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EJES DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS I APUNTES DE CLASE

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS PLAN DE ESTUDIOS DE INGENIERÍA MECÁNICA

UNIDAD 8. EJES. 8.1. INTRODUCCIÓN. Una flecha es un componente, generalmente de sección circular, utilizado por dispositivos mecánicos en la transmisión de energía rotacional y de potencia. Su uso se observa en reductores de velocidad (engranes), mecanismos de banda o cadena, transportadores, bombas hidráulicas, ventiladores, entre otros. Antes de iniciar el estudio de ejes debe diferenciarse los conceptos de árbol, eje y husillo. Árbol (flecha): elemento giratorio de sección circular y que sirve para transmitir potencia y movimiento. Eje: elemento no giratorio y sobre el que se instalan dispositivos rotativos como ruedas, rodillos, poleas. Este elemento no transmite momento torsor, soporta cargas sin transmitir potencia. Husillo. Es un componente móvil que se caracteriza por ser corto y delgado. En el diseño de un eje deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos: 

Selección del material. Generalmente se utilizan aceros de bajo carbono como el AISI 1040, 1045, aceros bonificados como el 4140 y 4340 o aceros inoxidables como el A302, A308. Estos aceros dan la dureza externa para evitar el desgaste y la ductilidad interna para soportar los esfuerzos originados internamente en el material. La selección del material estará en función del entorno, las condiciones de operación y el uso que se le da al eje, entre otros aspectos.



Rigidez y deflexión. Depende de la configuración de la geometría como un todo (geometría total de la sección transversal del eje) para el cálculo de las deflexiones y de las pendientes (Budynas & Nisbett, 2008).



Esfuerzo y resistencia. Estará en función de la configuración geométrica de la sección transversal donde se esté analizando los esfuerzos como también del momento local (Budynas & Nisbett, 2008). Los esfuerzos originados en el material son los esfuerzos de flexión debido a las fuerzas externas transversales aplicadas al eje y los esfuerzos de torsión provocados por la potencia transmitida. Los esfuerzos se verán afectados localmente debido a las discontinuidades como hombros, cuñas, entalles al variar la sección transversal. Dichos cambios se tendrán en cuenta con los concentradores de esfuerzo; si son cargas estáticas, se empleará el factor de concentrador de esfuerzos por carga estática, kt; si son cargas dinámicas, se empleará el factor de concentrador de esfuerzos por fatiga: kf

(flexión, axial) o Kfs (torsión). En la tabla 8.1 pueden observarse estimaciones de primera iteración de los factores de concentración del esfuerzo Kf :

Tabla 8.1. Tomado de: Budynas, R., Keith Nisbett, J. (2008). Diseño en ingeniería mecánica de Shigley, octava edición. México: McGraw-Hill.



Geometría. La sección transversal de un eje no es constante, usualmente la geometría de la sección transversal se asemeja a la de un cilindro escalonado, como se muestra en la figura 8.1. Sobre el eje se instalan dispositivos tales como engranes, cojinetes y poleas, que deberán posicionarse con cuidado a fin de evitar un mal funcionamiento y una disminución de su poder de transmisión de potencia y giro. En los ejes se hallarán hombros, entalles, cuñas, agujeros, ranuras; denominados discontinuidades o muescas, que al modificar la sección transversal del elemento afectarán la magnitud de los esfuerzos en el material producido por las cargas aplicadas.



Vibraciones mecánicas. Deberá evitarse llegar a la frecuencia natural para evitar un daño catastrófico.

Figura 8.1. Eje escalonado. Budynas, R., Keith Nisbett, J. (2008). Diseño en ingeniería mecánica de Shigley, octava edición. México: McGraw-Hill.

En el diseño mecánico, elementos, tales como:   

al transmitir el par de torsión entre ejes, se utilizan

Cuñas. Ejes estriados. Tornillos prisioneros.

  

Pasadores. Técnicas de ajustes por presión o por contracción. Chavetillas o anillos de retención.

POTENCIA. La rapidez de transmisión del trabajo se define como potencia mecánica (relación de la derivada parcial del trabajo y la derivada exacta del 𝛿𝑤 tiempo; matemáticamente, 𝑃 = 𝑑𝑡 . Dónde, el trabajo es el producto del momento torsor y el desplazamiento angular, 𝑑𝜃 𝑑𝜃 W = T * θ; de modo que: 𝑃 = 𝑇 ∗ 𝑑𝑡 ; cómo la velocidad angular es igual a: 𝑤 = 𝑑𝑡 ; entonces, P = T * w. La potencia en el sistema internacional utiliza la expresión P = T * w; dónde: P = potencia en Watt (W). T = torsor en metro-Newton (m* N). w = velocidad angular en radian/segundo (r/s). En el sistema inglés, la potencia se determina mediante la expresión: P= Dónde:

