ejecutada en la mina, permita a la empresa la mayor utilidad bruta sujetándose a los criterios siguientes:  Produce el mayor valor de concentrados al mínimo de costos variables totales.  Toma en cuenta las limitaciones operativas de la mina: personal, equipo, transporte, etc.  Mantiene las reservas de la mina en su nivel tal que al final de la ejecución del plan la mina queda en condiciones de seguir produciendo. 4) LECHE GLORIA Modelo de transportes para las asignaciones de rutas y vehículos de reparto de leche en Lima metropolitana 5) PETROPERU  Modelo matemático de transporte de crudo y refinado para la asignación optima de la flota nacional.  Modelo de refinerías para la obtención de gasolina del octanaje adecuado al costo mínimo  Modelo de selección de crudos  Modelo matemático para la planta de lubricantes del Callao. 6) INSTITUTO NACIONAL DE PLANIFICACION Modelo de selección de Cartera de proyectos de desarrollo económico. Ejemplo 1. (Modelo de programación lineal con dos variables) La fabrica ANYPSA produce pinturas para interiores y exteriores M1 y M2, la tabla siguiente proporcione los datos básicos del problema. Toneladas de Toneladas de Disponibilidad materia prima de materia prima de diaria máxima (ton) Pinturas para Pinturas para exteriores interiores M. Prima M1 6 4 24 M. Prima M2 1 2 6 Utilidad x Ton (Miles 5 4 S/.) Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la pintura para exteriores. También que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. ANYPSA desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximicen la utilidad diaria total. Solución El modelo de Programación lineal, como en cualquier modelo de Investigación de operaciones tiene 3 componentes básicos. 1) Las VARIABLES de decisión que se trata de determinar. 2) El OBJETIVO (la meta) que se trata de optimizar. 3) Las RESTRICCIONES que se deben satisfacer. Para el problema de ANYPSA, se necesita determinar las cantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores. Entonces las VARIABLES se definen como sigue: X1: ton. Producidas diariamente de pinturas para exteriores. X2: ton. Producidas diariamente de pinturas para interiores. Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 25

Entonces para formar la función OBJETIVO, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Z representa la utilidad diaria total (miles de s/.). Por lo tanto el objetivo de la empresa se expresa. Z = 5 X1 + 4 X2 (MAXIMIZAR Z) Entonces buscamos las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda. Las restricciones en materia prima se expresan: Uso de materia prima para ambas pinturas ≤ disponibilidad máxima de materia prima Entonces Según daros: Uso de materia prima M1, por día = 6 X1 + 4X2 toneladas. Uso de materia prima M2, por día = X1 + 2X2 toneladas. Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 ^ M2 se limitan a 24 y 6 toneladas respectivamente. Entonces LAS RESTRICCIONES correspondientes se expresan como: 6X1 + 4X2 ≤ 24 (materia prima M1) X1 + 2X2 ≤ 6 (materia prima M2)  La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la producción diaria de pintura para Interiores y Exteriores (X2 – X1) no debe ser mayor que 1 tonelada, entonces X2 – X1 ≤ 1  La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda máxima diaria de pintura para interiores se limita a 2 ton. Entonces X2 ≤ 2  Una RESTRICCION implícita (que se sobreentiende) es que las variables X1 ^ X2 no pueden asumir valores negativos. Por lo tanto: El modelo de ANYPSA completo es: MAXIMIZAR Z = 5 X1 + 4X2 Sujeto a : 6X1 + 4X2 ≤ 24 X1 + 2X2 ≤ 6 - X1 + X2 ≤ 1 X2 ≤ 2 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

(función utilidad)

Cualquier valor de X1 ^ X2 que satisfaga todos las restricciones del modelo es una solución factible. Ejemplo X1 = 3 ton/día. X2 = 1 ton/día es factible por que no viola ninguna restricción. Desde el punto de vista de todo el modelo, nos interesa determinar la solución óptima que produzca la utilidad total máxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones. No se acepta enumerar las soluciones factibles por que el modelo tiene una cantidad infinita de ellas.. Para ello recurrimos a la programación lineal a través del método gráfico y su generalización algebraica.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 26

Ejemplo 2. (Aplicación de la programación lineal en la gestión de operaciones) En granjas san Fernando se usa diariamente un mínimo de 800 Lb. De un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:

Alimento proteínas Maíz Soya

lb. Por lb. De alimento fibras costo (s/lb)

