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• Phere Angeles

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Unidad 1 Teorema fundamental del calculo. 1.1 Medicion aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notacion sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definicion de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Funcion primitiva. 1.8 Teorema fundamental del cálculo. 1.9 Calculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias.

Unidad 1 Teorema Fundamental del Calculo.

Medida Aproximada de Figuras Amorfas Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado. Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimaresta área. La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante. Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada. Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b. El gráfico de la función se muestra a continuación,

Para estimar el área de tal figura, considereque el área bajo la curva estácompuesto por un gran número de delgadas tiras verticales. Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dxpara la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x) El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola. 2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y) El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy 3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo. Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración,entonces A = | f(x) dx| 4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encimadel eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán, A = |A1| + A2 Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas, Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

El área de la región limitada es, A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3

Notación Sumatoria En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente

los últimos números continuación,

de

la

serie,

como

se

muestra

a

Esta expresión representa una operación que incluye lasuma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie. Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria.

Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es un símbolo de laGrecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoriautilizando el símbolo sumatorio se representa,

La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria. El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final. La expresión mostrada arriba se calcula como, = x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de vectoriales. Tal operación se puede denotar como,

productos

Sumas de Riemann Y que es definida en un intervalo cerrado [p, q] que se encuentra en algún lugar en la recta numérica real, dividimos el intervalo de manera tal que pàDespués de haber estudiado los gráficos y las curvas a profundidad, tenemos que estudiar cómo encontrar el área bajo la curva de un gráfico. El método debe su nombre al matemático que lo inventó, Bernhard Riemann, que fue un matemático alemán. La suma de Riemann para un gráfico se puede calcular de cuatro maneras diferentes, a saber; suma de Riemannpor la izquierda, suma de Riemann de puntomedio, suma de Riemann por la derecha y la regla del trapecio. La técnica detrás de los cuatro métodos es la misma sólo que el método para calcular el resultado es un poco diferente. Matemáticamente, la suma de Riemann se

puede definir como una función valorada real f: X < x1< x2< x3< x4< … < xn-1< xn < q. Ahora la suma de Riemann será,

Donde xi tiene el mayor valor y xi-1 tiene el valor más pequeño. yies un valor arbitrario en el subintervalo ith. El tamaño de la malla de partición es el mayor valor de(xi - xi1). Para calcular la suma de Riemannpor la izquierda, sea valor de xi-1igual al valor de yi. Para calcularla suma de Riemann por la derecha, sea el valor de xiigual al valor de yi. Si el valor de yi se mantiene igual al valor promedio de xi y xi-1, entonces tenemos la suma de Riemann de punto mediocomo resultado. Finalmente la suma trapezoidal es el valor promedio de la suma de Riemann por la izquierda y la suma de Riemann por la derecha.

Definición de Integral Definida La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración

indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente,

Una integral definida se representa más comúnmente como,

Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n

La interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx.

Teorema de Existencia En muchas circunstancias fallamos en obtener la salida para una ecuación diferencial dada, entonces recurrimos a otros métodos tales como los métodos geométricos, etc., pero es esencial que en tal situación antes de recurrir a otro métodoaverigüemos si existe alguna solución para la ecuación dada. El Teorema de Existencia es uno de esos métodos que cumple tal objetivo. El Teorema de existencia afirma la existencia de una única salida para una ecuación diferencial dada. Este teorema es aplicable únicamente a las ecuaciones diferenciales de primer orden. También es esencial que la ecuación satisfaga las cláusulas iniciales establecidas con ella. Matemáticamente, el teorema puede ser establecido como, para una función dada f: X→ Y, la cual es continua en el área limitada (generalmente un rectángulo) del plano x-y,

Sea un punto (x0, y0) en esta área limitada entonces >0 es real y existe una función en la que tenemos x0 - < x < x0 +

para la cual tenemos una solución del valor inicial de la expresión.

Aquí hemos mencionado un punto de “Exista un > 0”. Esto significa que la variable dada puede tener algún valor positivo para que la declaración dada sea verdadera. Sin embargo no existe un límite superior para esta variable.

Propiedades de la integral definida Estas propiedades se derivan de la definición básica misma de las integrales definidasa través de largos procedimientos con el fin de hacer más fácil la solución de problemas. Algunas de las propiedades básicas de las integrales definidas se discuten a continuación. 1 La integración de una función para un solo punto, esto es, que tanto el límite superior como el límite inferior son el número mismo, producirá cero como resultado. 2 La integración de una función para algunos límites es el inverso de la integración de la misma función cuando los límites de integración son intercambiados.