T∗ w 63 000

P = Potencia en caballo de potencia (hp). T = torsor en pulgada-libra. w = velocidad angular en rpm. En el sistema inglés, los factores de conversión son: 1 caballo de potencia equivale a 33000 libra-pie/minuto o 550 libra-pie/segundo. Entre sistemas, un caballo de potencia es igual a 746 Watt o 736 caballos vapor. Un caballo de potencia equivale a 1,014 caballos de vapor. 8.2. FUERZAS SOBRE EL EJE. En un eje se instalan dispositivos tales como engranes, poleas, cojinetes, rodamientos, volantes, cuñas, quienes ejercen fuerzas y por ende torques sobre el eje. A continuación se presentan el modelo matemático que permitirá determinar las fuerzas aplicadas por los elementos sobre el eje. 8.2.1. Engranes. Es un dispositivo mecánico utilizado en la transmisión de potencia o variador de velocidad o momento torsor. Los engranes más comunes son los engranes rectos, helicoidales y cónicos. Se incluye en este grupo al sistema sinfín-corona. Entre sus aplicaciones más comunes se encuentran:

reductores de velocidad, caja de velocidades, mecanismo diferencial y bombas de engranes. 8.2.1.1. Engranes rectos. Son utilizados cuando los ejes paralelos; presentan la gran desventaja de ser ruidosos y por lo tanto son empleados en mecanismos de baja velocidad. En este tipo de engranes “La fuerza ejercida sobre un diente de engrane, durante la transmisión de potencia, actúa en dirección normal (perpendicular) al perfil de involuta del diente” (Mott, 2006; p. 535). Habrá que analizar las componentes rectangulares de esta fuerza (radial y tangencial), tal como puede apreciarse en la figura 8.2.

Figura 8.2 Fuerzas ejercidas sobre un engrane. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.

Las fuerzas sobre el diente de un engrane son tangenciales y radiales. La magnitud de la fuerza tangencial se determina a partir del torsor aplicado y cuyo 𝐷 valor es 𝑇 = 𝐹𝑡 2 . En la figura 8.3 se observa el comportamiento de las fuerzas radiales y tangenciales ejercidas entre los engranes. Dónde, ϕ es el ángulo de presión normal. Los ángulos de presión típicos en los engranes son: 14½°, 20° y 2𝑇 25°. Entonces, la fuerza tangencial es. 𝐹𝑡 = 𝐷 . La magnitud de la fuerza radial se determina como: 𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 ∗ tan 𝜙

Figura 8.3 Fuerzas de acción y reacción ejercidas entre engranes. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.

8.2.1.2. Engranes helicoidales. Son utilizados en la transmisión de potencia entre ejes paralelos y a bajas velocidades. En el grupo de los engranes helicoidales, aquellos denominados cruzados se usan entre ejes perpendiculares. En este tipo de engranes, además de las fuerzas tangenciales y radiales se producen fuerzas 2𝑇 axiales. Recordando que la fuerza tangencial en el engrane se halla por 𝐹𝑡 = 𝐷 . Luego, la fuerza radial es 𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 tan ∅/ cos 𝜓 La fuerza axial es 𝐹𝑎 = 𝐹𝑡 ∗ tan 𝜓 Dónde: ∅ = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜓 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 ℎé𝑙𝑖𝑐𝑒 8.2.1.3. Engranes cónicos. Se emplean en ejes perpendiculares entre sí; pueden ser: cónicos rectos, en espiral e hipoidales. Los cónicos rectos son para aplicaciones de baja velocidad y los engranes cónicos en espiral e hipoidales para altas velocidades. Las fuerzas desarrolladas en los engranes cónicos son: tangencial, radial y axial. El valor de la magnitud de las fuerzas mencionadas es: Fuerza tangencial: 𝐹𝑡 =

2𝑇 𝐷

Fuerza radial es 𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 tan ∅ cos λ Fuerza axial es 𝐹𝑎 = 𝐹𝑡 ∗ tan ∅𝑠𝑒𝑛λ Dónde: ∅ = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 λ = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 8.2.1.4. Sinfín-corona. Son empleados en ejes posicionados a 90° entre sí. Su utilidad radica que permiten el giro a velocidades diferentes; su giro es en una sola dirección y se bloquean cuando la fuente de energía se apaga. Se prefiere dar las fuerzas sobre las componentes del sistema en función de las componentes ortogonales (Fx, Fy y Fz). La magnitud de estas fuerzas es: 𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠∅𝑠𝑒𝑛λ; Fuerza tangencial en tornillo; Fuerza axial en la corona 𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑒𝑛∅; Fuerza radial 𝐹𝑧 = 𝐹𝑐𝑜𝑠∅𝑐𝑜𝑠λ; Fuerza tangencial en la corona; Fuerza axial en el tornillo 8.2.3. Catarina. Elemento mecánico dentado utilizado en la transmisión de potencia mediante cadenas. Según la figura 8.4, la parte superior de la cadena soporta carga de tensión y por lo tanto se le conoce como el lado de fuerza y la parte inferior de la cadena como no se ejerce fuerzas sobre la catarina se le

conoce como el lado flojo. Puesto que las catarinas (impulsora e impulsada) tienen diferentes diámetros, la fuerza en el lado tenso forma un ángulo con el eje horizontal.

