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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEO “Si un evento puede realizarse de n 1 maneras diferentes, y si, un segundo evento realizarse de n2 maneras diferentes, y si, un segundo evento realizarse de n 3 maneras diferentes y así sucesivamente; entonces, el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n 1. n2. n3…” PERMUTACIONES Son arreglos diferentes en que pueden ordenarse un conjunto de elementos en un orden definido. Una ordenación de un número ”r” de “n” objetos , r ≤ n , en un orden dado se lama permutación “r” o una permutación de los “n” objetos tomados de “r ” a la vez . Así mismo, una ordenación de un conjunto de “n” objetos en u8n orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez) El número de permutaciones de “n” objetos tomados de “r en r “ lo denotamos por : P (n, r) nP r El primer elemento de una permutación r de n elementos puede escogerse de n diferentes maneras; el segundo elemento de la permutación puede escogerse de (n-1) ,amaneras, y así sucesivamente, el r-ésimo (último) elemento de la permutación r puede escogerse de n – (r-1) = n – r + 1 maneras

n

n-1

1

2

n-2

n-3

3

…

n-r+1

4

r

n P r = n (n-1) (n-2) (n-3)… (n-r+2) (n – r +1) (n  r)! (n  r)! n P r = n (n-1) (n-2) (n-3)… (n-r+2) (n – r +1). r



n

0! = 1

n! (n  r)! nPr=

APROXIMACIÓN DE STIRLING A n! Cuando “n” es un valor muy grande, n! se puede aproximar mediante la fórmula de Stirling; es decir: La cual tiene un error 2n.π  n -n

n!

n

e

menor que el 1% para n > 10 Ejemplo: Calcular 35! 35! =

2xx35

35

35

e

-35

= 1.031 x 10

40

PERMUTACIONES CON SUSTITUCIÓN El número de permutaciones con sustitución de “ n” elementos tomados de ”r en r” (orden r) es:

nPr = n

r

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN (particiones ordenadas) El número de permutaciones de “n” elementos, de tal manera que: n1 son iguales, n2 son iguales,…, nk son iguales y n = n1 + n2 + n3 +…+ nk.

n! n P n1,n2,…,nk = -----------------------n 1! n2! … nk ! PERMUTACIÓN CIRCULAR El número de permutaciones circulares de “n” elementos, tomados todos a la vez, es igual:

P = (n – 1)!

COMBINACIONES Es una selección de un conjunto de “n” elementos tomados de “r en r”, sin tener en cuenta el orden de los elementos, convirtiéndose en un subconjunto de n

Ejemplo. Las combinaciones que pueden formarse con las letras A, B, C y D son: a) b) c) d)

De 4 en 4 : ABCD De 3 en 3 : ABC , ABD , ACD, BCD De 2 en 2 : AB , AC, AD , BC, BD, CD De 1 en 1 : A, B, C , D

Si comparamos las combinaciones y permutaciones de 3 en 3 n=4 r=3 4P3 = 24 4C3 = 4 COMBINACIONE S ABC ABD ACD BCD

PERMUTACIONES ABC ABD ACD BCD

COMBINACIONES: NO PERMUTACIONES: SI

ACB ADB ADC BDC

BCA BDA DCA CBD

BAC BAD DAC CDB

CAB DAB CAD DCB

le interesa el ORDEN le interesa el ORDEN

Cada combinación tiene 3! permutaciones 3! 4C3 = 4C3 4 P3 4C3 =

3!

4! (4  3)!.3! =

 n  nCr =



n! (n  r)!.r! 

 r =

COMBINACIÓN CON REPETICIÓN

CR =

(n  1 r)! r!.(n  1)!

Ejemplo: Hallar el número de CR de las letras A, C, D y E

CBA DBA CDA DBC

Tomados de 2 en 2 (5  1  2)! 2!.(5  1)!

