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• Oziel Dominguez

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UNIDAD I ALGEBRA DE VECTORES

1.1

Definición de un vector en geométrica.

,

y su interpretación

Representación de las operaciones en R2 y R3. Dirección de los vectores Definiciones: Componentes de un vector. Cantidades Escalares: poseen un solo número real y unidades de medición apropiadas de medición apropiadas. Ejemplo: Temperatura, Masa, Tiempo, etc.

9 kg

Unidad de medida

Escalar Cantidad Vectorial: tiene magnitud y dirección. Ejemplo: Velocidad, Aceleración. Magnitud = Longitud Q Punto final Vector

Punto inicial P

PQ

Es un segmento de recta dirigida Definición mediante componentes Si V es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es (V1, V2) entonces el vector V queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera V=

Las coordenadas V1 y V2 son los componentes de V. si el punto inicial y el punto final en el origen, entonces V es el vector cero (vector nulo) y se denota por O= Localización de puntos:

Un vector representa un conjunto de segmentos de recta dirigido (todos con la misma longitud y la misma dirección). En la práctica, sin embargo, es común no distinguir entre un vector y uno de sus representantes.

1.2 INTRODUCCION A LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES LONGITUD DE UN VECTOR Si P (x, y) y Q (x2, y2) , son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido, el vector representado por PQ dado mediante sus componentes es (

)

La formula de la longitud (o magnitud) del vector (v) es: ‖ ‖

√(

)

(

‖ ‖

√( )

(

) )

Ejercicios: 1.- determina las componentes del vector y su magnitud. w = (2,0) (5,5) w=

(

)

(

) ‖ ‖

√( )

‖ ‖

√

( )

v = (8,3) (6,-1) v=

(

)

(

) ‖ ‖

√(

‖ ‖

)

(

)

)

(

)

√

u = (4,-6) (3,6) w=

( (

) (

)) ‖ ‖

√(

‖ ‖ Sean

y

√

vectores y sea c un escalar

1) La suma vectorial de 2) El múltiplo escalar de

y y

es el vector es el vector

( )( ) 3) El negativo de es el vector – ( ) 4) La diferencia de es 5) Si es un vector distinto de cero en el plano entonces el vector: ‖ ‖ ‖ ‖ ***** es un vector unitario que tiene longitud 1 y misma dirección que PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES Sean

los vectores en el plano y sean

1. ) 2. ( 3. ( ) 4. 5. ( ) ( ) 6. ( 7. ( ) 8. ( )

(

escalares

)

)

Ejercicios: Dados los vectores a) b) c)

Hallar el vector unitario en la dirección de ‖ ‖

‖ ‖

√

)

√(

y verificar que tiene longitud 1 ( )

√ 〈

√

Longitud: ‖ ‖ ‖ ‖

√(

√

)

√( (

√

√

)

)

( √

√

√

√

) =√

Hallar con respecto a los vectores dados

√

√

√

√

〉

1.2.a) ) 2) b)

c)

d)

Hallar el vector unitario y verificar que tiene longitud 1 a)

‖ ‖

‖ ‖

√( )

(

√ Longitud =1 ‖ ‖

√(

‖ ‖

√( )

√

)

‖ ‖

)

√( )

√

√

(

)

√

(

)

√

√

( )

√

√

√

b) (

)

√( )

√

√

√

Longitud =1

‖ ‖

√ (

√

)

(

√

)

c) ‖ ‖

√( )

(

√ Longitud =1 ‖ ‖

√(

√

)

)

√(

√

√

( √

)

)

√

(

)

√

√

1.3 La Geometría De Las Operaciones Vectoriales 1.3.1 Suma de Vectores Para sumar dos vectores libres “u” y “v” se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes: (

) (

(

) )

1.3.2 Resta de Vectores Para restar dos vectores libres “u” y “v” se suma “u” con el opuesto de “v”. Los componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores. (

) (

(

) )

Ejemplo: (

)

(

)

-suma (

)

(

)

-resta (

(

))

(

)

1.3.3 Producto de un número por un vector El producto de un numero “k” por un vector “u” es otro vector: -De igual dirección que el vector “u”. -Del mismo sentido que el vector “u” si k es positivo. -Del sentido contrario del vector “u” si k es negativo. Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector. ( (

(

) (

( )

(

)

)

)

(

) )