Figura 8.4 Fuerzas ejercidas por las cadenas en las catarinas. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.

Los pares torsionales sobre las catarinas se calculan mediante: 𝑇𝐴 = 𝐹𝑐

𝐷𝐴 2

; 𝑇𝐵 = 𝐹𝑐

𝐷𝐵 𝑇𝐴 𝑇𝐵 ; 𝐹𝑐 = = 2 𝐷𝐴 ⁄2 𝐷𝐵 ⁄2

Dónde: TA = par torsional que ejerce el eje sobre la catarina A. TB = par torsional de reacción que ejerce el eje sobre la catarina B. DA = Diámetro de la catarina A. DB = Diámetro de la catarina B. De acuerdo a la figura 8.4, Se tiene que, Fcx = Fc * cos θ; Fcy = Fc * sen θ; ambas fuerzas generan flexión en el eje. El ángulo θ (ángulo de inclinación del lado de fuerza) es muy pequeño causándose un margen de error mínimo al suponer que toda la fuerza Fc, actúa en la dirección horizontal (Mott, 2006), por tanto Fc = Fcx. 8.2.4. Poleas: Elementos mecánicos utilizados para transmitir potencia desde una fuente específica hasta la aplicación en que es requerida; otro uso es el levantamiento de cargas. Las poleas pueden ser fijas o móviles; las fijas permanecen siempre en la misma posición y giran sobre su propio eje y las móviles tienen el movimiento de giro sobre su propio eje y poseen movimiento de traslación. También hay que tener en cuenta los polipastos (o aparejos) que son un conjunto de poleas entre fijas y móviles destinadas a levantar cargas pesadas.

En la transmisión de potencia mediante poleas se utilizan bandas (o correas) trapezoidales o bandas planas, estas últimas también son utilizadas en el transporte de materiales. Entre las aplicaciones más comunes están: bombas hidráulicas, ventilación industrial, motores industriales, compresores, maquinaria utilizada en impresión, trituradoras, mezcladoras. 8.2.4.1 Bandas trapezoidales o en V. Es la banda comúnmente utilizada para transmitir potencia debido a su mejor comportamiento respecto a la banda plana. Según la figura 8.5, los dos lados de la banda están en tensión, siendo F 1 mayor que F2; dónde F1, es la fuerza en el lado tenso; mientras F2, es la fuerza en el lado flojo.

Figura 8.5 Fuerzas por las bandas en una polea. Mott, R. (2006). Diseño de elementos de máquinas, cuarta edición. México: Prentice Hall.

La magnitud del torque transmitido por la polea al eje es: Polea A; 𝑇𝐴 = (𝐹1 − 𝐹2 ) Polea B; 𝑇𝐵 = (𝐹1 − 𝐹2 )

𝐷𝐴 2 𝐷𝐵 2

Dónde FN = F1 – F2, es la fuerza de impulsión. Las fuerzas inducen el fenómeno de la flexión en el eje, por ello, Según Mott (2006) en el cálculo de dicha fuerza se utiliza la componente de F1 y F2 perpendiculares a la línea de centro; sin embargo, si las dos poleas no tienen diámetros radicalmente distintos habrá un mínimo error al suponer que la fuerza

de flexión es igual a la suma de las fuerzas del lado tenso y del lado flojo, de modo que: 𝐹𝐵 = 𝐹1 + 𝐹2 . De acuerdo a Mott (2006), las fuerzas FB y FN se relacionan según el procedimiento siguiente: 𝐹𝐵 = 𝐶𝐹𝑁 ; 𝐷ó𝑛𝑑𝑒, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. 𝐶=

𝐹𝐵 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹𝑁 𝐹1 − 𝐹2

En una transmisión con bandas en V, se admite como adecuada la relación 𝐹1 = 5, reemplazando, se tiene que: 𝐹2 𝐶=

5𝐹2 + 𝐹2 6𝐹2 = = 1,5 ; 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐹𝐵 = 1,5(𝐹1 − 𝐹2 ) 5𝐹2 − 𝐹2 4𝐹2

𝑇

𝑇

Cómo, 𝐹1 − 𝐹2 = 𝐷⁄𝐴2 = 𝐷⁄2 ;

𝑇

entonces: 𝐹𝐵 = 1,5 (𝐷⁄2)