5CR2 = AA

Tomados de 3 en 3

5CR3 =

= 15

AB BB

AC BC CC

AD BD CD DD

AE DE CE DE EE

(5  1  3)! 3!.(5  1)!

AAA AAB BBC CCD DDE ABC ADE

= 35 BBB AAC BBD CCE EEA ABD BCD

CCC AAD BBE DDA EEB ABE BDE

Propiedades de las Combinaciones  n  n        r   nr

Combinación complementaria

 n   n   n  1          r   r  1  r  1 

ó

 n   n   n  1          r  1  r   r 

 n  n  1    n    r  r 1 

r r

 m   k o  k 



 n    n  1

 n     r  k

=

 n    1  0

 m  n    r   n    1  n

 n     n n  1  

DDD AAE CCA DDB EEC ACD BCE

EEE BBA CCB DDC EED ACE CDE

    k 0  k  n

n

2

=

 2n     n 

PROBABILIDADES Experimento Aleatorio Es una operación cuyo resultado no puede predecirse con certeza; pero sí, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. E1: Lanzar un dado y observar el nº de puntos que aparece en la cara superior E2: Lanzar dos monedas y observar el número de caras E3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos buenos y defectuosos E4: Sacar una muestra de 10 artículos de la producción diaria y determinar el número de artículos defectuosos

Espacio muestral: S,



Es la reunión o conjunto de todos los posibles resultados del experimento Ejemplo: Para los experimentos anteriores S1 : 1,2,3,4,5, 6 S3 : B, D S2 :  CC, CS, SC, SS

S4 :  0.1,2,3,4, 5,6,7,8,9, 10

Evento o Suceso Es una partición o subconjunto del espacio muestral Ejemplo: A1: {Resultado sea Par} = {2, 4,6} A2: {por lo menos una cara} = {cs, sc, cc} A3: {Artículo defectuoso} = {2, 4,6} A4: {Como mínimo dos artículos defectuosos} = {2, 3, 4,} PROBABILIDAD Si un evento puede ocurrir de “N” maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables y si “n” de ellas tiene característica “E”; entonces, la probabilidad de ocurrencia de E es:

n N

p (E) = Hay una relación natural entre Teoría de Probabilidades y teoría de Conjuntos. Podemos observar por ejemplo: Espacio Muestral con Conjunto Universal y Evento con Subconjunto Entonces se puede dar la definición utilizando estos términos: La probabilidad de ocurrencia del evento A, es igual al número de muestras posibles que puede suceder A sobre el número de elementos del espacio muestral

n(A) n(S) p(A) =

AXIOMAS DE PROBABILIDAD 1.- Axioma de Positividad ( No Negatividad) 0≤ p ≥ 1 2.- Axioma de Certeza p (S) = 1 3.- Axioma de Uniones k

Ei  S

i) E1 U E2 U E3 U...U Ek =

i 1 k

Ei  0

ii) E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩... ∩ Ek =

i 1

E1

...



E3

...

E4

...



 i 1





K

p

K

 p(Ei)

Ei =

i1

De los 3 axiomas se deducen las siguientes propiedades: 1.- “La probabilidad del conjunto nulo o vacío es igual a cero” p(

p (A U





)=0

Se sabe que: A U )= p (A)

p (A) + p (



) = p (A)





p(



=A )=0

2.- “La probabilidad del complemento de A, es igual a uno menos la probabilidad del evento A “ S A A p(

AU

A

=S p (A) + p ( A p ( ) = p (S) – p (A)

) = 1 – p(A)

A

A

) = p (S)



p(

A

) = 1 – p (A)

3.-Si A y B son 2 sucesos cualesquiera, entonces: P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

A

B

A

B A-B

A∩B

+

A∩B

Se puede observar que A-B y B son disjuntos P (A-B) + P (B) = P (AUB) P (AUB) = [P (A) – P (A∩B)] + P (B)

P (A-B) = P (A) – P (A∩B)



P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

4.- Sean los eventos A, B y C P (AUBUC) = P (A) + P (B) + P(C) –P (AB) – P (BC) –P (AC) + P (ABC)

5.- Sean los eventos A1, A2, A3,..., An



 i1





 p(Ai)

  A i p

n

n



=

i1

i  j 2



p Ai  A j



-

n



i jk 3



p A i  A j  Ak

+

 - …+  n



 i 1



p.