0.09 0.60

0.02 0.06

0.30 0.90

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30 % de proteínas y un máximo de 5% de fibras. San Fernando desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario mínimo. Solución Como la mezcla de alimentos consiste en maíz y soya las VARIABLES DE DECISIÓN: X1 = lb. de maíz en mezcla diaria X2 = lb. de soya en mezcla diaria LA FUNCION OBJETIVO: Trata de minimizar el costo (s/) diario total de la mezcla de alimentos → será: Minimizar Z = 0.30 X1 + 0.90 X2 LAS RESTRICCIONES: Reflejan la cantidad diaria necesaria y los requerimientos dietéticas, entonces X1 + X2 ≥ 800 (necesita como mínimo 800lb de alimento) En cuanto a las restricciones dietéticas de necesidades de proteínas 0.09 X1 + 0.60 X2 ≥ 0.30 (X1 + X2) Cuando menos = al 30% de la mezcla de alimento (X1 + X2) Similar a la fibra. 0.02 X1 + 0.06 X2  0.05 (X1 + X2) Minimizar Z = 0.30 X1 + 0.9 X2 sujeto a: X1 + X2 ≥ 800 0.21 X1 – 0.30 X2  0 0.03 X1 – 0.01 X2 ≥ 0 X1; X2 ≥ 0 Ejercicio. Juan acaba de ingresar a la prestigiosa Universidad TELESUP y se da cuenta que si solo estudia y no juega su personalidad será gris. Desea repartir su tiempo disponible aproximadamente de 10 horas por día, entre juego y estudio. También desea estudiar cuando menos un tiempo igual al que pasa jugando. Sin embargo, se da cuenta que si debe hacer todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de 4 horas diarias. ¿Cómo debe repartir Juan su tiempo, para maximizar su placer de estudiar y jugar?

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 27

ACTIVIDADES 1)

2)

3)

4)

5)

Practica dirigida Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. la empresa de transporte tiene 8 buses de 40 asientos y 10 buses de 50 asientos, pero solo dispone de 9 conductores. el alquiler de un autocar grande cuesta s/. 350 y el de uno pequeño, s/. 280. Calcula cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica y viable para la escuela. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 soles en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo? Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de s/. 250 por electricista y s/. 200 por mecánico. ¿cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Se dispone de s/. 210 000 para invertir en bolsa. Se recomienda dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10 % y las del tipo B, que rinden el 8 %. Se decide invertir un máximo de s/. 130 000 en las del tipo A y como mínimo s/. 60 000 en las del tipo B. Además la inversión en las del tipo A debe ser menor que el doble de la inversión en B. ¿cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?

6)

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

7)

Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

8)

Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 28

9)

La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público de una mesa es de 2.700 soles. y el de una silla 2.100 soles. LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 soles. de materias primas y de 1.400 soles. de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 soles. de materias primas y 1.000 soles de costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A. fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas. Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

10)

Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ? Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?

11)

La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de bolívares, y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de bolívares ¿Cuántos automóviles de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?

12)

En una explotación agrícola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de una Ha de A es de 20000 ptas. y el de una Ha de B de 30000 ptas. Las disponibilidades de trabajo de explotación son de 80 jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa sólo 2 jornadas. La subvención de la Unión Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por Ha. de B, siendo la subvención máxima por explotación agrícola de 200 euros. a. Representar el conjunto factible. b. Calcular el beneficio máximo..

13)

Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 € por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 29

GLOSARIO FUNCION OBJETIVO. Todos los programas lineales tienen una función lineal objetivo que debe ser maximizada o minimizada SOLUCION. Cualquier conjunto de valores para las variables SOLUCION ÓPTIMA. Una solución factible que maximice o minimice el valor de la función objetivo

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 30

SEMANA 3: SOLUCION DE UN PROGRAMACION LINEAL (METODO GRAFICO) LOGRO Explica y resuelve problemas de programación lineal por el método grafico RESUMEN La programación lineal es un procedimiento de resolución de problemas desarrollado para ayudar a los administradores a tomar decisiones. En este caso desarrollaremos el método grafico. DESARROLLO 3.1

METODO GRAFICO Este método consiste en delinear sobre el primer cuadrante (debido a la condición de no – negatividad) la región de soluciones factibles; y luego graficando sobre ella la función objetivo, se ubica la solución óptima.

3.2

Región Factible: Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no – negatividad.

3.3

Solución Factible: Es cualquier punto situado dentro de la región factible.

3.4

Solución Básica: Es aquella que se encuentra en la intersección de rectas o en la intersección con los ejes coordenados. Ejemplo: En este caso la solución básica factible comprende todos los puntos donde se encuentran las intersecciones Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

3.5

Pág. 31

Solución Básica Factible: Es una solución básica que pertenece a la región factible. Ejemplo: En ese caso la solución básica factible comprende sólo los puntos 1, 2, 5, 7 y 8.

PROPIEDADES La función objetivo alcanza su máximo (mínimo) en un punto extremo del conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de programación lineal. Para el caso de maximización se tomara el punto mas alto de la intersección entre la función objetivo y el polígono trazado

Para el caso de minimización se tomara el punto mas bajo de la intersección de la función objetivo y el polígono trazado

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 32

Si alcanza este máximo (mínimo) en mas de un punto extremo entonces toma el mismo valor para toda la combinación convexa de estos puntos particulares. 3.6

CASOS ESPECIALES Función Objetivo Paralelo a un lado del Polígono. En el caso de que la recta de la función objetivo sea paralela a un lado del polígono, entonces en cualquier punto de esta recta se puede alcanzar el máximo (mínimo) de la función. Ejemplo: En este caso se aprecia que la recta de la función objetivo no es tangente al vértice del polígono factible, sino que es coincidente con uno de los lados del polígono (lado CD), en este caso para que la función objetivo sea máxima se tomara cualquier punto sobre la recta CD y hallar en consecuencia el valor máximo.