8.2.5 Poleas: bandas planas. La relación entre las tensiones en el lado tenso y flojo en una banda plana es de 3 (Mott, 2006). 𝐹

𝐹 +𝐹

Partiendo de la ecuación deducida en el aparte anterior, 𝐶 = 𝐹𝐵 = 𝐹1 −𝐹2 , 𝑁

𝐹1

1

2

remplazando la recomendación 𝐹2 = 3: 𝐶=

3𝐹2 + 𝐹2 4𝐹2 = = 2 ; 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐹𝐵 = 2(𝐹1 − 𝐹2 ) 3𝐹2 − 𝐹2 2𝐹2 𝑇

𝑇

Teniendo en cuenta que, 𝐹1 − 𝐹2 = 𝐷⁄𝐴2 = 𝐷⁄2 ; Finalmente la magnitud de la 𝑇

fuerza de flexión ejercida sobre el eje es: 𝐹𝐵 = 2 (𝐷⁄2) 8.3 ANÁLISIS DE UN EJE POR RESISTENCIA ESTÁTICA. 8.3.1 Ejes bajo carga axial, flexión y torsión. Los esfuerzos inducidos por las cargas externas en un punto de la sección transversal debido a las cargas axiales, de flexión y torsión son: 𝐹



Carga axial: Esfuerzo normal, 𝜎 = 𝐴



Carga flexión: Esfuerzo normal, 𝜎 =



Carga torsión: Esfuerzo cortante; 𝜏 =

𝑀𝜌 𝐼

; Esfuerzo cortante 𝜏 =

𝑇𝑟 𝐽

𝑉𝑄 𝐼𝑏

En un punto cualquiera de la sección transversal del eje (figura 8.6) la magnitud de los esfuerzos normales y cortantes es: Esfuerzo normal: 𝜎𝑥 = 𝜋 4

Esfuerzo cortante: 𝜏𝑥𝑦 =

𝐹 𝑑2

𝑇𝑟 𝐽

+

𝑑 2 𝜋 4 𝑑 64

;

𝑑 2 𝜋 4 𝑑 32

𝑀∗

4𝐹

;

𝑇∗

𝜎𝑥 = 𝜋 𝑑2 + ; 𝜏𝑥𝑦 =

32∗𝑀 𝜋 𝑑3

16∗𝑇 𝜋 𝑑3

El valor de los esfuerzos principales se calcula mediante el uso de la siguiente expresión algebraica: 𝜎𝐴 , 𝜎𝐵 =

𝜎𝑥 +𝜎𝑦 2

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

± √(

2

2

) + 𝜏𝑥𝑦 2

El valor del esfuerzo de corte máximo se determina como: 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 𝜎𝐴 − 𝜎𝐵 ) + 𝜏𝑥𝑦 2 = 2 2

𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(

Figura 8.6 Pieza mecánica bajo la acción de fuerzas externas. Ferdinand, Beer, Johnston, R., DeWolf, J. (1993). Mecánica de materiales. Segunda edición. Impreso en Colombia: McGraw–Hill. (Repetida).

Reemplazando los valores del esfuerzo normal y cortante en la expresión del esfuerzo de corte máximo, se tiene que: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = ((

32𝑀 𝜋 𝑑3

1 2 2

2

+

4𝐹 𝜋 𝑑2

2

2

1

2 16𝑇 2

) + (𝜋 𝑑3 ) )

16𝑀 2𝐹 2 16𝑇 2∗8∗𝑀 2𝐹 2 2∗8∗𝑇 2 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (( 3 + ) + ( ) = + ) + ( ) ) ) (( 𝜋𝑑 𝜋 𝑑2 𝜋 𝑑3 𝜋 𝑑3 𝜋 𝑑2 𝜋 𝑑3

1 2

Factorizando,

2

𝜏max = 𝜋𝑑3 [(8M + Fd)2 + (8T)2]1/2 Si el eje está sometido solo a cargas estáticas, el diseño del eje será por resistencia estática y podrá utilizarse una teoría de falla, ya sea:  

Teoría del esfuerzo cortante máximo. Teoría de la energía de distorsión.