1.5 DESCOMPOSICION VECTORIAL EN TRES DIMENSIONES LA descomposición de vectores, es obtener las componentes de un vector. Esto quiere decir, la proyección sobre los ejes del plano cartesiano X,Y,Z, del vector original. Imagina en un eje cartesiano, un vector a 45° entre el eje X y Y (positivos). en este caso las componentes son: a(x)=a cos45° y a(y)=a sen45° , en general la componente en X será a cosӨ y la componente en y sera a senӨ, donde Ө es el ángulo del vector. Las componentes de un vector funcionan como ESCLARES, y podemos reconstruir el vector "a" a partir de las componentes utilizando: a=√(a(x)²+a(y)²) tanӨ=a(y)/a(x) Para tres dimensiones el proceso trabaja de manera similar. Si apartir de la "cola" de un vector dibujamos los tres ejes del plano X, Y, Z (siendo Z, el eje vertical) entonces tendremos que: a(x)=a senӨ cosΦ , a(y)=a senӨ senΦ a(z)=a cosӨ Cuando se resuelve un vector en sus componentes conviene a veces introducir un vector de longitud unitaria en una dirección determinada. Lo cual convertiria a "a" en: a=a(x)i+a(y)j+a(z)k e i,j,k se escriben con un sobrerito, asi como un sombrero de chino encima.

1.6 Ecuaciones De Rectas Y Planos Rectas y planos

En el plano se usa la pendiente para determinar una ecuación de una recta. En el espacio es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta. Teorema: Una recta L es paralela al vector v= y que pasa por el punto P(X1,y1,z1) se representa por medio de las ecuaciones paramétricas. x=x1+at, y=y1+bt y

z=z1+ct.

Si todos los números directores a,b y c son distintos de cero, se puede eliminar el parámetro t para obtener las ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta.

Planos en el espacio

Se ha visto como se puede obtener una ecuación en una recta en el espacio a partir de un punto sobre la recta y un vector paralelo a ella. Ahora se verá que una ecuación de un plano en el espacio se puede obtener a partir de un punto en el plano y de un vector normal (perpendicular) al plano. Considerar el plano que contiene el punto P(x1,y1,z1) y que tiene un vector normal distinto de cero n=. este plano consta de todos los puntos Q (x,y,z) para los cuales el vector PQ es ortogonal a n. usando el producto vectorial, se puede escribir N*PQ=0 *=0 a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

La tercera ecuación del plano se dice que está en forma canónica o estándar. Teorema El plano que contiene el punto (x,y,z) y tiene un vector normal n= puede representarse en forma canónica o estándar, por medio de la ecuación. a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0 Reagrupando términos, se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio. ax+by+cz+d=0 Trazado de planos en el espacio Si un plano en el espacio corta uno de los planos coordenados, a la recta de intersección se le llama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el espacio, es útil hallar sus puntos de intersección con los ejes coordenados y sus trazas en los planos coordenados. Por ejemplo, considerar el plano dado por 3x+2y+4z=12

ecuación del plano

Se puede hallar la traza xy haciendo, z=0 y dibujando la recta 3x+2y=12 el eje y en (0,6,0).

traza xy en el plano xy. Esta recta corta el eje x en (4,0,0)y

Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, como en la ecuación 2x+z=1, el plano debe ser paralelo al eje correspondiente a la variable ausente. Si en la ecuación de un plano faltan dos variables, este es paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables ausentes.

Distancias entre puntos, planos y rectas Esta sección concluye con el análisis de dos tipos básicos de problemas sobre distancias en el espacio. 1.- calcular la distancia de un punto a un plano 2.- calcular la distancia de un punto a una recta

Las soluciones de estos problemas ilustran la versatilidad y utilidad de los vectores en la geometría analítica: el primer problema usa el producto escalar de dos vectores, y el segundo problema usa el producto vectorial. La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta mas corto que une a Q con el plano. Si P es un punto cualquiera del plano esta distancia se puede hallar proyectando el vector PQ sobre el vector normal n. la longitud de esta proyección es la distancia buscada. Teorema La distancia de un punto a un plano Q (no en el plano) es ‖

‖

|

| ‖ ‖

Donde P es un punto en el plano y n es normal al plano.

Para encontrar un punto en el plano dado por ax+by+cz+d=0(a≠0), se hace y=0 y z=0. Entonces, de la ecuación ax+d =0, se puede concluir que el punto (-d/a,0,0) está en el plano.

Ejemplo: Calcular la distancia del punto Q (1,5,-4) al plano dado por 3x-y+2z=6. Solución: Se sabe que n= es normal al plano dado. Para hallar un punto en el plano, se hace y=0 y z=0, y se obtiene el punto P(2,0,0). El vector que va de P a Q esta dado por PQ==. Usando la fórmula para la distancia dada en el teorema anterior |

| ‖ ‖

|

| √

|

| √

√