No se puede garantizar que todo problema tenga solución factible Ejemplo 1 Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 33

vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (ver tabla). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? Marca A

Marca B

Requerimientos mínimos

Hierro

40 mg

10 mg

2400 mg

Vitamina B-1

10 mg

15 mg

2100 mg

Vitamina B-2

5 mg

15 mg

1500 mg

Costo por píldora (US$)

0,06

0,08

Solución: Sea x el número de píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B por comprar. El costo C, medido en centavos, está dado por C = 6x+ 8y que representa la función objetivo por minimizar. La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B está dada por 40x+10y mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad. 40x+10y>2400 Consideraciones similares con los requisitos mínimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades: 10x+15y>2100 5x+15y>1500 respectivamente. Así el problema en este caso consiste en minimizar C=6x+8y sujeta a 40x+10y>2400 10x+15y>2100 5x+15y>1500 x>0, y>0 El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los vértices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0).

Los valores de la función objetivo C en estos vértices en la tabla que sigue Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup Vértice

Pág. 34

C=6x + 8y

A (0,240)

1920

B(30,120)

1140

C(120,60)

1200

D(300,0) 1800 La tabla muestra que el mínimo de la función objetivo C=6x+8y ocurre en el vértice B(30,120) y tiene un valor de 1140. Así el paciente debe adquirir 30 píldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mínimo de $11,40.

3.7

1. 2. 1.

2.

ANALISIS GRAFICO DE SENSIBILIDAD Estudia la sensibilidad de la solución óptima respecto a los cambios que se haga en el modelo. Se investiga dos casos de análisis de sensibilidad basados en la solución grafica de la programación lineal. Cambios en los coeficientes de la función objetivo Cambios en el lado derecho de las restricciones. A continuación desarrollaremos cada uno de estos casos. Cambios en los coeficientes dela función objetivo. La función objetivo puede presentarse: Max o Min z  c1 x1  c2 x2 Los cambios de los coeficientes c1 y c2 harán cambiar la pendiente de Z y en consecuencia, posiblemente el punto de esquina optimo. Sin embargo, hay un intervalo de variación, tanto para c1 como para c2, dentro del cual el óptimo del momento permanece sin cambio. En forma específica nos interesa determinar el intervalo de optimalidad de la relación c1/c2 (o de c2/c1) donde se mantenga sin cambio la solución optima del momento. Cambios en el lado derecho de las restricciones En los modelos de programación lineal, las restricciones representan el uso de recursos limitados, ya sea en forma directa o indirecta. En este caso, se puede imaginar que el lado derecho representa límites de disponibilidad de los recursos. En esta sección se investigara la sensibilidad de la solución óptima a cambios en la cantidad de los recursos disponibles. Valor por unidad de un recurso Se trata de determinar el valor por unidad de un recurso, que se define como la tasa de cambio en el valor de la función objetivo debido a cambios en la cantidad disponible de un recurso. Si yi representa el valor de cada unidad del recurso i, la formula correspondiente para calcular esta medida es cambio de valor de z correspondiente al int ervalo factible del recurso i yi  int ervalo factible del recurso i

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup 3.8 1)

Pág. 35

Ejercicios Hacer el análisis de sensibilidad del siguiente programa lineal. Max z  15 x1  20 x2

sujeto a 2 x1  2 x2  8 x1  2 x2  6 2)

x1 , x2  0 Considere el programa lineal Max z  2 x1  3 x2 sujeto a x1  x2  10 2 x1  x2  4 x1  3 x2  24 2 x1  x2  16 x1 , x2  0 a) Resuelva este programa usando el método grafico b) Calcule el rango de optimalidad para c1

3)

c)

Calcule el rango de optimalidad para c 2

d)

Suponga que c1 se incrementa de 2 a 2.5 .¿cual es la nueva solución optima?

e) f)

Suponga que c 2 se reduce de 3 a 1 .¿cual es la nueva solución óptima? Calcule los precios duales de las restricciones 1 y 2.

Considere el programa lineal. Min z  x1  x2 sujeto a x1  2 x2  7 2 x1  x2  5 x1  6 x2  11 x1 , x2  0 a) Resuelva este problema utilizando el procedimiento de solución grafica. b) Calcule el rango de optimalidad para c1

c)

Calcule el rango de optimalidad para c 2

d)

Suponga que c1 se incrementa a 1.5. Encuentre la nueva solución óptima.

e) f)

Suponga que c 2 se reduce a 1/ 3 encuentre la nueva solución óptima. Calcule los precios duales de las restricciones.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup 4)

Pág. 36

Considere el programa lineal Max z  5 x1  7 x2 sujeto a 2 x1  x2  3  x1  5 x2  4 2 x1  3 x2  6 3 x1  2 x2  35 3 x1  x2  10 7 x1 , x2  0 a) Resuelva este problema utilizando el procedimiento de solución grafica. b) Calcule el rango de optimalidad para c1

5)

c)

Calcule el rango de optimalidad para c 2

d)

Suponga que c1 se reduce a 2. ¿Cuál será la solución optima nueva?

e)

Suponga que c 2 se incrementa a 10. ¿Cuál será la nueva solución óptima?