8.3.1.1 Teoría del esfuerzo cortante máximo. El factor de seguridad según esta teoría se evalúa a partir de la ecuación: 𝑛= 𝑆𝑠𝑦

𝑛=𝜏

𝑡𝑟𝑎𝑏

resistencia 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

𝑆𝑦 2

𝜏𝑡𝑟𝑎𝑏

=

𝑆𝑦 2𝜏𝑡𝑟𝑎𝑏

Cómo: 𝜏𝑡𝑟𝑎𝑏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥

Luego: 𝑛=

Sy 2 𝜏𝑚𝑎𝑥

=

Sy 1 4 ∗((8𝑀+𝐹𝑑)2 +(8𝑇)2 )2 𝜋 𝑑3

Para determinar el diámetro:

1

1 3 4𝑛 𝑑=( ∗ ((8𝑀 + 𝐹𝑑)2 + (8𝑇)2 )2 ) 𝜋 𝑆𝑦

8.3.1.2 Teoría de la energía de distorsión. El factor de seguridad en el diseño de un eje de acuerdo a la teoría de la energía de distorsión es: 𝑛=

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ; 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑆𝑦; 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 𝜎′ (𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑜𝑛 𝑀𝑖𝑠𝑒𝑠) 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

Recordando que el factor de seguridad es: 𝑛 =

𝑆𝑦 𝜎′

Dónde, σadmisible, es el esfuerzo de Von Mises (σ’), cuya magnitud es: σ´= √σA 2 − σA σB + σB 2 Reemplazando los valores de σA, σB, y factorizando: 4

σ’ = 𝜋𝑑3 [(8M + Fd)2 + 48T2]1/2

Entonces, el factor de seguridad se determina utilizando: 𝑛=

𝑆𝑦 Sy = 1 4 𝜎′ ∗ ((8𝑀 + 𝐹𝑑)2 + 48𝑇 2 )2 3 𝜋𝑑

El diámetro de la sección transversal del eje se determina por: 1

1 3 4𝑛 𝑑=( ∗ ((8𝑀 + 𝐹𝑑)2 + 48𝑇 2 )2 ) 𝜋 𝑆𝑦

8.3.2 Ejes sometidos solo a carga estática de torsión y flexión. Si no existe carga axial, el esfuerzo normal por carga axial es: 𝐹 𝜎𝑥 = 𝜋 =0 2 𝑑 4 Luego, las cargas externas originan en un punto cualesquiera del eje, esfuerzos de flexión y de torsión. Los esfuerzos cortantes y normales que producen estas cargas son: 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒, 𝜏𝑥𝑦 =

16 𝑇 ; 𝜋 𝑑3

𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙,

𝜎𝑥 =

32 𝑀 𝜋 𝑑3

La magnitud de los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo son: Esfuerzos principales: 𝜎𝐴 , 𝜎𝐵

2

2

2

16 𝑀 16 𝑀 16 𝑇 = ( 𝜋 𝑑3 ) ± √( 𝜋 𝑑3 ) + (𝜋 𝑑3 ) 16 𝑀 2

1

16 𝑇 2 2

Esfuerzo de corte máximo: 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (( 𝜋 𝑑3 ) + (𝜋 𝑑3 ) )

8.3.2.1 Teoría del esfuerzo cortante máximo: El factor de seguridad es, según la teoría del esfuerzo cortante máximo: 𝑛=

𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ; 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑆𝑠𝑦; 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝑆𝑦

Reemplazando: 𝑛 = 2 𝜏

𝑚𝑎𝑥

𝐷ó𝑛𝑑𝑒,

𝑆𝑠𝑦 =

𝑆𝑦 ; 2

. El cortante máximo se determina por: 2

1 2 2

16𝑀 16 𝑇 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (( 3 ) + ( 3 ) ) 𝜋𝑑 𝜋𝑑 Factorizando: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

1 16 2 2 )2 (𝑀 + 𝑇 𝜋 𝑑3

𝜏𝑎𝑑𝑚 = 𝜏𝑚𝑎𝑥

Reemplazando en la expresión del factor de seguridad: 𝑛 =

El factor de seguridad se expresa como:

1

𝑆𝑦 16 2∗ 3 𝜋𝑑

1

(𝑀2 +𝑇 2 )2

1

32

= 𝜋 𝑑3 𝑆𝑦 ∗ (𝑀2 + 𝑇 2 )2 𝑛

Partiendo de un valor de factor de seguridad y calculando el diámetro: 1

1 3 32𝑛 𝑑=( ∗ (𝑀2 + 𝑇 2 )2 ) 𝜋 𝑆𝑦

8.3.2.2 Teoría de la energía de distorsión. Al aplicar esta teoría, se tiene: 𝑛=

𝑆𝑦 ; 𝜎 ′ = √𝜎𝐴 2 − 𝜎𝐴 𝜎𝐵 + 𝜎𝐵 2 𝜎′

Recordando que la magnitud del esfuerzo de Von Mises es: 4

σ’ = 𝜋𝑑3 [(8M + Fd)2 + 48T2]1/2 4

Cómo la carga axial es cero (F = 0), entonces: σ’ = 𝜋𝑑3 [(8M)2 + 48T2]1/2 4

4

Luego, σ’ = 𝜋𝑑3 [(64M2 + 48T2]1/2; Reorganizando, σ’ = 𝜋𝑑3 [16*4M2 + 16*3T2]1/2 1