(-1) 6.- Si A



B

n+1

Ai

P(A) ≤ P (B) A

B

P (B) = P(A) + P(B-A) Donde p (B-A) ≥ 0

P (B) – P(A) ≥ 0



P(A) ≤ P (B)

PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad condicional de que el vento B ocurra, sabiendo que el evento A ha ocurrido, es: P(A B) P(A) P (B∩A) =

, P(A) >

A ha ocurrido P (B

/ A)

B incógnita TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN P(AB) P(A) De la probabilidad condicional P (B/A) = P(A B) = P(A). P (B/A)

, se tiene:

“La probabilidad simultánea de A y B es igual al producto de la probabilidad de A, y la probabilidad de B dado que ha sucedido A” Igualmente: P(A B) = P (B). P(A/B) Generalizando: P (B) = P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2) + … + P (An). P (B/An) n



P (B) =

i 1

P (A i). P (B/A i)

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes, sí y sólo sí: P (AUB) = P (A) + P (B)

S A

Donde A∩B =



B

(A y B no pueden suceder simultáneamente)

EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de A no afecta (no condiciona, no influencia) a la ocurrencia de B, si: P (B/A) = P (B) P (A ∩ B) > 0

P (A∩B) = P (A). P (B)

TEOREMA DE BAYES Supongamos que hay “n” eventos: A1, A2, A3,..., Ak y n

Ai

a) S =

i 1

= A1U A2U A3U...U An

n

Ai

b) A1∩ A2 ∩ A3 ∩...∩ Ak =

i 1

=0

A2

A1

A3

Para cualquier  evento B S

B

Donde: An

1≤ K≤ n

...

i = 1, 2,3,…, n

P( A K ).P(B/ A K ) P( A1).P(B/ A1)  P( A 2).P(B/ A 2)  ...  P( A n).P(B/ A n) P ( AK / B ) =

P ( AK / B ) =

P( A K ).P(B/ A K ) n  P(A i).P(B/ A i) i 1

Louis Maisel- Probabilidad y Estadística – USA- 1973 1.- Un dado normal de lanza 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que cada lanzamiento produzca un resultado diferente? 6 6

5 6

4 6

3 6

2 6

1 6

6! 6 6

= 2.- Se toman 3 muestras aleatorias independientes sobre los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Determinar la probabilidad de que el mismo dígito aparezca una vez en las 3 muestras

P= P (2 veces) + P (3 veces) =

3(1x1x9)10 1(1x1x1)10 270  10    0.280 1000 1000 1000

3.- Si se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. Determinar la probabilidad de que cada caja contenga exactamente una bola N 1 N  2 N N

N N

N3 N

…

4 N

3 N

2 N

1 N

N! N

N

= 4.- Si se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. Determinar la probabilidad P de que ninguna caja contenga más de una bola

P=

M M 1 M  2 M  3 M M M M

M!

M N

=

…

(M  N)!. M

→ P=

MN1 M

M(M  1).(M  2)...(M  N  1) (M  N)! N (M - N)! M = .

PN

M

N

para M ≥ N y P = = para M < N

5.- Se distribuyen aleatoriamente N bolas en M cajas. ¿Cuàl es la probabilidad de que una caja determinada contenga K bolas?