Sea el siguiente programa lineal x1  Numero de bolsas estándar producidas

x2  Numero de bolsas de lujo producidas Entonces Max z  10 x1  9 x2 sujeto a 7 x1  x2  630 10 1 5 x1  x2  600 2 6 2 x1  x2  708 3 1 1 x1  x2  135 10 4 x1 , x2  0 Utilice el procedimiento de análisis de sensibilidad grafico para determinar el rango de optimalidad de los coeficientes de la función objetivo. 6)

Electra produce dos clases de motores eléctricos, cada uno en una línea de producción aparte. Las capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y de 750 motores. El motor tipo 1 usa 10 unidades de cierto componente electrónico, y el motor tipo 2 usa 8 unidades. El proveedor de ese componente puede suministrar 8000 piezas por día. Las utilidades son $ 60 por cada motor de tipo 1 y $ 40 por cada uno de tipo 2. a) Determine la mezcla óptima de producción diaria. b) Determine el intervalo de optimalidad para la relación de utilidades unitarias que mantenga inalterada la solución en el punto a).

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 37

7)

Muebles B&S emplea 4 carpinteros durante 10 días para armar mesas y sillas. Se necesitan 2 horas – hombre para armar una mesa, y o.5 horas hombre para armar una silla. Los clientes suelen comprar una mesa y de 4 a seis sillas. Las utilidades son $ 135 por mesa y $ 50 por silla. La empresa trabaja un turno diario de 8 horas. a) Determine la proporción óptima de producciones de mesas y sillas en 10 días, gráficamente. b) Determine el intervalo de la relación de utilidades optimas que mantenga sin cambiar al optimo del punto a). c) Si las utilidades por mesa y por silla se reducen en 10%, ambas, use la respuesta del punto b) para mostrar como puede afectar ese cambio a la solución optima obtenida en a). d) Si las utilidades actuales por mesa y silla se cambian a $120 y a $25, respectivamente, use el resultado de sensibilidad en el punto b) para determinar si cambia la solución en el punto a).

8)

Salvaje oeste produce dos clases de sombrero vaquero. Un sombrero de la clase 1 requiere el doble de mano de obra que uno de la clase 2. Si toda la mano de obra se dedicara solo a la clase 2, la empresa podría producir diariamente 400 de esos sombreros. Los límites de mercado respectivos son de 150 y 200 sombreros diarios para esas clases. La utilidad es $ 8 por cada sombrero de la clase 1, y $5 por cada uno dela clase 2. a) Aplique la solución grafica para determinar la cantidad de sombreros diarios de cada clase con la que se maximiza la utilidad. b) Determine el valor de aumentar la capacidad de producción en la empresa en un sombrero de clase 2, y el intervalo dentro del cual se aplica este resultado. c) Si el límite de demanda diaria de sombreros de clase 1 disminuye a 120, aplique el valor por unidad del recurso para determinar el efecto correspondiente sobre la utilidad optima. d) ¿Cuál es el valor por aumento unitario en la parte de mercado del sombrero clase 2? ¿En cuanto se puede aumentar la participación en el mercado conservando el valor calculado por unidad?

9)

Una empresa fabrica dos productos, A y B .El volumen de ventas de A es, cuando menos, 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la empresa no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos usan una materia prima cuya disponibilidad diaria máxima es 240 lb. Los consumos de la materia prima son 2 lb por unidad de A y 4 lb por unidad de B. Los precios unitarios de A y B son $20 y $50, respectivamente. a) Determine la combinación optima de productos para esta compañía b) Calcule el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima, y su intervalo de aplicabilidad. c) Determine el intervalo de utilidad que corresponde al intervalo de factibilidad de la materia prima. d) Use el valor unitario por unidad para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del producto A en  10 unidades. En dos productos se requieren tres procesos consecutivos. El tiempo disponible para cada proceso es 10 horas diarias. La tabla siguiente resume los datos del problema:

10)

Producto 1 2

Minutos por unidad Proceso 1 proceso 2 Proceso 3 10 6 8 5 20 10

Utilidad Unitaria $2 $3

a) Determinar la combinación optima de fabricación de los dos productos. Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 38

b) Determine un procedimiento para priorizar los tres procesos, para una posible ampliación. 11)

Impacto S.A, puede anunciar sus productos en estaciones locales de radio o TV. El presupuesto para publicidad se limita a $10000 mensuales. Cada minuto de un anuncio en la radio cuesta $15, y cada minuto de comercial en TV cuesta $300. A impacto le gusta usar al menos el doble de publicidad por la radio que por TV. Al mismo tiempo, no es práctico usar más de 400 minutos de anuncios radiofónicos cada mes. La experiencia indica que se estima que la publicidad por TV es 25 veces mas efectiva que por la radio. a) Determine la asignación óptima del presupuesto para publicidades por radio y por TV. b) Calcule el valor por unidad de aumento del límite mensual de publicidad por radio. c) Si el presupuesto mensual aumentara a $15000, use la medida de valor por unidad para determinar la medida óptima obtenida de la eficacia de la publicidad.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 39

ACTIVIDADES Guía de Laboratorio 2 1)

Considere el siguiente modelo: Min z  40 x1  50 x2 sujeta a 2 x1  3 x2  30 x1  x2  12 2 x1  x2  20

2)

x1 , x2  0 a. Use el método gráfico para resolver este modelo b. ¿Cómo varia la solución óptima si la función objetivo cambia Z  40 x1  70 x2 ? c. ¿Cómo varia la solución óptima si la tercera restricción funcional cambia a 2 x1  x2  15 ? La compañía de seguros Prima está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $ 5 por el seguro de riesgo especial y de $ 2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

Departamento Suscripciones Administración Reclamaciones

a. b. c. 3)

Horas - Hombre por unidad Riesgo especial Hipoteca 3 2 0 1 2 0

Horas -Hombre disponibles 2400 800 1200

Formule un modelo de programación lineal Use el método grafico para resolver el modelo. Verifique su solución usando Tora.

