• Author / Uploaded
• Fernando Velázquez Ramírez

Citation preview

Análisis combinatorio Unidad 1. ¿Qué es el análisis combinatorio?

Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas Docente: Hiram Habid López Valdez Alumno: AL12514074 Fernando Velázquez Ramírez 5° Semestre Análisis Combinatorio Unidad 1. ¿Qué es el Análisis Combinatorio? Clave: 05143526 ENERO 2016

Análisis combinatorio Unidad 1. ¿Qué es el análisis combinatorio? Actividad 1. Inducción matemática Resuelve los siguientes ejercicios usando inducción matemática. 1. La definición de 𝑛! es la siguiente: 1! = 1 (𝑛 + 1)! = 𝑛! ∗ (𝑛 + 1). Usando la definición anterior, demuestra que 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (3)(2)(1). 2. Para cualquier conjunto 𝐴, su conjunto potencia, PA , se define como el conjunto formado por todos sus subconjuntos. Demuestra que si 𝐴 tiene 𝑛 elementos, entonces |𝑃 𝐴 | = 2𝑛 . 𝑛

3. ∑

1 𝑖(𝑖+1) 𝑖=1

𝑛

= (𝑛+1).

4. Un polígono es una figura geométrica plana formada por una sucesión finita de segmentos rectilíneos, unidos consecutivamente hasta encerrar una región. Los segmentos rectilíneos que lo forman son sus lados, y los puntos en que se unen son los vértices. Lo llamamos convexo si sus ángulos interiores —los que forman los lados dentro del polígono— son menores a 180°.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

En la figura se muestra diversos polígonos, (b), (d), (e) y (g) son convexos. La diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices que no son consecutivos.

En esta figura se muestran en rojo algunas diagonales de los polígonos convexos de la figura anterior. Usando el principio de inducción matemática, demuestra que un polígono de 𝑛 lados tiene exactamente

𝑛(𝑛−3) 2

diagonales. En este problema de inducción, el caso mas pequeño es

𝑛 = 3. Usando la fórmula, obtenemos que para 𝑛 = 3 el valor es 0. Así que no olvide demostrar, usando la definición de diagonal, que un triángulo no tiene diagonales.

Análisis combinatorio Unidad 1. ¿Qué es el análisis combinatorio? 5. Uso de identidades a) Una ruleta tiene los enteros de 1 a 25 colocados en forma aleatoria. Demuestra que, independientemente de su posición en la ruleta, existen tres de ellos adyacentes cuya suma es al menos 39. 𝑛 2 b) Determina el entero positivo 𝑛 para el cual ∑2𝑛 𝑖=1 𝑖 = ∑𝑖=1 𝑖 .