N K  N N.  . M 1  K P=

M

N

Un gabinete contiene 10 pares de zapatos. Si se seleccionan aleatoriamente dos pares de zapatos. ¿Cuál es la probabilidad de formen una pareja? 1/19 S = {0 pareja, 1 pareja, 2 parejas}

P(S) =

 10  4  10   9  2  10    2    .  . 2     4   1   2  2   20     4 

=

3360  1440  45 4845  1 4845 4845

Seymour Lipschutz – Probabilidades- Colección Schaum 1.-En una clase hay 12 estudiantes. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes? Método 1. Buscamos el número de particiones ordenadas de 12 estudiantes en células que

constan de 4 estudiantes cada una. Hay Método 2.

12! 4! 4! 4!

= 34,650 de tales particiones.

 12   Hay

  4 

maneras de escoger 4 estudiantes que tomen la primera prueba: a

 8 



  4

continuación hay maneras de escoger 4 estudiantes que tomen la segunda prueba. El resto de estudiantes toma la tercera prueba. O sea que, por todos hay

 12     .  4  

8



4 

= 495 x 70 = 34,650 maneras para que los estudiantes presenten las

pruebas. 2.- ¿De cuántas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos, I,II,II, de suerte que cada equipo conste de 4 estudiantes? Método 1. Observamos que cada partición (I, II, III) de estudiantes puede distribuirse de 3! =6 maneras lo mismo que una partición ordenada. Puesto que (ver problema anterior) hay

12! 4! 4! 4!

= 34,650 de tales particiones ordenadas, hay 34,650/6 = 5,775 particiones ( no ordenadas) Método 2.

 11  

  3

Denotemos por A uno de los estudiantes. Entonces hay maneras de escoger los otros 3 estudiantes que estén en el mismo equipo de A. Ahora denotemos por B a un

 7 



  3

estudiante que no sea del equipo de A; entonces hay maneras de escoger, entre los restantes, 3 estudiantes que estén en el mismo equipo de B. Los 4 estudiantes que

quedan constituyen el tercer equipo. Así, en total hay

 11     .  3 

7



3 

=

165 x 35 = 5,775 maneras de repartir los estudiantes.

Se tiene las letras de la palabra: GUERRERO. Si se selecciona una palabra ¿Cuál es la probabilidad de que comience con R y termine en O?

R

O

1

1 2 3 6

4

5

P= Se tienen las letras de la palabra

6! 2!.2!  3 8! 56 2!.3!

AMARRARAS

LANTALLA y se colocan en algún orden. ¿Cuál es la probabilidad de que:

AMARRARAS (A=4 R=3 M=1 S=1 ) a) En bloque (AAAA) (RRR)) AAAA

RRR

1

MS 2 3

2! En cualquier orden AAAA RRR

P3, 4

AAAA

MS 1 2

2!.3!  0.995 9! 4!.3! P= 1-

7! 4!.3!  1 9! 4 4!.3!

3!

M R 1 2 3 P= 1-

7

b)

LLANTALLA ( L=4 A=3 N=1 T=1)

2!.2! 1  9! 630 4!.5!

RR P=

2!

Se tienen las letras de la palabra: (a) MATAHAMATTHAM De cuántas maneras pueden ordenarse si: Las “A” deben estar en los extremos y las “M” y “T” deben estar juntas (b) MATTAHAMATHAM “A” (c) NETEHENETTHEN “E” (d) NETTEHENNETHEN “E” Considerar todas las formas posibles

MyH NyH NyT

MATAHAMATTHAM

NETTEHENNETHEN

3M – 5A – 3T – 2 H = 13 letras A 3M – 3T 2H A A A A - - - - - - - - - - - - 6P3,3 3! / 2! 4

4x

4N – 5E – 3T – 2H = 14 letras E 4N – 3T 2H E E E E - - - - - - - - - - - - 7P4,3 3! / 2! 4

6! 3! x  240 3!.3! 2!

4x

MATTAHAMATHAM

7! 3! x  420 4!.3! 2!

NETEHENETTHEN

3M – 5A – 3T – 2 H = 13 letras A 3M – 2H 3T A A A A - - - - - - - - - - - - 5P2,3 4! / 3! 4

4x

3N – 5E – 3T – 2H = 13 letras E 3N – 2H 3T E E E E - - - - - - - - - - - - 5P3,2 4P3,1 4

5! 4! x  160 3!.2! 3!