3 La integración de una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de esa constante con la diferencia de los límites de integración. 4 La integración de la multiplicación de una función con una constante para algunos límites de integración es igual a la multiplicación de la constante con la integración de la función para los límites de integración. 5 La integración de una función para algunos límites de integración se puede desglosar como la suma de la integración de la misma función donde el límite superior de la integración de la expresión anterior y el límite inferior de la integración de la expresión siguiente es el mismo, el cual es un valor intermedio de los límites de integración. 6 La integración de la suma de dos funciones individuales para algunos límites de integración es igual a la suma de la integración de las funciones individuales para los mismos límites de integración. 7 La integración de la diferencia de dos funciones individuales para algunos límites de integración es igual a la diferencia de la integración de las funciones individuales para los mismos límites de integración. 8 Si una determinada función produce un valor menor que cero para un intervalo dado, y entonces ocurre lo mismo cuando es integrado para el mismo intervalo como límite de integración, producirá un valor menor que cero.

Función Primitiva Para algunas funciones de la forma f(x): X → Y, la primitiva se define como cualquier otra función la cual cuando es diferenciada nos da de nuevola función original f(x). Esto significa que f(x) es la derivada de su función primitiva o que la función primitiva es la integral de la presente función f(x). Por tanto, podemos decir que si F(x) es la función primitiva de f(x) entonces F(x) + c es también su función primitiva para los valores distintosde c sin ningún pre-requisito para obtener a c. Aquí F(x) + c representa a la familia de funciones primitivas. Al asignar distintos valores de c, obtenemos diferentes miembros de esta familia. Geométricamente, estos miembros se pueden obtener al cambiar cualquiera de las curvas paralelas a ellos. Existen muchos sinónimos para las funciones primitivas tales como primitiva integral, antiderivada, etc.

Teorema Fundamental del Cálculo

La diferenciación y la integración son dos conceptos vitales del cálculo. Es esencial relacionarlos de alguna forma para formular algunos conceptos esenciales del cálculo. Por tanto, el Teorema Fundamental del Cálculo fue elaborado tomando esto en consideración. Primer Teorema Fundamental del Cálculo: La integración definida también puede ser considerada como un caso especial de la suma de Riemann en el que se calcula el límite de la suma de Riemann. La integración definida de una función dada es el proceso del cálculo del área limitada de algún gráfico o curvadonde los límites superior e inferior especifican los límites de integración. Sin embargo, mirando la definición anterior de integral definida algunos pueden confundirse en por qué se procede de esta manera. El Primer Teorema Fundamental del Cálculo justifica este procedimiento. Matemáticamente, para alguna función real f(x), la cual, para un intervalo cerrado [a, b], es de naturaleza continua, tenemos un integrando F(x), que también es una función valorada real en el mismointervalo cerrado [ a, b]. Esto puede ser representado como:

Cálculo de Integrales Definidas El cálculo de la integral definida se denomina a menudo como integración numérica o cuadratura numérica o simplemente cuadratura. Sin embargo, este es utilizadogeneralmente más para una ecuación dimensional, para las ecuaciones con más de una dimensión, el uso de la palabracubatura es más adecuado. Se utiliza para calcular la solución numérica aproximada de una integral definida dada. Existen varias formas para calcular la solución de un problema de integral definida. 1 Haciendo uso de las fórmulas básicas de integración. 2 Resolviendo la expresión a través del álgebra. 3 Integración por sustitución. Es un método importante para resolver integrales. En este método tenemos una función principal y el integrando se define como la multiplicación de la función principal y la derivada de esta función principal.

Integrales Impropias De acuerdo con la definición de integrales, tenemos una función que está limitada de ambos lados superior e inferior para algún intervalo Icon rango [p, q]. Ahora, en tal escenario dos casos pueden ocurrir, 1. O la función que tenemos se convierte en ilimitada en uno o ambos de sus lados. 2. O, el intervalo para el cual la función es definida en sí se convierte ilimitado, ya sea de un solo lado o de ambos lados. En tal situación la integral que tenemos se llama integral impropia. Una integral impropia es un tipo de integral definida dondeo los límites de la integración o la función alcanzan el infinito. Esto puede ocurrir una o varias veces para los límites de integración dados.

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