Suponga que se proporcionaron las siguientes restricciones de un modelo de programación lineal.  x1  3x2  30

3x1  x2  30 x1  0, x2  0 a. Demuestre que la región factible es no acotada. b. Si el objetivo es maximizar Z   x1  x2 ¿Tiene el modelo una solución óptima? Si es así, encuéntrela. Si no, explique las razones de ello. c. Repita el inciso b) cuando el objetivo es maximizar Z  x1  x2 d. En las funciones objetivo con las que el modelo no tiene solución optima,¿ significa esto que no existe buenas soluciones según el modelo? Explique. ¿Qué es probable que esté mal en la formulación del modelo? 4)

Considere el siguiente problema, donde el valor de k todavía no se ha establecido.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 40

Max z  x1  2 x2 sujeta a  x1  x2  2 x2  3 kx1  x2  2k  3,

5)

k 0

x1 , x2  0 La solución que se usa por ahora es x1  2, x2  3 . Utilice el análisis grafico para determinar los valores de k tales que esta solución sea de hecho óptima. El área sombreada de la siguiente grafica representa la región factible de un problema de programación lineal cuya función objetivo debe maximizarse. Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera y después justifique su respuesta con base en el método grafico. En cada caso dé un ejemplo de una función objetivo que ilustre su respuesta. y

(3,3)

(6,3)

(0,2)

(0,0)

a. b. c.

(6,0)

Si (3,3) produce un valor más grande de la función objetivo que (0, 2) y (6,3) , entonces (3,3) debe ser una solución optima. Si (3,3) es una solución optima y existen soluciones optimas múltiples , entonces uno de los dos, (0, 2) o (6,3) , también debe ser una solución optima. El punto (0, 0) no puede ser una solución óptima.

GLOSARIO LIMITANTE Una ecuación o desigualdad que restringe los valores de variables de decisión. SOLUCION Cualquier conjunto de valores para las variables. FUNCIÓN OBJETIVO

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 41

Todos los programas lineales tiene una función lineal objetivo que debe ser maximizada o minimizada. III BIBLIOGRAFIA EPPEN, GOULD HILLER LIEBERMAN ANDERSON SWEENEY

Investigación de operaciones Introducción a la investigación de operaciones Métodos cuantitativos para los negocios

IV AUTOEVALUACION PARA LA UNIDAD FORMULACION DE PROGRAMAS LINEALES 1) Una firma elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que debe fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación o sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.

A B C Componentes D Beneficios S/. unidad

2)

Producto P1 P2 Disponibilidad (kilogramos) 1 3 15000 2 1 10000 2 2 12000 1 1 10000 4

3

Una compañía manufacturera fabrica los productos 1 y 2; y es suficientemente afortunada como para vender todo lo que puede producir actualmente. Cada producto requiere un tiempo de manufacturación en los tres departamentos y la disponibilidad de una cantidad fija de horas-hombre por semana en cada departamento; tal como se muestra en el cuadro siguiente: PRODUCTO 1 2 H.H disponible/semana

TIEMPO DE MANUFACTURACION/ HORA DPTO. A DPTO. B DPTO. C 2 1 4 2 2 2 160

120

280

El problema consiste en decidir que cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la ganancia por cada unidad del producto 1 es S/. 1.00 y el producto 2 es S/. 1.50 3)

Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que debe fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 42

El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación ósea la cantidad de cada componente que entra en cada producto. Producto Componentes A B C D Beneficios S/. Soles

4)

5)

P1 1 2 2 1 4

P2 3 1 2 1 3

disponibilidad (disponibilidad) 15000 10000 12000 10000

La Cia XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta s/.2 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta s/.2.50. Un clavo requiere 2 horas de mano de obra en el departamento # 1 y 3 horas en el departamento #2, mientras que un tornillo requiere cuatro horas en el departamento #1 y dos horas en el departamento #2, el jornal por horas en ambos departamentos es de s/.2 si ambos productos se venden a s/18 y el número de horas de mano de obra disponible por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresa el problema propuesto como un programa lineal, tal que se maximicen las utilidades. A un joven matemático se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que seria una excelente idea que un huésped se emborrache. Se le dio al matemático s/ 50. El joven sabia que al visitante le gusta mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 Martínis. El tiempo que empleaba para beber era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6 minutos por vaso de ginebra, 7minutos por vaso de whisky y 4 minutos por cada vaso de martíni. Los precios de las bebidas por vaso eran: Cerveza s/ 1, ginebra S/ 2, Whisky s/ 2, martíni s/4 El matemático pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante los 90 minutos que tenia para entretener a su huésped. Logro que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de 17, 15,16, y 7 por vaso, El visitante siempre bebía un mínimo de 2 whiskys. ¿Cómo resolvió el matemático el problema?