16

Entonces, la magnitud del esfuerzo de Von Mises es: 𝜎 ′ = 𝜋 𝑑3 (4𝑀2 + 3𝑇 2 )2 Reemplazando, el factor de seguridad según la teoría de falla de la energía de 𝑆𝑦 distorsión es: 𝑛 = 16 1 𝜋 𝑑3

(4𝑀2 +3𝑇 2 )2

Reorganizando la ecuación: 𝑛 =

𝜋 𝑑3 𝑆𝑦 1

16 (4𝑀2 +3𝑇 2 )2 1

16𝑛

Si es requerido el diámetro, entonces: 𝑑 = (𝜋 𝑆𝑦 ∗

(4𝑀2

+ 3𝑇

1 2 )2 3

)

EJEMPLO # 1. La fuerza resultante en el engrane A (ver figura 8.7), o sea, Fa= 600 lb, actúa en un ángulo de 20º desde el eje “Y” en el contra del eje con extremo voladizo que se ilustra. El contra eje es macizo y de acero UNS G10400 CD y cortado a la longitud. Si el elemento tiene un diámetro de 2 ¾ de pulgada, determine el factor de seguridad de acuerdo a la teoría de energía de distorsión. Ejercicio adaptado de

Shigley J. & Mitchell L. (1983). Diseño en ingeniería mecánica, tercera edición. México: McGraw–Hill.

Figura 8.7 Tomado de Shigley J. & Mitchell L. (1983). Diseño en ingeniería mecánica, tercera edición. México: McGraw–Hill.

OBJETIVO: Factor de seguridad de acuerdo a la teoría de la energía de distorsión. DATOS: Material: acero UNS G10400;

Sy = 71 ksi;

Sut = 85 ksi; D= 2 ¾ ‘’

ANÁLISIS: CÁLCULO DEL TORSOR. El torsor se determina como el producto de la componente tangencial de la fuerza y el radio del engrane: T = FA * Cos20º * ra =

600 lb * Cos20º * 12’’ = 6765.78 lb*pulg

DIAGRAMA DE TORQUES.

Calculando el valor de los momentos en los puntos A y B 𝑀𝐴 = √7747.8402 + 9341.6602 = 12136.541 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏 𝑀𝐵 = √13531.5962 + 49202 =

14398.2808 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏

El punto de mayor peligro es en el rodamiento B ya que su momento flector es el mayor que se encuentra en el sistema. La magnitud del esfuerzo de Von Mises 16

1

(σ’) es: 𝜎 ′ = 𝜋 𝑑3 (4𝑀2 + 3𝑇 2 )2 . Reemplazando:

𝜎′ =

1 16 ∗ (4 ∗ (14398.281 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏)2 + 3(6765.78 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏)2 )2 3 𝜋 (2 4 ")

Entonces la magnitud del esfuerzo de Von Mises es 𝜎 ′ = 7613.573 pulg*lb. Recordando que la resistencia de fluencia (Sy) es igual a 71 ksi y que el factor de seguridad se determina como, n = Sy / 𝜎′ CÁLCULO DE LAS REACCIONES. PLANO XY

PLANO XZ

Reemplazando los valores de la resistencia de fluencia y el esfuerzo de Von Mises: 𝑙𝑏 71000 𝑆𝑦 𝑝𝑢𝑙𝑔2 𝑛= ′; = 9.32 𝜎 7613.573 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗ 𝑙𝑏 8.4 DISEÑO DE UN EJE POR CARGA DINÁMICA (FATIGA). Generalmente, un diseñador debe tener en cuenta que los esfuerzos normales por carga axial no son significativos frente a los esfuerzos normales por flexión, y de igual manera los esfuerzos de corte por flexión tampoco son significativos frente a los esfuerzos cortantes por torsión. En ejes rotatorios sometidos a flexión con inversión completa y torsión constante, el diámetro o el factor de seguridad se deducen a partir de relacionar las teorías de falla (Teoría del esfuerzo cortante máximo, teoría de la energía de distorsión) para determinar el esfuerzo con las teorías de fatiga (Goodman-modificado, Soderberg, Gerber, Asme-elíptica u otras) para pronosticar la resistencia significativa. Mott (2006), sugiere un valor de factor de seguridad en ejes de n = 2 para maquinaria en general; ahora, si se presentan choques moderados y cargas de impacto, el factor de seguridad recomendado es 4.