TRANSTRASANTA ¿Cuál es la probabilidad deque las aes “A” estén en los extremos y las enes “N” y la eses “S” no estén juntas

T=3

R= 2

A= 4

A A A 2N –2S -- -- -- -- -- -- --

N=2

A----------------AAA AA----------------AA AAA----------------A

S=2

3T-2R A -- -- -- -- -- --

-- -- --

12 3 4 5 6

p(no juntas) = 1 -

3x 4.P22.x.6.P3,2,1 13.P3,3,2,2,2

4P2,2 3

COCACOLA

COLOCOLO

¿Cuál es la probabilidad de que: A) Las letras “C” no deben estar juntas y una letra “o” en un extremo B) Las letras “O” y “C” no deben estar juntas

8 letras : C=3 O=2 A=2 L=1 OAAL CCC -- -- -- -- O 1 2345 2 extremos 5! 2! 8.P3,2,2,1

CCC OO

1

2x

p=1-

= 13 / 14

p=1-

AAL -- -- -2 3 4

5! 4! x 2!.3! 2! 8.P3,2,2,1

= 13 / 14

8 letras : C=2 O=4 A=2 L=1 OOOLL CC -- -- -- -- -- O 1 23456 2 extremos 6! 2!.3! 8.P4,2,2

CCOOOO

1

2x

p=1-

= 5/7

p=1-

3! 6! x 2! 2!.4! 8.P4,2,2

LL -- -2 3

= 25 / 28

En un estante hay espacio para 10 libros ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos se coloquen en los extremos y otros 2 no deben estar juntos?

A B C D E F G H I J A --

I J

En los 8 restantes: TOTAL = JUNTOS + NO JUNTOS 8! = 2! 7! + NO JUNTOS

B -- -- -- -- -- -- -Juntos: 2! 7! Extremos: 2 2 3 4

5 6 7

NO JUNTOS = 8! – 2! 7! = 8 x 7! – 2 x 7! = 6 x 7! x 2 extremos

p=

2.x.6.x 7! 1  10! 60

Se lanzan 3 dados normales. Si la suma es 6 ¿Cuál es la probabilidad de sacar por lo menos: a) un “AS” b) un “DOS”

Suma 6 : (1,1,4), (1,4,1), (4,1,1), 2,3,1), (2,1,3),(1,2,3),(3,2,1),(3,1,2),(1,3,2),(2,2,2) Chofer

a) 9 / 10

b) 7 / 10

Un microbús tiene 19 asientos ( 3 filas de 4 asientos con un pasillo al medio, al final 5 asientos juntos y 2 al lado del chofer). En un paradero hay 15 pasajeros De cuántas maneras se pueden ubicar si: a) Ocupar asientos que poseen ventanilla b) 5 pasajeros están enfermos y deben viajar en asientos que poseen ventanilla 6 15 7 14 8 5 16 17 3 1 18 2 12 9 4

9 ventanillas a)

15 P 9 . 10 P 6 Pasajeros restantes pasajeros asientos que quedan ventanillas

b) 9 P 5. 14 P 10 Ventanillas enfermos COCOROCOS

pasajeros restantes asientos quedan

ROCOROCOS

¿Cuál es la probabilidad de que: A) Las letras “C” deben estar en los extremos y la “R” no debe estar junto a ella (Esto es, a la “C”)

9 letras : R = 2 RR.....

9 letras : C=3 O=4 R=1 S=1 R OOOOS CC -- -- -- -- -- C R2 2 extremos

p=1-

2 x 2 x5 9.P3,4,1,1

= 125 / 126

C

O=4

R....R

.....RR

OOOOS RR -- -- -- -- -3 5

p=1-

2 x1x5 9.P4,2,2,1

C=2 S=1

C

= 251 / 252