6)

Lan Perú esta considerado la probabilidad de adquirir aviones de pasajeros en el mercado mundial: USA. Inglaterra o Rusia. El costo del avión (USA) A es de $ 6.7 millones el avión (Ingles) B en $5 millones y el avión (Ruso) c de $3.5 millones. El directorio de dicha empresa ha autorizado la compra de aviones por valor de 150 millones. Los economistas de Lan Perú han calculado que cualquiera que sea el tipo A de mayor capacidad proporcionara una utilidad neta de $420,000 anuales, el avión B proporcionará una utilidad neta de $300,000 y el avión C una utilidad de $230,000 anuales. Por otro lado se conoce que la Fuerza Aérea Peruana solo le podría proporcionar 30 pilotos debidamente entrenados .Si solo se adquieren los aviones más pequeños, los servicios de reparación y servicios que cuenta Lan Perú solamente podrán mantener en operación un máximo de 40 unidades. Además se sabe que mantener un avión B requiere 1 1/3 más que el avión C y que el avión A requiere 1 2/3 más que el C. Determine el número de cada tipo de avión que se debe comprar para maximizar las utilidades. Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

7)

Pág. 43

Una compañía de artículos eléctricos produce tres líneas de productos que son: Transistores micromódulos y circuito armado y el centro de producción tiene cuatro áreas de proceso: Área 1 Área 2 Área 3 Área 4

Producción de transistores Armaduria de circuitos Control de transistores y micromódulos Prueba de circuitos Embalaje

La producción de un transistor en: 0.1 0.5 s/. 70

horas- hombres en Área 1 Horas- hombre en Aerea3 En costos directos

La producción de un micromódulo requiere: 0.4 horas –hombres en Área 2 0.5 horas-hombre en Área 3 3 transistores s/. 50 en costos directos. La producción de un circuito armado requiere: 0.1 horas- hombre en Área 2 0.5 horas –hombre en Área 4 1 transistor 3 micromódulos s/ 200 en costos directos Cada uno de los tres productos se puede vender a 200, 800 y 2,500soles respectivamente (transistores, micromódulos y circuitos armados) la cantidad de venta es ilimitada; si hay 200 horas –hombre disponible en cada área de trabajo Formule el programa lineal para obtener una máxima ganancia. 8)

Un vendedor tiene a su cargo 2 productos A y B desea establecer un programa de llamadas para los meses siguientes. El espera ser capaz de vender a lo más 20 unidades del producto A y a lo menos 78 unidades del producto B. El debe vender al menos 48 unidades del producto B para satisfacer su cuota mínima de ventas, él recibe una comisión de 10% sobre la venta total que realiza, Pero él debe pagar propios costos (que son estimados en 30 soles por hora en hacer llamadas) de su comisión. El está dispuesto en emplear no más de 160 horas por mes en llamar a sus clientes. Los siguientes datos están disponibles. Precio Venta Tiempo empleado Producto soles/unidad Hora/llamada A 3000 3 B 1400 1

Probabilidad de una venta en llamada 0.5 0.6

Formular el problema de manera tal que maximice la cantidad de ganancia que espera el vendedor. 9)

Un contratista esta considerando una propuesta para la pavimentación de un camino, las especificaciones requiere un espesor mínimo de 12” y un máximo de 48”.El camino deber pavimentado en concreto, asfaltado o gravilla, o cualquier combinación de los tres. Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 44

Sin embargo, las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 9” de espesor. El contratista a determinado que 3” de su asfalto son tan resistentes como 1” de concreto,y 6” de gravilla son tan resistentes como 1”de concreto . Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuenta S/ 100, el asfaltado s/ 380 y la gravilla s/ 150. Determine la combinación de materiales que el debería usar para minimizar su costo. 10) Una granjera puede criar ovejas, cerdos, o 20 cabezas de ganado vacuno tiene espacio para 30 ovejas, o 50 cerdos o 20 cabezas de ganado vacuno o cualquier combinación de estos (con la relación siguiente), 3 ovejas, 5 cerdos o 2 vacas usan el mismo espacio. Los beneficios (utilidades) dadas por animales son 500, 500, 100 soles por oveja, cerdo y vacas respectivamente. El granjero debe criar por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntos. 11) Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $ 1000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto en televisión cuesta $100. la compañía desearía utilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales 25 veces más ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión. 12) OilCo construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles /día) de esos productos son 14000, 30000, 10000 y 8000, respectivamente. Irán y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPED (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0.2 barril de Diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1 respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería, en barriles de crudo por día. 13) Un vendedor tiene a su cargo 2 productos A y B desea establecer un programa de llamadas para los meses siguientes. El espera ser capaz de vender a lo más 20 unidades del producto A y al menos 78 unidades del producto B. El debe vender al menos 48 unidades del producto B para satisfacer su cuota mínima de ventas, él recibe una comisión de 10% sobre la venta total que realiza, Pero él debe pagar propios costos (que son estimados en 30 soles por hora en hacer llamadas) de su comisión. El está dispuesto en emplear no más de 160 horas por mes en llamar a sus clientes. Los siguientes datos están disponibles. Precio Venta Tiempo empleado Producto soles/unidad Hora/llamada A 4000 2 B 2400 3

Probabilidad de una venta en llamada 0.7 0.8

Formular el problema de manera tal que maximice la cantidad de ganancia que espera el vendedor. 14) Dos fábricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y alto grado. Se tiene contrato de venta para proveer: 16 toneladas de bajo grado, 5 toneladas de medio grado y 20 toneladas de alto grado. Los costos de operación son de S/. 1000 /día para la primera fabrica y S/. 2000 para la salida. Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 45