Los esfuerzos (ver figura 8.2) en un punto determinado de la sección transversal del eje son: Esfuerzo normal: σ = 𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 ∗ Esfuerzo cortante: τ = 𝑘𝑓𝑠

Mρ

+𝐾𝑓 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 ∗

I

𝐹 𝐴

Tr J

Las componentes del esfuerzo normal se hallan como: d 2 𝜋𝑑4

Ma

Esfuerzo normal alternante: 𝜎𝑎 = 𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

4 𝐹𝑎

+ 𝐾𝑓 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 ∗

𝜋 𝑑2

64

𝜎𝑎 = 𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

32Ma πd3

+ 𝐾𝑓

𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 ∗

4 𝐹𝑎 𝜋 𝑑2

De modo similar, 𝜎𝑚 = 𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

Esfuerzo normal medio:

32Mm πd3

+

𝐾𝑓 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 ∗

4 𝐹𝑚 𝜋 𝑑2

Las componentes del esfuerzo cortante son: Esfuerzo de corte alternante: 𝜏𝑎 = 𝐾𝑓𝑠 Esfuerzo de corte medio:

Ta

𝑑 2

J

𝜏𝑚 = 𝐾𝑓𝑠

= 𝐾𝑓𝑠

Tm

𝑑 2

J

16 𝑇𝑎 𝜋𝑑3

= 𝐾𝑓𝑠

16 𝑇𝑚 𝜋𝑑3

Utilizando la teoría de la energía de distorsión para hallar el esfuerzo de Von Mises en el punto de estudio se tiene que: σ´= [σ2 +3𝜏2]1/2 Reemplazando los valores del esfuerzo normal y el esfuerzo de corte: 2

σ´= [(𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝜎𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 + 𝐾𝑓 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝜎𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 ) + 3𝜏𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 2]1/2 La magnitud del esfuerzo alternante es: 𝜎𝑎 ´= [(𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

32Ma πd3

+ 𝐾𝑓 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙

4 𝐹𝑎 2

16 𝑇𝑎 2 1/2 ) ] 𝜋𝑑3

4 𝐹𝑚 2

16 𝑇𝑚 2 1/2 ) ] 𝜋𝑑3

) + 3 (𝐾𝑓𝑠 𝜋 𝑑2

La magnitud del esfuerzo medio es: 𝜎𝑚 ´= [(𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

32Mm πd3

+ 𝐾𝑓 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙

𝜋 𝑑2

) + 3 (𝐾𝑓𝑠

Estos esfuerzos deberán ser reemplazados en el criterio de falla a utilizar: Goodman modificado, Gerber, Soderberg o Asme-elíptico. Si las cargas externas aplicadas al eje son de flexión y torsión, entonces, las componentes del esfuerzo normal se hallan empleando: Esfuerzo normal alternante: 𝜎𝑎 = 𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 Esfuerzo normal medio:

32Ma πd3

𝜎𝑚 = 𝐾𝑓 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

32Mm πd3

Las componentes del esfuerzo cortante son: Esfuerzo de corte alternante: 𝜏𝑎 = 𝐾𝑓𝑠

16 𝑇𝑎 𝜋𝑑3

Esfuerzo de corte medio: 𝜏𝑚 = 𝐾𝑓𝑠

16 𝑇𝑚 𝜋𝑑3

Reemplazando los valores de los esfuerzos normales de flexión y torsión, el esfuerzo de Von Mises alternante es: σa´ = [(𝐾𝑓

32Ma 2 ) +3 πd3

[ 𝐾𝑓

16Ta 2 1/2 ]] πd3

El esfuerzo de Von Mises medio es: σm´ = [(𝐾𝑓

32𝑀𝑚 2 ) 𝜋d3

+3 [𝐾𝑓𝑠

16Tm 2 1/2 ]] 𝜋d3

Reemplazando: σa´= [[𝐾𝑓

16∗2Ma 2 𝜋d3

1

] + 3 [𝐾𝑓𝑠

16Ta 2 2 𝜋d3

16

2M

] ] ; σa´= [162 (𝐾𝑓 𝜋d3a )2 + 3*162 (𝐾𝑓𝑠

Ta 2 1/2 )] ; 𝜋d3

16

σa´= 𝜋d3 [4(kf Ma)2 +3 (kfsTa)2]1/2

Factorizando por el término 𝜋d3 ;

16

El esfuerzo alternante de Von Mises puede expresarse como: σa´= 𝜋d3 A Dónde, A = [4 (kf Ma)2 +3 (kfsTa)2]1/2 Análogamente; el esfuerzo medio de Von Mises es: 16

σm´ = 𝜋d3 [4(kf Mm)2 + 3(kfs Tm)2]1/2 16

Luego, el esfuerzo ce Von Mises medio es: σm´=𝜋d3 B

Dónde, B = [4(kf Mm)2 + 3(kfs Tm)2]1/2 Conocidas las magnitudes del esfuerzo alternante y medio, estos valores son reemplazados en los criterios de falla por fatiga. Si en el cálculo de la resistencia significativa se utiliza el criterio de Goodman modificado: 1

= n

σa ´

σ ´

Se

ut

+ Sm

El factor de seguridad puede hallarse utilizando la expresión: 1 n

16

A

B

𝑒

ut

= 𝜋d3 [s +s ]

Utilizando la energía de distorsión en el cálculo del esfuerzo y el criterio de Soderberg para predecir la resistencia significativa, se tiene que: 1

= n

𝜎𝑎 ´

𝜎 ´

𝑆𝑒

𝑦

+ 𝑆𝑚 ;

1

16

A

B

𝑒

y

= 𝜋d3 [s +s ] n

Utilizando la energía de distorsión en el cálculo del esfuerzo y el criterio de Gerber para la fatiga: 1= 𝑛

𝜎a´ se

+ (𝑛

𝜎m ′ 2 sut

)

El factor de seguridad se determina a partir de: 1

8A

2BS

= [1+ [1+ [ AS e ]2]1/2] n 𝜋d3 s e

ut

Al tener en cuenta la Teoría de la energía de distorsión y la relación elíptica de la ASME: 2 2 𝜎a ′ σm ′ 1 = (𝑛 ) + (𝑛 ) se sy El factor de seguridad se determina a partir de: 1 n2

16 2

A 2

B

2

= [𝜋d3 ] {[s ] + [s ] } 𝑒

y

Si en el eje, el esfuerzo de flexión es alternante, entonces, las componentes del momento alternante (Ma) son diferentes de cero y el momento medio es Mm = 0; y si la torsión es constante, el torque alternante es cero y el torque medio tendrá un valor diferente de cero. Independientemente de la teoría o del criterio de falla utilizado (menos el de Soderberg) se tendrá que verificar en el eje una probable falla debido a que se sobrepase el límite de resistencia a la fluencia; luego:

𝐒𝐲

n = 𝝈′

𝒎𝒂𝒙

; 𝜎′𝑚𝑎𝑥 = ((𝜎𝑚 + 𝜎𝑎 )2 + 3(𝜏𝑚 + 𝜏𝑎 )2 )1/2

En el cálculo de la resistencia límite a la fatiga no se tendrá en cuenta el factor de corrección por efectos diversos, ya que como se nota en las ecuaciones precedentes para determinar el factor de seguridad según los diferentes criterios de falla, el factor de corrección por esfuerzos se tuvo en cuenta al calcular las componentes de la magnitud del momento (Kf) y la torsión (Kfs), tanto el esfuerzo alternante como el esfuerzo medio. EJEMPLO # 2. La figura 8.8 muestra una porción de un eje de acero AISI 1040 forjado y tratado térmicamente que tiene superficies maquinadas con dimensiones D = 1.5’’ y d = 1’’. El proceso con tratamiento de calor da por resultado, resistencias mínimas a la tensión de Su = 100 ksi y Sy = 70 ksi. La sección del eje en el hombro se somete a un momento flexionante con inversión completa de 800 pulg*lb y a una torsión constante de 400 pulg*lb. Determine el factor de seguridad para la vida infinita, empleando la relación elíptica ASME para la fatiga, y la teoría de la energía de distorsión para el esfuerzo. Ejercicio adaptado de Shigley J. & Mitchell L. (1983). Diseño en ingeniería mecánica, tercera edición. México: McGraw–Hill.

Figura 8.8 tomado de Shigley J. & Mischke C (1994). Diseño en ingeniería mecánica, quinta edición. México: McGraw–Hill.

OBJETIVO: Determinar el factor de seguridad. DATOS: Material acero AISI 1040; Momento: 800 pulg*lb;

Su = 100 ksi;

Sy = 70 ksi.

Torsor = 400 pulg*lb.

ANÁLISIS: Partiendo de la teoría de energía de distorsión para prever el esfuerzo de daño y el criterio de fatiga Asme-elíptico para predecir la resistencia significante: 1

1 32 𝑀𝑎 2 3 𝑇𝑚 2 2 = ((𝑘𝑓 ∗ ) + ( ) ) 𝑛 𝜋 𝑑3 𝑆𝑒 4 𝑆𝑦

La resistencia límite a la fatiga se halla mediante: Se = Ka * Kb * Kc *Kd * Kr * Se’ LÍMITE DE FATIGA DE VIGA ROTATORIA (Se’) La resistencia límite de fatiga de viga rotatoria es: Se’ = 0.50 * Sut; para valores de Sut < o = 200 ksi); reemplazando: Se’ = 0.50 * 100 ksi;

Se’ = 50 ksi

FACTORES QUE MODIFICAN EL LÍMITE DE RESISTENCIA A LA FATIGA. 

Factor de acabado



Ka = a * sut-b; De la tabla 6-2 de “Diseño en ingeniería mecánica de Shigley”, para una superficie maquinada; a = 2.7; b = - 0.265; Reemplazando: Ka = 2.7 * (100)-0.265 = 0.797 Factor de tamaño 𝑑

Kb = (0.3)

−.107

; en el intervalo de 0.11 < d