La fabrica Nro 1, produce 8 toneladas de bajo grado, 1 tonelada de medio grado y 2 toneladas de alto grado en un día de operación. La fabrica Nro 2 produce 2 toneladas de bajo grado, 1 tonelada de grado medio y 7 toneladas de alto grado por día. ¿Cuántos días debe trabajar cada fábrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta en la forma más económica? 15) Se elabora cuatro productos en forma sucesiva en dos maquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan para las dos maquinas: Maquina 1 2

Producto 1 2 3

Tiempos por unidad (hr) Producto 2 Producto 3 3 4 2 1

Producto 4 2 2

El costo total de producción de una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de la maquina. Supóngase que el costo por horas de las maquinas 1 y 2 es $ 10 y $ 5. Respectivamente. El total de horas presupuestadas para todos los productos en las maquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta unitario de los productos 1,2 ,3 y 4 son $ 65, $70, $ 55 y $45, formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar la ganancia neta total. Analice la solución óptima. 16) Un pequeño banco asigna un máximo de $ 20000 para préstamos personales y para automóvil durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12 % a préstamos para automóvil y ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los prestamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los prestamos personales. la experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. Como deben asignarse los fondos. 17) Una planta armadora de radios produce dos modelos, A y B , en la misma línea de ensamblaje. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son: Estación de servicio 1 2 3

Minutos por unidad de A B 6 4 5 5 4 6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones1, 2 y 3, respectivamente. La compañía desea determinar, las unidades diarias que se ensamblaran de A y B a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones. 18) Se tiene el siguiente programa lineal : Max z  2 x  3 y Sujeta a

x  3y  6 3x  2 y  6 x, y  0 a) Determine todas las soluciones básicas del problema.

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 46

b)

Use sustitución directa en la función objetivo para determinar la mejor solución básica factible. 19) Demuestre que todas las soluciones básicas del siguiente programa lineal son no factibles. Max z  x  y sujeta a x  2y  6 2 x  y  16 x, y  0 20) Resolver gráficamente Min z  x  3 y Sujeto a

6x  3y  8 2x  9 y  3 x, y  0 21) Resolver gráficamente Min z  2 x1  3 x2

Sujeto a x1  x2  4 6 x1  2 x2  8 x1  5 x2  4 2

x1

x2  3 x1 , x2  0 22) Resolver gráficamente: Max z  2 x1  2 x2 Sujeto a  x1  x2  1 1  x1  x2  2 2 x1 , x2  0 23) Encontrar la solución factible si se tiene para el siguiente programa lineal: Max z  3 x  2 y

Sujeto a x  y 1 2x  2 y  2 x, y  0 24) Resolver gráficamente Max z  x1  x2

sujeto a 5 x1  10 x2  50 x1  x2

 10

x1 , x2  0 Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 47

25) Resolver gráficamente Max z  5 x2

sujeto a  x1  5 x2  10 x1  x2

2

x1 , x2  0

V RESOLUCION DEL CUESTIONARIO 1) . Consideremos las variables: x1 : numero de unidades del producto 1 x2 : numero de unidades del producto 2 Entonces el programa lineal será: Max Z  4 x1  3x2

Sujeto a x1  3 x2  15000 2 x1  x2  10000 2 x1  2 x2  12000 x1  2 x2  10000 x1 ; x2  0 2) . Max Z  x1  1.5 x2 Sujeto a 2 x1  2 x2  160 x1  2 x2  120 4 x1  2 x2  280 x1 ; x2  0 3) . Max Z  4 x1  3x2

Sujeto a x1  3 x2  15000 2 x1  x2  10000 2 x1  2 x2  12000 x1  2 x2  10000 x1 ; x2  0 4) .

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 48

Max Z  4 x1  5.5 x2 Sujeto a 4 x1  2 x2  160 2 x1  3x2  180 x1 ; x2  0 5) .

Max Z  17 x1  15 x2  16 x3  7 x4 Sujeto a x1  2 x2  3x3  4 x4  50 8

x1

 10

x2

2  x3  12 15 x1  6 x2  7 x3  4 x4  90 x j  0 ; j  1, 2,3, 4 6) . Considerando: x1  numero de aviones tipo A

x2  numero de aviones tipo B x3  numero de aviones tipo C Entonces el P.L. esta expresado por: Max Z  420 x1  300 x2  230 x3 Sujeto a 6.7 x1  5 x2  3.5 x3  150 x1  x2  x3

 30

2 1 1 1 1 2 . x1  2 . x2  x3  1 3 40 3 40 40 x j  0 ; j  1, 2,3 7) . Considerando: x1  numero de transistores a producir

x2  numero de micro mod ulos a producir x3  numero de circuitos armados a producir Entonces el P.L. esta expresado por:

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 49

Max Z  130 x1  540 x2  1450 x3 Sujeto a 0.1x1  0.3 x2  x3  200 0.4 x2  1.3 x3  200 0.5 x1  2 x2  6.5 x3  200 0.5 x3  200 x j  0 ; j  1, 2,3

8) Consideremos las siguientes variables: X: numero de llamadas para vender el producto 1 Y: numero de llamadas para vender el producto 2 Luego el programa lineal será: Max z  0.13000(0.5) x  1400(0.6) y   30  3 x  y  sujeto a (0.5) x  20

  cantidad de productos A y B vendidos 48  0.6 y  78  3 x  y  160 Tiempo empleado en hacer llamadas x, y  0

9) .. Consideremos las variables: x1 : Numero de pulgadas de concreto

x2 : Numero de pulgadas de asfalto

x3 Numero de pulgadas de gravilla Luego el programa lineal correspondiente será: Min z  100 x1  380 x2  150 x3 sujeto a x1  x2  x3  12 x1  x2  x3  48 1 1 x1  x2  x3  54 3 6 x1 , x2 , x3  0 10) . Consideremos las variables: x1 : Numero de ovejas a criar

x2 : Numero de cerdos a criar

x3 Numero de vacas a criar Luego el programa lineal correspondiente será:

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 50

Min Z  500 x1  500 x2  100 x3 sujeto a x1  30 x2  50 x3  20 x1  x3  x2 3 3 x1  x2  x3  30 5 2 x1 , x2 , x3  0 11) . Consideremos las variables: x1 : Minutos de publicidad en radios

x2 : Minutos de publicidad en TV Luego el programa lineal será: Max Z  x1  25 x2

sujeto a 5 x1  100 x2  1000 x1  2 x2  0 x1 , x2  0 12) . Consideremos las siguientes variables: x1 : Miles de barriles por día de Irán

x2 : Miles de barriles por día de Dubai Luego el programa lineal será: Min Z  x1  x2 sujeto a 0.6 x1  0.4 x2  0 0.25 x1  0.6 x2  30 0.2 x1  0.1x2  14 0.1x1  0.15 x2  10 0.15 x1  0.1x2  8 x1 , x2  0 13) .

Consideremos las siguientes variables: X: numero de llamadas para vender el producto 1 Y: numero de llamadas para vender el producto 2 Luego el programa lineal será:

Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 51

Max z  0.13000(0.5) x  1400(0.6) y   30  3 x  y  sujeto a (0.5) x  20

  cantidad de productos A y B vendidos 48  0.6 y  78  3 x  y  160 Tiempo empleado en hacer llamadas x, y  0

14) Consideremos las siguientes variables: x1 : Numero de días de trabajo de la fábrica 1 por semana

x2 : Numero de días de trabajo de la fábrica 2 por semana Luego el programa lineal será: Min Z  1000 x1  2000 x2 sujeto a 8 x1  2 x2  16 x1  x2  5 2 x1  7 x2  20 x1 , x2  0

15) . Consideremos las variables: x j : numero de unidades producidas del producto j ( j  1, 2,3, 4) Luego para el cálculo de la función objetivo Utilidad  Ingreso  Costo Ingreso  65 x1  70 x2  55 x3  45 x4 cos to  cos to horario  horas utilizadas  10  2 x1  3x2  4 x3  2 x4   5(3x1  2 x2  x3  2 x4 )  35 x1  40 x2  45 x3  30 x4 Entonces el programa lineal será: Max Z  30 x1  30 x2  10 x3  15 x4

sujeto a 2 x1  3x2  4 x3  2 x4  500 3x1  2 x2  x3  2 x4  380 x1 , x2 , x3 , x4  0 16) . Consideremos las siguientes variables x p : Cantidad para préstamos personales

x A : Cantidad para préstamos de automóviles Se tiene que la Utilidad = Intereses – Adeudos no cubiertos Donde Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 52

Intereses  (0.99)(0.14) x p  0.12 x A Adeudos  0.01x p

Entonces Utilidad  0.1286 x p  0.12 x A Por lo tanto el programa lineal será: Max Z  0.1286 x p  0.12 x A sujeto a x p  x A  20000 2 x p  x A  0 x p , xA  0

17) . Consideremos las variables: x1 : Unidades diarias ensambladas del modelo A

x2 : Unidades diarias ensambladas del modelo B si : Tiempo ocioso en la estación i (i = 1, 2,3) Tiempo total para cada estación 480(4.79)  432

480(0.86)  413 480(0.88)  422 La función objetivo es: Min Z  s1  s2  s3 siendo : s1  tiempo disponible1  (6 x1  4 x2 ) s2  tiempo disponible 2  (5 x1  5 x2 ) s3  tiempo disponible 3  (4 x1  6 x2 ) Equivalente a: Min Z   tiempos disponibles  (15 x1  15 x2 ) ó Max Z  15 x1  15 x2 Entonces el programa lineal queda como: Max Z  15 x1  15 x2

sujeto a 6 x1  4 x2  432 5 x1  5 x2  413 4 x1  6 x2  422 x1 , x2  0

18) .

x1  0.86 x2  1.71 z  6.86 Prof. LEVA APAZA Antenor

Universidad Privada Telesup

Pág. 53

19) . x1  0

x2  3 z  12 20) .

x1  1.31 x2  0.04 z  1.44 21) . x1  1.14

x2  0.57 z  4.00 22) .

x1  x2  z  no a cot ado

23) .

x1  0 x2  1 z  2 24) .

x1  10 x2  0 z  30

25) . x1  2

x2  0 z0

Prof. LEVA APAZA Antenor